VV

[5] V=Yo(i+kKt) et K= 5 —- [4] :

Les binômes 4 + A6 et 4 + K£ se désignent sous le nom de binômes de dilatation.

Les formules [3] et [4] s'appliquent également aux liquides et aux gaz.

IV. Soit 1, la longueur d'une barre mélallique à 1°; quelle sera sa longueur l4: à L°, son coefficient de dilatation étant à?

On cherche d'abord la longueur de la barre à 0° : elle est x d’après la formule [1]; puis de la longueur à 0° on passe à la longueur à {’ au moyen de la formule [1], ce qui donne

2, 0H + ETS

En effectuant la division algébrique indiquée, et négligeant les termes en à%, 2%... il vient

(5] = ft + (0).

V. Relation entre le poids spécifique à 09 el les poids spécifiques à diverses températures. — Lorsqu'on chauffe une masse déterminée d'un corps, son volume el, par suite, son poids spécifique varient, mais sa masse et son poids restent constants. Soit done l le poids d'un corps, V, et D, son volume el son poids spécifique à 4, el K le coefficient de dilatation cubique, On a évidemment, pour deux températures différentes,

; ue Do V D = = —.

P= Vo Do = Vi, d'où = Cette équation montre que les poids spécifiques varient, avee la température, en raison inverse des volumes. De là on déduit les relations suivantes, relatives aux poids spécifiques :

D, IHEK

oùÛ0. Mesure des coefficients de dilatation linéaire. — Expériences de Lavoisier et Laplace. — De nombreux expérimentsteurs ont mesuré les coefficients de dilatation linéaire, Les premiers résultats précis sont dus à Lavoisier et Laplace (1782), dont la méthode et l'appareil ont gardé un intérêt historique.

Descriphon de l'appareil. — Une cuve de cuivre solidement établie sur un fourneau, entre quatre piliers dé pierre, contient la substance à étudier, réduite

Fig. 557.

en barre de 2 mètres de long. D'un bout Ma’ barre appuie contre june lamæde verre r (fig, 557, coupe verticale), maintenue entire les deux piliers de gauche; de J'antre, elle peut s'allonger librement, en contact avec une deuxième lame de verre », fixée à un axé horizontal d'acice, qui tourne dans deux coussinets sur les piliers 4 droite. À son extrémité antérieure, cel axe esk enainé par une pièce en équerre sur laquelle est maintenue wine \unelle L, qui Sxik Aos Mes,

mouvonents dé l'axe et de la lame » et qui permet de viser les divisions d'une échelle verticale AB, placée à 200 mètres. Enfin, la barre rupose, à chacune de ses extrémités, sur deux rouleaux de verre, en sorte qu'elle né roncontre qu'une résistance extrêmement faible à son allongement,

Operation, — On mettait d'abord de la glace dans la cuve, et, ln barre étant h aéro, les deux lames # et » en contnet avec elle at la lunetie dans une direction horlzontale, on obecrvait à quelle division correspondait le Gt de En lunette sur l'échelle AB; puis on rotirait la glace, on remmplissait In cuve d'eau où d'huile, ot on chauffait. La barre s0 dilatait, et lorsque ln température étnit devenue statioonaire, d'un côté on molait la température du bain à l'aide dé ihermomètres qui y élmient plongés, et de l'autre La division de l'écholle visée dan la lunette,

Do ces données on déduisait ensuite l'allongement de Ju barre. En clfet, coller s'étant allongée d'une quantité me, la tige w est repoussée et entraine avec elle l'ase el ln lunettes cette dernière s'incline slors dans la direction ob, Or les deux triangles onc et AB sont semblables, comme ayant leurs côtés perpendiculwires chuéun à chacun : on en déduit

me un . É- on TD = d'où ne = Ale

Or le rapport = est un nombre constant qu'on avait mesuré par une expé-

rience préliminaire, en substituant à la barre ac une seconde barre plus longue d'une quantité connue : on avait trouvé

on "Le d'où nc = 2:

où TU’ 7 7H

En divisant nc par la longueur de la barre à 0° et par la température du bain, on avait le coefficient de dilatation linéaire de la substance.

551. Méthode du comparateur. —- Pour mesurer avec précision la dilatation linéaire d'une règle ou d'une barre donnée, on emploie actuellement le comparateur déjà décrit (88). Au lieu de chercher à amplifier l'allongement, comme faisaient Laplace et Lavoisier, on le mesure tel quel au microscope. La règle à étudier est placée dans l’auge A (fig. 78), et dans l'auge A’ on dispose une règle étalon. On amène l’eau dans les auges aux températures T et { au moyen d'agitateurs et d'appareils spéciaux, appelés thermorégulateurs, permettant de réaliser des températures constantes et uniformes.

L'auge À étant disposée sous les microscopes, on relève les indications des thermomètres et on amène les réticules en coïncidence avec les traits qui limitent la longueur de la barre. Les réticules sont alors distants l'un de l'autre juste de la longueur L+ de la barre à t degrés.

On substitue alors l’auge A’ à l'auge À, puis on répète \es mèmes lectures. Il a fallu déplacer les réticules d'une \ongvent

évidemment égale à la différence (Le — x) des deux règles aux températures respectives { et T.

En agissant sur le thermorégulateur de l'auge À, on donne à la température une nouvelle valeur { et on mesure comme précédemment la différence (Le — k).

Si l'on appelle L, 1 longueur à zéro de la barre et x le coellicient de dilatation moyen, on a

L=L{i+at) et LE 2);

par suite, en appelant « et b des différences mesurées directement, Où à

Lfl+at)—h=u et Lfl+a)—-k4=06, d'où L+at a+h M __ a—b Tia DH a ="

La longueur /, de la règle étalon est d'ailleurs connue à toutes les températures; 11 est donc facile de calculer x, puisque l'expérience de comparaison fournit directement a,.b, £ et P.

Resanque : Appareil de Roy et Ramsden. — Un nppsroil analogue au comparaleur, mais beaucoup moins précis, avait déjh élé employé au même usage, en 1787, par le major Roy (de Londres). 1 avait été construit. par Ramsden, I n'a plus aujourd'hui qu'un intérêt historique,

AT

59%. Résultats généraux relatifs à la dilatation des solides. — Les principaux résultats des diverses expériences faites sur la dilatation des corps solides non cristallisés sont les suivants :

1° La dilatation du verre et des métaux est uniforme entre 0° et 1000, c'est-à-dire que le coefficient de dilatation de ces substances est sensiblement constant entre ces limites, et-que leur dilatation est proportionnelle à l'élévation de température.

2 Au delà de 100, le coefficient de dilatation de ces corps n'est plus constant : il augmente quand la température s'élève. L'acier trempé parait subir une variation inverse: son coefficient diminue quand la température s'élève.

3° La plupart des corps solides, après s'être dilatés par l'échauffement, entre 0° et 1009, se contractent par le refroidissement, de manière à reprendre leur volume initial, Quelques-uns font excep-

lion à cette règle générale, entre aulres \e ne et le verre, 4" Les coefficients de dilatation linéaire moyens, ani ent Ne

DILATATION DES SULIDES. 607

trouvés par divers expérimentaleurs, varient, pour une même substance, entre des limites assez étendues, Ainsi celui du zine varie depuis 204 jusqu'à 541 déx-milliontèmes entre 09 et 1009 ; celui de la fonte de fer depuis 98 jusqu'à 112 dix-millioniémes. Ces divergences tiennent d'abord à l'imperfection des méthodes de mesure, et puis à la variabilité de structure des échantillons des divers corps qui ont été soumis aux expériences,

#53. Dilatation des cristaux, — Dilatomêtre de Fizeau. — Nous avons dit que les corps solides homogènes et amorphes se dilatent en restant semblables à cux-mémes. Mitschertich découvrit, en 1835, qu'il n'en est pas de même pour lu plupart des corps solides cristallisés. L'étude de leur dilatation irrégulière a été faite par M, Fiseau, au moyen d'une méthode très délicate. Elle consiste essentiellement à produire des anneaux de Newton par la superposition d'un plan de verre et d'une lame mince du cristal à étudier, puis à observer le déplacement des annéaux qui à heu lorsqu'on élève la teimpéralure du cristal. On déduit de ce déplacement, avec wne grande précision, les dilatations éprouvées par la lame dans un sens perpendiculaire à ses faces.

L'appareil se compose d'une plate-forme S en pla- Line iridié, munie de trois vis calantes 0 prenant appui surua plan F,et supportant une lentille L dont Ja face inférieure est presque plane et porte des repères disposés en quinconce (fig. 558). Un morceau du corps à étudier C!, terminé par deux faces paralléles et polies, est placé entre la plate-forme et la lentille. Les anneaux de Newton se produisent dans la lume d'air emprisonnée entre Let © el sont examinés par réflexion totale sur le prisme D, Le trépied est placé à l'intérieur d'une étuve en cuivre rouge EE dont la température est indiquée par un thermomètre 1; l'étuve est choullée à température constante au moyen d'un thermo-régulateur HN.

Résultats généraux. — Les principaux résultats sont les suivants :

L. Système cubique (exemples: sel gemme, alun), La dilatation est La méme dans loutes les directions.

Il ny a done qu'un seul coefficient de dilatation, à, qui est égal au tiers du

4. Le corps n'est pas nécessairement un cristal, La mélhode esl génkxale ek l'uppareil, tel qu'il est installé au Bureau internalional, sous Le non de dilalomètre, peut Sappliquer à un solide queteunque,

demeure indépendante de la températi mess pose invariable com! ont [a .

nr er

de haut en bas, et, an contraire, celui des tiges de laiton de bas en haut. Par conséquent, pour que la longueur du pendule reste constante, il faut et il suffit que l'allongement des tiges de cuivre relève constamment la lentille juste de la même quantité dont l'allongement des tiges d'acier tend à l'abaisser,

% Condition de compensation, — Les seules tiges d'acier d, €, à ajoutent leurs effets à celui de la lame à pour abaisser la lentille; car les deux autres tiges d'acier, qui sont symétriques de d'et de e, sont liées respectivement à cellesci par des traverses, de sorte que leurs allongements s'effectuent parallélement à ceux de ces tiges sans s'y ajouter. Un n'a de même qu'à considérer les tiges de laiton € et n, placées d'un même côté de l'axe,

Représentons par a, a, a", a les longuours des pièces d'acier b, d, e, é, et pur c et c' celles des tiges de laiton ©, n; et posons

a+ a ++ al et c+e=#,

Si l'on appelle k et k' les coefficients de dilatation linéaire de l'acier et du cuivre jaune, les allongements des deux inétaux, à { degrés, seront respectivement fé et L'k'£, Pour que la longueur totale L du pendule resté constante, il faut done qu'on ait

Ré=TRI, où =lk, [1]

Telle est la condition de compensation. Elle signitie que, dans Le pendule compensateur, les longueurs lotales de l'acier et du cuivre duiveut être en raison inverse des coefficients de dilatation de ces métaux.

be plus, cette égalité ne contenant pas {, on en conclut que la compensation à lieu à toutes les températures.

5" Longueurs totales du laiton et de l'acier. — Connaissant la longueur totale L du pendule, on peut déterminer les longueurs totales, & et d', de l'acier et du Initon qui sont nécessaires pour Fi réaliser la connpensation. La longueur totale du ig.530, pendule se compose d'abord de la tige b, puis de la tige é Gusqu'au centre de la lentille), entin des deux intervalles qui séparent les trois châssis. Ur le premier de ces intervalles est évidemment égal à la différence des tiges d el &, et le second à la différence des tiges # et n. On à donc

L= a+ 0" + (a — 6) + (a —e), d'où GS lna+a+a+a")—(c+e)mti= ts GA NOT-MANEUVIUEN. . ET

co CHALEUR.

Les équations [1] e1 [21 ei-dessus déterminent 1 et ?. En les résolvent, on trouve

1 — T rs 1 k

Ces formules font voir que { et Z sont plus grands que L : c’est pour satisfaire 4 cette condition qu'ou est forcé, pour le pendule à secondes. de faire usage de plusieurs châssis d'acier e1 de laiton (k est pris généralement égal à 0,00001079 et k° à D,0000ISTE.

555. Compensateur Graham. — C2 pendule est formé d'une Uige de fer (fig. 580) qui soutient, par l'intermédiaire d'un support en cristal, deux cylindres de cristal à pen près remplis de mercure. Le centre de gravité du pendule est donc abaïssé par la dilstation de la tige, tmais relevé par la dilatation du mercure. On etleule la hauteur de mercure qu'il faut employer pour obtenir une compensalion parfaite.

Graham, qui a inventé ce procédé de compensation, suspendait son pendule par une lige de vèrre, au lieu d'une lige de fer. On peut également ne meltre qu'un seul tube à mereure en verre au lieu de deux,

556. Lames compensatrices. — Compensateur Martin. — Ün arrive encore à compenser l'allongement de la tige des pendules au moyen de lames compensatrices. On nomme ainsi deux lames de cuivre et de fer

= soudées ensemble et fixées à In tige du pendule, La lame de cuivre, qui est la plus dilatable, est au-dessous de la lame de fer.

Quand la température baisse, ln tige du pendule se raccoureit et ln lentille se relève; mais alors les

ie. 50 7 à lames compensalrices se recourbent, ds Pig: Don parce que le cuivre se contracte plus que le fer, De la sorte, deux boules métalliques, placées à l'extrémité des laines, s'abaissent {flg. 561), et, si elles ont une masse convenable, il s'établit une compensation entre les points qui se rapprochent du centre de suspension el ceux qui s'en écartent, ee qui fait que le centre d'oscillation n'est pas déplacé. Si la température monte, la lentille descend, mais les boules sont relevées, et il y à encore compensation.

Tel est le principe du pendule compensateur Martin. Cest un pendule ondinuire dont la tige porte un systéme de lames compensatrices, lerminées par deux boules pesantes en or. On à calculé les dimensions de manière que ln compensation soit parfaitement établie, d'après le mécanisme ei-dessus, Et comme les boules peuvent glisser sur les lames, à l'aide des vis de pression qui les fixent dans une position donnée, on peut, en les déplaçant, achever par lâlonnements ln compensation.