LL LE

= + - 3 LE

Fig. 32.

ination graphique du sommet de la courbe. — La relation précéen ep sep il suit: Les distances des points de la courbe à ne perpendiculaire à l'axe menée par s0n sommet sont proportionnelles aux carrés des distances de ces mêmes points à l'axe lui-même. Cette propriété géométrique définit la courbe appelée parabole. Ainsi le diagramme de la chute #t une branche de parabole : le point m en est le sommet, la droite mX, direction du mouvement uniformément accéléré, en est l’axe, et la droite mY, direction du mouvement uniforme, en est la tangente au sommet. On profite de cette remargue pour déterminer avec précision le sommet de \a courbe, Jegue/ reste toujours incertain. On na pour cela qu'à appliquer l’une des propriétés géométriques de Ja parshole. Si l’on mène les tangentes en deux

points c’ et ce" (fig. 33), et qu'on leur élève respectivement des perpendieulaires aux points Let {" où elles coupent la Langente au sommet, ces droites se coupent en un même point de l'axe qui est le foyer de la parabole, En abaïssant de ce point une perpendiculaire sur la tungente au sommet, le point d'intersection sera exacternent le sommet de la courbe et par suite l'origine des espaces.

5° Vérification des principes de cinématique. — L'identité de ce diagramme avec une parabole démontre expérimentalement un théorème relatif à la composition de deux mouvements reclilignes, dont l'on est uniforme et l'autre uniformément varié sans vitesse initiale : on voit que le mouvement résultant a pour trajectoire une parabole orientée comme la courbe mn.

on dt" Y

Fig. 35. Fig. 54.

@ Vérification de La loi des vitesses. — On démontre aisément que, en menant la tangente en M à la courbe, et en cherchant dans les tables ln tangente trigonométrique de l'angle « (fig. 54), on aura une grandeur proportionnelle à la vitesse du mobile à l'instant £ De même, en faisant la même construction pour un autre point M' de la courbe, on aura une grandeur proportionnelle à la vitesse

lang « cs V' à l'instant {', En prenant le rapport Has on vérifiera qu'il est égal au rapt port ro

49. Expériences de MM. Cailletet et Colardeau à la tour Eiffel. — MM. Cailletet et Colardeau ont récemment installé sur la tour Eiffel, à la deuxième plate forme, un dispositif expérimental qui leur permet d'étudier la chute libre des corps en tenant compte de La résistance de l'air, Ils ont réalisé ainsi une sorte d'immense machine de Morin de 120 mêtres de hauteur, Leur méthode consiste, en effet, à déterminer la loi du mouvement de chute par l'étude d'un graphique tracé par le corps qui Llombe, et indiquant sa position dans l'espace à chaque instant de sa chute.

Le mobile M (fig. 35) est attaché à l'extrémité d'un fil Lrès fin et Lrès léger qui le suit dans son mouvement et ne lui oppose qu'une très faible résistance. Ce fil est purlagé en sections de 20 mètres, dont chacune est enroulée sur un cône de hais C, fixé verticalement et la pointe tournée en bas : on conçoit que le fil, éntrainé verticalement par la chute du mobile, puisse se dérouler pour ainsi dire sans frottement, à cause de la forme conique de ces bobines. L'expérience comtmence dès qu'on a coupé le fil vertical de suspension (fig. 35). L'extrémité finale de chaque bobine est engagée dans l'intervalle libre que laissent entre elles

Jes deux branches métalliques P, P d'une sorte de pince, Quand la première bobine C'est déroulée, le HI écarte un instant les branches de \a pince : à cet ins

ant précis Ls plume de l'enregistreur lnisse une trace sur le cylindre tournant ot la deuxième laine se déroule à son tour, La deuxième pince s'ouvre aprés on nouvents déroulement de 20 mètres, et ainsi de suite, On sait donc ainsi les

Fig. 35.

vnps auccessils au bont desquels le mobile à parcouru des espaces de 20 inétres,

1 mètres, 60 mètres, etc.

La figure 36 représente le graphique de plusieurs expériences :

Fig. 56.

1. Tracé de Ta chute d'un corps lombant librement dans le vide ; 2 Tranéespérimental dé Ja chuté d'une longue Héche en bois, lestée par une PTT 01 LIT 110007707072

3. Chute d'un plan carré de 0®,0225, lesté par une masse de 800grammes (fig. 37) ;

4. Chute d'un plan triangulaire de même surface et également lesté,

5. Tracé des vibrations du diapason qui sert à mesurer les temps de chute.

Les premières expériences de MM. Cailletet et Colardeau ont eu surtout pour but de vérifier la précision de leurs appareils, la sûreté de leur fonctionnement et la valeur pratique de la méthode, Elles ont un grand intérêt pratique, parce qu'elles permettront de résoudre un grand nombre de dificultés qui se rencontrent à chaque instunt dans diverses applications : résistance de l'air aux trains de chemins de fer et aux navires en marche, direction des ballons, problème de l'aviation, influence du vent sur les construetions, utilisation de la force motrice du vent, ete,

50. Conclusions. — 1° Nature de la pesanteur. — Il résulte de toutes les expériences précédentes que les lois de la chute des corps sont identiques à celles du mouvement rectiligne et uniformément accéléré, Done, dans les limites où ces lois ont été vérifiées, la pesanteur, qui produit la chute des corps, est une force constante en grandeur et en direction.

Fig. 37. 2° Équations de la chute des corps. — Les équalions générales qui représentent le mouvement uniformément accéléré s'appliquent donc à la chute des corps dans le vide. En appelant g l'accélération de la pesanteur en un lieu donné du globe, on a pour la loi des vitesses

[1] v — gt et pour la loi des espaces

(2) ei.

3° Formules usuelles, — 1. Si dans l'équation [2] on fait 4— 1, il vient

e— 9, d'où g = 2e,

c'est-à-dire que l'accélération due à la pesanteur est égale au double de l'espace parcouru pendant la première seconde de la chute.

IL. Dans l'équation [1], la vitesse w est exprimée en fonction dn lemps; mais on peut aussi l'exprimer en fonction de l'espace parcouru, en éliminant { entre les équations [1] et [2]. Pour cela, on tire de la première

= ns d'où LB — l'A

CENTRE DE GRAVITÉ. 53 Portant cette valeur de f* dans l'égalité [9], on a

1 Ce , LL e—3IX d'où nr

On déduit de la »° — 2ge et, en extrayant la racine carrée, 13] r —Vige.

On voit donc que, lorsqu'un corps tombe librement dans le vide, la rise acquise à un instant donné est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur de chute.

4 Intensité de la pesanteur. — On doit définir l'intensité de la pesanteur l'action qu'elle exerce sur l'unité de masse, autrement dit le poids de l'unité de masse. Or l'équation générale qui lie les forces aux accélérations devient, dans le cas de la pesanteur, P—Mg, P étant le poids du corps dont la masse est M, g étant l'accélération de la chute libre dans le vide. Si l'on suppese M — 1, vn à P—3g : c'est-à-dire que l'intensité de la pesanteur est représentée par le même nombre que l'accélération du mouvement qu'elle produit. C'est pourquoi l’on donne souvent à la constante g le nom d'intensilé de la pesanteur.

5. Centre de gravité des corps homogènes. — La vérification des lois de la chute des corps justifie les définitions que nous awns données précédemment :

1° Du poids d'un corps, résultante des forces de la pesanteur, qui sont appliquées à ce corps:

2 Du centre de gravité, point d'application de cette résultante.

Le centre de gravité jouit de toutes les propriétés géométriques d'un centre des forces parallèles. Sa position dans le corps ne dépend donc ni de la direction commune des forces parallèles, ni de leur intensité absolue. Par conséquent, elle ne variera point quand on changera l'orientation du corps par rapport à la verticale du lieu, ni quand on transportera le corps dans un autre lieu, d'altitude et de latitude différentes. Elle est déterminée, en général, dans chaque corps par sa forme extérieure et par le mode de répartition de sa masse.

Le cas le plus intéressant à étudier, à ce point de vue, est celui des corps homogènes. On dit qu'un corps est homogène, quand sa matiére est uniformément répartie dans toute son étendue, de manière qu'une portion quelconque du corps ait une masse pro-

portioanelle à son volume. D'après l'équation P— Ng, qui lie le

54 l'ESANTEUR.

poids à la masse, on voit que le poids d'une portion de corps homogène est également proportionnel à son volume.

Dans tous les corps homogènes, la position du centre de gravité ne dépend que de la figure du corps. Si cette figure est géométrique, la recherche de ce point est un problème de géométrie ou d'analyse, plus ou moins compliqué, mais toujours possible. Si le corps, tout en étant homogène, n'est pas limité par une surface géométrique, son centre de gravité n'en existe pas moins, mais on ne peut le déterminer que d'une manière approchée,

52. Centre de gravité des solides géométriques. — 1° Cas des corps à centre. — On dit qu'un corps possède un centre F é de fiqure, où simplement un cen-

tre, lorsqu'il existe dans ce corps e. un point qui divise en parties 7 mf égales toutes les cordes passant

par ce point et limitées à la sur-

n face du corps. Tels sont, par FI exemple, la sphère, le parallélé- 2P pipède, le cylindre circulaire

Fig. 38. droit.

On voit Lout de suite qu'un pareil corps peut se décomposer en groupes de deux masses, égales et également distantes du centre, telles que m et m' (fig. 58). Ces masses sont sollicitées par leurs poids p, forces égales et paral-

lèles, qui se composent en une

A force double, 2p, appliquée au

LE | milieu de la ligne mun'. La

résultante totale des forces

A ae Nc SL LE groupe sera le poids Llotal du

{ Î corps, et elle sera nécessairev ment appliquée au même point G : donc le centre de gravité

Mr voïncide avec le centre de fi- 7 gure. Ainsi, lorsqu'un corps #7 homogène a un centre de fi- Fig. 59. qure, ce point est de centre de gravité.

% Corps à plan diamélral où à plan de symétrie. — MW est évi-

dent que tout corps homogène possédant un plan diamétral on un plan de symétrie peut se décomposer en couples de masses égales, telles que m et m' (fig. 39), auxquelles sont apilauèes des

CENTRE DE GRANVITÉ. 55

forces égales p et p, dont la résullante 2p a son point d'applicaon au milieu C de la ligne mm’. Le poids du corps, qui est la résultante totale de toutes ces résultantes partielles, aura nécessairement son point d'application 6, qui est le centre de gravité, quelque part dans le même plan. Ainsi, lorsqu'un corps homogène à un plan diamétral, où un plan de symétrie, le centre de grasité du corps esl loujours dans ce plan.

Ecurie. — Cas d'un télraëdre. — Le centre de gravité est sur la ligne qui joint l'un des sommets an point de concours des

i dans la face opposée, et de celle ligne à

sommet.

élet, soit le tétraédre SABC =. 40), M et M les milieux des BC et AC. Le plan SAM est pour les cordes parallétes à l'arète BC : donc le centre de gravité G est dans ce plan: il est de méme dans le plan SBM' qui est diamétral pour les cordes parallèles à l'arête AC : donc il est sur la bgne SO, intersection des deux plans. Fig. 40.

Remarquons que cette ligne S0 joint le sommel S au point de rencontre ( des médianes de la face opposée. Si donc on avait pris le sommet B au lieu du sommet $, on eût démontré de la même manière que le centre de gravité du solide doit se trouver sur la ligne qui joint ce sommet B au point de rencontre 0 des médianes de la face opposée : donc il est placé au point G, intersection de ces deux droites. On démontre aisément que la longueur OG est égale à un quart de L longueur SO.

Ti Centre de gravité des surfaces et des lignes, — On à généralisé la noliun, purement physique, de centre de gravité, en l'élendant aux cas, purement géu-

winques él idéaux, des surfaces et des lignes.

Une surface, qui n'a pas d'épaisseur, eLune ligne, qui n'a qu'une seule dim "n., De peuvent pas être pesantes et n'ont pas, à proprement part de centre le gravité Mars on peut concevoir la surface el la ligne partug l'une en

lements superficiels, et l'autre en éléments linéaires, auxquels on suppust appliqués des poids proportionnels à leurs dimensions. Ces forces virtuelles ont 10e résultant: égale à leur somme et dont Le point d'application est appoté traire de gravilé de la surface ou de la ligne,

Le principes précédents s'appliquent aux cas des surfaces et des lignes, Ainsi, pour Loute figure plane, douée d'un centre on d'un diamètre ou d'un axe de symétrie, Le centre de gravité est en ce point ou sur celle droite,

Ba d'eppuxant sur ce lemma préliminaire, on démantre alatmont Le tions suivantes e une portion de droite, en son po! milieu; en agree pc gr Ééntnpehen tro g np arte ag de concours de ses médianes : sous Le Mérite CU Da Le Du D concours de eue biere: ‘ Pour un parallélogramme et pour un rectangle, au point d'intersection des diagonales, qui est le centre de figure. " Par suite, on trouvera le centre de gravité d'un polygone quelce F en name gro dou 22 et celui d'un surface géomét: quelconque en Ja une série e dont la sotame Puf soit égale, et en cherchant le point d'application de ls tunte de tous ces poids élémentaires. , Rewanque. — La notion du centre de gravité des surfaces pout servir à simpli fier certains énoncés relatifs aux centres de gravité des corps solides, Ainsi 0 dira, par exemple, que : Le centre de d'un milieu de la droite qui joint les centres de gravilé des deux bases.

54. Équilibre des solides pesants, — La considération du cent de gravité permet de formuler simplement les conditions d'é libre des corps solides pesants!. s

4° Conditions d'équilibre. — L'action de la pesanteur sur un corps se réduit Lise à une force unique, verticale, dirigée de haut en bas, et appliquée en son centre de gravité : donc, pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que cette force soit détruite par la résistance d'un point five par lequel elle passe. Par suite, si le corps est suspendu par un point unique ou repose sur un seul point d'appui, le centre de gravité doit se trouver sur la verticale de ce point; si le corps est soutenu par deux points, la verticale du centre de gravité doit rencontrer la droite qui les joint ; si le corps est supporté par plusieurs points, la verticale du centre de gravité doit passer dans l'intérieur du polygone de sustentation : on appelle ainsi le polygone qu'on obtienten joignant les points d'appui.

Dans les tours de Pise et de Bologne, qui sont tellement. indlinées sur l'horizon qu'elles semblent menacer les passants de leur chute, l'équilibre subsiste, parce que la verticale du centre de gravité de l'édifice passe dans l'intérieur de la base.

Un homme est d'autant plus ferme sur ses pieds que ceux-ci comprennent une base de sustentation plus étendue; car il peut alors donner à ses mouvements plus d'amplitude, sans que la verticale menée par son centre de gravité se trouve en dehors de cette base. S'il se pose sur un pied, sa stabilité diminue ; elle diminue

1. En réalité tous les corps sont pesants, ét celle épithète de pesants appliquée aux corps solides est un pléanasme; mais il est d'usage de désigner ainsi EP E0 PePr en en tomes cuite om tes seules forces de la pesan-