CHAPITRE IV

CONSÉQUENCES DES LOIS DE COULOMB. — NOTIONS FONDAMENTALFS SUR LE POTENTIEL ÉLECTRIQUE.

823. Potentiel d'un conducteur électrisé : Définition expérimentale, — L'expression de potentiel électrique fut introduite dans la science par Green, en 1838, Elle correspond à une propriété de l'électricité nettement distincte de celles que nous avons étudiées, où indiquées plus haut, sous les noms de charge ou masse électrique, de densité et de Lension,

On peut donner une définition expérimentale du potentiel électrique dans le cas d'un corps conducteur isolé, chargé d'une certaine couche d'électricité en équilibre, Cette définition résulte des deux faits suivants,

1 Far, — Si l'on touche le conducteur en différents points avec un plan d'épreuve, et qu'on porte le plan, après chaque contact, dans la balance de Coulomb, on constatera chaque fois, en général, une répulsion différente, Cela prouve que la densité électrique n'est pas en général la même aux différents points du conducteur, bien que celui-ci soit dans un état électrique permanent invariable. Mais si, à l'aide d'un fil métallique très long et très fin, on relie un point quelconque du corps à la petite boule fixe d'une balance de Coulomb, la boule mobile, — préalablement chargée de la même électricité, — subira une certaine répulsion, mesurée par un certain angle d'écart. Or,tsidl'on relie un autre point quelconque du conducteur, on-constalera toujours la même répulsion. Cette force de répulsion est donc caractéristique de l'état électrique du conducteur. C'est un caractère analogue à celui que donne un thermomètre lorsqu'on le plonge dans une région quelconque d'un corps uniformément échauffé,

Si l'on a eu soin de prendre pour plan d'épreuve une sphère ayant pour rayon À centimètre et de la mettre en communication avec un point quelconque du conducteur éleetrisé, par l'intermédiaire d'un fil long et fin, la charge que prend cette boule dans ces conditions mesure par définition le potentiel du conducteur (en

supposant que tout autre conduekeur soil tie de La boule), de Farr. — Soient deux corps À eLY éleclrisès posivenentk, ax

Fe pour potentiels respectifs VA EL Vs : supyssons À >

Mettons ces corps en communication par deux points quelconques à l'aide d'un fil métallique long et fin. On constatera, — par le mème procédé expérimental, — que le potentiel de À diminue et que le potentiel de B augmente jusqu'à ce qu'ils aient une l'un et l’autre une valeur commune V’, intermédiaire entre

e et Vi.

Expériences. — On peut réaliser ces expériences* en électrisant deux conducteurs sphériques A et B, l’un de rayon R et l'autre de rayon 2R, dont les surfaces sont S et 4$. Si on leur donne des charges Q et Q, qui soient dans le même rapport que leurs surfaces, la densité électrique sera la même sur les deux conducteurs, puisqu'on a

® __ 40 d— SF et d — TS"

On pourra s'en assurer par l'expérience en touchant, avec le plan d'épreuve, deux points quelconques M et N des deux conducteurs. Mais, si l'on met les deux conducteurs en communication par un fil métallique long et fin, reliant les deux points M et N, on constatera qu'il passe de l'électricité de la grande sphère sur la petite : cela tient à ce que le potentiel sur la grande sphère est plus éle:é que sur la petite.

Conclusion. — Ainsi, toutes les fois qu'un conducteur électrisé, relié à un autre conducteur, cède ou prend de l'électricité positive à ce dernier, c'est qu'il a un potentiel plus ou moins élevé que lui; toutes les fois qu'il n'y a pas transmission d'électricité de l'un à l’autre, c'est que le potentiel est le mème sur tous les deux.

La notion de potentiel correspond donc à une propriété de l'électricité qui joue, dans les échanges d'électricité entre deux conducteurs, le même rôle que la force élastique des gaz ou que la pression hydrostalique des liquides dans les échanges de gaz ou de liquides entre deux récipients, ou enfin que la température dans les échanges de chaleur. C'est à cause de cette analogie qu'on

1. Pendant la durée de l'état variable du potentiel, il ÿ a passage d'électricité de À en B, c’est-à-dire du corps qui a le potentiel le plus élevé sur celui qui a le potentiel le moins élevé : le fil conducteur est alors le siège d'un courant électrique qui cesse dès que l'égalisation du potentiel s’est établie. L'équilibre se rétablit dès que l'électricité s’est distribuée sur les deux conducteurs de manière à rendre leurs potentiels égaux.

2. On peut, au point de vue qualitatif, substituer à la balance de Loutorab VN électroscope à feuilles d'or et à houchon de paratfine \el que cal èe \s

figure 729.

donne quelquefois au potentiel électrique les nous de niveau électrique, ou de température électrique.

Remanques. —1° Différences de potentiels, — La rupture de l'équilibre électrique peut seule donner lieu aux phénomènes du courant : donc ces phénomènes ont pour raison d'être des différences de potentiels, à condition qu'ils s'effectuent entre des conducteurs indépendants, chargés et en équilibre électrique.

2 Potentiel zéro. — Pour exprimer les différences de potentiels, on prend le potentiel du sol comme terme de comparaison,

Tout conducteur qui, étant mis en communication avee le sol, ne donne naissance à aucun courant, est dit au potentiel zéro.

3° Potentiel posilif et potentiel négatif.—N est à un potentiel posilif si, étant mix à la terre, tout se passe comme si la terre lui enlevait de l'électricité positive. Il est à un polentiel négalif si elle lui fournissait de l'électricité positivet,

5° Un corps peut être chargé d'électricité bien qu'étant au potentiel zéro. C'est, le cas, par exemple, d'un conducteur, en communicalion avec le sol, dont on approche un corps électrisé.

824. Définition mathématique du potentiel électrique en un point. — On ne peut définir mathématiquement d'abord le potentiel d'un conducteur électrisé. On doit commencer par définir le polenliel en un point,

Le cas le plus simple est celui d'un point M qui se trouve dans un champ électrique réduit lui-même à une masse électrique 4, concentrée en un autre point À qui serait silué à une distance r du point M,

On appelle potentiel en un point M le rapport de la masse agissante g à sa distance r au point M, qu'on suppose chargé de l'unité d'électricité positive (fig. 740). On le désigne ordinairement par la lettre V, et l'on écrit

Fig. 740, Fig, TH, Y étant positif où négatif suivant que la masse électrique agissante est positive ou négalive.

1. On à l'habitude de rapporter le sens des bdhaniges MEME vaine ment de l'électricité positive.

CONSÉQUENCES DES LOIS DE COULOMB. 850 825. Propriétés du potentiel. — Cette fonction possède les propriétés sui-

vantes : :

L. Expression du champ électrique. — Si l'on prend le rapport +) de l'accroissement AY de la fonction Ÿ à l'accroissement Ar de la variable r, el qu'on fasse tendre Ar vers séro, le rapport ns tend vers une limile, qui, prise en signe contraire, représente en grandeur et en signe la force électrique en ce point.

En effet, si la charge q est positive, elle exerce en M (fig. 741), sur une masse positive égale à 4, une force répulsive représentée par F = & F étant positif.

Or le potentiel en M est positif et égal à À; si l'on donne à r l’accroisse-

ment Ar, le potentiel devient == Y+aVYetl'ona

r+ar

av 1 q 1) LL = :

àr Gr \r+ar r) m+ror En faisant tendre Ar vers zéro, le dénominateur tend vers r* et l'on a

:.. AV __—g . him AY 2 4 lim. es 3 d'où (aim. Sr) = à = F.

Rewanque. — On arriverait au même résultat en conkidérant une masse q d'électricité négative *.

IL Composantes du champ électrique.

— Le système des points À et M étant rap porté à trois axes rectangulaires, Or, Oy, Os (fig. 742), le point M sera défini par trois coordonnées z, y, 3 et le point A par trois autres coordonnées z,, y,, 3,; la distance r de ces deux points sera donnée par la formule connue

Par conséquent, le potentiel Y du point M, qui est une fonction de r, sera nécessairement une fonction des trois coordonnées z, y, z. Si l’on donneèrun /# accroissement Ar, les coordonnées pren- Fig. 742. dront des accroissements correspon- ’

ie F 2 à AA

dants 4z, 4y. 43. De même qu'on a considéré le rapport ne on pourra con-

Se av av av + à sidérer l'un des rapports SZ" °u FT ou De mème qu'on a calculé

1. La limite du rapport = est ce qu'on appelle la dérivée de \a Tonrhon X par rapport à la variable »°.

la limite du rapport T quand on fait tendre Ar vers zéro, on pourra calculer

NE AV aY av les limites correspondantes des rapports =? y"

Cela posé, si l’on veut obtenir la composante de la force électrique qui s'exerce en M, suivant l'une quelconque des directions Oz, Oy, Oz, on n'aura qu'à appliquer la propriété suivante du potentiel :

La limite du rapport ns » prise en signe contraire, représente en grandeur et en signe la composante de la force électrique suivani la direction Oz. On aura donc : F; = — lim. (©) On aurait de même av av

RES et F = — lim.

en appelant F;, Fy, F; les composantes de la force F suivant les directions Or, Oy, Oz.

On a en effet (1) Fe 2652),

Or, si l'on calcule, par le procédé indiqué précédemment, LL on trouve ,.. AV __ qg(r—7,) [21 lim. EL et

En comparant les équations [1] et [2], on a donc

On aurait de même = AU UD) D qu p, 2 2625) D nn.

Fy = nc ce lim. rs et Fi: = “= = — lin. EYE

REesaxrque. — Le potentiel permet donc de trouver, non seulement la valeur de la force électrique au point considéré, mais encore les composantes de cette force suivant une direction quelconque.

Il. Expression du travail électrique — Le travail effectué par la force électrique, pour déplacer l'unité d'électricité positive entre deux points M et M' du champ, est représenté par la variation (prise en signe contraire) du potentiel entre ces deur points.

On a donc

Si l'on imagine que l'unité de masse positive se déplace dans le champ, de Men M', sous l'action de la force Electrique (fe. 7411, celle-ci exécute un travail qu'il est facile d'évaluer, W atit dapplianer Va RMriion velatise au travail d’une force variable en grandeur et en direction, qui rail de a Lomme des lravaux des composantes À r Nue

[= 1 » travail qui est égal à \a somme

dont la direction est constante. En appelant r et r’ les distances des points M et M', on trouve, tout calcul fait,

- 4 mn 4: Bi = et Vs donc w (V'— Y). C 0.Fr.pb.

Or on a

On a ainsi une signification mécanique de la différence de potentiel entre deux points, qui est la même si on augmente d’une mème quantité Cle potentiel en tous les points du champ considéré, car cette constante C s’élimine dans la différence. '

IV. Signification du potentiel dans le cas où l'on fait C—0. — Si le point M', au lieu d'être un point voisin de M, s'éloignait jusqu'à l'infini, on aurait r’ — æ et

par suite.V’—0, puisque V' est toujours égal à “ On s alors, d'après l'équa-

tion précédente, W = Y. On peut donc dire alors que le potentiel en un point est numériquement égal au travail qu'effectuerail la force électrique en ce point pour repousser l'unité d'électricité positive, depuis M jusqu'à l'infini. Ce travail serait évidemment le même, en valeur absolue, si la force attirait l’unité de masse positive depuis l'intini jusqu'au point considéré. Remanque. — On pourrait, comme on le fait quelquefois, prendre cette propriété du potentiel pour définition : on en déduirait alors, comme propriété,

la formule Ÿ = 1.

826. Potentiel en un point dû à un système quelconque de masses électriques. — Nous avons examiné jusqu'ici le cas où le champ électrique est constitué par une seule masse électrique agissante; de ce cas simple on passe naturellement à celui d'un champ électrique constitué par un nombre quelconque de masses électriques agissantes. Ces masses peuvent être distinctes, ou bien réunies en un conducteur unique électrisé.

La définition du potentiel est la même : il est égal à la somme

des quotients + £, F -.., qui correspondent à chacune des

masses agissantes sur le point M. On a donc

V=t+£+ht...2z ;

Chacun des termes de cette somme est positif ou négatif, suivant la nature de l'électricité concentrée au point correspondant, et le potentiel est la somme algébrique de ces quotients!.

1. Dans le cas où les masses électriques sont distinctes, on oblient \e ken en faisant une simple somme algébrique. Dans le ess où Ve Auïde GENE WRE surface continue, de forme géométrique détinie, on cakeule en génëral \e DoXeT-

tiel à l'afde des procédés du Caleul intégral.

wi ÉLECTRICITÉ STATIQTE.

bee prie du paies ent cmactcmruf les mêmes dans le es d'u opatésex de men Éhririques que dans Le cas €ame seule masse agissante : c'es Le sou de Lo rm de celte moine.

Lo Srrs brairvque tn M est a riedtante des forces cencouruntes qui . ë des diverses ï mamres (fg. 345).