INÉGALITÉS PLANÉTAIRES

Moyens qui offre la constitution du système solaire pour simplifier leur recherche, — Inégalités périodiques, — r Inégalités séculaires. — Inxfariabilité des grands axes et des moyens mouvements. •*— Stabilité du sys^ tème solaire. — Grande inégalité de Jupiter et de Saturne. — Plan invariable.

I B5 . Nous ayons dit que robservation attentive du mou- Toment des planètes avait montré qu'elles ne se nieuvènt pas rigoureusement dans ded ellipses , et qu'elle^ sont soumises à des écarts plus ou moins considérables que nous avons nommée inégalités , et dont la précision des observations oblige à tenir compte lorsqu'on veut déterminer l^ur véritable position. Nous venons de voir que là loi de la gravitation universelle explique d'une manière très-simple ces perturbations. En efiet, Tattractiori est une propriété générale qui appartient à tous les corps célestes; Taction réciproque qu'ils exercent le» uns sur les autres doit donc altérer lés mouvements qu'ils auraient , s'ils n'obéissaient qu'à l'action du soleil. Les orbites des planètes ou des comètes , et celles que les satellites parcourent autour de leurs planètes% ne seront donc pas des ellipses parfaii^es, comme cela aurait lieu

pour une planète isolée qui circulerait autour du soleil ; les courbfes que ces astres décriront seront d'autant plus compliquées, qu'on aura à considérer Taction perturbatrice d'un plus grand nombre de corps , et c'est une question d analyse qui a longtemps exercé la sagacité des géomètres que celle où Ton se propose de déterminer les courbes que doivent décrire les planètes et les comètes lorsque Ton connatt Jes causes qui troublent leurs mouvements elliptiques.

Ce problème, dans toute sa généralité, présenterait par sa complication des difficultés insurmontables, et ce n'est qu'en le simplifiant qu'on a pu entreprendre de le résoudre. On a su profiter pour cela des facilités qu'offraient la figure des corps célestes et la disposition des différentes parties du système solaire. Les grandes distances qui séparent les planètes entre elles effacent les causes secondaires qui pourraient contrarier leurs mou** vements, pour ne laisser subsister que les effets des forces principales qui les animent ; leur forme presque sphérique et là petitesse de leurs dimensions relativement à leurs distances mutuelles , font que leurs actions sont à très- peu près les mêmes que si leurs masses étaient réunies dans leurs centres de gravité (1). Il en résulte que lorsqu'on n'a égard qu'à leur mouvement de translation, on peut faire abstraction de leur figure, et regarder, les planètes et lés satellites comme un assemblage de popits matériels sifr lesquels sont corwîentrées les masses entières des corps qu'ils représentent.

. La faible excentricité des orbites planétaires et la pe-

( i) Voir la note page 523.

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iUesse de leur inclinaison à l'écliptique facilitent beaucoup la recherche de leurs perturbations ; mais de toutes les circonstances que présente la disposition du système du monde , la plus favorable y sans contredit, à la solution de ce problème est celle qui provient de ce que les forces qui troublent les mouvements elliptiques des planètes , des comètes et des satelli tes , étant en général très* petites relativement aux forces principales qui les animent , leur action ne fait que causer, dans les mouvements de ces astres , de légères altérations, sans pouvoir changer leur nature. Il en résulte que dans une première approximation on peut négliger tout à fait l'action des forces perturbatrices ; les orbites des planètes > des comètes et des satellites sont alors des ellipses parfaites , et nous avons vu , n** 181, que l'analyse fournissait toutes les données nécessaires pour en déterminer les éléments par l'observation. On considère ensuite , dcUis une seconde approximation , les termes que les forces perturbatrices introduisent dans les formules ^ en négligeant tous les termes qui renferment les carrés ou les puissances supérieures de ces forces ; cette seconde expression suffit à la plupart des cas. Si cela est nécessaire, cependant , on peut dans une troisième approximation avoir égard aux carrés et aux produits des forces perturbatrices, et, en continuant ainsi , on parvient, par des approximations successives, à assigner le lieu de la planète avec une exactitude qui peut surpasser celle des observations les plus précises.

Cette manière de procéder à la solution d'un problème par des essaisd'une exac titude toujours croissante, lorsque la solution directe surpasserait les forces de l'analyse, est

d'un usage très-commun dans toutes les partiesdes ma thématiques.EUe semble éminemment appropriée à notre faiblesse , qui , en s'éle^ant par degrés insensibles , ne trouve cependant rien dans la nature qu'elle n'ose abordor.

iB6. Les inégalités du mouvement elliptique-des planétesy résultant de leur action mutuelle les unes sur les autres, se divisent en deux classes distinctes. Les premières, dont l'accroissement est très^lent, ne se rendent sensibles à l'observateur qu'après un espace de t^nps considérable. On les a nommées par cette raison inégalités séculaires; les autres, plus rapides dans leur marche , sont simplement. pmWx9fie5; c'est -à «dire qu après avoir été en' croissant pendant un certain temps , elles vont ensuite en diminuant, et ne produisent sur la position de la planète que des chan^ments altei'natifs.

Les inégalités périodiques ne dépendent que des lieux qu'occupent dans l'espace les différents corps du système solaire , et repreuQent les mêmes valeurs toutes les £ôis que ces corpa reviennent à la même situation respective. Les variations périodiques aflectentdonc simplement les positions des planètes dans leurs orbites , tandis que les variations séculaires affectent les éléments mêmes de ces orbites (1). On peut donc regarder les variations périodiques comme de légères corrections à faire à la position

(i) Soit AGB (ûg. di) l'orbite elliptique d'une planète , qm par l'efTet des variations séculaires peut, par des nuances insensibles, devenir AC'B, le grand axe AB demeurant invariable. V. n* 187. On se repi*ésentera le mouvement vrai de la planète, en imaginant qu'elle se meut autour d'un astre fictif qui décrit la courbe AGB suivant les lois du mouvement elliptique , sur le contour d'une petite orbite ahc dont la nature dépend des in^^galilës périodiques dont la planète est affectée.

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de la plauète calculée sur son orjbite elliptique corrigée de ses variatious séculaires 9 et en les introduisant sous cette forme dans les tables y on aura d'une manière trèssimple le lieu vrai de la planète^

Lqs illégalités séculaires affectent^ ccmime nous l'avons vu et d'une manière continue, les dimensions et les posi^ tions des prbites , en sorte qu^il pourrait arriver que^ daus les siècles futurs, le système planétaire en fût en*tièrement bouleversé. Gomme ces variations sont extré» mement lentes et; ne se manifestent qu'après un grand npmbre de siècles, l'observation ne pourrait rien ap-> prendre sur la marche de ces inégalités, et la théorie seul^ peut satis&iire à cette importante question. Les géomètres ont donc du l'étudier avec une attention spé^ ciale , et ils sont arrivés à des résultats très-satisfaisants« en n^ontrant qu'en vertu de la constitution particulière du système solaires, les inégalités séculaires des éléments qui influent principalement sur la forme et les dimen-*sioDS des orbites, sont alternatives comme les inégalités périodiques ; leur efiet seulement est beaucoup plus lent à se manifester, en sorte quç la permanence du système entier le maintiendra éternellement par la suite dés siècles dans l'état où il çst aujpufd'hui.

187. La stabilité du système solaire repose sur les deux conditions suivantes : 1" que les valeurs moyennes des grands axes des orbites planétaires demeurent invariablement les mêmes; 3*^ que les inclinaisons et les excen^ tricités ne soient pas assujetties à des variations qui écartent considérablement ces. orbites de la disposition et de la forme qu'elles ont aujourd'hui.

On ccmço^, en efiet, que si les grands axes étaient

soumis à des inégalités croissant progressivement avec Je temps, la figure des orbites pourrait s'altérer considérablement par la suite des siècles , quoique ces changements ne fussent pas sensibles pour nous depuis le peu de temps où l«s observations ont acquis une précision suffisante. Le grand axe, en croissant ou en diminuant successivement, pourrait changer l'orbite elliptique d'une planète en une parabole , ou la réduire à se précipiter dans le soleil. Une conséquence non moins importante d'une semblable variation , et dont les efiets se feraient encore beaucoup plus promptement sentir, serait ceux qui en résulteraient sur les durées des révolutions planétaires. En effet /il est aisé de se convaincre, par la troisième loi de Kepler, qu'une variation proportionnelle au temps, dans l'expression du grand axe , en produit une proportionnelle au carré du temps dans la durée deja révolution de la planète (1). L'accroissement progressif du grand axe sera donc infiniment plus sensible sur le temps périodique de la planète que

(1) Soit T le temps d'une révolution sidérale d'une planète, a le demi-grand axe de son brbite , la distance moyenne de la terre au soleil étant prise pour unité » T' Tannée sidérale ; on aura T2 : T2 : : û3 : 1, d'où l'on tire T=sa^ T'. En supposant donc que l'expression du demi-grand axe contienne une inégalité proportionnelle à T', il en résultera dans a * un terme de la forme AT', et par suite dans T un terme de la forme AT'2. En sorte c(ue si la variation du grand axe croît comme le temps , la variation du temps périodique croîtra comme le carré du temps, et par conséquent d'une manière beaucoup plus rapide. Ainsi , par exemple, les variations du grand axe au bout du premier , du second , du troisième siècle, seront représentées par la suite des nombres 1,2, 3, etc. , tandis que les variations de la durée des périodes seroAt entre elles comme les nombres 1, 4, 9, etc.

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sur la figure de son orbite, et il en résultera dans son moyen mouvement des inégalités qui pourront devenir très-considérables lorsqu'on comparera les observations anciennes aux modernes. C'était donc une question fort intéressante à examiner par la théorie que celle de savoir à quel genre d'inégalités l'expression des grands axes des orbes planétaires pouvait être assujettie. Cette recherche a conduit à l'important résultat dont voici l'énoncé : Les grands axes des orbites et les durées des révolutions ne sont soumis à aucune inégalité séculaire ou susceptible de croître indéfiniment avec le temps. Ils ne sont assujettis qu'à des inégalités périodiques qui , dépendant uniquement de la configuration du système , reprendront les mêmes valeurs toutes les fois que les corps qui le composent reviendront aux mêmes positions respectives , soit entre eux , soit par rapport à leurs nœuds et à leurs périhélies.

C'est cette propriété très-importante qu'on désigne ordinairement sous le nom de Vini^ariabilité des grands axes et des moyens mouvements planétaires ; on voit qu'elle n'exige pas que les grands axes des orbites soient rigoureusement inaltérables, et les observations faites à diverses époques peuvent indiquer des différences sensibles dans les durées des révolutions et dans la grandeur des grands axes des orbites, mais ces différences seront alternatives, et après avoir été en augmentant pendant un certain temps , les grands axes iront ensuite en diminuant, ce qui assure l'invariabilité de leurs valeurs moyennes.

Les résultats précédents s'appliquent à tous les éor^s de notre système planétaire; mais c'est surtout dans la théo-^

rie de la terre que leur importance se fait sentir, à cause de l'influence que les inégalités de son moyeu niouve- Hdent auraient sur la durée de l'année sidérale , élément que les astronomes ont toujours regardé comme invariable , et qui sert de base aux calculs de toutes leâ tables des mouvement» célestes. Il était difficile de constate^ cette invariabilité par la comparaison des observations, parce que les modernes comprennent un trop court iûtei^valle dé temps, et que les anciennes sont trop peu exactes pour en conclure rien de certain sur une donnée aussi délicate ; mais la théorie a montré d'une manière incontestable que l'année sidérale n'avait jamais subi aucune altération provenant de cette cause que la suite des siècles ait pu rendre sensible. '

i68. La stabilité du système du monde est donôparfôit^nent assurée sur ce point. Gotisidérons maiïileiiant les variations des excentricités et des inclinaisons. Ces deux déments ne sont plud, comme lès grands axes , assujettis à de simples inégalités périodiques ; ils sont soumis à des inégalités indépendantes de la situation mutuelle des corps du système, et, par conséquent, la forme des orbites et la position dei grands axes peuvent éprouver dans là suite des altérations considérables. Mais , si les excentricités et les inclinaisons étaient susceptibles de croître indéfînimeot^ les orbites , aujourd'hui presque circulaires, pourraient devenir à la longue très-excentriques , et finir même par changer totalement de nature. De même , les plans de leurs orbites dont les inclinaisons mutuelles sont peu considérables pourraient s'écarter indéfiniment les uns des autres , et le zodiaque devrait être successivem^t élargi pour renfermer les orbites de toutes les

planètes » au bien la zone qui le contient, se resserrant de plus en plus , finirait par se réduire à un seul et même plan. Mais le calcul montre que ces (changements sont à jamais impossibles ; par cela seul que toutes les plané* tes tournent dans le même sens autour du soleil , les va^ riationd séculaires des excentricités et des inclinaison^^ augmentent et diminuent successivement, en sorte que les orbites planétaires s'approchent ou s'écartent insensi*blement de la forme circulaire « et leur inclinaison à l'écliptique augmente ou diminue alternativement; mais ces variations seront toujours ccNOiprises entt'e d'étroites limites qu'elles ne peuvent pas dépasser. Les excentri* cités et les inclinaisons demeureront doue très-petites dans tous les temps, comme elles le sont aujourd'hui , et les orbites planétaires conserveront la forme a peu près circulaire , et seront toujours renfermées dans une zone étroite de la sphère céleste. Les grands axes demeureront constamment de la même grandeur, et les moyens mouvements uniformes , autant , du moins , que l'on n'a égard qu'aux perturbations qu'ils peuvent éprouver par l'action réciproque des diiférents corps du système. Il est donc impossible que l'orbite dnneplanète aitdifiérésen-^ siblement de ce qu'elle est aujourd'hui, ni qu'une pla* nète ait été autrefois ou'puisse un jour devenir comète; l'écliptique, parla même raison, ne coïncidera jamais avec l'équateur, et les^ lipiites^ des variations de son obliquité ne peuvent excéder trois degrés.

189. Ainsi donc, le systèine solaire ne fait qu'osciller autour d^un état moyen , dont il ne s'écarte jamais que d'une très-petite quantité. Les seuls changements considérables que peuvent éprouver les orbites planétaires

sont relatifs à la position des périhélies et des nœuds. En effet , les variations séculaires des deux éléments qui déterminent ces points ne sont pas limitées comme celles des excentricités et des inclinaisons , et elles peuvent, dans Tintervalle de plusieurs milliers de siècles il est vrai, embrasser la circonfiérence entière. Ainsi, nousavons vu cfue le périhélie de lorbe terrestre a présentement un mouvement direct de ^6"',kk par année, et en remontant par le calcul à Tépoque où , 6n vertu de ces variations , le périgée solaire coïncidait avec Téquinoxe du printemps , nous avons trouvé , n° 37, que cette coïncidence avait dû avoir lieu 3976 ans avant le commencement de notre ère, époque qui diffère peu de celle queja plupart des chronologistes assignent au commencement du monde. Cette faculté donnée aux géomètres, de remonter ainsi à tous les états passés et futurs du système solaire, par l'application de laloi*dela gravitation universelle, est sans doute l'un de ses plus merveilleux résultats. Le tableau suivant présente les variations séculaires des éléments elliptiques des planètes principales. On peut par une simple proportion en déduire les variations de chaque élément pour un intervalle d^ temps quelconque, et à l'aide de la table n"* 114, qui donne les valeurs de ces éléments au commencement de ce siècle, ou en conclura leurs valeurs correspondantes à une époque déterminée. Ce tableau est calculé pour 1801 , le signe — marque une diminution, ou un mouvement contraire à l'ordre des signes du zodiaque^ On voit que les nœuds des orbites ont tous un mouvemeat rétrograde , tandis que les périhélies , celui de Vénus excepté, ont un mouvement direct.

Variations en 100

années juliennes , ou 36, &3t6 jours.

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