I ^— * COS. V
On a d'ailleurs tang.^ -j'ss ^; en substituant pour cos. (^ sa
2 I -h cos. V
valeur, on trouve :
;.i.=\/'-if
tang. - <;= y '—i^ tang. - m (3).
7H »RÉCI8 s
Il serait fwiWe , au moyen des foitmiles ^fécétkntes , de déterminer le rayon vecteur, l'anomalie moyenne et l'anomalie vraie d'une planète , si l'on connaissait son anomalie excentrique , mais ordinairement c'est l'anomalie moyenne qui est donnée, parce qu'il est toujours facile de fixer à un instant quelconque la position* d'un astre qui se meut uniformément sur une orbite circulaire. 11 faudrait donc de la formule (i) déduire l'anomalie excentriqne u en fonction de l'anomalie moyenne ni; mais comme l'équation (i) est transcendante» on ne saurait y parvenir que par tâtonnement <m par des développements en série. Cette question , qui a longtemps oecupé les géomètres , est ce qu*On a nommé le problème de Kepler, parce que cet astronome est le premier qui le proposa.
Heureusement la petite^ des excentricités des planètes a permis de le résoudre par des formules d'approximation qui ont tontes l'exactitude de formules rigoureuses. En éliminant l'anomalie u entre les équations (i) (>) ^^ (^)* ^^ ^ trouvé ainsi :
- = I -f - tf*— (e — -r^j COS. ni — (^^ — ^^*) ^^* * ^' — ®^*
p*=:nt-i- [ 2e eM sin. nt + ( -e^ e* ] sin. 2 nf + etc.
L'angle t^ est la longitude craie de la planète dans son orbite au bout du temps i; tU est sa longitude mo^^ennet v^^nt on la suite
des termes ( 2 « — -^ ) sin nt + etc. est ce que les astronomes
appellent V équation du centré , c'est-à-dire ce qu'il faut ajouter à la ^longitude moyenne pour avoir la longitude vraie.
Nous supposons l'angle 9 compté du périhélie : si l'on voulait le compteir d'un point quelconque de l'orbite , il suffirait de diminuer l'angle v de la constante t» , qui représenterait la longitude du périhélie comptée de la nouvelle origine de l'angle v ; et de même si, au lieu de compter le temps de l'instant du passage au périhélie, on voulait fixer son origine à une époque quelconque , on augmenterait l'angle nt d'une constante qui exprimerait l'anomalie moyenne de la planète a l'instant où commence le temps /; on fait ordinairement cette constante égale à « — « , alors % représente la longitude moyenne de la planète au même instant, ou ce qu'on appelle n^ 108 la longitude de l'époque; nt + < est la longitude moyenne au bout du ten^ / , et n/ + i — » l'anomalie moyenne.
d'astronomie. 715
Pour calculer , d'après ks fonttoies précedenteg, le rayon vecteur d'une planète, on substituera à la place des constantes a^t,e»n leurs valeurs qui se déduiront des observations , comme on le verra dans la note suivante ; l'excentricité e étant en général une très-petite fraction, on négligera les puissances qui ne donneraient que des résultats insensibles. On voit ainsi que le calcul sera d'autant plus facile que lexcentricité de l'orbite sera moips considérable, ou que cette orbite se rapprochera davantage de la forme circulaire. En substituant ensuite pour t sa valeur correspondante à un instant donné , et exprimée en jours et fractions de jours , comptés à partir de l'époque que Ton a choisie , on aura la valeur du rayon vecteur qui s'y rapporte.
Quant à la longitude vraie v^ le calcul se fera de la même manière ; mais on observera , en outre , que comme cet arc doit être exprimé en degrés , minutes et secondes , il faudra pour l'hcHnogénéité du calcul multiplier chacun des coefficients des termes périodiques qui entrent dans son expression, par l'arc égal au rayon qu'on trouve dans les tables de logarithmes de S;" 17' 44'' 8 ou de 2o6264''>8 ; cette réduction revient , comme il est aisé de s'en assureir, à diviser chacun des coefficients par sin. i".
On pourra donc déterminer à chaque instafft de cette manière la position de la planète dans son orbite elliptique ; mais pour éviter le travail des substitutions numériques , on a calculé d'avance les variations de V équation du centre eiXes corrections du rayon vecteur, en faisant varier l'anomalie moyenne par mois , par jour et par heure ; en ajoutant aux tableaux qui renferment ces quantités , les petites corrections qui dépendent des perturbations que la planète peut éprouver de la part des autres corps célestes , on aura tout ce qui est nécessaire pour déterminer à chaque instant sa position. C'est ce qu'on appelle une table de la planète.
Les formules suivante» servent à calculer la plus grande équation du centre £ lorsqu'on connaît l'excentricité e , et réciproquement :
^^^e+—e'+^e'4-l221ïe''+^tc '
<î=-E ^E' ——V E'— etc.
On aura ensuite pour déterminer l'anomalie excentrique et Fana^
malie moyenne nt correspondantes à la plus grande équation du centre : -
«'=rqo<* : -: r— etc.
^ 4 8in. i" i28siii.i"
"'=9°°+^ fev^+â ;5é^+«'*-
Pour le soleil on a c=o,o 16786 7i=59'8",33, et Ton peut négliger les termes de Tordre e\ qui sont insensibles ; on trouve ainsi :
tczrgo»— 43'i6"=:890i6'44"; fc=92i-53
La valeur de v diffère peu de 90°, c'est-à-dire que les points qui répondent à la plus grande équation du centre , correspondent, à très-peu près , aux extrémités de la perpendiculaire au grand axe menée par le foyer, ce qui tient à la petitesse de Texcentricité de l'orbe solaire ; en ajoutant l'anomalie (^ à la longitude de l'époque , ou en l'en retranchant , on aura les longitudes, des deux points qui répondent à la plus grande équation du centre ; en doublant la va* leur de ^ , on aur%, à très-peu prés , l'intervalle qui les sépare. ( Voir la note 3*.)
Sur la détermination des éléments elliptique^ de Torbite d'une planèt»
par les observations ( page 339 )*
Nous avons donné les moyens de tro>uver , par la seule observation , les premiers éléments de l'orbite du soleil, de la lune ou d'une planète ; mais lorsqu'on suppose connues les lois du mouvement elliptique, il est aisé d arriver, par le secours des observations et de la théorie réunies, à une connaissance très-approchée de la vraie valeur de ces éléments.
d'astronomie. 717
En désignant par v la longitude vraie d'une planète rapportée au plan de son orbite, par n son moyen mouvement diurne , par » la longitude du périhélie, par t la longitude de Vépoque et par e Y excentricité de son orbite, d'après ce^qui a été dit dans la note précédente, on aura :
V = nt-\- i. — ne sin {nt + c — u) -\* ^e^ sin. a {nt -j- f — «) + etc.
Dans les premières recherches où il ne peut être question qi^e d'une ébauche , pour ainsi dire, de l'orbite , on pourra toujomrs se borner aux deux premiers termes de cette série, même en supposant l'orbite très-excentrique. Lorsqu'il s'agira du soleil ou d'une planète dont l'excentricité est peu considérable, on pourra même n'avoir égard qu'à*la première puissance de l'excentricité , ce qui simplifiera les calculs. Dans ce cas, en renversant la série, la formule jprécédente donnera : ^
M< 4- f = I» -f- ae jm (»» — a)
Cette équation contient quatre inconnues n, f, «, », qu'il s'agit de déterminer. Or je remarque que, si à la place dé peià&t on substitue leurs valeurs données par les observations, on formera autant d'équations semblables à la précédente qu'il y a d'observations , et quatre d'entre elles suffiront par conséquent à la détermination complète des inconnues du problème. 11 ne s'agira plus que d'éliminer entre ces équations les inconnues qu'elles renferment ; mais comme elles sont transcendantes , cette élimination doit être faite d'une manière particulière pour que les formules qui en résulteront ne soient pas trop compliquées pour les calculs numériques. M. Bouvard a indiqué pour cela un procédé qui me paraît très-symétrique et d'un usage aussi commode que la question pouvait le comporter; il m'a montré les applications qu'il en a faites au soleil et à Mars , ce qui était un cas très-défavorable à cause de la grande excentricité de cette planète qui surpasse neuf centièmes, et il est parvenu ainsi , sans supposer aucune notion antérieure des éléments de ces astres, à une précision telle que, ses résultats comparés aux valeurs des éléments adoptés dans nos meilleures tables planétaires, n'ont présenté avec elles que de légères différences; de sorte qu'en supposant seulement quelques lieux du soleil ou d'une plaoète exactement connus, un travail de quelques heures conduirait de cette manière à des résultats que les astronomes n'ont obtenus que par ^es siècles d'observations et de soins assidus. J'aurais désiré que l'es-
pace me permît d'ei^KMer ki en ^tôtail ce procédé de ctAevA et ses apfdîcatiom ; mais je me reit fcHPcé de renvoyer à l'ouvrage de M. Franccenr déjà eité {Jstronomie pratique) où Ton trouvera la méthode de M. Bouvard <lévelq[>pée'et apf4iquée à la détermmatioiï des éléments de l'orbite, solaire.
. Lorsqu'on a obtram par les moyens que nous veinons d'indiquer , pn de toute antre manière, des valeurs suffisamment approchées des éléments de l'orbite d'une planète ou du soleil, on peut aisément les amener à une exactitude aussi parfaite qu'il est possible de l'obtenir , ou moyen des équations de condition fondées sur un trèsgriqid nombre d'observations. Voici pour cela le procédé généralement employé par les astronomes :
En nommant F^Ibl longitude héliocentrique d'une planète déduite des tables, <;> = n / -f- e — » son anomalie moyenne; p, p' etc. les perturbations causées par les planètes m, m' etc. en n'ayant égard qu'au premier terme de l'équation du centre, on aura (voir la note 4^ ) :
Vz=z nt -f- i -|- 2 e m. ^-f- pm '\- p' m' -f etc. ,
Si les divers éléments n, «, e, etc. étaient rigoureusement exacts, la valeur de ^, calculée par cette formule, devrait s'accorder avec la longitude h^ooentriqne U donnée par l'observation ; s'il y a une différence entre ces deux valeurs, c'est donc que les éléments ont besoin de correction ; nommons respectivement in^S^t» <r<?, ^e\ei eorreetioiM que doivent subir les éléments n, e, t, ^ du mourenient elliptique de la planète troublée, et <f>n, cTin' etc., celles qu'il faudrait faire aux masses m, m' etc. des planètes perturbatrices, en ne tenant eompte que des premières puissances de ces corrections qui sont nécessairement très-petites, on aura :
V — U à= fJ» -f «Tfi -f a<re sin<^ 4. TlbS^^cos^ -f- pdm -f p'<fVn' + etc.
On substituera dans eette équation à la place des éléments e, n, a, ft leurs vatecMPS données par la première approximation, en sorte qu'elle ne renfermera d'inc^anues que les corrections arbitraires M^ Si^ ^e, etc. Chaque observation fournira une équation de condition seral»lable , et si l'on en a réuni un grand nombre, on combinera les équations résultantes de manière à les réduire au même nomlnre que cehd des eorreotions qu'il fout déterminer. Lorsqu'on en aura déduit leurs valeurs par les procédés ordinaires de l'élimination, on les appliquera aux éléments trouvés par une première approximation et Ton parviendra ainsi à leur donner toute l'exacti tude dont ils sont susceptibles.
Les comètes ayant généralement des excentricités très-considérables , la méthode prébédente ^e poiurait-pas être employée à déterminer les éléments de leurs orbites. 11 faut, dans ce cas, rocourir à des méthodes particulière». Oo suppose or^ÈtnairemeiKt que la comète se meut, pendant la courte durée de son apparition , dans une orbite parabolique, et trois observations fournissent alors plus de données qu il n'en fant pour déterminer tous les éléments de son mouvement sur cette courbe. Les axitres.observaitions servent ensuite à corriger les premiers éléments ainsi obtenus. Mais nous ne pouvons qu indiquer ici ce problème dont la solution exige des connaissances supérieures à celles que nous supposons aiuc lecteurs de eet ouvrage. (/^. Théorie aiû^ytique da i^ystème du MJE^ide, tome i«, p. i et 486.) *
Sur la loi de là ûravitalion ( page 5l4 )•
Nous avons dit que la force <|ui retient chaque planète dans son; orbite elliptique est constamment dirigée vers le cei^tre du soleil , et que son intensité varie en raison inverse du carré de la distance de la planète à cet astre. Nous avons, dans le u9 1 75, vérifié cette loi pour deux points particuliers de Torbite, c'est-à-dire à l'aphélie et au périhélie, et nous avons dit qulon pouvait, avec le secours de l'analyse, démontrer qu*elle s'observe de même dans toutes les po* sitionsde.la planète. Gomme cette proposition est de la plus haute importance dans la théorie delà gravitation, j'ai c^ru devoir en faire, l'objet de cette note qui s'adressera iniquement, aux pers(mni9t qoîx ont déjà des.connaissaaces analytiques assez avancées.
L'équation de l'ellipse rapportée à son cenjbre et à ses axes est :
et le rayon de courbure, dans la mâne bypothèse, a pour expression ( vq^. les éléments de calcul différentiel de Lacroix) * . •
Transportons Torigine des coordonnés au foyer F de la courbe
(fig.109) dont nous désignerons par e Tezcentricité , ce qui suppose
a* — ^* e^ == — ^. ), désignons par r le rayon vecteur sur Torbite et par »
sa longitude comptée du périhélie , on aura :
a: = r cot. V'-{- ae f y zzz r sin, v.
En substituant dans Téquation de la courbe ces valeurs et résolvant par rapport à r l'équation résultante, on trouve toute réduction faite :
l-f- e cos, V
C'est l'équation de la trajectoire rapportée à ses coordonnées polaires.
En substituant les mêmes valeurs dans l'expression de />, on aura •
a^y/i— <fV Va (i — «r^)
Expression du rayon de courbure en fonction du rayon vecteur r. Si l'on appelle V la vitesse de la planète au bout du temps /, qu'on désigne par dt l'élément de la trajectoire décrit pendant l'instant dt on aura' {yoy*, la note p. 488) :
ds'' V = — .
de
Du foyer F comme centre avec un rayon égal à r décrivons l'arc de cercle MN qui coupe au point N le rayon vecteur FM' qui répond à la position M' de la planète; cet arc a«ra pour longueur rdp ; et le secteur circulaire FMN que la planète décrit dans l'instant dt sera égal k^r^ dv et pourra être pris pour le secteur elliptique BIFM' en négligeant la surface N'MM' infiniment petite du second
ordre : les deux axes de l'ellipse sont a et a \/i e*, sa surface a
pour expression ^r a* \/^i — e* * en nommant donc T le temps d'une révolution entière de la planète, en vertu de la première loi de Kepler, on aura :
d'astronomie. 721
r» du : 2T a' \/i—ff' : : dt :T d*où en faisant pour abréger c = JL ^ on tire :
r^dtf =: c dt
Substituant la valeur de dt tirée de cette équation dans Texpression de V^ et observant d'ailleurs que le triangle MNM' qu'on peut regarder comme rectiligne donne MM'' = M'N'' + MN^ ou bien :
ds^ = dr" + r" dv^ On trouvera :
L'équation de Tellipse , en la difTérentiant, donne :
dr
a (i — tf"*) e sin v (i H- tf cos v)*
r^ e sin v
du"
Par consécpient :
r^ rr(«r^XlV V 4-
ri A
h e cos vY
Eipression qui en substituant pour c sa valeur et faisant pour abréger ^=: ■ , en vertu de 1 équation de Tellipse, pourra s'é-
crire ainsi :
Désignons par d l'angle OMP que forme la normale au point M avec le prolongement du rayon vecteur r, dans le triangle MM'N, l'angle M sera égal à l'angle ô puisqu'ils sont tous deux compris entre des droites respectivement perpendiculaires ; on aura donc dans ce triangle :
rdç
cos 6 = —-
ds
722 PBÉcis
On a par ce qui précède ds =Y dt; en vertu de la valeur précédente de dt on aura donc :
rdv c / COS. 9 = — - = —
ydt rV
En substituant pour V sa valeur donnée par la formule (2) et faisant attention aux quantités que c etf* rejûrésentent, on trouvera :
Gela posé, on peut supposer que la planète pendant l'instant dt se meut sur le cercle osculateur au point M; la force centrifuge dans le cercle a pour expression le carré de la vitesse du mobile divisé par le rayon du cercle , et diaprés la théorie des forces centrales n<^ 173, cette force doit être égale à la puissance qui retient la planète dans son orbite décomposée suivant le rayon de courbure. Cette dernière force est dirigée suivant le rayon vecteur r et vers le centre de courbure n» 1 76; en nommant donc R son intensité et observant que ô étant l'angle que forme sa direction avec le rayon de courbure, il suffira, piour avoir sa composante suivant ce rayon, de la multiplier par cor 9, on aura ainsi l'équation de condition :
R co/ ô = —
En substituant maintenant dans cette équation, à la place de f>, de V* et de cos B leurs valeurs données par les équations (i), (a) et (3), on trouve :
d'où Ton tire enfin :
Cette expression de la force accélératrice R nous montre qu'elle est en tous les points de l'orbite réciproquement proportionnelle à la distance de la planète au soleil , loi que nous n'avions pu vérifier dans le texte que relativement an périhélie et à l'aphélie.
Pour une autre planète dont le demi-grand axe serait af et le temps d'une révolution périodique T', on aurait de même
En faisant pour abréger// = ~^ ; or d'après la troisième loi de
Kepler, n*» 107, on a :
d*où l'on tire :
— - = — etuz=u' J** Y'3
Par conséquent, les forces accélératrices de deux planètes également éloignées du soleil sont égales et leurs forces motrices sont indépendantes de leur nature particulière et proportionnelles à leurs masses.
C'est de cette manière que Newton fut conduit à la découverte de la loi de la gravitation universelle ; on a depuis trouvé dans les perfectionnements de la mécanique analytique, des moyens plus simples de la vérifier; mais la marche que nous avons suivie dans cette note a l'avantage de montrer comment les théorèmes d'Huygens , sur la force centrifuge et les lois de Kepler, furent la source où Newton puisa la plus belle découverte dont puisse s'honorer l'esprit humain. L'étude des rapports par lesquels les progrès que nous avons faits dans les sciences s'enchaînent les uns aux autres, n'Mt peut-être ni moins utile ni moins curieuse que l'étude même des résultats qu'ils ont produits.
; j T ^^^ ^** râleurs des maweft planétaires (page 53 1 ).
Les valeurs des masses des planètes , celle du soleil étant prise pour unité , que nous avons rapportées dans cette page , sont celles qui résultent des évaluations les plus récentes ei sans doute les plus,
exactes. La masse de Mercure, laaeute qu'on n*ait pu jusqu'ici déterminer d'une manière directe, est calculée empiriquement, diaprés une hypothèse arbitraire sur la loi des densités des différentes planètes, densités qu'on suppose ordinairement réciproques à leurs distances au soleil. Les masses de Vénus et de Mars résultent de la comparaison des inégalités que leur action produit dans le mouvement de la terre aux observations; la masse de la terre est déterminée par les observations du pendule qui bat les secondes à une latitude donnée ; la masse de Jupiter est celle qlii résulte , d'après la méthode exposée p. 329, des élongations de son quatrième satellite , observées en i833 par M. Airy, alors directeur de Tobservatoire de Cambridge. Les masses de Saturne et d'Uranus sont celles qui résultent de la discussion des observations qui ont servi de base aux tables de Jupiter par M. Bouvard, et de leur comparaison aux formules théoriques qui déterminent les inégalités de cette planète. La valeur de la masse de Saturne a subi depuis quelques années une légère correction. M. BesSel , en répétant les observations faites par Pound , contemporain de Newton, sur les élongations du sixième satellite de Saturne , en a conclu que la masse de cette planète, celle du soleil étant prise pour unité , devait être égale à
35oi
Cette masse , selon M. Bouvard , serait égalé k-r^ — (p. 53 1) : la
petite différence de ces deux valeurs , qui résultent de moyens d'investigations si divers , semble prouver que nous connaissons , d'une manière an moins très-approchée , la véritable masse de Saturne.
Expression de la force perturbatrice du Soleil dans le mouvemant de la lune ( page 555 et suivantes).
SoitMla masse du soleil si tué en S(/?gr. 99), soitTlaterre, Lia lune,
et fx, la somme de leurs masses. Faisons ST=x , SL = /, UT = r, et
STL= T. D'après la loi de l'attraction le soleil attirera la terre avec
une force — dirigée suivant ST, et la lune avec une force -r di-
rigée suivant SL; on peut décomposer cette dernière force en deux
d' ASTRONOMIE. 725
autres, Tane dirige suivant LT, et l'autre suivant LA pacallèle à ST ; d'après les règles^ du parallélogramme des forces , ces deux
composantes seront respectivement : la première r^. -j, et la seconde
ji l: Si Ton suppose la terre immobile , il faudra appliquer à la
M lune la force -^ en sens contraire de sa direction. Les forces perturbatrices qui agissent -mir la lune sont donc définitivement *..
Mr T
dirigée suivant LT et M[ - — ", ] suivant LA.
Pour développer ces expressions, supposons d'abord les trois corps dans un même plan. Abaissons la perpendiculaire LB sur ST, on aura : SB = SL cos. S , l'angle S est toujours très-petit ; en effet
la parallaxe solaire est de 8''- à peu près , c'est l'angle sous lequel
on apercevrait du centre du soleil le rayon terrestre ; l'angle S , sous lequel on verrait du même point le rayon de l'orbe lunaire,
serait donc de 8' - environ , puisque ce rayon est 6o fois plus grand
que le premier. On peut donc supposer cos. S = i , et par conséquent SB = SL.
I I 3rcos.T Nousaurons ainsi SL = / = * — rcos. T et - =r - h -. hete»
En substituant cette valeur dans l'expression des forces perturba-
trices, et observant que le rapport y étant de — environ, on peut
négliger les termes qui dépendraient de son carré ;
Mr La force suivant LT se réduit à -r-> ^^ '& force suivant LA k
~3~'* Maintenant il s'agit de décomposer la force agissant suivant LA en deux autres , Tune agissant suivant le rayon LT prolongé, et l'autre perpendiculairement à ce rayon; il est clair par les règles du parallélogramme des forces , qu'il sulBra pour avoir ces deux composantes de multiplier l'expression de la force donnée respectivement par le cosinus et le sinus de l'angle T qu'elle lait avec Ll' : ces deux forces seront ainsi :
Mreoê.T ^ 3M#- , . ' . SMrcos.T .
= co».T=--^ (i+co§. aT); r sin. T.
La première doit s'ajouter à la force qui sollicite la lune saivaiit LT, et comme elle est dirigée en sens inverse , elle doit être prise avec un signe contraire ; la seconde est la partie de la force perturbatrice qui agit dans le sens du mourement de la lune dirigé suiiwtïtLq; et «onme/eHetend à ralentir son mourement, elle doit être prise arec le sign^ — ; en nommant donc P et Q les deux forces dirigée» suivant LT, et suivant la perpendiculaire à ce rayon* on aura :
Mr 3Mr P = — l(i+3cos.«T);Q= j-**"^- ''''•
La force P est celle dont Tefièt tend à augmenter ou à diminuer la force attractive de la terre , et la foirce Q celle qui tend à accroître ou à diminuer sa Vitesse.
Dans les syzygies on a T =o, ou T:^ 1800^ cejqtiidoDiie Ps= •«^•
Mr Dans les quadratures T=9oo, ouT=570® P5= — ^
Ainsi donc la pesanteur de la lune est augmentée dans les quadratures ; elle est diminuée dans les syzygies , et la diminution qui a lieu dans ces derniers points est double de l'augmentation qui a lien dans les premiers. Ce qui est coi^^Drme à ce qui a été dit dans le texte. {Pages 667 et 56a. )
Mr Mr
L'expression Ps= — 3*(i 4- 3cos. aT)= -^-(1— 3 cos.T) montre encore que Faction du soleil , pour diminuer la pesanteur de la lune , est nulle dans les quatre points de l'orbite , où l'on a
cos.T=±)/ ^ , c'est-à-dire dans les quatre positions de la lune
où Fan^eTest de 54* 44', laS» 16', 234^ 44^ et 3o5* 16', et où elle se trouve par conséquent plus près des «piadratures que des syzygies.
Mr La partie — de la force P représente la valeur moyenne de l'ac-
tion qu'exerce le soleil sur la lune pour diminuer sa pesanteur vers la terre, puisque la partie multipliée parcos. 2T, qui praad
d'astromoMie. 727
toujte» les Ti^eiiri compriaes eiitre+ i «t«-*i est uéetBÊêiwnmd périodique I eJL a pour valeur moyenne zéro. Or, d'i^tsès le tkéeréiiie d'Huygens, lei forces centrales dedenxeorpiquidéeriTenfcdifiEBrents cercles, sont entre eUes comme les rayons de ^et eerdes divisés par les carrés des temps périodiques {vo^éz p. 498) ; en désignant donc par m le rapport des durées des rérdutions de la terre autour du soleil, et delà luneautour de la terre, 6t/< représenlwttt la son^me des masies de la terre et de la lune, on auva la» proportion :
M M Mr M
•^, : — :: ^: m'x , ce qui donne -—=31»». C- .
or comme on a à peu près m= ~- — on conclura de là :
Id,4
Mr I /*
c*est-à-dlre que l'action indyenne du soleil diminue de r-~ Tattrac-
tùm de la terre sur la lune, conforno^ément à ce qui est d^ à Ja page 5$Ç. ^
£n0n , dans les oc^t^ on a T s= 45<^, et V^^pressipn 4e Q don^e :
^Mr^ I /* ax'i "^ 119 r*
Ainsi la force qui t^id à accroître la vitesse de la lune est triple dans les octants , ou dans les positions où la lune se trouve à 4^^ àvL soleil , de la force moyenne qui tend à diminuer sa pesanteur ; et
elle est '%a1e à — ^ de la f<Nrce cmvtrale provenant de Tadioa de
la terre , conformément à ce qui a été dit page SS; .
Sur la figure de la Terre ( page 609).
Nous avons supposé dans le n^* 226 que la terre avait la figure d'un sphéroïde engendré par la révolution d'une elljpse qui tourne autour de son petit axe , et nous avons dit cpi'on pouvait détermi-
7â8 PRÉCIS
ner » dans ce cas , l'aplatissement du sphéroïde d'après les Talenrs de deux degrés du méridien mesurés à sa surface. Nous allons donner la formule qu*on emploie ordinairement à cette détermination; mais il faut d'abord rappeler l'expression du rayon de courbure dans les courbes elliptiques.
Soit ABGD {Jig i lo) l'ellipse qui représente le méridien terrestre, M un point dont la latitude est /, la normale MN en ce point sera la verticale ou la direction du fil à plomb, qui, prolongée, passe au zénith Z, et l'on aura MNÂ = / puisque l'angle que forme la verticale avec l'axe des pôles mesure la latitude telle qu'elle est donnée par les observations célestes. Si la terre était sphérique , la normale en chaque point de sa surface serait partout la même et égale au rayon du globe ; mais dans l'ellipse sa longueur varie avec la latitude , et nous devons chercher d'abord le rapport qui lie ces deux quantités.
Pour cela décrivons sur le grand axe AB un cercle AFB qui enveloppe l'ellipse ; si du point M on abaisse la perpendiculaire MP sur l'axe AB et que par le point M', où cette ordonnée coupe le cercle, on mène la tangente M'T, qu'on joigne M et T, MT sera tangente à l'ellipse au point M, et par conséquent perpendiculaire à MN. Faisons l'angle M'OA = ^ , les angles M et M' étant droits , dans les triangles rectangles MNT , M'OT on aura MTN = 90» — l , M'TO=9o» — A, et par conséquent :
MP tang. MTP = cot. ' = pTf
. M'P tang. M'TP = cot. A = ^
En nommant a le demi-diamètre de la terré, et b le demi-axe des pôles , on a par la propriété de l'ellipse :
MP : M'P : : & : « d'où l'on conclut :
a cot. A =^ — - cot. / o
et par suite :
sin h =
b sin. /
Vi 4- cot'. h |/ a' — («'— ^' ) sin\ /
Ou bien en désignant par e l'excentricité du méridien terrestre
ce qui donne ^— — = c^ et A* = «' ( i — c^ ) :
V \ — e^ sin. /
sin A=:
Gela posé » dans le triangle M'OP on a M'P= /i sin. A , par conseséquent :
MP = ~ M'P == a |/7— ? sin. ^ a
M'P est le rayon du parallèle correspondant à la latitude / ; en nommant donc R ce rayon, et en substituant pour sin. h sa valeur , on. aura :
a (i — e*) sin./ R = ~
Kl— tf'8in\ /
Dans le triangle MPN on a d'ailleurs MP == MN sin. / , on aura donc :
