INÉGAI.1TES DU MOUVESIEIVT DB LA LUNE

Elles résultent de l'action perturbatrice du soleil. — Mesure de cette force ^ — Examen des diverses inégalités qu'elle produit. — J^ariation* — Election. Equation annuelle. — Moifvement du périgée. — Mowement des nœuds. — Equation séculaire du mou-^ t/enient moyen, du mout^emenï du périgée^ et de celui des nœuds. — Parallaxe du soleil et aplatissement terrestre déduits des inégalités lunaires.

193. Nous avons vu, dans le chapitre V (f* partie), que la lune était, de tous les astres, celui dont le mouvement est sujet à des inégalités plus nombreuses et plus considéraUes. Aussi , la théorie de la lune a-t-elle en tout temps vivement préoccupé les astronomes et les géomètres p autant peut-être à raison de ses difficultés même, que desesnombreuses et importantes applications. Les nations maritimes surtout , frappées de son utilité pour l'avancement de la géographie et de la navigation , ont fait de nobles efforts pour hâter ses progi*ès , et les prix proposés par le gouvernement anglais ont produit les premières tables delà lune assez précises pour être d'un usage avantageux dans la pratique de Fart nautique. Quelquesunes de ses inégalités , et les plus considérables , ont d'abord été déterminées par les observateurs, qui se sont

con&tainment occupés de cet astre depuis les ajacic^os Ghaldéens jusqu'à nos jours ; mais il y avait loin de là à une connaissance exacte de tous les mouvements de la lune , et ce n'est qu'après que là découverte de la gravitation universelle eut permis aux astronomes de distinguer les divers arguments des inégalités lunaires > dont i]s ont ensuite déterminé les coefficients par l'observation, que les tables de la lune ont pu faire de rapides progrès, et arriver au degré de perfection qu'elles ont atteint aujourd'hui.

Si la lune n'obéissait qu'à l'action de la terre ^ elle décrirait, en vertu des lois générales de la gravitation, une ellipse dont le centre de la terre occuperait un des foyers; et d'après les formules connues du mouvement elliptique, il nous serait facile d'assigner à chaque instant sa position sur son orbite. Mais les nombreux écarts auxquels ce mouvem^Qt est sujet, nous indiquent l'existence •de forces perturbatrices qui détournent continuellement la lune de la roule qu'elle suivrait si.eUe n'était soumise qa'fii la pesanteur terrestre , et doait il $iut d'abord rechercher la cause. Or, en examinant quels sont lesastres^ dans notre système planétaire, qui agissent sur la lune, on reconnatt que le soleil peut seul 9tYoir sur ses mouvements une influence sensible , H c'est^ par celte raisoii, que Ton a «kin^ié à la qluestioii qui a pour objet de déterminer le mouvement trouUé de la lune autour de la terre , d'après la théorie de la gravitation, le nom de des trois corps.

^ 194* Silescdeilétaitàunedistanceassez grande pour que les actions qn il exerce sur la terre et la lune, pussent être considérées comme égales et dirigées suivant des droites

d'asthonomie. 55&

patallties , elles ne troubleif^aieût pas le mouvement rela<« tif de cés'd^ux astres » et elles ]:i'auraient«ur leurs mou*^ Tements absolus qu'une infiuence qui leur serait com^ mune. C'est donc de la différence des actions que le so^ leil exerce sur la terre et sur la lune , que résultent les inégalités dont 'cet astre est affecté. La grandeur de ces altérations doit dépendre des intensités relatives de la force perturbatrice et de la force principale , ou du rapport des actions du soleil et de la terre sur la ïnne. La masse du soleil est au moins 350,000 fois plus considérable que celle de la terre , mais sa distancé à la lune e^t 400 fois plus grande que celle de la terre an même astre ; d'ailleurs , c'est seulement de la différence des actions que le soleil exerce sur la lune et sur la terre que résultent les perturbations du mouvement lunaire. On s'assure aisément que cette différence est proportionnelle à la masse dû soleil , divisée par le cube de la distance du soleil à la lune (1) ; représentons par AL (yfg. 96 ) Faction du soleil ainsi réduite , lorsque la lune est au point L de l'orbite qu'elle décrit autour de la terre T, décomposons cette force en deux autres , l'une BL, di-

(1) Désignons par M la masse du soleH, par / et / se» distances

respectiyes à la terre el à la lune > ^ et j; seront les actions qu'il

exerce sur cbacnn de ces deux cotrps ; nommons r la distance 4e la

lune à la terre, et supposons pour plus de simplicité la lune en

conjonction avec le soleil , on aura / = x — r et par conséquent

^ = , = - (1 4- -^ + etc.); on aura donc, pour la' différence

des actions que le soleil exercesor la terre et la lui^e , - — ^^ s;:; ~ ;

en négligeant les termes diyisés par jr4 et par le^ puissances supérieures dex, termes qui sont nécessairement li'ès-petits, à cause de la grande distance de la terre au soleil relativement à celle de la lune à la terre.

rigée suivant le rayon TL , l'autre Le , perpendiculaire à ce rayon. La grandeur respective de c&b deux composantes est déterminée par le parallélogranime abLc , et Ton voit y d aprëst la figure , que Tune aura pour effet de diminuer la pesanteur de la lunq vers la terre, et l'autre, d'augmenter sa vitesse dans son orbite. Par les expressions analytiques de ces forces » on trouve que le rapport de la valeur moyenne de la première force, c'est-àdire de la diminution de la pesanteur de la lune , provenant de l'action du soleil , à la pesanteur totale résultant de l'action de la terre , est à très-peu près égale au double du carré du rapport des révolutions de la lune et dii soleil autour de la terre. Or, le mouvement de la lune étant 13 fois environ plus rapide que celui du soleil, le rapport précédent est de 7V à peu près, et l'on en conclut que , la force centrale qui retient la lune dans son orbite , est environ 358 fois plus grande que la force perturbatrice qui tend à l'en écarter.

Cette force change d'intensité et de direction dans les différents points de l'orbite lunaire , elle est tantôt plus forte , tantôt plus faiUe que sa valeur moyenne ; la lune, est tantôt plus approchée , tantôt plus éloignée du soleil que la terre, et çn la suivant pendant Tune de ses révolutions , on s'assure aisément que sa pesanteur sur la terre est tantôt augmentée et tantôt diminuée par l'action du soleil , selon les positions respective^ des trois astres. L'action du soleil augmente la pesanteur de la lune dans les quadratures , c'est-à-dire lorsque la distance angulaire des deux astres esldcOO""; elle la diminue dans les syzygiesj c'est-à-dire lorsqu'ils se trouvent sur le même rayon visuel mené delà terre ; mais l'accroissementdansles

d'astronomie. 55T

premiers points n'est que la moitié de la diminution qui alieudansles seconds. Elle se réduit à zéro dans les quatre positions où la lune se trouve à 40® 44' des syzygies, ou à, 35^ 16' des quadratures. C est-à-dire que, dans ces' quatre points, situés à angles droits sur Torhite, la pesanteur de la lune n'éprouve aucune altération par Faction du soleil.

La force LC, perpendiculaire au rayoti vecteur LT, et qui tend à accroître la vitesse de la luné , est triple dans les octants ou dans les points où la lune se trouve à 45** du soleil , de la force mojrenné provenant de Faction du soleil , et qui tend à diminuer la pesanteur. Nous avons vu que cette force était 3—, à peu près de la force centrale provenant de Faction de la terre ; Faction du sdeil qui tend à faire varier la vitesse de la lune , est doinc la IIU'' partie environ de la même force.

195. Ainsi donc , quoique le soleil soit incomparable-» ment plus grand que la terre , sa distance à la lune étant beaucoup plus considérable que celle de la terte au même astre , la force perturbatrice, qui provient de son action sur la lime, est très-^petite, relativement aux forces principales qui l'animent. Elle introduit donc simplement dans le mouvement ellipti^jue de la lune autour de la terre, des inégalités du même genre que celles qui résultent dans le mouvement elliptique des planètes autour du Sjoleil , de leurs actions mutuelle^; seulement, comme la fo^çe perturbatrice est, dans le cas de la lune , beaucoup plus grande , et le mouvement de l'astre troublé beaucoup jdusrapide, les coefficients des diverses inégalités seront en général plus considérables , et leurs périodes beaucoup plus courtes.

3S8 PBÉcrs

Ces inégalités pourront se partager comme les précédentes, en deux classes distinctes ; les inégalités périO'^ diques , c'est-à-dire celles dont letendue est limitée , et qui , dans un espace de temps assez court ^ reprennent successivement les mêmes valeurs \ et les inégalités sécu^ laires ou simplement pro^re55iVe5, c'est*4rdire ceUes qui croissent indéfiniment avec le temps , et qui sont indé* pendantes des positions respectives de l'astre troublé et de l'astre perturbateur. Les premières font varier la position de la lune sur son orbite elliptique , les seccmdes altèrent insensiblement les éléments de cette orbite , et cb<ingent rapidement la position de ses nœuds et de son périhélie. On peut donc , conformément à ce qui a été dit n*" 186, se représenter aisément le mouvement troublé de la lune, en supposant que son lieu moyen se meut, suivant les lois du mouvement elliptique, sur une ellipse dont les éléments sont variables , les nœuds et le périgée mobiles , et que la lune décrit autour de ce point une courbe qui dépend des inégalités périodiques dont son mouvement est afiecté. De cette manière, le mouvement vrai de la lune autour delà terre paratt s'effectuer sur une suite d'épicycles, et c'est, en effet, ainsi que les anciens astronomes , jusqu'à Tycbo-Brabé , l'avaient représenté.

196. Nous avons dit que l'action du soleil augmente et diminue alternativement la vitesse de la lune, selon sa position par rapport aux syzygies, c'est-à-dire à la ligne qui joint les centres du soleil , de la lune et de la terre lorsque ces astres sont en conjonction ou en opposition, n en résulte des altérations périodiques dans le mouvement elliptique de la lune ; tantôt elle est en avant, tan-

d\§tromomie. 559

tôt eDe demeure en arrière de .la position qu'elle aurait sur son orbite par le seul efiet de l'attraction de la terre. Ces inégalités, qui dépendent de la position respective du soleil et de la lune, vus de la terre, ont reçu le nom de

yariàtion dans la théorie lunaire. La plus considérable d^entre elles est celle qui a pour argument le. double de la distance angulaire de la lune au soleil , sa période est donc moitié de la durée d'un mois synodique. Cette illégalité, tantôt additive et tantôt soustractive, ai,igm^nte et diminue alternativement Téquation du centre ; elle est nulle dans les syzygies et les quadratures , et elle atteint sa plus grande valeur dans les octants lorsque la lime est à iS'^des syzygies, elle peut s'élever alors à 39' 30", n** 5J. La partie dé la force perturbatrice du soleil qui fait varier la pesanteur de la lune vers la terre , produit ïé* f^c^zoTi, la plus considérable des inégalités lunaires et la plus anciennement connue. Elle fut découverte par Pto* lémée ; avant lui Hipparqoe avait déjà reconnu l'excentricité de l'orbite et l'équation du centre qui en résulte; il avait montré par là pourquoi la vitesse de la lune n'est pas toujours la même, et pourquoi elle atteint son maximum et son minimum aux extrémités de la ligne des apsides. Ptolémée remarqua que les quantités absolues de ces vitesses extrêmes varient d'une révolution à l'autre, et que plus le soleil s'éloigne de la ligne des apsides, plus la différence de ces vitesses devient considérable. Cette inégalité peut s'expliquer par une contraction ou une dilatation de l'excentricité de l'orbe de la lune résuli tante des variations de sa pesanteur causées par l'actiondu soleil. £n effet, supposons (/%. 97) la terre en T, au foyer de l'ellipse ABCD que déc;rit la lune ; si au moment où

560 tRÉcis

cet astre arrive à l'apogée en A , le soleil se trouve en S , en sorte que la ligne des apsides coïncide avec la ligne des syzygies, ia lune se trouvera en même temps dans sa plus grande distance à la terre et dans sa plus courte distance au soleil. La diminution de Tintensité de la pesanteur, produite par l'action de cet astre, est donc d'autant plus sensible que l'attraclion du soleil est alors la plus forte qu'elle puisse être , tandis que l'attraction de la terra est réduite au minimum de sa valeur. Au contraire, lorsque la lune se trouve au point opposé en B', la force centrale résultant de l'actioii de la terre, a atteint sa plus grande valeur, et la diminution qu'elle éprouve par l'action du soleil est la plus petite possible. Il suit de là que la différence des deux distances TA et TB', ou l'excentricité qui en est la moitié, doit paraître plus considérable lorsque la ligne des apsides est située dans la position que nous lui avons supposée,que lorsqu'elle coïncide avec la ligne des quadratures. Cette variation de l'excentricité de l'orbite de la lune , en produit une correspondante dans sa vitesse , et il en résulte une inégalité très-sensible dans son mouvement en longitude. Cette inégalité augmente continuellement l'équation du centre dans les quadratures et la diminue dans les syzygies. Elle a pour argument le double de la distance de la lune au soleil, moins la distance de la lune à son périgée. Sa plus grande valeur est de 1"* 16' 29". Elle a été reconnue , comme nous l'avons dit , par. les anciens astronomes , mais ce sont les astronomes modernes qui lui ont donné le nom. d'éi^ection sous lequel elle est généralement désignée.

L'orbite du soleil n'étant point circulaire, sa distance

D ASTRON^j^ïir,. 561

à la luûe est tantôt plus grande %t tantôt plus petite que sa distance moyenne. Quand le soleil est en hiver dans sa plus grande proximité de la terre ou dans son périgée, son action , devenue plus puissante , retarde le mouvement de la lune^ et ce mouvement s'accélère à mesure que le soleil avance du périgée vers l'apogée. L'ellipse lunaire semble se dilater ou se contracter tour à tour, selon qu elle est plus ou moins échauffée par les rayons solaires , /et l'astre, par conséquent, doit mettre un temps plus pu moins long à la parcourir. De là résulte dans l'expression de la longitude de la lune une inégalité qui dépend dé la distance du soleil au périgée ou de son anomalie moyenne. Cette inégalité a, comme on voit, le même argument que l'équation du centre du soleil, mais elle est affectée de signe contraire , en sorte qu'elle ralentit le mouvement lunaire quand celui du soleil augmente , et réciproquement elle l'accélère quand elle diminue le mouvement dti soleil. Cette inégalité reprend les mêmes valeurs lorsque le soleil revient à la même position dans l'écliptique ; sa période est donc celle d'une année anomalistique , et on l'a nommée par cette raison équation annuelle. Elle s'élève à 11' 13" dans son maximum.

Ainsi donc, la partie LC {fig. 9ft) delà force perturbatrice du soleil , en ralentissant et accélérant tour à tour la vitesse de la lune, produit la uarialion, et l'autre partie LB de la même force, en faisant varier la pesanteur de la lune vers la terre , donne naissance à V élection et à Y équation annuelle. On peut encore attribua à la même cause le mouvement très- sensible que l'observation indique danç Y axe des apsides. £n effet, la lune atteint

son périgée au moment où sa vitesse acquise est à son

562 pyfcis

fnaximumi et où elle a , par conséquent , le plus de force pourcontre-balancerrattractiondelat«rre,n° 181; l'action du soleil, en altérant la pesanteur de la lune vers la terre , doit donc faire varier ce point et la position du périgée. Mais le mouyement qui en résulte est nécessairement alternatif. £n effet , l'attraction du soleil , comme nous l'avons vu , diminue la pesanteur de la lune vers la terre dans les syzygies» tandis qu'elle l'augmente dans les quadratures; la ligne des apsides a donc, dans ces deux points, un mouyement dirigé en sens inverse: dans le premier cas, ce mouyement tend à rapprocher le périgée lunaire du soleil» et il est direct; dans le second, il tend à l'en écarter, et il est rétrograde. Mais comme la diminution de la force centrale dans les syzygies est double de son augmentation dans les quadratuifes(l), ilenrésulte que la quantité dont le périgée s'est avancé dans Tordre des signes surpasse ceUe dont il a rétrogradé; l'ei^cès du premier mouvement sur le 'second constitue le déplacement annuel du périgée. Ce mouvement , rappcnrté à Téquinoxe, est, selon l'observation, de 40^ 39' hS!' en 365jours moyens solaires, n** 51 , ce qui produit une révolution sidérale en 3232,5756 jours et une révolution tropique en 3231, 4<75 jours, ou neà^f ans à peu près. Clairaut essaya le premier de déterminer ce mouvemeiit par la théorie, et ses premiers calculs ne lui ayant donné que la moitié de sa valeur, il en avait conclu que sur Ce point la loi de l'attraction en raison ini^rse du carré desdis^ tances était en défaut ; mais ayant eu égard au carré de la force perturbatrice qu'il avait négligé d'abord, il retrouva la seconde moitié du mouvement du périgée qui

(1) Voir les notes.

avait échappé à sa première approximation , et reconnut àtec satisfaction que toutes les inégalités du mouvement lunaire , comme celles des autres mouvements célestes , pouvaient s'expliquer sans qu'on fût obligé d'altérer en aucune manière l'admirable simplicité de là loi de la gravitation .

Les trois équations dont nous venons de reconnaître la cause s^ajoutent à Téquation du centre dans l'expression de la longitude vraie delà lune ; l'attraction du soleil produit encore dans son mouvement elliptique diverses autres inégalités périodiques, mais moins importantes, et que , nous désignerons sous la qualification générale de perturbations. On aura ainsi :

Long, ivraie = long, moy.^équat, du cent. -\' év^ection -{- i^ariation + équat. annuel, + perturbations,

iQj. Considérons maintenant les inégalités de la latitude. La lune ne se meut pas dans le plan de l'écliptique comme nous l'avons supposé jusqu^ici ; son orbiie est inclinée de 5® environ sur ce plan t il en résulte que l'action perturbatrice du soleil s'exerce généralement suivant une droite oblique à l'écliptique. Du centre de la lune abaissons une perpendiculaire sur ce plan , et par cette perpendiculaire et la direction de la force perturbatrice, concevons un plan qui coupera l'orbe lunaire suivant une droite quelconque. On pourra décomposer la force perturbatrice^ en. deux autres forces, l'une dirigée suivant cette derrière droite» l'autre suivant la pei'pendiculaire âVécliptique. La première force agissant dans l'orbite même de la lune est celle qui, en altérant sa vitesse et sa pesanteur, produit les inégalités de la longitude dont nous venons de parler ; la seconde tend eontinuellement

^Gk PRECIS

à rapprocher la lune du plan de l'écliptigue ; elle e»t nulle dans les quadratures et dans les nœuds , parce que l'action du soleil est alors dirigée parallèlement au plan de Técliptique ou dans ce plan même ; dans les points intermédiaires , elle produit sur la position de l'orbite lunaire des effets très-sensibles.

Soit EE' l'écUptique {fig. 98), LNL' l'orbite de la lune et L& le petit arc qu'elle décrirait dans on instant pour se rapprocher de son nœud descendant N, sans l'action du soleil ; soit La l'espace que cette force perturbatrice tend à lui faire parcourir dans le même intervalle en la ramenant vers l'écliptique. La lune , en vertu des deux forces qui la sollicitent , décrira la diagonale L/ du parallélogramme hlab; l'orbite lunaire de LNL' se change donc en LNJJ , et le^ nœud qui était en N se trouve transporté en N'. NN' est Ja projection d'un petit arc de l'écliptique qui représente le mouvement du noeud N, danis l'intervalle que la luné met à passer de L en /, et l'on voit que ce mouvement est dirigé de l'est à l'ouest , c'est-à-dire en sens contraire du mouvement de la lune en longitude; mais on observera qu'en même temps l'inclinaison LNE de l'orbite lunaire à l'écliptique est devenue LN E* et comme ce second angle est plus grand que le premier , l'inclinaison va en croissant tant que la lune est au-dessus de l'écliptique Quand la lune passe au-dessous de ce plan, par exemple en L', il est aisé de voir par l'inspection de la figure que l'action du soleil , dirigée suivant L'c , changeant l'orbite de LN'L' en L'^'L", l'inclinaison diminue, tandis que le nœud au contraire conserve toujours un mouvement rétrograde.

D^ASTRONOMlf:. 565

Ainsi donc l'action perturbatrice du soleil cause dans le plandeTorbite lunaire une espèce de balancement autour de la ligne des nœuds ; mais l'accroissement d'inclinaison qu'il éprouve lorsque la lune es tau-dessus de Técliptique compensant la diminution qui a lieu quand elle se trouve au-dessous du même plan , l'inclinaison moyenne demeure la même dans tous les siècles ; la même force, en amenant la lune à traverser l'écliptique plutôt qu'elle ne le ferait sans cette action, change la direction de la ligne des nœuds , et leur fait parcourir d'un mouvement rétrograde 19" 19' h^\ 32 ep 365 jours moyens solaires, ce qui produit une révolution tropique en 6798,281 jours, et une révolution sidérale en 6793, 391 jours, c'est^-dire en 18 ans et 7 mois environ. La rapidité des mouvements du périgée et des nœuds de l'orbe lunaire forme l'un des points les plus remarquables de la théorie de notre satellite, et ce qui la distingue essentiellement de la théorie des planètes, où les déplacements des mêmes points s'effectuent avec une lenteur séculaire.

Les mêmes causes qui altèrent l'inclinaison et la position des nœuds de l'orbe lunaire produisent des variations périodiques dans l'expression de la latitude qui résulte de ce que la lune n'est pas en mouvement dans le plan même del'édiptique. Les inégalités de la latitude sont en général beaucoup moins considérables que celles de la longitude; la plue forte s'élève à 8' 47" dans son maximum , elle a été d abord reconnue par l'observation , et c'est h Tycho qu'on en doit la découverte. Les autres ont été indiquées parla théorie aux astronomes, qui ont ensuite déterminé leurs valeurs par l'observation; elles sont beaucoup plus faibles que la précédente , el la plus con^ sidérable ne dépasse pas 25''.

L'attraction de la terre produit encore dans l'orbite de la lune un mouvement d'oscillation semblable à celui que l'attraction de la lune produit sur Téquateur terrestre, et d'où résulte le phénomène de \dinutation^ comme on le ▼erra chap. XI. Ce mouvement est ce qu'on nomme par analogie, la natation, ^e la )une. Son étendue dépend de ^'aplatissement de la terre et peut servir à le déter^aer.

1 98 . Les principales inégalités périodiques du mouvement lunaire avaient été découvertes et déterminées par l'observation longtemps avant que la loi de la gravitation ne nous en eût expliqué les causes; mais la théorie pouvait seule nous donner Iç moyen de reconnaître la marche des inégalités de la seconde espèce , ou des inégalités séculaires, à cause de Textréme lenteur avec laquelle leurs variations s'eflectuent. La plus remarquable est celle qui afiecte le moyen mouvement de la lune. En comparant entre elles des observations faites à de grands intervalles , on avait remarqué que les observa-^ tions donnaient à la lune une position moins avancée dans son orbite qu'elle ne devrait l'être lorsqu'on la calcule au moyen des tables astronomiques ; et comme les différences sont trop considérables pour être attribuées aux erreurs des tables ou à rincertitudé des observations , on a dû en conclure que le mouvement de la lune déterminé par les observation^ actuelles est plus rapide qu'il n'était autrefois : d'où il résulte qu'en appliquât ce mouvement à des époques antérieures, nous reculons la lune dans son orbite plus qu'elle ne devrait l'être pour correspondre exactement aux observations. Cette accélération du moyen mouvement est surtout sensible lorsqu'on compare successivement les positions de la lune

d'àstrqmomie. 567

calculées par les tables mpderues, a^ec les observations de Ptolémée, et les obsertations faites à des é{>oque5 plus récentes. On reconnaît alors que les différences sont d'autant moindres que les observations sont p\\xs rapprochées de nous ; elles ne sont pa$ proportionnelles aux intervalles écoulés, et l'accélération qui en résulte dans le joioyen mouvement croit à trèë-péu près tomme le carré des temps. Ainsi, en la supposait de 10"',7232 dans le premier siècle , elle sera de 42'', 8982 à la fin du second, et ainsi de siiitte, c'est-à-dire qu'on aura raccélération du moyen mouvement de la lune à une époque quelconque , en multipliant 10", 7232 par le carré du nombre de siècles écpulés depuis l'époque d'où l'on compte le temps, et l'on déterminera la position de la lune à un instant quelconque, en ajoutant cette accélération à son mouvement séculaire.

Cette accélération est ce qu'on nomme P équation sé^ culaire de la lune; elle a toujours été [H'ogressivé depuis les plus anciennes observations qui nous soient parvenues jusqu'à l'époque actuelle ; mais la théorie montre que cette inégalité est périodique comme toutes celles qui afiectent lea^^ mouvements planétaires ; sa périôdfe seulement est extrêmement longue, elle embrasse des millions d'années^ et l'intervalle qui nous sépare des plus anciennes observations n'en a développé encore qu'une trèsrfaible partie.

Les géomètres ont longtemps Vainement cherché à reconnaître la cause cachée de cette inégalité; c'est Laplace qui eut enfitl le bonheur delà trouver , et cette découverte doit être mise au rang de ses plus beaux travaux, n fit voir que l'équation séculaire de la lune est

568 FAÉCIS

due à l'aolion du soleil sur notre satelHte, combinée avec la variation sécnlaire de Teiccentricité, de l'orbe terreâtre. Cette variation est peu sensible dans le mou» vement de la terre ; mais réfléchie^ pour ainsi dire , par le soleil , selon l'expression de Laplace , elle devient très^sensible dans le mouvement de la lune. L'équation séculaire de la lune va en augmentant quand Texcentricité «le Forbite terrestre diminue, comme cela a eu lieu depuis les anciennes observations jusqu'à nous, mais elle deviendra négative quand l'excentricité parvenue à son minimum^ cessera de diminuer pour commencer à croître. L'accélération du mouvement lunaire se cbangéra alors en un retardement; mais un grand nombre dé siècles s'écoulera avant cette époque , et l'inégalité qui en résultera dans le mouvement séculaire de la lune pourra s'élever jusqu'à 8 ou 9** avant qu'elle ne change de signe.

19g. Laplace a encore reconnu , dans les éléments qui déterminent la position du périgée et des nœuds de l'orbe lunaire , des inégalités séculaires qui dépendent de la même cause que celle delalongitude moyenne, c'est-à-dire delà variation de l'excentricité de l'orbite terrestre. Il en résulte que les mouvements de ces deux points ne sont pas rigoureusement uniformes ; ils ch^angent insensiblement de grandeur dans les différents siècles; le mouvement du périgée et des nœuds se ralentit quand le mouvement moyen s'accélère , et réciproquement (1). L'inégalité du mouvement du périgée est quadruple de celle du moyen mouvement et affectée d'un signe contraire ;

(1) Les équations séculaires da moyen mouTement , des mouTe-

d'astronomie. 669

celle de la longitude du nœud est égale a six dixièmes de cette même inégalité , ou plus exacten&ent les équations séculaires de ces trois mouvements sont comme les nom-^ bres 1,-3,70197 et —0,61206.

Ces inégalités sont trop petites pour qu'elles eussent pu se manifester par l'observation directe, parce qu'elles seraient longtemps restées confondues dans les erreurs dont les observations sont susceptibles ; mais lorsque la théorie les eut découvertes et qu'on Tes eutfaït entrer dans le calcul, elles se sont vérifiées d'une manière admirable par l'accord des phénomènes. Ainsi , des éclipses Chaidéennes ont été représentées avec une grande exactitude en tenant compte des trois inégalités séculaires ; tandis que si Ton n'y avait point eu égard y les différences se seraient élevées à plusieurs degrés. ( Connais^ sance des Temps, 1801 ).

La théorie indique encore , dans lexcentricité et dans l'inclinaison de l'orbite lunaire , des inégalités séculaires dépendantes de la même cause que les précédentes; mais elles seront toujours trop peu considérables pour qu'elles puissent devenir sensibles par les observations.

' La position de Fécliptique étant variable , il semble qu'il en doit résulter, dans l'inclinaison de l'orbe lunaire sur ce plan, des inégalités semblables à celles que les variations de l'excentricité de l'orbe terrestre introduisent dans. la longitude; mais la théorie montre que

ments du périgée et des nœnds sont respectivement, selon M. Damoiseau :

Moyen mouv. = 10", 7232 P + 0",O19361 î».

Mouv. du périgée =*-39", 6971 i2 — 0",071674 i», MouT. du nœud = — 6", 5632 £2 — 0",ai 1850 13, i étant le nombre de siècles écoulés depuis 1801.

570 pnÉcis

rattraction du soleil ramène Torbite lunaire constamment à la même inclinaison sur Técliptique , en sorte que les latitudes restent les mêmes que si ce plan était invariable. Cette constance dans l'inclinaison moyenne de l'orbe lunaire à l'écliptique est confirmée par toutes les observa tions , et cette orbite n'éprouvera que des altérations qui seront toujours insensibles.

aoo. La théorie indique encore , dans le mouvement de la lune , un grand nombre d'autres inégalités dont les arguinehts dépendent, soit du mouvement de la lune et du soleil dans leurs orbites respectives, soit simplement des changements progressifs du périgée et du nœud de Torbe lunaire. Comme ces dernières inégalités croissent beaucOiip moins rapidement que les premières , à raison de la lenteur des mouvements de ces deux points comparés aux mouvements du soleil et de la lune, on les a nommées, pour les distinguer, inégalités 2i longues périodes. VAlts forment, dans la théorie de là lune , une classe à pïtrt ; leur détermination présente de grandes difficultés, mais elles ont donné l'explication de quelques anomalies singulières que l'observation avait indiquées dans le mouvement lunaire , sans qu'on en put découvrir la cause. C'est ainsi qu'tlne petite inégalité à loilgue période, dépekidaMe de la longitude .du nœud de la lune 9 d'abord signalée par Mayer et Massoh ^ avait été rejetée par les géoïnètres, comme ne se rattachant pas à la théorie de la pesanteur, lorsque Laplace reconnut qu'elle résultait de la non-sphéricité de la terre, et qu'elle pouvait, par conséquent, donner la mesure de son aplatissement. £n effet ; l'on conçoit que si Ton calcule par la théorie le coefficient dé cette inéga-

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lité , en laissant comme arbitraire dans cette détermination Taplatissement du sphéroïde terrestre , qu'on compare ensuite le résultat de ce calcul au coeiËcient donné par l'observation , on en pourra conclure la valeur de la quantité indéterminée. Burg et Burckart , par un grand nombre d'observations, ont fixé cette inégalité à 20^,987, ce cpi donne, pour l'aplatissement du sphéroïde terrestre, la fraction g-—, valeur qui s'accorde aussi bien qu'on peut le désirer avec celle qui résulte des mesures directes prises à la surface de la terre, et qui a l'avantage aétre ihoins affectée que celles-ci des irrégularités de sa figure. Ainsi donc , la lune, dont les éclipses avaient fait connaître aux premiers astronomes la sphéricité de la terre (p. 184), leur a servi, quand la science a été plus avancée, à déterminer avec exactitude sa figure , et à mesurer son aplatissement.

201. Mous avons vu, n** 179 , qu'en supposant que la force qui retient la lune dans son orbite soit la pesanteur terrestre, diminuée en raison inver3e du carré de la distance de la terre à cet astre , la hauteur dont la lune descend, suivant la verticale, dans une seconde, est exactement celle dont un corps pesant , placé à la distance de la lune , s'avancerait vers la terre dans le même intervalle. Or, cette hauteur est connue par l'observation , puisque c'est le sinus verse de l'arc que notre satellite décrit dans une seconde de temps (n° cité) ; nous connaissons, par les expériences du pendule , la hauteur dont' un corps grave à la surface de la terre tomberait dans lé même intervalle ; en égalant ces deux expressions , nous en pourrons donc conclure la distance de la lune à la terre en fonction du rayon terrestre, c'est-à-

dire la parallaxe de cet astre, ou bien, en supposant cette parallaxe connue par les observations, nous en pourrons conclure la grandeur du rayon terrestre. On retrouve par ce calcul , pour la parallaxe lunaire , une valeur à très-peu près égale à celle que nous avons déduite des observations directes, n° 5o.

Il existe dans l'expression de la longitude de la lune une inégalité qui dépend du rapport des distances de la lune et du soleil à la terre ; et comme la distance de la lune est connue, on en peut conclure la distance du soleil à la terre ou l'expression de sa parallaxe. Cette inégalité, par cette raison, a reçu le nom A' inégalité par allactique. Elle a pour argument la distance de la lune au soleil , et l'observation a donné à Burg 122", 38 pour son coefficient. Cette valeur, comparée à celle qui résulte de la théorie , donne 8", 5605 pour la parallaxe du soleil , ce qui diffère feu de 8", 5776 , valeur de cette parallaxe que Ton a conclue du dernier passage de Vénus sur le soleil {s^oir n° 83). Sans doute, ce n'est point l'un des résultais les moins remarquables de la loi de la gravitation universelle, que de voir ainsi enchaînés l'un à l'autre des phénomènes qui semblaient n'avoir aucun rapport entre eux , et la figure de la terre , sa grandeur, son aplatissement, sa distance au soleil et à la lune, pour la connaissance desquels des savants laborieux ont entrepris tant de périlleux voyages, déterminés par un astronome , sans sortir, pour ainsi dire, de son cabinet , d'une manière plus exacte peut-être qu'elles ne le seront jamais par des mesures directes.

202 . En résiunant tout ce que nous venons de dire , on voit que la théorie explique d'une manière très-satisfaif

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saute les principaux phénomènes que le mouTementde la lune nous présente,, tels que les déplacements de la ligne des apsides, de la ligne des nœuds, les oscillations du plan de l'orbite lunaire, etc.. La loi de la gravitation suffit pour rendre compte de toutes les grandes iné-^ galités que l'observation a fait successivement décou^ vrirdans le mouvement de la lune, et elle en a indiqué de nouvelles qui, par la complication de leurs arguments ou Tétendue de leurs périodes , seraient demeurées longtemps confondues entre elles sans qu'on pût en deviner les causes. L'analyse indique à l'astronome les arguments des inégalités qui, par quel^ ques circonstances particulières, peuvent devenir sen-* sibles, et l'on détermine leurs coefficients par la com-^ paraison des observations les plus propres à faire ressortir les nouvelles équations auxquelles on veut avoir égard, et à en constater l'existence (1). C'est par la réunion de ces deux méthodes , le cale i et l'observation , qu'on est parvenu à donner aux tables des

(1) C'^t de cette manière qu'ont été formées les premières tables un peu exactes que nous ayons eues du mouvement de la lune : ce^ pendant on peut déterminer toutes les inégalités du mouvement lunaire par la seule application de la théorie de la gravitation, et en n'empruntant à Tobservation que les données indispensables qui dépendent de la position de la lune et des éléments de son orbite elliptique, aune époque donnée. Cette méthode est sans doute, pour un esprit philosophique, la plus satisfaisante, puisqu'elle fait sortir d'un même principe toutes ses conséquences, mais les calculs qu'elle exig^ pour atteindre à la précision des observations sont extrêmement pénibles. Au reste , nous possédons aujourd'hui des tables fort exactes calculées dans les deux systèmes : par l'observation et la théorie réunies , celles de Burg, de Bnrckart; par la seule théorie, celles de M. Damoiseau.

S^lk PRECIS

mouTements lunaires la précision, qu^elles ont aujourd'hui ; les erreurs qu'elles peuvent présenter, clans les cas les plus défavorables, ne s'élèvent guère à plus de 12 à 13". Avant Newton, on n'aurait pu répondre de l'exactitude à 6' près, quoiqu'on employât dans la formation des tables les cinq équations principales de la lune , dont les deux premières , l'équation du centre et 1 évection , avaient été assez bien déterminées par les anciens astronomes , et les trois autres, la variation , l'équation annuelle et l'inégalité de la latitude, par Tycho et Kepler. La théorie de l'attraction a donc enfin soumis à l'astronomie cet astre qui , par le grand nombre et l'étendue de ses perturbations, semblait vouloir échapper à toutes ses prévisions et présenter h ses investigations un problème impénétrable.

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