Dioptre sphérique. Cas d'un faisceau incident

mince. — Dans tout ce qui va suivre nous supposerons toujours que le dioptre est sphérique, que le faisceau incident est mince, et que sa direction est telle que les divers rayons qui le composent sont tous très voisins de l'axe principal ou d'un axe secondaire.

Dans ce cas, l'homocenlricité est conservée dans tout faiscea réfracte correspondant à un faisceau incident quelconque 0 démontre, en outre, que si l'on appelle p et p' les distances d( points de concours des rayons incidents et des rayons réfractés a sommet ou centre de figure du dioptre sphérique dont le rayo est représenté par r, et si n est l'indice relatif du second mille traversé par la lumière, on a :

lorsque le dioptre tourne sa convexité du côté d'où la lumièr arrive. Pour établir cette formule, on regarde d'ailleurs p comm positif ou comme négatif suivant qu'il est compté, à partir d dioptre, du côté d'où arrivent les rayons lumineux ou du côt opposé; les conventions de signe, en ce qui concerne p', sont a contraire inverses des précédentes.

263. Foyers principaux. Autres formes de la formul précédente. — Il existe, dans tout dioptre sphérique simple, deui foyers principaux : l'un, F' (à droite de la figure 194), est le'poini de concours des rayons réfractés correspondant aux rayons tel;

Fig. 194. — Foyers principaux d'un dioptre sphérique.

que LI, SK... qui arrivent parallèlement à l'axe principali l'autre, P (à gauche de la figure 194), est le point de concours dea rayons incidents qui se réfractent parallèlement à l'axe principal.

Si l'on pose AF = /; AF' = /"', il est facile de voir, d'après I formule (1) du paragraphe précédent, que l'on a ;

PLANS FOCAUX. 489 Il existe, entre ces deux distances focales, les deux relations simples suivantes :

Les valeurs des distances focales permettent de mettre la formule (1) sous la forme :

Si, enfin, on exprime p etp' en fonction de la distance g du point de concours des rayons incidents au foyer F et de la distance q' du point de concours des rayons réfractés au foyer F', la formule (2) se simplifie et se réduit à :

Dans cette formule, q est regardé comme positif ou négatif suivant qu'il est compté, à partir de F, du côté d'où vient la lumière ou en sens inverse, tandis que q' doit être affecté du signe + ou du signe — suivant qu'il est compté à partir de F', du côté d'où ne vient pas la lumière ou en sens inverse.

264. Plans focaux. Plan principal. — Les lieux géométriques des foyers principaux des axes secondaires sont évidemment deux sphères décrites des centres de courbure du dioptre avec des rayons respectivement égaux à /"et à f-\- r.

Si d'ailleurs on ne considère, comme nous le ferons par la suite, que des axes secondaires faisant un petit angle avec l'axe principal , les portions des sphères précédentes sur lesquelles se trouvent les foyers principaux de ces axes secondaires se réduisent aux parties qui avoisinent immédiatement les foyers principaux de l'axe principal. Gomme dans le cas de la réflexion, on peut alors substituer à ces portions de sphère, seules utiles, leurs plans tangents au sommet, c'est-à-dire des plans perpendiculaires à l'axe principal et menés par les foyers principaux de cet axe. Ces plans sont encore appelés plans focaux.

Le plan tangent au sommet du dioptre, plan que l'on peut aussi substituer à la surface de celui-ci toutes les fois que les rayons incidents s'écartent peu de l'axe principal, a reçu le nom de ^plan principal.

265. Construction du rayon réfracté correspondant à un rayon incident quelconque. — Cette construction, qui est applicable aussi au cas de la réflexion, est basée sur la considération des plans focaux.

Soit un rayon incident QI qui rencontre en N le plan focal mené par F (fig. 195).

Le point N est le foyer principal de l'axe secondaire NO ; par suite, tous les rayons incidents passant par N seront, après réfraction, parallèles à cet axe NO. Le rayon réfracté correspondant au

Fig. 195. — Construction du rayon réfracté dans le cas général.

rayon incident NI s'obtiendra donc en menant par I la droite IQ' parallèle à NO.

On peut dire encore, en menant ON' parallèle à QI, que, ce rayon incident QI étant parallèle à l'axe secondaire ON', le rayon réfracté correspondant devra passer par le foyer principal N' de cet axe secondaire. Ce rayon réfracté s'obtiendra donc en joignant les points I et N'.

266. Construction des images. Rapport de grandeur de l'image à l'objet. — Nous nous dispenserons de reproduire la construction classique des images au moyen de l'axe secondaire et , du rayon parallèle à l'axe principal menés par le sommet de. l'objet.

Il est facile de tirer de cette construction et de la formule (I) du § 262, le rapport de grandeur de l'image y' à l'objet y. On trouve ainsi :

Si l'on exprime p et p' en fonction de q et de q\ le rapport pré cèdent peut se mettre sous la forme :