COMPOSITION DES ROTATIONS

par lu vitesse qu'aurait ce point, à i'inslatit considéré, s'il n'était soumis qu'à une rotation unique dont l'axeetla vitesse angulaire seraient représentés par la diagonale M' R du parallélogramme construit sur les vitesses angulaires composantes MP', MQ', considérées avec leur

valeur et leur direc- Fis- — composition des rotations concourantes.

lion actuelles.

Il existe des théorèmes analogues relatifs au cas où un corps est soumis simultanément à plus de deux rotations autour d'axes parallèles ou concourants. Soit en particulier le cas d'un corps soumis à trois mouvements de rotation autour de trois axes concourants A, B, 0, le corps tournant autour de l'axe A, lequel effectue en même temps une rotation autour de l'axe B, l'ensemble du corps et des axes A et B étant, en outre, entraîné par une rotation autour de l'axe 0. La vitesse d'un point du corps, à un moment quelconque, est celle qui résulterait d'une rotation unique dont l'axe et la vitesse angulaire seraient donnés, au moment considéré, par la diagonale du parallélipipède construit sur les valeurs actuelles des vitesses angulaires composantes comptées sur les positions actuelles de leurs axes respectifs de rotation.

Inversement, la vitesse communiquée à un point d'un corps par une rotation unique peut être regardée, à chaque instant, comme la résultante d'un nombre quelconque de vitesses autour d'un même nombre d'axes de rotation qui concourent sur l'axe de la rotation unique et dont les directions peuvent être prises à volonté ; la valeur actuelle des vitesses composantes et la valeur de la vitesse réelle du corps doivent d'ailleurs satisfaire aux règles précédentes.

Il importe de remarquer que les règles précédentes de la composition et de la décomposition des rotations ne sont relatives qu'aux vitesses composantes et résultantes. Elles constituent seulement un moyen simple de trouver la vitesse résultante de deux ou plusieurs rotations, mais il ne s'ensuit pas que le mouvement d'un corps soumis à plusieurs rotations puisse être identiGéà celui d'une rotation unique autour d'un axe fixe.

14 NOTIONS DE MÉGANIQUE.

Toutefois lorsque l'on considère seulement le déplacement subi parlecorpspendantun temps trèspetit,sou8 l'influence de plusieurs rotations simultanées, on démontre que le corps peut être amené de sa première position dans la seconde par une rotation unique déterminée comme il a éié dit plus baut, et réciproquement.

18. Mouvement vibratoire ou périodique simple. — On appelle mouvement vibratoire ou périodique celui dont tous les éléments, position du mobile, grandeur et direction de la vitesse, repassent par les mêmes valeurs après un intervalle de temps constant, lequel porte le nom àe période. Tout mouvement vibratoire doit satisfaire à la définition précédente, quel que soit l'instant à partir duquel la période est comptée.

Un mouvement vibratoire est dit simple lorsque sa loi (relation entre l'espace parcouru par le mobile et le temps employé à le parcourir) est donnée par la formule :

X = acos 2 7r — , (1)

où X représente l'espace, t le temps, a et t des constantes.

Dans un tel mouvement, la vitesse du mobile en fonction du temps est donnée par l'expression :

27ra . t V — sm Ztt —

Il est facile de voir que x et v repassent périodiquement par les mêmes valeurs après cbaque intervalle de temps égal à t ; cet intervalle représente donc la période du mouvement.

La valeur maxima de x correspond aux temps î = t, i=2T, f = 3t... pour lesquels le cos atteint sa plus grande valeur qui est l'unité ; cette valeur maxima de x est égale à a.

La valeur minima de a; correspond de même aux temps t= 3t 5-

t = -~, î = puisque le cos atteint alors sa plus petite

valeur — 1 ; la valeur minima de x est donc — a.

On voit d'après cela que le mobile, animé du mouvement périodique représenté par la formule (1) , s'écarte, de part et d'autre d'une

MOUVEMENT PÉRIODIQUE COMPLEXE. 15 position moyenne, d'une longueur a comptée sur la trajectoire. La quantité 2 a, ou l'espace qui sépare les positions extrêmes auxquelles le mobile peut parvenir, a reçu le nom d'amplitude du mouvement vibratoire.

On a immédiatement une idée nette des diverses particularités de ce mouvement si l'on construit la courbe correspondante à la formule 1. A cet effet, on porte sur une droite AE (fig. 2) des longueurs égales, lesquelles représente ront des intervalles de temps égaux. Par chacun des points de division ainsi obtenus

on élève des ordon- ^ jjn^^c- j' - e' X' nées ou perpendicu-

IpirPC! à A Tîl Pt Riir rha- Représentation graphique d'un mouvement

jaires d Aiii,ei sur cna périodique simple,

cune d'elles on porte

des longueurs proportionnelles aux valeurs que prend x lorsque, dans la formule (1), on substitue à t le rang de la division par laquelle ces perpendiculaires ont été menées. On convient d'ailleurs déporter ces longueurs au-dessus ou au-dessous de AE, suivant que le mobile se trouve d'un côté ou de l'autre de sa position moyenne. Si l'on réunit alors par un trait continu les extrémités des longueurs ainsi comptées sur les diverses ordonnées, la courbe que l'on obtient, de forme sinueuse, est la représentation graphique du mouvement vibratoire simple.

Le mouvement des branches d'un diapason, dont le son est dépourvu d'harmoniques, est un mouvement vibratoire simple.

Un mouvement vibratoire ou périodique simple est souvent appelé mouvement pendulaire^ parce que la formule (1) représente aussi la loi du mouvement d'un pendule simple oscillant dans le vide et effectuant de petites oscillations.

19. Mouvement vibratoire ou périodique complexe. — Tout mouvement périodique qui n'est pas simple est dit complexe.

Nous rencontrerons des mouvements périodiques complexes dans l'étude de plusieurs phénomènes physiques d'ordre biologique. La loi de tels mouvements est représentée par une formula plus

NOTIONS DE MÉGANIQUE.

complexe que la formule (l); celle formule complexe varie d'ailleurs d'un mouvemeot à l'autre.

Pour avoir une idée nette d'un mouvement périodique complexe, il faut le représenter graphiquement, comme nous l'avons expliqué pour le mouvement périodique simple. Il est très souvent possible de faire inscrire la courbe représentatrice de la loi d'un mouvement périodique par le corps vibrant lui-même. A cet effet, on munit ce corps d'une plume de forme particulière imbibée d'encre, ou d'un simple style métallique, que l'on amène au contact d'une feuille de papier blanc ou enfumé, et l'on fait mouvoir la feuille de papier ou le corps vibrant d'un mouvement uniforme. Le corps inscrit ainsi lui-môme les positions successives qu'il occupe dans la suite du temps.

Fig 3. — Mouvement périodique complexe de la pulsation artérielle.

C'est ainsi qu'ont été obtenues la courbe de la fig. 3, laquelle représente le mouvement périodique complexe qui constitue la

Fig. i.— Mouvement périodique complexe de la memhrane du tympan.

pulsation artérielle, et celle de la fig. 4 qui correspond au mouvement de la membrane du tympan ébranlée par un son composé.

20. Composition des mouvements périodiques — Lorsque deux ou plusieurs mouvements périodiques agissent simultanément en un même point, il peut se faire qu'ils soient parallèles ou obliques entre eux, c'est-à-dire que leurs vitesses aient même direction ou fassent entre elles un certain angle. Dans l'un et l'autre cas, le mouvement résultant sera ou ne sera pas périodique, suivant que les périodes des mouvements composants ont ou n'ont pas de commune mesure.

Soient, en effet, trois mouvements vibratoires composants dont