T — VE

pour les oscillations infiniment petites.

On la prend encore sous une troisième forme, lorsque les oscillations, sans être infiniment petites, sont d'assez faible amplitude pour qu'on puisse négliger toutes les puissances du sinus supéneures à la deuxième et remplacer le sinus par l'are lui-même.

On à alors LE VE Vlr+: + — 5

C'est sous cette dernière forme qu'elle à été utilisée par Borda pour la détermination de g.

Dans toutes ces formules, le coefficient L a la valeur TP Ma

Par analogie avec la formule du pendule simple, on donne au coefficient L'le nom de longueur du pendule composé. Un voit que cette longueur représente celle d'un pendule simple qui aurait La mème durée d'oscillation que le pendule composé. Cest pourquoi on appelle encore ce coefficient longueur du pendule simple synchrone! du pendule composé.

Rewanque. — On peut concevoir sans calculs l'existence néces saire du pendule simple synchrone d'un pendule. En effet, si les divers points inatériels qui le constituent étaient isolés, ils décriraient leurs oscillations dans des temps d'autant plus longs qu'ils sont plus éloignés du point de suspension. Or, tous ces points étant invariablement liés entre eux, les durées de leurs “scillations sont nécessairement ramenées à une valeur moyenne “omimune. Par suite, le mouvement des points les plus rapprochés de Faxe de suspension se trouve retardé, tandis que celui des plus éloignés est accéléré, Entre ces deux positions extrêmes, il y a done des points qui ne sont ni accélérés, ni retardés, et qui

De 4, avec, et paies, temps, c'estädire qui à des oscillations de mére

durée.

oscillent comme s'ils n'étaient pas liés au reste du systéme. Ces points sont équidistants de l'axe de suspension et leur ensemble forme une ligne parallèle à celui-ci, qu'on appelle axe d'oscillalion. L'un quelconque de ces points matériels constitue évidemment un pendule simple synchrone du pendule composé. Tous ces pendules simples ont une même longueur, qui est la distance de l'axe de suspension à l'axe d'oscillation : c'est évidemment la longueur du pendule simple synchrone,

62. Cinquième loi du pendule. Loi des intensités. — 1° Énoncé. — La formule du pendule, dans le cas des petites oscillations, indique une nouvelle loi, qui avait échappé à Galilée, On peut en donner deux énoncés :

L La durée d'oscillation est inversement proportionnelle à la racine carrée de l'intensité de la pesanteur.

En effet, soient g' et g” les intensités de la pesanteur dans deux lieux différents où l'on fait osciller successivement le même pendule, on aura, d'après la formule, pour les durées T’ et T” d'oscil-

lation , L EL Te VZ et T'= r\) —ÿ f

En divisant ces deux égalités membre à membre et en simplifiant, on a É

T' A g' Li g Ro, ? Da Il. On déduit de cette équation \ f — — AU LP: T° Vg =1T" Vg"—= constante.

\ # A Cette équation signifie que, pour un penfI\ dule de lonqueur donnée, le produit de la f \ ng P di) Li? durée d'oscillation par la racine carrée de 4 \ l'intensité de la pesanteur est un nombre p CN MB; constant.

Ç Os

2 Vérificalion expérimentale, — On se sert d'un Fig. 48. srlifice expérimental analogue au principe de Îa machine d'Atwood.

On constitue un pendule composé avec deux fortes masses en plomb, l'une ,

À, d'un poids P, et l'autre B, d'un poids P + p, fixées aux extrémités d'une règle de sapin, dont le poids est négligeable. Perpendiculairement à la règle et en son milien 0, on encastre un couteau d'acier à arète horisontale, qui sert d'axe de suspension. On à ainsi un pendule composé, de longueur sensiblement égale h

Mig. 48), et de masse égale à 2M+m, sollicité par lo seul poids p, car In railanté des deux poils PF passant par le milieu O du système est constamnst annulée par la résistanes du support. Par coundquent, l'uccélération sera limmuée, comme dans la machine d'Atwood (46, 1*), dans le rmpport de

nn ou de P LM + m ep

preaant P constant et égal à 1 kilogr, par exemple, et donnant à p succossement les valeurs

te æœiie [re

1 =» (de kilogramme),

murs pour g le< valeurs correspondantes

1% 5% Ge

En mesurant les durées T’ correspondantes à chaque cas, on conslatera qu'elles sant entre elles comine les nombres %, 3, 4.

5. Longueur du pendale simple synchrone : autre formule, — Nous avons vu que La longueur d'un pendule composé, ou, ce qui revient au même, la loneueur de son pendule simple synchrone, est donnée par la formule

Le moment d'inertie 1 du pendule, qui entre dans cette formule, est pris par rapport à l'axe de suspension. En le remplaçant par le moment d'inertie J, pris par rapport à un axe parallèle à l’axe de suspension et passant par le centre de gravité G du pendule, on donne à la formule précédente une forme plus commode pour les applications.

On démontre, en effet, que l'on a, entre I, J, M et a, la relation

1= 7 + Mo!

où bien, en adoptant pour J Ia notation suivante : J— MK* (K étant une constante), 1=M(K'+a!); d'oû l'on déduit k:

Remanqurs. — 1° La constante K, définie par l'équation J—MK°, s'appelle le rayon de giration du pendule.

? On peut se rendre compte de l’erreur commise dans la vérification des lois expérimentales du pendule composé, lorsqu'on prend pour longueur des pendules sphériques la distance du point de suspension au centre de la sphére. En effet, soit d cette distance et r le rayon de la sphère. En calculant le rayon de riration d'une sphère par rapport à l'un de ses diamètres, on le trouve égal à

in. On a donc, pour la longueur vraie du pendule, c'est-à-dire pour la longueur du pendule simple synchrone,

Jen ségiigrent ls masse dn fl qui soutient ja boule). Or,

au lieu de cette \on- |

70 PESANTEUNR.

gueur L, on prend une longueur {— d. L'erreur commise est done (L— 1), c'està-dire Ha Pour d—1" etr=%, ce terme correctif est inférieur à 1/4, Il n'est donc pas étonnant que celle faible différence n'influe pas sur la vérifie lion des lois,

66. Théorème d'Huygens : Réciprocité de l'axe d'oscillation et de l'axe de suspension, — Pendules réversibles. — 1* léfinilions, — Soit XX' l'axe de suspension d'un pendule composé (fig. 49): lorsque le pendule est au repos, le plan vertical passant par XX’ contient le éentre de gravité G; par suite, la verticale du point G va couper l'axe XX' en un certain point O0, La longueur OG est la distance du centre de gravité à l'axe de suspension : c'est ce que nous avons appelé «. Si, à purtir du point G, nous prenons ç le prolongement de 0G une

longueur GQ, égale à £. la longueur O0 (- a +) est la longueur du pendule