CHAPITRE II

HYDRODYNAMIQUE

99. Ecoulement par un orifice en mince paroi. Loi à Toricelli. — Lorsqu'une ouverture est pratiquée dans la pari d'un vase, au-dessous de la surface libre du liquide qu'il contient! les tranches liquides voisines de l'ouverture s'écoulent, entraînée( par leur poids et poussées par la pression que les tranches supé rieures exercent sur elles.

On dit que l'écoulement a lieu par un orifice pratiqué en mim paroi lorsque l'épaisseur de celle-ci, au niveau de l'ouverture, 88 beaucoup plus petite que le diamètre de l'orifice d'écoulementi Pour réaliser cette condition, il suffit de tailler la paroi enbiseaa sur toute la circonférence de l'orifice .

Bien que ces conditions particulières d'écoulement ne se trouvera pas réalisées dans l'organisme, il est cependant nécessaire d( considérer d'abord ce cas simple; son étude nous servira, en effefe à interpréter les phénomènes, tels que nous les offre l'organisme de l'écoulement de liquides dans des tubes.

Le jet, ou la veine liquide, qui sort par un orifice pratiqué e mince paroi, diminue de diamètre jusqu'à une certaine distanced l'orifice ; cette distance, variable avec les liquides, peut atteindn 2 fois et môme 3 fois le rayon de l'orifice, et le diamètre de li section contractée est égal aux 0.8 environ du diamètre de l'ori. fice. La contraction de la veine est due surtout à ce que des molé cules, telles que M et M'(fîg. 49), suivent des trajectoires qui

LOI DE TORIGELLI. 167 ,rabord obliques entre elles, ne deviennent parallèles qu'à une cer- Unetstance de l'orificede sortie. La tension superficielle du liquide S chap V) doit exercer aussi une action sur la contraction de la veine, car si l'on fait évaporer, dans le voisinage de celle-ci, de l'alcool ou de l'éther, onconstate une variation dans la quantité de liquide écoulé pendant un temps donné, ce qui démontre qu'un changement est survenu dans la section de la veine.

La veine, continue d'abord, se résout, à une certaine distance de l'orifice, en gouttes distinctes. Ce phénomène est dû à ce que les diverses tranches qui constituent la veine ont traversé l'orifice à des instants différents et ont continué à se mouvoir en chute libre. Lorsque des corps, en effet sont abandonnés successivement, après des intervalles de temps égaux, à l'action de la pesanteur, les espaces parcourus par chacun d'eux à un moment donne étant proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir, les distances qui les séparent sont inégales ; les diverses tranches de la veine tendent donc à se séparer, la faible cohésion du liquide est impuissante à les maintenir réunies et la veine se divise en tranches distinctes.

Le calcul et l'expérience montrent que, à l'orifice de sortie, chaque molécule liquide qui sort du vase a une vitesse normale au plan de l'orifice et égale à celle qu'acquerrait, en chute libre, un corps qui tomberait d'une hauteur H égale à la distance verticale du centre de gravité de l'orifice à la surface libre du liquide. C'est en cela que consiste la loi dite de Toricelli, qui l'a énoncée le premier.

Un corps qui tombe en chute libre d'une hauteur H acquiert une vitesse donnée par la formule :

Fig. iO. — Écoulement d'un liqnid»

par un orifice en mince paroi.

Cette formule représente donc aussi la vite""

PESANTEUR

passage au niveau de rorifice en mince paroi. On voit qu. vitesse V est proportionnelle à la racine carrée de la liauteur H laquelle on a donné le nom de charge. ' On appelle dépense h quantité de liquide écoulé pendant l'uni

teu r' îr'^V''^' ^^^'^"ide étant maintenue à une h teui invariable ; si donc on représente par g la dépense, par i

on aura : ^ '^^^^^^

Q = qi.

La dépense q est d'ailleurs évidemment proportionnelle à surface s de la section de la veine et à la vitesse z; du liquide à ] sortie, en sorte que l'on peut écrire :

g = sv = s \f2^; substituant dans la valeur de Q, il vient :

Q = st \J2^.

Par suite de la contraction de la veine, on doit évidemmen prendre pour . la surface de la section contractée, îaqueUe T égale, avons-nous dit, aux 0.8 environ de la surface S de l'orifin de sortie, de telle sorte que l'on a :

formule dont la vérification expérimentale fournit une démonstration a posteriori de la loi de Toricelli.

100. Écoulement dans un tuyau de conduite rectilignt et de diamètre uniforme.- Le cas le plus intéressant pour i( physiologiste est celui dans lequel le tuyau est mouillé par k liquide qui s'ecoule. Il y a alors une mince couche de liquide immobilisée contre la paroi, par suite des actions moléculaires qui s exercent au contact du solide et du liquide, et c'est dans l'intérieur de ce tuyau liquide que l'écoulement a lieu. Dès lors il se prodmt, entre les molécules immobilisées et celles qui se déplacent, un frottement qui ralentit la vitesse d'écoulement; cette dernière est donc inférieure à celle qui résulterait de la loi de loricelli. En outre, par suite de la faible cohésion du liquide et du frottement qui existe contre les molécules immobilisées par le^ parois solides du tuyau, les molécules liquides situées dans uue

TUYAU DE DIAMÈTRE UNIFORME. 169 même section droite ont des vitesses différentes et d'autant plus .^randes qu'elles sont plus éloignées des parois et plus rapprochées de l'axe. On appelle utee moyenne la vitesse uniforme quil faudrait attribuera toutes les molécules d'une même section pour que la dépense, c'est-à-dire la quantité de liquide écoulé dans l'unité de temps, fût égale à la dépense réelle. Il est d'ailleurs évident que, lorsque le régime est établi, c'est-à-dire lorsque le liquide a atteint l'extrémité du tuyau et a commencé à s'écouler, la vitesse moyenne doit être la même pour toute section droite de même surface, quelle que soit sa distance à l'orifice d'écoulement;^ s'il n'en était pas ainsi, en effet, il se produirait dans le tuyau des vides à la formation desquels s'oppose l'action de la pression atmosphérique.

Donc, ce qui caractérise l'écoulement à travers un tuyau et ce qui le différencie de l'écoulement par un orifice en mince paroi, c'est l'existence d'une force de résistance. Cette force, qui existe en tous les points de la longueur du tuyau, est évidemment proportionnelle à la longueur de celui-ci. On conçoit, en outre, que cette résistance dépende du diamètre du tuyau et de la vitesse moyenne d'écoulement ; on admet, d'après Coulomb, qu'elle est donnée par la formule :

dans laquelle l et d sont la longueur et le diamètre du tuyau, v la vitesse moyenne d'écoulement, a et 6 deux constantes que l'on détermine par l'expérience. Les valeurs de ces constantes diminuent quand la température s'élève et sont d'autant plus grandes que le liquide est plus visqueux ; pour l'eau à 15°, l'expérience a montré qu'il £aut leur attribuer les valeurs :

Aucune expérience n'a encore été faite pour déterminer les valeurs de a et de 6 relativement au sang vivant. Remarquons que, contrairement à ce qui arrive dans les formules analogues de forme parabolique, par lesquelles un grand nombre de phénomènes peuvent être représentés entre certaines limites, le terme en v est plus petit que le terme en v^, de sorte que, si l'écoulement

PESANTEUR

est leot et si l'on se borne à considérer nne valeur approchée et simple de R, c'est le terme av que l'on devra négliger et non le terme bv^.

La résistance que nous venons de considérer n'est pas la seule^ qu'ait à vaincre la force motrice représentée, comme dans le cas> de l'écoulement à travers un oriûce en mince paroi, par la hauteur du liquide au-dessus de l'orifice du tuyau. Une partie, faible il est vrai, de cette force motrice est employée, en effet, à vaincre ce que l'on appelle la résistance au passage, c'est-à-dire à opérer une sorte de classement des molécules qui toutes se précipitent avec des trajectoires diverses vers l'ouverture 0 (fig. 50). A ce. niveau, et déjà à une certaine distance de celui-ci dans le vase M, . < les molécules doivent nécessairement changer de position relative, . j la cohésion qui les réunit doit être vaincue, ce qui exige une certaine dépense de force.

En somme donc, lorsqu'un liquide s'écoule par un tuyau recti ligne de diamètre uniforme, la force motrice est encore représentée: par la hauteur H du liquide au-dessus de l'orifice 0 du tuyau., Mais cette force n'est pas employée toute entière à faire progresser le liquide et à lui communiquer la vitesse d'écoulement. Une partie H' de cette force motrice est employée à vaincre lai résistance due au frottement que le liquide éprouve pour se dépla- • cer contre la mince couche liquide immobilisée par les parois dui tuyau; une autre partie /i', plus petite que la précédente, estt employée à vaincre la résistance au passage. La portion h de lai force motrice à laquelle est due la vitesse d'écoulement est, eni conséquence, donnée par la formule :

Il importe de remarquer que la partie h' de la force motrice est utilisée et absorbée toute entière au niveau de l'orifice 0 et l dans le voisinage de cet orifice à l'intérieur du vase M ; au con- ' traire, la partie H' qui agit sur chaque tranche, au moment où celle-ci pénètre dans le tube OB, n'est utilisée que progressivement, puisque le frottement qu'elle doit vaincre est également réparti sur toute la longueur du tube. Aussi cette partie H' de la force motrice se transporte-t-elle en quelque sorte avec chaque tranche liquide pour être utilisée au fur et à mesure des besoins.

PRESSION LATERALE. ^"^^

E„ effet, on peut -t- en é.denco ,..,st^^^^^^^ 'orée en

»° rirtZ'^: te t : l: de ?origi„e O. plus prés plus faible qu on "«f ""^^ P , gj^ d'implanter sur le tuyau de rextrem. e B P^^^f ^ ,erre, dits l»bespi«o-

Î::^:;^; on"ln:tltra:Ùsi\ue le liquide s.léve dans cbacuo

Fig. 50

Écoulement dans un tuyau rectiligne de diamètre uniforme-

d'eux à des hauteurs variables et que les sommets des colonnes liquides sont sur une droite RE, qui aboutit à l'extrémité libre

E du tuyau d'écoulement. .

Il résulte de là qu'une partie de la force motrice primitive HO

existe, aux divers points du tube OE, avec les valeurs R A R"B R'"0 R""D en A,B,0,D ; ces valeurs sont proportionnelles aux distances des points A,B,0.... à l'extrémité E, et la même proportionnalité existe entre ces mêmes distances et le frottement contre lequel chaque tranche a encore à lutter lorsqu'elle est arrivée en ces points. La hauteur RO représente donc la portion de force motrice primitive qui doit vaincre la résistance due au frottement le loDg de OE et R'A, R"B... représentent de même les valeurs successives auxquelles se réduit cette force à mesure qu'on la considère plus près de l'extrémité E.

Celte force, mesurée en chaque point du tube par la hauteur a laquelle s'élève le liquide dans le tube piézométrique qu'on y implante, porte en Physique le nom de pression latérale et en Physiologie le nom de tension sanguine lorsqu'on la considère le long des vaisseaux à l'intérieur desquels circule le sang.

^'^ PESANTEUR

Ajoutons qu'en mesurant la dépense totale pendant un temps t, on peut calculer la vitesse moyenne v d'écoulement par la formule

Q = vt.

La valeur h de la portion de force motrice employée à communiquer au liquide sa vitesse d'écoulement, ou, eu d'autres termes, la hauteur h, qui serait suffisante pour communiquer au liquide la même vitesse v, s'il s'écoulait par un orifice pratiqué en mince paroi, sera dès lors donnée par la loi de Toricelii :

v = y/2gh.

La valeur de h tirée de cette formule a été représeotée en Rh sur la figure 50, sur laquelle AH représente, par suite, la force nécessaire pour vaincre la résistance au passage.

Il n'est pas inutile de faire remarquer que l'énergie potentielle que possède la masse liquide contenue dans le vase ne se retrouve qu'en partie dans l'énergie mécanique ou actuelle réprésentée par le mouvement dont le liquide est animé ; en effet, une partie Uh de la forme motrice totale est seule employée à communiquer au liquide la vitesse v. Mais une partie de l'énergie potentielle primitive, celle qui correspond aux portions OR et Eh de la force motrice totale, est transformée en énergie calorifique par frottement, et la somme de celle-ci et de l'énergie actuelle que possède le liquide qui s'écoule est, en réalité, égale à l'énergie potentielle totale, conformément au principe de la conservation de l'énergie.

101. Écoulement dans les tuyaux de diamètre variable et à axe rectiligne. — Supposons que le tuyau d'écoulement soit constitué par trois parties OA, AB, BO de diamètres différents (fig. 51).

Comme il est impossible qu'un vide se produise dans l'intérieur du tube 00, une même quantité de liquide doit traverser pendant le même temps les sections, de diamètres différents, des parties OA, AB, BO; la vitesse du liquide sera donc maxima dans BO dont le diamètre est le plus petit, moins grande dans OA et miuima dans AB, dont le diamètre est le plus grand. Plus rigoureusement, la vitesse en un point sera en raison inverse de la section du tuyau en ce point.

Donc lorsque le liquide arrive en A, où le diamètre augmente,