PRESSIONS SUR LES PAROIS DES VASES

Ill. Paradoxe hydrostatique. — Ce dernier théorème réfute drectement la proposition erronée connue sous le nom de paradore hydrostatique.

Si l'an a trois vases, À, B, C (fig. 103), de même fond, mais de forme et de capacité différentes, remplis d'eau jusqu'à la mème hauteur, l'opinion commune — conforme d'ailleurs à la vérité — c'est qu'il faudra des poids différents pour les équilibrer successement sur un mème plateau de balance. Mais on sait que la

Fig. 105.

pression est la même sur le fond de chacun de ces vases : il smble done en résulter nécessairement qu'en plaçant dans l'un des plateaux un poids marqué égal à cette pression, on équilibrera successivement les trois vases placés dans l'autre plateau. Lest cette conséquence fausse d'un principe vrai qui constitue le paradoxe,

L'erreur consiste à raisonner, dans ce cas, comme si le fond de rhaque vase était détaché et indépendant des parois latérales; or ces parois, étant solidaires, transmettent au plateau, non pas vülement la résultante partielle des pressions exercées sur le fnd, mais la résultante totale des pressions exercées sur l'ensnble, et nous avons vu que cette résultante esl égale, dans tous les cas, au poids total du liquide.

Dans le cas du vase cylindrique À, la pression sur le fond est précisément égale au poids total du liquide; dans le vase évasé B, la pression sur le fond est inférieure au poids total, mais les pressions latérales tendent à l'accroitre; enfin, dans le vase nique €, la pression sur le fond est supérieure au poids total, mais les pressions latérales tendent à la diminuer,

112. Vases à réaction. — Tourniquet hydraulique. — Lorsqu'on uvre un oriliee dans la paroi d'un vase qui contient un liquide pesant en équilibre, en même temps que ce liquide s'échappe du vase, celui-ci tend à se mouvoir en sens contraire de l'écoulement.

Si le vase est disposé de manière à obéir aisément à cette impul-

sion, on à ce qu'on appelle un vase à réaction. Le type de appareils est le tourniquet hydraulique. Ë

Il se compose d'un vase de verre M (fig. 104), reposant sur pivot, de manière à pouvoir tourner librement autour d'un a vertical. Ce vase porte.

sa parlie inférieure, pendiculairement à axe, un tube de cuivre C, coudé horizontalement et en sens contraires À ses deux extrémités, L'appareil étant rempli d'eau, il reste parfaitement immobile aussi longtemps que les ‘orifices du tube coudé restent bouchés. Mais dès que ceux-ci sont ouverts, le liquide s'échappe dans le sens des courbures et tout l'appareil prend un mouvement de rotation en sens contraire de l'écoulement, Ce mouvement est d'autant plus rapide que la hauteur du liquide dans

Fig. 104. le vase M est plus grande et que la section des orifices de sortie présente plus de surface.

Pendule hydraulique, — On peut encore citer comme expérience de cours le pendule hydraulique. C'est un petit appareil formé d'une sphère à tubulure latérale remplie d'eau et fixée, comme un pendule, à l'extrémité d'un fil. Dès qu'on débouche l'orifice, le liquide s'échappe, et le pendule, s'écartant de la verticale en sens contraire de l'écoulement, se met à osciller.

On emploie aussi un chariot très mobile,

Roues à réaction. — Les pressions latérales sont utilisées dans les moteurs hydrauliques connus sous le nom de roues à réaction.

Théorie des vases à réaction, — 11 faut se rendre compte à la fois du mouvement du liquide et de celui du vase, Dans les deux cas il suffit d'appliquer le principe de mécanique suivant :

Lorsqu'un système de forces se fit équilibre sur un corps solide, l'unt quelconque des forces est égale et opposée à la résultante de loutes les autres. Soit un liquide en équilibre dans un vase quelconque [üg. 95). On peut aug»

primer le vase par la pensée, à la condition de solidifier le liquide et d'appliquer à ses divers éléments les forces de résistance où réactions f, f, f"... que les cléments de paroi leur opposent. On à ainsi un système de forces, composé du poids botal Pdu liquide et des réactions f, f'.,., qui se font équilibre, L'une quelconque d'entre elles, f par exemple, étant égale et opposée à la résultante dessuires, si l'on vient à la supprimer, — ce qu'on fail en ouvrant un orifce dus la paroi en ce point, — la résultante de toutes les autres cessera d'être coutre-balancés et précipilera le liquide pur cet orifice

Fig, 106.

Quant au vase plein de liquide, on peut le considérer comme un corps solide soumis au spslème de furces suivant ; 1* les pressions p, p'.., du liquide sur les parois, pressions qui ont une résultante unique égale au poids total du liquide; E le poids des parois elles-mêmes: 3° la réaélion KR du plan qui supporte Le vase où du fi qui le soutient, et qui fuit équilibre aux deux autres (fig. 1061, Si l'os ouvre un orifice en face de l'une des pressions p, le liquide s'écoule, la pression p cesse done de s'exercer et ln résultante de toutes les autres forces, est égale et opposée à p, Lend à entrainer le vase en sens contraire de l'écouemetrt

115. Principe d'Archimède. — 1° Éxoxcé. — Lorsqu'un corps solide est entièrement plongé dans un liquide pesant en équilibre, les pressions qui s'exercent à sa surface ont une résultante unique. égale et directement opposée au poids du volume liquide déplacé et appliquée au centre de gravité de ce volume.

Cette résullante s'appelle la poussée du liquide; son point d'application s'appelle le centre de poussée.

Ce principe fut découvert par Archimède, de Syracuse. On l'énonce encore de la manière suivante :

Tout corps plongé dans un liquide pesant en équilibre y subit une poussée verlicale de bas en haut, égale au poids du volume liquide déplacé.

2° Déwoxstrariox. — On peut en donner deux sortes de démonstrations, l'une théorique, l'autre expérimentale.

Démonstration à priori. — Dans une masse liquide en équilibre, considérons une portion de liquide de forme quelconque, sphérique, ovoïde ou irrégulivre

et supposons-la solidifiée, sans accroissement ni diminution de volume | IL est évident que la partie ainsi solidi portera, de la part de la masse Hiqi mêmes pressions qu'auparavunt, et q conséquent, elle sera encore en équili qui ne peut avoir lieu que parce qu' porte, de bas on haut, une éga poids. Or, si à la place de la partie soti imagine un corps d'une autre subst même volume et de même forme, il su nécessairement les mêmes pressions 1 portait le liquide solidifié, et dès lor soumis, lui aussi, à une poussée égale du liquide déplacé,

Vérification expérimentale, — E fectue ordinairement au moyen balance hydrostatique. C'est une |

Fig. 108.

commune dont chaque plateau est muni d'un crochet, et fléau peut s'élever et s'abaisser à volonté, à Vide d'une :

. re qu'on fait marcher par un petit pignon C (fig. 108). Un edquetage D retient la crémaillère lorsqu'on l'a soulevée. Le Bou étant remonté, on suspend, au-dessous de l'un des plalesux un cylindre creux A, en laiton, et au-dessous de celui-ci w cylindre plein B, dont le volume est exactement le même que k capacité du premier; puis dans l’autre plateau on‘place des pas jusqu'a ce que l'équilibre s'établisse. Si alors on remplit d'au le cylindre À, l'équilibre est rompu; mais si l'on abaisse en mime temps le fléau de manière que lé cylindre B plonge en esber dans l’eau d’un vase placé au-dessous, on voit l'équilibre æ rétablir. Le cylindre B subit donc, par son immersion, une poussée égale au poids de l'eau versée dans le cylindre A.

On voit que, dans cette expérience, tout se passe, au point de vue de l'équilibre du fléau, comme si le cylindre plein perdait brusquement une partie de son poids au moment de son immersion. C'est ce qui fait donner quelquefois à l'énoncé du principe la forme suivante, qui est incorrecte : Tout corps plongé dans un liquide perd de son poids une parlie égale au poids du liquide qu’il déplace.

Remanque. — Au lieu d'une balance hydrostatique on emploie souvent une balance ordinaire, à plateaux munis de crochet.

L'inmersion du cylindre plein Sobtient alors par la manœure d'un support à crémaillère fig. 195).

114. Réciproque du principe d’Archimêde,— 1° Ésoxc£, — Tout corps plongé dans un liquide pesant en équilibre ererce sur ce liquide une pression verlicale, de haut Pn bas, égale au poids du rolume liquide déplacé.

Un peut en donner un autre énoncé, moins correct, mais plus frappant : Le poids perdu par le corps immergé est gagné par le liquide ambiant.

2 Dévossraariox. — Vérification ezperimentale. — On n'a qu'à modifier lxérement l'expérience précédente. On place le vase plein d'eau sur le plateau méme de la balance, et l'on tare dans l'autre plateau. Le système des deux Fig. 109. cylindres, disposés comme prérédemment, le plein au-dessous du creux,

«tsaspendu à un support fixe (fig. 109). Un relève le fléau de la balance de manière à faire plonger le cylindre plein dans le liquide. Aussitôt que l'immersa commence, équilibre est détruit. Lorsque l'immersion est complète, on

- suffisent à M, Boudréaux pour vérifier ces propositions avec plus d'exaeti

verse dans le cylindre creux de l'eau prise dans le vase; on constale que le cylindre est rempli, l'équilibre est complètement rétabli. | Démonstration à priori, — L'explication théorique de ce fait est très Ou bien on peut le considérer comme une conséquence du principe l'égalité de l'action et de la réaction : si le corps plangé subit une por la part du liquide ambiant, celui-ci doit subir de la part du corps une égale el contraire, Ou bien l'on peut remarquer simplement que, plonge un corps dans un liquide, on élève le niveau dans le vase; la 1 dés pressions sur les parois s'accroit donc de la même quantité que si l'on am ajouté au liquide un volume égal au volume déplacé : cet accroissement del pression résultante est évidemment égal au poids du volume déplacé, 115. Vérification simple du principe d'Archimède : dispositif de M. — Un grand vase V (fig. 110), imuni d'un trop-plein, el deux petits vase : identiques, une simple balance à crochets et un support à crémaillère À

Le corps, suspendu au plateau P, est équilibré, un des vases w étant dans le mème plateau. On immerge le corps, qui expulse un volume d'eau égal su sem qu'on recueille dans le vase »': le plateau P remonte par l'effet de la poussée, En substituant le vase v'au vase », on rétablit l'équilibre : ce qui démontreërdemment le principe.

lour démontrer la réciproque, on Lare le vase v plein de liquide et le nr à see, puis on immerge le corps (fig. 111), Le plateau l's'abaisse, en mème temps que le vase v' reçoit un volume du liquide égal à celui du corps. Pour rétablir l'équilibre, il suffit de vider le vase »’ et de le remettre en place: ls vérification est évidente,

116. Détermination du volume d'un corps. — Le principe d'Archimède donne le moyen d'obtenir avec précision le volume d'un corps de la forme la plus irrégulière, lorsqu'il n'est pas so luble dans l'eau et ne l'absorbe pas. Pour cela, l'ayant suspendu par un fil à la balance hydrostatique, on le pèse dans l'air, puis dans l'eau pure. La perte de poids représente le poids et anssi le volume de l'eau déplacée et, par suite, le volume du corps im mergé. Si, par exemple, la perte de poids est de 455 grammespoids, le volume du corps plongé est de 155 centimètres cubes. Remanqus. — L'eau n'étant généralement pas à A, 4 aurai

sd

faire une petite correction, car le volume de l'eau à 4 n'est plus mpoimé par le méme nombre que son poids !.

M7. Équilibre des corps immergés et des corps flottants. — d'aprés le principe d'Archimède, lout corps plongé dans un liquide st soumis à deux forces verticales et de sens contraires : son poids P appliqué en son centre de gravité g et la poussée P' appliquée au centre de poussée € (fig. 412). Si le solide et le liquide sont des corps homogènes, les centres de gravité du volume commom qu'ils occupent dans l’espace coïncident nécessairement. Les points g et e ne font qu'un et les forces P et P' sont directement wpposées. Si l'un des corps n'est pas homogène, ce qui est le cas Znéral, leurs points d'application, g et c, sont distincts.

Les forces Pet P’, étant parallèles eU de sens contraires, ont bojours une résultante égale à leur différence (P— PJ. IE y à trois ‘as à considérer :

bp >0, d'où P>/P’. Le poids du solide l'emporte sur la poussée du liquide. Le corps tombe au fond du liquide d'un mouvesent uniformément accélérés, entrainé par la force constante P— P'}. On réalise aisément ce Cas en mettant un œuf dans un vase contenant de l'eau pure.

® P— p—0, d'où P—P’. Le poids est égal à la poussée. Le corps reste en équilibre dans le liquide, pourvu toutefois qu'il suit orienté de manière que les deux forces égales soieut directeent vpposées. On réalise ce cas en mettant un œuf dans un mélange d'eau pure el d'eau saturée de sel marin.

3 P—p'<0. d'où P <P’. La poussée l'emporte sur le poids. Le corps remonte vers la surface libre, d'un mouvement uniformément accéléré, entrainé par la force constante (P°—P). A partir le l'instant où il émerge, la poussée décroit en méme temps que # volume du liquide déplacé diminue, Le corps atteint néces-

Loir si.