CHAPITRE Il

DÉTERMINATION DE L'INTENSITÉ DE LA PESANTEUR. —- PENDULE. EXPÉRIENCES DE BORDA. — APPLICATIONS DU PENDULE,

ot. Procédés divers de détermination de g. -— Nous avons démontré que l'intensité de la Pesanteur est représentée par le méme nombre que l'accélération g de la chute des corps dans le vide, Par conséquent, tous les moyens qui nous ont servi à vérifier les lois de la chute des corps pourraient être utilisés pour mesurer g.

Mais ces mesures comportent de nombreuses erreurs, dues aux frottements des organes et à la résistance de l'air, qui enléveraient toute précision au résultat final. Aussi a-t-on eu recours, pour mesurer g avec exactitude, à une autre méthode, déduite des lois du mouvement pendulaire et fondée sur l'emploi du pendule.

51. Pendule. —- 1° Définitions. — On dit souvent qu'il ÿ a denx sortes de pendules : le pendule simple et le pendule composé. En réalité, il n'existe en physique qu'un seul pendule : c'est le pendule .omposé. Tout corps pesant qui est mobile soit autour d'un point tise, appelé centre de suspension, soit autour d'un axe tie horizontal, appeléare de suspension, constitue un pendule composé.

D'après cette définition, le pendule peut avoir une forme quet-

couque; on lui donne habituellement celle d'une masse métallique, à surface sphérique ou lenticulaire, soutenue par un fil ou par une tige rigide également métalliques. Un fil à plomb (fig. 15) est l'exemple le plus simple de la première forme : le point d'attache de l'extrémité supérieure du fil est le centre de suspension. Les balanciers d'horloge des figures 21 et 54 représentent les types de pendule les plus usuels. L'axe de suspension est réalisé tantôt par l'arête vive, ou couteau, d'un prisme triangulaire en acier, qui est encastré dans la tige du pendule, perpendieuluirement à sa longueur (fig. 55), tantôt par une lame d'acier, mince et flexible, qui soutient la tige du pendule et qui se courbe légèrement à chacun de ses mouvements (fig. 58). Toutes les fois qu'on parle de pendule en physique, c'est de l'un de ces appareils qu'il est question.

Quant au pendule simple où pendule idéal, ce n'est point un pendule; c'est une conception théorique absolument irréalisable dans la pratique, puisqu'on le définit : un point matériel pesant, suspendu, par un fil imextensible el sans poids, à un point fixe autour duquel il peut se mouvoir librement. Cette conception est utilisée dans l'étude mathématique du mouvement pendulaire où oscillatoire.

2% Mouvement oscillatoire. — Tout pendule abandonné à luimème prend, comme un fil à plomb, une position d'équilibre stable : cette position est telle, que la verticale de son centre de gravité rencontre l'axe de suspension.

Imaginons qu'on coupe le pendule par un plan vertical passant par son centre de gravité G el perpendiculaire à son axe de suspension, et prenons cette section pour plan de la figure 45. Le pendule est représenté par la figure plane 06, et son axe de suspension, qui coupe le plan au point O0, est représenté par ce point. Dans la position d'équilibre, la verticale du centre de gravité G va passer par le point O, et par suite le poids P du pendule, appliqué eu G et dirigé suivant la verticale, est détruit par la résistance du point fixe : il n'a pas de composante horizontale, qui puisse entrainer le pendule dans le sens où il est mobile, c'est-à-dire perpendiculairement à la verticale 0G, Menons dans le plan, avec un rayon égal à 0G, un are de cercle A’ HA, : si nous dérangeons le pendule de sa position d'équilibre, son centre de gravité se déplacera sur cet are de cercle, comme un point matériel pesant qui serail assujelti à s'y mouvoir,

Amenons le point G dans la position À,, de telle manière que Ja tige du pendule fasse un angle «, égal à HOA,, avec sa position

Zniliale. La direction du poids P ne passant plus par Le point fixe,

ce poids peut se décomposer en deux forces : l'une P,, dirigée dans le prolongement de la tige, et l'autre P’,, dirigée suivant la tangente à l'arc HA. La composante P”, est détruite par la résistance du point fixe; mais la composante tangentielle agit pour entrainer le pendule suivant l'arc À, H et pour le ramener vers sa position initiale d'équilibre.

On voit, d’après le rectangle des forces A, P', PP”, (fig. 45), que cette composante P, est égale à P sin a:

la force accélératrie est donc proportionnelle au sinus de l'angle d'écart, et elle diminue en même temps que cet angle d'é cart. En M, par exemple, lorsque la tige du pendule ne fait plus qu'un angle 6 avec la position initiale, on voit, d'après le rectangle des forces, que la composante tangen- Fig. 45.

tielle est devenue P” et n'est plus égale qu’à P sin 6; cette composante est complètement annulée lorsque le pendule a atteint de nouveau sa position initiale OH. ;

Mais il ne s’y arrête pas, car il ne se trouve plus du tout dans les conditions initiales. En passant de la position OA, à la position OH, il est tombé d'une certaine hauteur }, qui est égale à la variation de niveau À” H de son centre de gravité. Il a donc acquis en tombant une certaine puissance vive, qui est déterminée par le théorème des forces vives et qui est égale au travail moteur de la pesanteur pendant la chute, c’est-à-dire à Ph. Le pendule continuera donc son mouvement et dépassera la verticale, entraîné par cette vitesse acquise.

Or, si l’on répète en un point quelconque de l'arc HA, la même construction qu'au point M, on constate que la composante tangentielle P’, du poids est dirigée en sens inverse du mouvement ; la pesanteur agit donc comme une force relardatrice pendant cette deuxiëme phase du mouvement, et elle enlève peu à peu au

pendule La vitesse qu gl «- sat

cente. Il arrivera donc

se retrouvera dans 1 mêmes spa Een PE ui lorsqu'on l'avait écarté pour la première fois de sa te quilibre : il aura accompli une première période de nouvement ; à cé wouvembnt se conliquere de la He, DE à te plus ou moins longue de périodes analogues qui constituent le mouvement oscillatoire.

On nomme oscillation simple le passage d'une position « du pendule à l'autre position extrême, de part et d'autre d verticale. La période ou oscillalion complète sé d succession de deux oscillations simples, de sens opposés. L'angl HOAÇ— « qui mesure le déplacement angulaire de. chacun points du pendule, s'appelle amplitude de l'oscillation.

Remanque, — Si la pesanteur était la seule cause retardatrice du mouvement, ; comme elle en est la seule cause accélératrice, le a US ment cer mure du point de départ À,, comme dans le cas théorique du dute simple, En effet, je ARce tu lo pandas à 00 AA PRESS hauteur À ne pourrait être anéantie qu'à la suite d'une ascension égale à ls chute, De même, le pendule s'élèverait jusqu'au point À, dans son de retour, et la période oscillatoire serait constituée par les deux pores simples, absolument identiques. Par suite l'amplitude resterait invariable, et le mouvement du pendule, une fois commencé, durerait indéfiniment. Mais il RAS est jus ainsi, parce que deux causes, étrangères à la pesanteur, concouren sans cesse à retarder le mouvement oseillatoire pendant les phases Pre ce sont : 1° lu résistance de l'air; % le frottement, plus ou moins atténné, mel toujours sensible, qui se produit inévitablement sur l'axe de suspension.

58. Lois expérimentales du pendule. — Les lois du mouvement pendulaire proprement dit, trouvées par le calcul, ne peuvent pas s'appliquer rigoureusement au mouvement d'un pendule ordinaire. 1 a donc fallu étudier directement celui-ci par l'expérience, qui a conduit aux lois suivantes :

4° Lor ou DÉCROISSEMENT DES AMPLITUDES, — L'amplitude des oscillations décroit en progression géométrique lorsque leur nombre croit

arithméti

e ique.

“tte loi fut découverte par Borda et vérifiée ensuite par Biot et par plusieurs autres expérimentateurs. Toutes les suivantes ont été découvertes par Galilée, et sont, par conséquent, de beaucoup

anférienres,

Ds

9 Lot n& L'ISOCHRONISNE DES PETITES O6CILLATIONS, — Ün peut énoncer cette loi de deux manières :

L Les petites oscillations d'un pendule sont isochrones' que. a l'amplitude; ou bien, la durée d'oscillation d'un ares

de son amplitude, pourvu que celle-ci soif petite. ne ou l’autre de ces énoncés a la même signification. On a vu que les amplitudes d’un pendule ordinaire, oscillant dans l'air, décroissent d'après la loi précédente. Les durées d’oscillation du pendule commencent nécessairement par décroître aussi, en mime iemps que ces amplitudes; mais, à partir d'une certaine veur de l'amplitude (environ 2 ou 5°), la diminution dans la drée n’accompagne plus la diminution dans l'amplitude : celle-ci œtinuant à décroître, la durée reste constante. Cette durée d'oscillation (pour les petites amplitudes) est donc un caractère sécifique d'un pendule déterminé.

S° Los nes Loncuxuns. — La durée des oscillations (de faible amplitude) d'un pendule est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du pendule.

Dans cet énoncé, l'expression longueur du pendule a le sens particulier, et tout expérimental, que lui donnait Galilée. 1l opérait avec des pendules analogues à ceux de la figure 46, constitués tout simplement par une boule sphérique pesante, suspendue à l'aide d'un fil de poids négligeable : la longueur de chaque pendule était la longueur totale du fil de suspension, augmentée du rayon de la boule. On verra plus loin ce qu'il faut entendre exactement par longueur du pendule.

4 Los pes scBsraxces. — La durée des oscillations (de faible amplitude) d'un pendule est indépendante de la substance dont il est fait.

ce veut dire que des pendules, de mème longueur, constitués par des sphères de substances différentes, ont même durée d'oscillation, à partir de l'amplitude pour laquelle l'isochronisme est atteint.

Revangce. — Cette loi n’est pas autre chose, sous une forme nouvelle, que la première loi de la chute des corps, à savoir que la pesanteur agit également sur toutes les substances : d’où il résulte que tous les corps tombent également vite dans le vide.

59. Vérification expérimentale des lois du pendule. — On se sert, pour vérifier ces lois, de pendules composés qui se rapprochent autant que possible de ceux que Galilée employa pour les découvrir. Ce sont de petites sphères, de substance très dense,

1. c'est-#-dire de même durée, de fro;, égal et ypéve;, 1er ps

comme le plomb ou le platine, suspendues par fs très Ha el EU fine dent Le sole nt RMI TEE pr:

pour la longueur de ces pendules, comme nous l'avons déjà di distance du centre de la sphèr au point de suspension.

La méthode” générale de cation est la suivante : On

100 oscillations simples à l'aide d'un chronomètre qui marqu quart de seconde, Cet ir

de pousser dans un sens où dans l'autre pour faire partir |” ou pour l'arrêter, Soit © la totale de la série, et soit A’ ange

durée de l'oscillation et AE pour amplitude moyenne.

du pendule par une même position dans un même sens. Il sufût de lire, au chronomètre à pointage, six passages, par exemple, au commencement de l'ex- + ut se toto Les époques de ces passages font connaitre, par leurs ; différences, la durée moyenne de l'oscillation, ainsi que l'instant Gnal et l'ins tant initial de l'expérience. Ces deux instants limitent une durée qui comprend un nombre entier de périodes. En divisant donc cette durée par la durée moyenne approchée de la période et prenant le nombre entier N, le plus voisin du quotient obtenu, on a le nombre exact des ar RS effectuées par le pen-

dule dans un temps connu 4, Par suite le quotient à fait connaître la véritable durée d'une oscillation.

1° Loi des amplitudes. — Borda donnait à son pendule une très petite amplitude initiale; elle ne dépassait pas 1/3 de degré. Elle se réduisait aux 2/3 environ de sa valeur après 1800 oscillations.

Biot confirma la loi de Borda pour des amplitudes bien plus grandes. ss dans l'une de ses expériences, l'amplitude initiale était supérieure à 1°; elle

élait rédoite aux 0,6 environ de sa valeur après 7000 osc\\atons.

2° Loi de l'isrhronisme. — On comme successivement plusieurs sbres de

W acillatioas, à partir d'un angle d'écart déterminé. L'amplitude moyenne de sas décroit peu à peu. En comparant les durées moyennes succe»-

es À, UE on constate qu'elles diminuent en même temps que les

sp mr MA... — tant que celles-ci soat grandes, —

ms qu'elles atteignent une valeur constante dès que les amplitudes ne dé-

put pes 2 ou 3

? Loi des . — On fait osciller des pendules dont les longueurs sont œtre olles comme Les nombres {, 4 (fig. 46). On constate que les durées d'oscillien croiment comme les nombres 1, 2.., c'est-à-dire comme les racines arrées des longueurs.

+ Lei des substances. — On suspend à un même support (8g. 46) plusieurs padnies, B, C, D, de même longueur, constitués par des sphères de même dismètre, mais de substances très différentes, par exemple en platine, en fer, ou a verre creux rempli d'eau. On écarte ces trois pendules d'un même angle ét en les abandonne au même instant : on voit que leurs cecillations sont istéfniment concordantes. Ou bien, plus simplement, on mesure leurs durées d'ucillation (pour une petite amplitude) et l'on constate que ces durées sont

égales, malgré l'influence

saiblemmest perterbatrice de l'air. 0

60. Comparaison du pendule composé a én pendule simple. — 1° Analogie AU des lois. — ]1 n'y a pas d'inconvénients 4] âemployer l'expression pendule simple, PT quand on y attache le sens précis indi- / Le qué precédemment (57). Elle est même JS $ très commode pour énoncer d'une ma- s dd mure concrète les lois du mouvement ; !

peadulaire proprement dit, c'est-à-dire » / du mouvement oscillatoire d'un point matériel pesant M, assujetti à tomber sur un arc de cercle A, HA, (fig. 47), atué dans un plan vertical, et orienté *ymétriquement par rapport à la verticale Oz du centre du cercle 0. La lonsueur À du pendule simple, c'est le rayon OH ou UA, de l'arc, et le centre O0 Fig. 47. du cercle devient le centre de suspen- “on du pendule simple ou la trace de l'axe de suspension sur le plan de la trajectoire.

Loi de l'isochrunisme. — On démontre, en Mécanique rationnelle, que la durée de l'acillation simple du pendule simple est donnée, dans le cas d’une amplitude finie quelconque «, par la formule

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nous pourrons écrire T Lt V= {+ ll).

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La durée d'oscillation du pendule simple, dans le cas d'une amplitude quel-

conque, est donc exprimée par la somme de deux termes, l'un + À qui est

constant et indépendant dé l'amplitude, et l'autre qui est une fraction du pn'cédent, représentée par une fonction de «. Donc, en réalité, pour le pendule simple comme pour le pendule composé, la durée d'oscillation dépend de l'«mplilude et diminue en même temps que l'amplitude.

D'autre part, le terme variable R est une très petite fraction du terme consant, [l est en effet constitué par une série très convergente dont la sormme tend rapidement vers zéro quand l'amplitude diminue, Par exemple, si l'on ealcule À pour « = 4° et {= 1 m., on trouve une fraction au plus égale à 0,000: pour une amplitude inférieure à ®, le terme R serait une fraction complètement négligeable. On peut donc dire que pour le pendule simple, non seulement la durée des peliles oscillations est indépendante de l'amplitude, mais encore que cette durée, pour des amplitudes indéfiniment décroissantes, tend vers une valeur-limite, exprimée par la formule