PRESSIONS SUR LES PAROIS DES VASES
lual étant la résultante des poids de ces deux volumes partiels, le entre de granit du volume Lotal est situé sur Ja ligne G,6G,, entre les deux points 6, a 6, et la projection de <e point sur la paroi secs lo rentre de pression.
Un voil que ce point sera nécessiirement au-dessous du point O, centre de pravité du rrelangle et, en oulré, aisément que, lorsque la portion de porni s'enfonce dans le liquide, son centre de pression remonte vera son centre de gravité, tout en restant au-dessous de ce point,
110. Pressions sur l'ensemble des parois d'un vase, — Tnosb. — Dans un liquide pesant en équilibre, toutes les pressions exercées sur l'ensemble des parois du vase qui le contient, quelle que soit sa forme, ont une résultante unique, dirigée de haut en bas, et
égale au poids lotal du liquide.
Le théorème, comme les précédents, est un corollaire du théorème fondamental, On peut le démontrer de deux manières,
synthétiquement el analytiquement,
Démonstralion synthétique, — Soit un liquidé pesant on équilibre dans un vise qui le conlieat. Le liquide et l'ensemble des parois du vase constituent a systéme matériel en équilibre sous l'influence dé deux systèmes de forces opposées : d'une part, les poids des molécules liquides, qui ont une résuliante unique égale au poids total du liquide; d'autre part, les résistances ou réactions, [PV f", que les éléments de paroi opposent aux éléments liquides juxtaposés, Ce dernier système, faisant équilibre au premier, à nécessairement une résulüaote unique, égale et opposée au poids total du liquide, Or ces réactions élémentaires des parois sant égales ét opposies, chacune à chacune, aux pressions tlmentaires p, y, p° du liquide sur la paroi : donc ce dernier système a aussi une résultante unique précisément égale au poids total des liquides et dirigée dans le même sens. *
Démonstration analytique. — Elle consiste à considérer les pressions élémen-
taires p', p’... du liquide sur les
4 parois comme un système de forces
quelconques appliquées à un corps
solide, et à en chercher la résultante par la méthode générale,
Soit un vase de forme quelconque (fig. 100), HH' la surface libre du liquide, Oz, 0y, 0: trois axes de coor-
Fig. 100.
données rectangulaires quelconques. Soit un élément « pris autour d'un point X de la paroi. Soient p la pression au point M et «, 4, 7 les angies qu'elle fait avec les trois ares. E7 sppliquant Ja régle du parallélépipède des forces, on à$rompote Pen {rois composantes, qui ont pour inlersités respectives p cos «,
pcos 3 et p cos ; (fig, 401). En effectuant la décomposition sur chacune dés force) p, on à trois systèmes de forces respectivement parallèles à chacun des coordonnés, Chacun d'eux a une résullanté égale à la somme. Ces trois tantes partielles sont :
X=ZX(pcose), Y—=ZE(peoss), 2 = ZE(pcos:).
Analysons les Lermes qui constituent chacune de ces sommes,
Concevons un filet cylindrique parallèle à Or et circonscrit à l'élément | Mig. 101) : il découpera dans la partie opposée de la paroi un élément ', Solos p' la pression sur ce dernier élément et a’, #, + les angles que fuit sa direetia avec les axes, À chaque élément « de la paroi correspond de même un élémen »", el rien qu'un. Les composantes de la pression p' sont p' cos «', p' cos p' cos }. On peut done grouper Lous les termes de la somme X (p €0s a) pa
couples de deux, correspondant à w mème filet parallèle à Oz, et écrire
en : FLE X= ZX (p cos a + p'cosa).
W'4 s Or on a évidemment P=se el p'=2.
Si nous menons deux plans perpendi culaires à l'uxe en PQ et en PQ", nous avons deux sections droites du eylindn qui sont égales (fig. 10%. Soit « la grandeur de la section droite, PQ état Li projection de w, on à
Fig. 102.
PQ où à = w cos (180 — w) = — 1 COS m.
On a de même P'Q' où « = w' 00 a”.
On a donc
ea = w' COS = — COS &.
Substituons ces valeurs dans la somme X, il vient, toutes réductions faites, X = Lise — re) — 0.
On démontrera de la mème manière que Y est identiquement nul,
On peut appliquer le même mode de raisonnement à l'évaluation de La somme Z. On arrivera à une somme de bindmes tels que p cos 7 + p' cos y’,
Mais ici, Les points M et M' n'élant plus sur le méroe plan horizontal, on sun
LS = 2 + sd,
par conséquent
et
p'= s'u = sw! + m'ad L = Le (u cosy —w' cos?) + Eusd cosy.
Le premier terme est identiquement nul, comme les Lertnes analogues dé autres sommes. Le deuxième représente la somme des poids des filets cylin driques verticaux, dans lesquels on peut déposer le volume total du liquide celle somme est évidemment égale au poids total du tiquide.
Se Nm
