MN

C'est l'expression de la normale correspondante à la latitude /. Dans l'ellipse le rayon de courbure est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre; cette dernière quantité

a pour expression— ou a (i — ^^ ) , «n nommant donc p le rayon

de courbure qui répond à la latitude / , on aura :

(I— <?'sin\/)|

Cette valeur augmente avec la latitude /, la courbure du méridien terrestre diminue donc de l'équateur aux pôles ; le rayon f a sa plus petite valeur à l'équateur , on a alors /> = a (i — <?'); il est à

son maximum aux pôles, et l'on a /> = a \/ 1 — ff^. Or, comme les arcs qui correspondent à un même nombre de degrés sur différents cercles sont proportionnels aux rayons de ces cercles, et qu'on peut toujours supposer que de très-petits arcs elliptiques se confondent sensiblement avec les arcs correspondants de leurs cercles osculateurs , il en Vésulte que les degrés du méridien terrestre doivent

simplement:

c =; m 4- M sic*. /

Cette équation nous montre que les degrés croissent comme les rayons de courbure de Téquateur aux pôles , proportionnellement au carré du sinus de la latitude n^ 3i6; m représente la l<Higueur du degré à Féquateur et n Texcès du degré du pôle sur celui de Téquatenr.

En substituant dans l'équation précédente à la place de c et l leurs valeurs relatives à chaque lieu d'observation , on aura autant d'équations qu'il y a de degrés mesurés ; en combinant ensuite ces équations par la méthode des moindres carrés , méthode qui consiste, comme on sait , à déterminer les inconnues du problème de manière à ce que la somme des carrés des erreurs qu*on a pu commettre dans les observations, soit un minimum , on réduira ces équations à un nombre égal à celui des arbitraires qu'elles renferment , c'est-à-dire à deux équations au moyen desquelles on déterminera les deux coefficients m et n , et l'on en déduira la Yalenr de «t ; en efifet on a à très-peu près :

m 1 — 2 et

C'est de cette manière que nous avons trouvé la valeur de ^ rapportée dans le texte.

Voici le calcul. D'après les données rapportées dans le tableau page 62 3, on forme les équations suivantes :

à l'Equateur 11 0682°*, i — m — n o"*, 00070 = c

0) dans rinde 1 10626"*, 6 — m — n c^, o5l44 = «

(«) en France iiii?i", 2 — m — n o", 5oia5 = e

(>) en Snède 1 1 14^8", 5 — m — w o", 838^0 = e

En désignant par e e e e les erreurs dont les mesures des degrés sont Susceptibles. .

D'après les règles connues il faut multiplier chacune de ces équations par le coefficient de l'indéterminée m qu elle renferme ,

d'astrowomie. 733

et faire la somme des équations résultantes ; ce coefficient étant Tunité , on trouve simplement :

En multipliant de même chaque* équation par le coefficient de n et égalant leur somme à zéro , j'ai trouvé :

m I™, 39229 -f n 0% 95765 — i55oo6",27 = o

L'élimination de m et r entre ces deux équations donne :

On aura donc généralement pour la longueur du degré à la latitude / :

c = 110578"», 54 + 1089", o4 ""*• ' et par suite

aplatissement cl =---—-— ^ 3o4,6

demi-diamètre de Téquateur a = 6377284°" demi-axe des pôles ^ === 635664 1™

Ce sont les valeurs rapportées dans le texte, page 62 2 .

Des TariatioDs de la pesanteur et de la longueur du pendule à la surface

de la terre.

La longueur /du pendule qui bat les secondes dans un lieu dont la latitude est x , a pour expression, p. 601 :

/=m + nsin.'x

m et n étant deux quantités inconnues qu'il faut déterminer par l'observation, m représente , comme on voit, la longueur du pen-

'79h PRÉCIS d'astronomie.

dtde quand x :=o on sons rëquâteor, et n l'excès du pendule aa pôle sur le pendule de 1 equateur. Deux observations doivent suffire en général pour déterminer ces deux arbitraires ; si Ton en a réuni un plus grand nombre , on formera autant d'équations de condition qu'il y a de longueurs du pendule mesurées à différentes latitudes , et, en les combinant par la métbode des moindres carrés, comme on l'a fait dans la note précédente , on les réduira à deux équations au moyen desquelles on déterminera les inconnues m et n. En prenant les noittbres rapporta page 624 , et notammant ^»«,,^„ etc. les erreurs dont les observations sont susceptibles , on aura :

m -h n o™,ooooo — o'",99o564 = e m -h n 0,56672 — 0,998867 =^1 m + /i 0,84829 — 0,99532$=: tf.

Ces équations, réduites parla méthode des moindres carrés, donnent les suivantes :

d'où l'on tire :

m = 0^,990590 ; n = o™,oo564,3 On aura donc généralement pour déterminer la longueur du pendule à secondes dans un lieu dont la latitude est x :

/ = o™,99o590-Fo™,oo5643 8Jn.* X.

Ce sont les valeurs dont on a fait usage dans le texte pour déterminer l'aplatissement du sphéroïde terrestre.

TABLE AMIVTIQUE