I : sin. P : • D ; R = D sin. P

Nommons p la parallaxe lorsque Tastre est en H', et z la distance zénithale , ou ce qui revient au même, faisons />=OH'G et z=.ZOYL\ dans le triangle GOH', en supposant que la distance H'G de Tastre à la terre n'a pas varié , on aura :

sin.p: sin. (i8o® — z) ::R:D, d'où en observant que sin. ( i8o» — 2 ) = sin. z on tire< :

^Dsin.p

sm. t En comparant les deux valeurs de R on aura :

sin. p = sin. P sin. z {a)

Equation qui donnera la parallaxe correspondante à la distance zénithale z quand la parallaxe horizontale P sera cqtnnue.

Gomme les arcsp et P sont généralement très-petits , on peut Içs substituer à leurs sinus,, ce qui donne :

/) = P sin. z (b)

Cest-à-dire que la parallaxe de hauteur est le produit de la parallaxe horizontale , par le sinus de la distance au zénith ou par le cosinus de cette hauteur.

La plus grande valeur de sin. z a lieu quand on az = 90^; alors jD = P ; c'est-à-dire que la plus grande valeur de la parallaxe d un astre est celle qui a lieu quand il est à Thorizon.

L'équation précédente est celle qu'on applique ordinairement aux observations du soleil et des planètes ; mais pour la lune il est plus exact de faire usage de l'équation (a) à cause de sa proximité de la terre , qui rend sa parallaxe très-forte, et ne permet pas, sans erreur sensible , de la supposer égale à son sinus. N® 5o.

L'équation R = D sin. P montre comment on peut déterminer la distance d'un astre au centre de la terre en parties du rayon terrestre , lorsqu*on connaît par observation sa parallaxe horizontale. Pour un autre astre quelconque on aurait l'équation analogue R = ly sin. P' d'où l'on tire la proportion :

D : jy : : sin. P' : sin. P

Ou bien en substituant les arcs au sinus :

D : ly : : P' : P.

Les parallaxes horizontales de deux astres sont donc réciproques à leurs distances à la terre ; c'est la proposition dont nous avons fait usage dans le texte n^ 2 7.

La parallaxe d'un astre varie avec sa distance à la terre , elle augmente lorsqu'il se rapproche de nous , elle diminue lorsqu'il s'en éloigne. Là pig:^laxe horizontale serait la même pour tons les lieux de la terre, si sa forme était exactement sphérique ; mais comme sa figure est celle d'un sphéroïde elliptique, on est obligé de tenir compte de son aplatissement dans la mesure des parallaxes, du moins pour la lune , car les autres corps célestes sont trop éloignés pour qu'il en résulte aucune correction sensible. On trouve dans la Connaissance des temps la parallaxe horizontale de la lune pour chaque jour à midi et à minuit , on l'obtient pour les autres heures par interpolation ; cette parallaxe est relative aux lieux sitnétsnr l'équatenr terrestre, et se nomme par cette raison parallaxe horizontale équsOorùkU: ii est facile d'«!i conclure la paralkz» ho-

d'astronomie. 707

rkontale rétive à un lien quelconque dont la latitude est donnée. En effet soient P et P' les parallaxes horizontales relatires aux latitudes zéro et x, R et R' les rayons terrestres qui leur correspondent , la distance de Fastre à la terre restant la même on aura ; Ras Dsin< P, R' = D sin. P' d'où :

R __ sin. P ^^ P

"F — sînTF ^ R' "" "f"

Mais en nommant m l'aplatissement du globe, et les rayons terrestres diminuant de Féquatem* au pôle , proportionnellement au sinus carré de la latitude n^ a 1 6 on a R's: R. ( i — « sin. > x ) par conséquent :

P' = P (i — asin' x).

G'est-à dire qu'<7 faudra diminuer la parallaxe équaioriale de <t P. sin. ' X pour avoir la parallaxe horizontale qui répond à la latitude X {po;^. la note p.i68). Si Ton adopte pour la mesure de Taplatissement de la terre la fraction 7^^» ^^^ ^ snb^tuera à la place de tt dans Féquation précédente qu'il sera facile ensuite de réduire en n(»nbres.

hà. parallaxe horizontale de la lune à une latitude quelconque étant ainsi connue , on en conclura la parallaxe de hauteur par la formule (a). £n ajoutant cette parallaxe à la hauteur zénithale observée ^ on aura la hauteur de Fastre tel qu'il serait vu du centre de la terre. La parallaxe du soleil varie peu , parce que les variations de ses distances à la terre sont peu considérables , et Fon peut, le plus souvent , regarder sa parallaxe comme constante et égale à sa vnleur moyenne 8",5776, p. 281.

La parallaxe changeant la pk>sition qu'auraient le soleil , la lune et les planètes relativement à un observateur placé au centre de la terre , et toutes les tables astronomiques étant calculées par rapport à ce centre , il eât nécessaire de faire subir aux coordonnées qui déterminent les positions de ces astres des corrections convenables pour les réduire à ce qu'elles seraient si elles avaient été observées du centre de la terre. Nous avons déjà vu comment la parallaxe servait k déduire de la hauteur apparente d'un astre , sa hauteur vraie, et réciproquement , l'effet de la parallaxe altère également les ascensions droites , les déclinaisons , les longitudes et les latitudes ; mais elle ne change ni Fazimuth , ni l'instant du passage de l'astre au méridien p. 94. On détermine par les formules de la

trigonométrie les variations qui en résultent dans chacune' de ces quantités pour un astre dont la parallaxe horizontale est connue . en déduisant ensuite des données de l'obseryation les valeurs de ces corrections prises avec les signes que 'le calcul leur attribue, on aura l'ascension droite , la déclinaison , la longitude et la latitude vraies, c'est-à-dire telles quelles seraient vues du centre de la terre, et telles, par conséquent, qu'il est nécessaire de les avoir pour les comparer aux valeurs des tables.

Soit i£' l'ascension droite d'un astre , D' sa déclinaison , L' sa longitude , et k' sa latitude , vues par un observateur placé à la surface de la terre , désignons par les mêmes lettres non accentuées i£, D, L , X les mêmes quantités relatives à un observateur placé au centre de la terre , et nommons respectivement w , tt' , » et »' les effets de la parallaxe de l'astre sur son ascension droite , sa déclinaison , sa longitude et sa latitude , on aura :

ascen, dr, appar. M' = ascen. dr, vr. M -\- tt, déclin, appar, D = déclin, pr^ D — w', . long, appar. V = long, «^r. L +», latit, appar» k' = lai, vr, x r— »'.

Quant aux formules qui déterminent les arcs tt^ tt'^ a, oû\ nous renverrons à l'excellent ouvrage de M. Francœur , intitulé Mtrono' mie pratique , où l'on trouvera l'exposition complète de ces formules, avec des exemples qui serviront à en faciliter l'usage.

Le diamètre apparent d'un astre augmente ou diminue à mesure qu'il se rapproche ou s'éloigne de la terre ; ses variations sont liées à celles de la parallaxe par une relation très-simple qu'il est facile de déterminer. £q effet , si l'on nomme R le demi-diamètre apparent d'un astre dont la distance à la terre est D , c'est-à-dire l'angle sous lequel on apercevrait du centre de la ferre le rayon r' de cet astre , dans le triangle rectangle formé par la droite qui joint le centre de la terre au centre de l'astre , par le rayon de cet astre et par la tangente à son disque , on aura :

tang. R =

Mais en désignant par P la parallaxe horizontale de l'astre et par r le rayon terrestre, on a :

r sin.P = — .

d'astronomie. 709

Par conséquent en comparant ces deux équations :

tang.R r' sin. P r

Ou simplement en supposant très-petits les arcs R et P :'

Le second membre ne contenant aucune quantité variable on voit que le demi-diamètre vrai et la parallaxe horizontale d'un astre sont entre eux dans un rapport constant ; on peut donc déterminer ces deux quantités Tune par l'autre lorsque ce rapport est connu.

Le rayon de la lune est égal à 0,27293 on 77 à peu près de celui de la terre n** 5o , donc relativement à cet astre ;

demi-diam. app. (^ = — parai, horiz.

C'est par cette formule que sont calcula les demi-diamètres de la lune , qu'on trouve dans la Connaissance des temps ; ces demidiamètres se rapportent à un observateur placé au centre de la terre , il faut leur faire subir une petite correction dépendante de la parallaxe pour en conclure le demi-diamètre de la lune , selon la position que l'observateur occupe sur le globe. Au reste , pour éviter les calculs que ces corrections exigent , on a construit des tables où on les trouve toutes calculées pour chaque distance donnée du centre de la lune au zénith de l'observateur.

Nous avons vu n^ 43 comment on déterminait la parallaxe horizontale d'un astre par deux observations simultanées de sa hauteur , faites ou réduites au même méridien. Pour donner un exemple dace calcul choisissons les observations suivantes faites pour détenRner la parallaxe de Mars.

Le 6 octobre 17S1 , la hauteur méridienne de Mars observée au cap de Bonne-Espérance , dans l'hémisphère austral et corrig'^e de la réfraction, était de 64** 67' 33" .• en prenant le complément do cet angle on trouve 26° 2' 27" pour la distance de la planète au zénith. La latitude pu la hauteur du pôle au cap Bonne-Espérance est de 33** 55', âont le complément 56^ 5' est la distance du pôle au zénith qui, ét^t ajoutée à 2 5** 2' 27", donne 81^ 7' 27'' pour la distance de Man^ au pôle austral le 6 octobre 1 751 à midi :.

en retranchant cet angle de iSo^, on aura donc pour sa distance au pôle-nord an même instant 98^ 5a' 33''.

A la même époque la hauteur méridienne de Mars observée à Stockolmet corrigée de la réfraction, était de 21^ 45' 54", dont le complément 68® i4' 6'' donne la distance de la planète au zénith; la latitude de Stockholm est 59® si', dont le complément 3o^ 39' est la distance du pôle au zénith ; en ajoutant cette distance à 68^ 1 4' 6" on aura la distance de Mars au zénith de Stockholm , le 6 octobre 1751 à midi, égale à 98® 53' 6".

La différence |de cette distance à celle qui a été observée an cap est de 33" , c'est la parallaxe de Mars correspondante à l'intervalle qui sépare les deux observateurs n® 43. Pour en conclure la parallaxe horizontale désignons par P cette parallaxe , et par A et Mes distances de Tastre L {fig, 107) au zénith dans les deux observations, on aura :

pour la première CLO = P sin A.

et pour la seconde GL(y = P sin A'.

Par conséquent :

CLO + CLO' = P(sin. A + sin. A')

Or CLO + CLO' est Tangle sous lequel on voit du centre de Tas* tre L la distance 00' qui sépare les deux observateurs, c'est par conséquent la parallaxe observée que nous avons trouvée de 33", on aura donc pour calculer la parallaxe horizontale :

33" ?==-: zZ^^ /

sin. A+sin. A'

On a d'ailleurs par ce qui pré<iéde, h = 25® 2' 27", h' = 68* i4' 6", d'où l'on conclut sin. A = 0,42326 sin. A' = 0,92871, et par conséquent :

G'est-à-dirè que la parallaxe horizontale de Mars était le 6 octo- ^ bre 1751 de 24", 4.

En substituant cette valeur dans l'équation D =-: — - , on trouve

sm P

que la distance de cette planète à la terre était à la même époque de 8453,4 rayons terrestres.

d'astronomie. 711

Sur la détermiDatioti de la plus grande équation du centre du soleil

par les observations ( page i3o).

Pour donner un exemple de ce calcul , je choisis les observations suivantes, faites en i83o. La longitude du soleil était de 90 46' 48", le 3o mars, 12^- A' 4" temps moyen à Paris , et il approchait de sa plus grande équation , comme rindiquait l'observation de son mouvement diurne , qui différait peu de son mouvement moyen tropique , ou de 5g' 8", 33 ; le 2 octobre suivant , à 23>i- 49' 9" la longitude du soleil était de 1890 44' 35", et il se trouvait encore trèsprès de sa plus grande équation. La différence des deux longitudes est de 179^57' 47"; et pour avoir celle des époques, il faut observer que , du 3o mars 1 1^- au 2 octobre 1 2'**, il y a 1 86 jours d'intervalle , la première observation était plus avancée de 4' 4", et la seconde de ii*''49'9"» la différence est de ii*»* 45' 5", quil faut ajouter à 1 86 jours pour avoir^Fintervalle qui les sépare, ce qui donne 1 861*, 489641 ; en multipliant par ce nombre le O|ioyen mouvement diurne 59' S", 33 , on aura le mouvement moyen du soleil dans rintervalle des deux observations ; cet arc retranché de son moiivement vrai dans le même espace de temps , est le double de la plus grande équation du centre, on trouve ainsi:

Moyen mouvement en i86i*, 48964 183» 4^' 47"

Mouvement vrai 179 5; 47

Différence 3 Si eo

ce qui donne pour la plus grande équation du centre... i<* 55' 3o". La valeur exacte de cette équation était , en i83o , de 1" 55' 27", la différence de 3" tient à ce qu'il est difficile de déterminer avec précision rinstant ou le soleil se trouvait dans sa plus grande équation, mais on arriverait très-près de l'exactitude en choisissant plusieurs observations du soleil , faites vers cet instant , et en fixant par interpolation le temps où son mouvement vrai par jour était égal au mouvement moyen tropique; la différence entre la valeur de la plus grande équation ainsi obtenue et la valeur véritable pourra

ainsi se réduire alors à une seconde , et les astronomes ont différents moyens de corriger cette i^tite erreur. Enfin, on pourra faciliter encore cette recherche en calculant directement par les formules du mouTcment elliptique les valeurs des longitudes du soleil qui répondent à la plus grande équation du centre (ce qui est facile quand on connaît à peu près l'excentricité et la longitude de l'époque) et en choisissant, parmi les observations données, celles qui en approchent le plus. ( f^oir là note 5.)

Formules du Mouvement elliptic[ue (page 338 )•

Soit, à un instant quelconque , M la position qu*une planète occupe sur l'ellipse ÂBCD décrite (figl io8) autour du soleil S, et soit P le lieu d'un astre qui décrirait le cercle ÂBE circonscrit à l'ellipse d'un mouvement xmiforme dans le même temps que la planète emploie à faire sa révolution périodique ; enfin , soit N le point où la perpendiculaire abaissée de la planète M sur le grand axe de l'ellipse rencontre le cercle ; ASM sera Vanomalie vraie, ou la distance angulaire dQ la planète au périhélie, ÂOP Y anomalie m(>^enne ou la distance de l'astre moyen au même point , et AON un angle auxiliaire qu'on nomme Vanomalie excentrique , et que les astronomes ont introduit dans les formules du mouvement elliptique pour en faciliter l'énoncé. Cet angle est , comme on voit , la distance an* gulaire au périhélie d'un astre qui décrirait le cercle AB£, en conservant toujours la même abscisse OQ que la planète. Il s'agit de déterminer les relations qui lient entre elles ces trois quantités.

D'après la loi de la proportionnalité des surfaces aux temps employés à les décrire, le secteur ASM est à la surface de l'ellipse comme le temps que la planète a mis à le tracer est à la durée de sa révolution totale , le secteur AOP est à la surface du cercle dans le même rapport , on a donc la proportion :

d'astronomie. 713

Sec. ASM : sec. AOP : : surf, de l'ellip. ; surf, duoer. : : MQ : NQ.

Les secteurs ASM et ASN , qui ont même base AS , sont entre eux comme MQ est à NQ ; on a donc :

sec. ASM : sec. ASN : : MQ : NQ.

£n comparant ces deux proportions^ on en conclut :

sec. AOP=sec. ASN = sec. AON —SON.

Désignons par a le demi-grand axe de l'ellipse , par e ton excentricité ; par u TanomaUe excentrique AON ; par nt l'anomalie moyenne AOM« n étant le moyen mouvement par jour, et /le temps écoulé depuis le passage au périhélie, on aura AO=a; OS=a^;

NQ=M{ sin. u; AM =<!«/, et par conséquent sect. AOP = - a*ni : sect. AON ■=- a^u; SON = - SO X NQ = - a^e sin u; en substituant

ces valeurs dans l'équation précédente , et divisant par a*, on aura donc : *

n/ = tt — tf sin. u (i)

Nommons r le rayon Tecteur SM , le triangle rectangle NOQ donne r ^ l/^MQ''-f SQ'' ; mais on a SQ= a ( cos. u — «) ; et par la

nature de l'ellipse MQ=NQ[/i — e*==a sin. mJ/'i — é% en substituant ces valeurs on trouve :

r=a ( I — e cos. u) (2)

Désignons par p l'anomalie vraie ou l'angle ASM, le triangle rectangle MSQ donne SQ = r cos. f' , on a d'ailleurs SQ=a cos. uÀ- ae , en égalant ces valeurs en vertu de l'équation (2), on aura éan.c .-

COS. u — e