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Kia a | x : PÉm t D at Fig, 49. Fig, 50.

composé. Un point matériel placé en O, et relié au point fixe O par un fil ©, ©, inextensible et sans poids, constituerait un pendule simple synchrone du pendule composé. Les points 0, et O, qui sont conjugués, s'appellent quelquefois, le premier, centre d'oscitlation, et le deuxième, centre de suspension.

Menons par 0, une droite YY' purallèle à l'axe XX°. Un point quelconque M de cette droite, étant rejoint à l'axe XX" par une droite MO’ parallèle à O, 0, les points conjugués M et 0’ se trouvent dans les mêmes conditions que les points 0, et 0, En effet, si l'on place en M un point matériel, et qu'on le relie an point fixe 0’ par un fil inextensible et sans pote on constituera un pendule simple,

K : R ayant une longueur MO'—0,0—a +" qui, par suite, sera synchrone du pen-

dule composé. Il en sera de même de tous les points de l'axe YY'. C'est pourquoi l'on appelle cette droite l'axe d'oscillation du pendule composé. Nous l'avions déjà définie plus haut (61). Elle jouit d'une propriété qu'a découverte Huygens :

de Tutonèwe, — L'axe d'oscillation d'un pendule composé est réciproque de

son axe de suspension.

Cela veut dire que, si l'on suspend le pendule par l'axe YY', de maniëre que 1xe d'oscillation devienne l'axe de suspension, réciproquement l'axe de suspension primitif XX' deviendra axe d'oscillation (Mg. 50) ; autrement Mn, ke Ven des

72 lMESANTEUR.

Il suffira donc d'évaluer L, longueur du pendule simple synchrone du pendule employé. Si L est mesuré en mètres et la durée T en secondes, le nombre g sera rapporté au métre et à la seconde.

Cette méthode, imaginée et indiqnée par Huygens, fut, pour la première fois, appliquée avec succès par Borda. Nous allons exposer les expériences de Borda, qui sont classiques. Nous dirons ensuite quelques mots des anciennes expériences de Kater, ainsi que des expériences toute récentes du commandant Delforges, faites avec des pendules réversibles.

66, Expériences de Borda. — 1° Méthode. — Borda employa la méthode d'Huygens, mais non la formule-imite du pendule, 1 se servit de la formule

r=<VE(14 5),

qui représente très exactement la durée d'une oscillation de très faible amplitude, mais non infiniment petite. Ses expériences comportaient done plusieurs mesures de pré-

€ cision :

Li à Mesure de T, durée d'une oscillation simple; B

Mesure de L, longueur du pendule simple synchrone du pendule employé; ”

Mesure de x, amplitude des oscillations dont il mesurait la durée,

2* Description du pendule de Borda. — L'appareil se compose de deux parties bien distinètes : le pendule proprement dit, À, et le couteau de suspension B (fig. 55).

A. Le pendule proprement dit est formé d'une lourde sphère en platine (d'environ 36 millimètres 1/2 de diamètre), soutenue par un fil métallique très fin. (Le fl de Borda était eo fer; Biot y substilua un fil en cuivre, pour le soustraire à l'influence magnétique de la terre.) Le fl y était fixé par l'intermédiaire d'une calotte métallique très mince ce, s'adaptant exactement sur la surface sphérique : le simple contact des deux surfaces, préalablement enduites d'une mince couche de suif, suffit pour en maintenir l’adhérence,

Fig. 53. et la masse du pendule se trouve ainsi suspendue au fil.

B. L'autre extrémité du fil est attachée à un couteau de suspension B, pareil

à celui des horloges, C'est une pièce cylindrique en métal, dans laquelle est

encastrée, perpendiculairement à sa longueur, un prisme triangulaire en acier. L'axe de suspension est réalisé par l'arête horizontale dd du prisme, reposant

74 lESANTEUR.

fer, attaché à des supports qu'on avait scellés dans une muraille solide (fig. 54).

5" Mesure de la durée d'une oscillation. — Méthode des coincidences. — On pourrait employer le procédé que nous avons exposé ci-dessus (59) pour ln vérification des lois du pendule, Borda employa une autre méthode de mesure, qui est la méthode des coincidences, imaginée par de Mairan.

Principe de la méthode, — On dispose le pendule devant le balancier d'une horloge à secondes (fig. 84), de telle manière que : 4* pendant }s marche des deux pendules, leurs plans d'ascillation soient parallèles; — 2 à l'état d'éqnilibre, les verticales de leurs centres de gravité se trouvent dans un même plan vertical, perpendiculnire au plan d'oscillation,

Supposons les deux pendules réduits à ces deux verticales (fig. 55), A l'état

de repos, le pendule P, se projette exne-

0 tement sur le balancier B,, pour un

observateur qui regarde dans l'aximut

hi O3. Il en est absolument de même lors hi que, pendant leur mouvement, les deux \ pendules passent, au mème instant, soit | dans le mème sens, soit en sens con-

1 traire, par l'aximul Os : on dit qu'il se

A produit une coïncidence, lorsque les

| À deux pendules se superpasent ainsi, en

LA marchant dans le mème sens.

Ce | AL Supposons qu'on observe leurs monve- 4 \ 74, ments simultanés à partir de l'instant +" d'une cofncidence, et que le pendule P, À marche un peu plus vite que le balanb-* cier, Celui-ci déerit d'abord l'arc B,A,, Or, dans le sens indiqué par la flèche, puis Pas Te Pi l'are A,B,, en sens contraire, ét passe

- par la verticale, au bout de 1 seconde, = avec une vilesse égale et opposée à «a « vitesse de départ; puis il décrit l'are Fig. 55. B, À, revient de À, en B,, et repasse par la verticale au bout de 2 secondes, avee la même vilesse et dans le même sens qu'au début. Pendant le mème temps, le pendule P, aura également décrit, deux fois en sens contraire, l'are Pots, puis l'arc P,a,; mais, comme il va un peu plus vile que le balancier, il aura repassé à la verticale plus tôt que celui-ci, &t il sera en P, à l'instant précis où le balancier sera en B, : il aura donc exécuté deux oscillations simples, plus un are P,P, : cet are est proportionnel à l'excès de la vitesse du pendule sur celle du balancier, et mesure l'avance du premier sur le deuxième, De même, au bout de deux autres secondes, quand le balaneier passera de nouveau par ss position iniliale, le pendule ne sera ni en P, ni en P,, il sera arrivé en P,, à une distance de la verticale P,P, qui est égale à deux fois l'avance P, P,. Et, ainsi de suite, entre deux passages consécutifs du balanciee par la verticale, le pendule exécutera deux oscillations simples, plus une avance constante, qui s'ajoutera aux avances précédentes. La somme de ces avances successives (qui constitue l'écart du pendule à l'instant du passage) s'accroitra done proportionnellement au temps et la coïîncidence né pourra plus se réaliser que lorsque ln somme des ares (P, P, + P, P, + ...) sera exactement égale à (Pia, + 4,8, + Pa, + a,P,), c'est-à-dire deux fois l'amplitude totale du pendule, La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y alt une première coîncidence est danc

1] E (are P,P,) = 2 (are an).

= Ts

Alesant de cette cofncidence, le pendule P aura nécessairement exécuté dx acillations simples de plus que le balancier. La conséquence de la coïncidence, c'est danc que

ia n=N+3,

en appelant N le nombre des secondes marquées par le balancier dans l'intertalle des deux coïincidences, et = le nombre correspondant des oscillations siuples du pendule. Les équations (1] et [2] résument tonte la méthode. Remsqres. — 1. On voit que la coïncidence ne sera mafhématiguemen! nalsable que si l'avance P,P, est exactement une partie aliquote de l'amplitade «; mais, pour qu'elle se réalise pratiquement, il suffira que l'avance soit très petite par rapport à l'amplitude «, c'est-à-dire qu'il y ait une très faible il , comme nous l'avons supposé ci-dessus, entre les deux durées d'oscil-

IL le pendule avait un retard, au lieu d'une avance, sur le balancier, il x'; aurait rien à changer aux raisonnements précédents, si ce n'est le signe de PP, et par suite La formule finale, qui deviendrait évidemment

C. Opérehon. — Les deux verticales étaient réalisées, dans la pratique, l’une jar le l même de suspension du pendule, et l'autre par un trait noir vertical, tracé sur un carré de papier blanc, qu'on collait symétriquement à la surface du balancier :8g. 54). On observait les cofncidences à l’aide d’une lunette immoble, placée à 10 mètres de distance, et orientée de manière que le trait vertical du balaneier fût exactement caché par le fil du pendule, dans la position d'équilibre. Enfin, les deux appareils étaient enfermés dans une cage vitrée, qui les préservait des agitations de l'air extérieur, ainsi que des variations de température. Plus tard, Biot entoura l'horloge elle-même d’une deuxième cage en rerre, intérieure à l’autre, parce qu'il avait remarqué que le mouvement du lalancier influencait le pendule par l'intermédiaire de l'air.

L'opération est des plus simples. 11 suffit de lâcher le pendule à un instant, qu'on note sur l'horloge, puis d'attendre tranquillement la production de deux cmincidences successives. Soit N le nombre de secondes, marqué par l'horloge, qui s’est écoulé entre les deux instants, on a, d’après la formule précédente, m:=N + 2, d'où l'on déduit, pour la durée d'une seule oscillation

: N Sople, T = =

Rewnoues. — IL. On comprend sans peine que l’observateur n'ait pas besoin de rster l'œil à la lunette pendant tout l'intervalle de temps qui sépare deux raincidences. La connaissance approximative de la durée d'oscillation du pendule lui permet de prévoir l'époque de la coïncidence : il n'a besoin d'observer qu'un peu auparavant.

IL. Ki l'on se trompe d'une oscillation sur l'instant de la coïncidence, il n'en r-ulte qu'une faible erreur. On peut s'en convaincre en faisant N successive- Inent égal à 4000, puis à 1001 dans la formule précédente : on en tire pour T les valeurs 0,993014 et 0,998016, qui ne diffèrent entre elles qu'à la sixième décimale. Cet exemple numérique montre quel est le degré de précision de la msthode.

& Mesure des amplitudes des oscillations. — Méthode. — L'opération précédote donne, non pas la durée d'une oscillation particulière, mnais la durée muyenne correspondante à n oscillations consécutives.

Si les oscillations étaient très petites, ji} n'y aurait pas à se préoccuper dr leur amplitude, puisque leur darée en serait indépendante, Mais, en réalité, Wamplitudes décroissent d'une mabiére continue d'après la loi même décou-

verte par Barda (58, 1*). Toutefois, si la durée de l'expérience est très courte, on peut admettre que les amplitudes successives u,,u3,#,..., am Sont pêu différentes chacune de l'amplitude moyenne obtenue en prenant la demisomme des amplitudes extrêmes ES 1 suffira donc de porter cette valeur de « dans la formule, et l'on aura alors

T=nr Vi {: + (us +20! =].

Opération. — Elle se réduit alors à mesurer deux amplitudes. 11 n'est pas absolument nécessaire de choisir la première et la dernière, ainsi que ln formule l'indique; la décroissance des amplitudes s'effectue par degrés si peu sensibles, qu'il suffit amplement de mesurer l’une des premières pour «, l'une des dernibres pour es. Pour cela, qn dispose derrière le pendule B (fig. 68) une échelle horizontale divisée en parties égales, à une distance connue du centre de suspension. On observe alors sur cette échelle les positions extrêmes du pendule à un instant donné, et l'on en déduit par un caleul trés simple la valeur de l'angle « correspondante à cette oscillation, — C'est celte valeur d'angle, et non l'amplitude elle-même, qui entre dans les formules précédentes,

5° Mesure de la longueur du pendule. — 11 ne reste plus qu'à mesurer la lonkueur du pendule composé, c'est-à-dire la longueur du pendule simple synchrone que représente le coefficient L dans la formule de T,

On a vu que celte longueur L est liée aux éléments géométriques du pendule

par la formule

dans laquelle « représente la distance du centre de gravité du pendule à l'axe de suspension et K* son rayon de giration, calculé par rapport à un axe passant par le centre de gravité.

Mesure de a. — Si nous supposons le pendule réduit à la partie que nous avons désignée par B, c'est-à-dire à la sphère de platine, à la calotte qui l'emboîte et au fil de suspension, la mesure de a est très simple. Le centre de grvité du système cofncidant sensiblement avec le centre de la sphère, il suffira de déterminer : d'abord ln distance verticale de l'axe de suspension à l'extréruité inférieure du diamètre vertical de la sphère. Cette distance d est égale à la longueur à du fl, augmentée du diamètre 2r de la sphère, On a

puis la distance de l'axe de suspension à l'extrémité supérieure du diamètre vertical de la sphère. On à évidemment

Êl d=i.

On déduira de ces deux lectures d — d' = %r, c'est-à-dire le diamètre de la sphère et RÉ TE RE 4.

Ces deux mesures se faisaient à l’aide d'un petit instrument de précision, ayant pour organe principal ce qu'on appelle une vis micrométriqne (fig. 68). Nous le décrirons plus tard (84) comme application de \a vis micrométrique.

Colcul ds moment d'inertie. — Si l’on suppose toujours le pendule P réduit Ah partie B (sphère, calotte et fil), son moment d'inertie se compose de celui &h sphère augmenté de celui de La calotte et de celui du fil.

0 mit que K*, carré du rayon de giration d'une sphère de rayon r, pris pr rapport à l'en quelconque de ses diamètres, est égal à © 7°, On à donc (en Wgligeant les rayons de giration du fil et de La caloite),

PT =? d'où min

Lesgueur du pendule simple synchrone. — On a donc enân, en réunissant lesies les mesures précédentes,

k' Ha L=a+—=it+r M ere

© Justification de ces opérations. — 1. En réalité le pendule se compose non sealement de la partie B, mais aussi de La partie À qui est le couteeu de suspersien; mais Borda avait réussi à éliminer l'influence de cette dernière au moyen d'un procédé très ingénieux. En déplaçant un écrou sur une vis verticale qu'un voit (fig. 53) au-dessus de B, il réglait la position du centre de gravité du couteau, de manière que celui-ci constituât un pendule composé, ayant la méme durée d'oscillation que le pendule complet. Dans ces conditions, Le couteau n'a pas d'influence sur le mouvement du pendule complet : tout se passe comme si celui-ci était réduit à la partie B, c'est-à-dire à la sphère, à la calotte etau fil.

ll. Borda démontra ce fait expérimentalement. 11 effectuait la mesure de n en employant successivement deux couteaux de poids très différents, mais réglés d manière à osciller seuls, synchroniquement avec le pendule total : il trouvait des nombres identiques dans les deux cas.

1° Causes d'erreur dans les expériences de Borda. — Correctiuns. — Pari ces causes d'erreur, les unes sont particulières et inhérentes aux procédés mêmes employés par Borda, les autres sont générales et résultent de l'emploi tuéme du pendule.

Celles-ci sont de beaucoup les plus importantes. Ce sont : {° l'influence de l'air : perte de poids du pendule en marche et obstacle à son mouvement par ridance et par viscosité; 2 l'influence des supports, qui enlèvent aussi au pendule une partie de sa force vive, par suite des vibrations que ses oscillations leur communiquent.

Quant aux causes d'erreur particuliéres, nous avons déjà signalé les principale : emploi d’un fil de suspension magnétique, influence réciproque des deux padules par l'intermédiaire de l'air de la cage, difficulté de saisir l'instant précis des coincidences, etc. .

MI. Clérier et Pierce ont établi, en 1880, des formules de correction trs prliques, qui tiennent compte de la poussée de l'air, de son entrainement et de sa riscusilé, ainsi que de l'ébranlement des piliers. Mais la correction la pins sûre consiste à prévenir les erreurs : c'est ce qu'a fait récemment M. le cummandant Defforges, dans une série d'expériences entreprises pour le service s“ographique de l'armée.

61. du commandant Defforges. — Pendule réversible et à couteaux échangeables. — Dès 1349, on fut conduit à la conception d'un pendule hifaitement symétrique et muni de deux couteaux échangeables, et dont les arètes soient à trés peu prés des axes réciproques. Un tel pendule pertuel d'éhimiser plosieurs erreurs: {‘par la réversion, l'erreur de la position du centre

lESANTEUR.

d'uscillation; 2 par la symétrie de sa forme, l'ellet Lotal du milieu avmdriant ;

3° par l'échange des couteaux, l'influence de la courbure de leurs arêtes. Cette

élimination exige d'ailleurs expressément que toutes les oseillations soient effectuées dans les mêmes limites d'amplitude, Le commandant Defforges a fait construire par les frères

Brünner des pendules de ce genre pour ses expériences. Ms sont

formés d'un tube creux en laiton (fig. 56) de 1 mêtre de longueur, de 30 millimètres de diamètre et de 3 millimètres d'épaisseur, Lerminé par deux demi-sphères munies chacune d'une pointe cylindro-conique. L'appareil complet comprend deux pendules de mème poids, pouvant osciller successivement autour des mêmes couteaux el dont les arêtes sont distantes du 50 centimètres. Ces deux pendules ont des longueurs égales à 1 méêtre et 1,42, et leurs centres de gravité sont semblablement disposés, de telle sorte que l'on a

L'emploi de ces deux pendules ainsi établis permet d'éliminer, par uné combinaison convenable de leur durée Wd'oscillation théorique, les causes d'erreur ci-dessus énumérées, y compris l'effet de l'ébranlement des supports,

ü8. Résultats des diverses mesures de y à Paris. — Les résultats de toutes ces expériences se présentent habituellement sous deux formes :

1° Sous la forme directe de g, c'est-à-dire de l'aecélération cherchée,

2% Sous la forme d'une certaine grandeur liée à la valeur de g par une relation très simple et qu'on appelle longueur du pendule qui bat la seconde, C'est la longueur du pendule simple synchrone d'un pen dule composé qui aurait précisément pour durée d'oscillation À seconde ; celle grandeur est évidemment donnée par la formule du pendule, où l'on fait T—1", On a

L, "€ q ="? d'où L, == = V= pe

Cette grandeur, étant proportionnelle à g, peut servir à représenter g. ref : ur:

Les expériences faites par Borda à l'Observatoire de Paris (in-

complètement corrigées de la poussée de l'air) ont donné :