PC ~ PI ~ PM
qui conduil à la relation unique — |- - = - ^ P P f
à la condition Jv donner à p et p' le signe -f s'ils sont réels ou correspondent à dei plaints situés du c6ti! du la surface rôflécbis.saote du miroir, et le signe — s'ils sont Tirlut'ls ou correspondent à des ])oints situés du côté opposé (634).
OPTIQUE
PI, tirer la normale CI du point d'incidence, et construire un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence (fig. 444] : on obtiendrait le conjuré P' par l'intersection du rayon réfléchi et de l'axe secondaire CP. On pourrait, en particulier, mener le rayon du sommet PM : l'intersection de CP et du rayon réfléchi donne P' (fig. 445).
Fijf. 444.
La connaissance des propriétés du foyer principal et du plan focal permet de trouver P' sans mesures d'angles ni de longueurs.
Conjugué dPun point lumineux situé sur Vaxe principal. — Menons un rayon PI quelconque; pour avoir le rayon réfléchi (fig. 446), considérons PI comme appartenant à un faisceau do rayons parallèles entre eux ; parmi ces rayons, celui qui passe par le centre C est à la fois rayon incident et rayon
rtfléchi, le point F' où il rencontre k- jiliiu focal est le foyer siromlaire <lu faisceau parallèle à l'I; tous les ravDns réflC-oliis du faisce:ui piissiint par K', ir sera le rayon réflOohi provenant du rayon incident PI; le |M)int de reiicuntre P do IF' et do l'axe |iriiici|>al est le point ennjuguc de- P.
Conjugué Sun point luMiiwii.i: situé sur l'uxe secondaire. — On peut construire par la méthode précédente le rayon réfléchi correspondant à un
466 COtRS DE PHYSIQUE
rayon incident quelconque. Le conjugué de P se trouve à l'intersection h rayon réfléchi IF' et de l'axe secondaire CP (fig. 447).
Habituellement on n'utilise que le foyer principal.
Conjugué d'un point lumineux situé sur un axe secondaire.—
Menons un rayon PI parallèle à l'axe principal, le rayon réfléchi correspondant passe par le foyer F ; l'intersection du rayon réfléchi IF et de l'axe secondaire CP sera le conjugué P' (fig. W8).
Une autre construction consiste à mener le rayon PF ; ce rayon se réfléchit en V, parallèlement à l'axe principal, et son inVetsection avec l'axe secondùie Fig. 448. donne P'.
630. Image d'un dijet. — L'image d'un objet est l'ensemble des images de ses différents points.
Image d'une droite perpendiculaire à l'axe principal. — On entend par petite droite une droite qui est vue du centre de courbure sous un petit angle.
Quand l'objet est une petite droite perpendiculaire à l'axe, la construction est simplifiée, car l'image est aussi une droite perpendiculaire à l'axe.
Prenons en effet pour objet un petit arc de cercle concentrique au miroir; chacun de ses points N a son image N' sur le rayon correspondant; comme tous les points N sont à la même distance du centre, leurs images N' I >;: 41.1. seront aussi aune même
distance du centre.
Un arc de cercle de centre C a donc pour image un autre arc de cercle concentrique ifig. 449). Si les axes des extrémités de ces arcs
OPTIQUB
loni entre eux un petit aaglc, ces arcs peuvent être confondus avec leurs tangentes en N et N', c'est-à-dire avec des perpendiculaires à l'axe principal, ce qui permet de dire qu'une droite perpendiculaire à l'axe a pour image une autre droite perpendiculaire à l'axe. Tout point lumineux de l'une a son foyer conjugué sur l'autre. Pour construire l'image d'une droite PN perpendiculaire à l'axe, il i de chercher l'image d'un point de cette droite, et d'abaisser de : image une perpendiculaire à Taxe : ce sera l'image de la droite. tes ilroiles PN et P'N' sont dites droites conjuguéen^^'.
631. Constimction de l'image d'une droite. — Une droite ' P.\ étant donnée, nous construirons l'image P' d'un point P par l'in- |l«rsection de deux rayons réfléchis dont la marche est connue : 1° l'axe
»Ddaire PC ; 2° le rayon réfléchi correspondant à un rayon incident
lllèle a l'axe principal ; nous abaisserons une perpendiculaire sur i'axe du point P' d'intersection de ces deux rayons réfléchis, P'N'sera fimage de PN. Nous construirons encore l'imaj^e P' par l'intersection
l'axe secondaire PC et du rayon réfléchi l'P' correspondant an lyon incident PF.
632. Variations de position et de grrandeur de l'image. — I* Droite réelle, au delà du foyer principal. — Nous allons
Fig. 150.
appliquer successivement les deux constructions de l'image et exprimer pour chacune le rapport de grandeur de tt de l'image à l'objet.
(I) Imagt d'un plan prrpnuUcutiiirt à taxe. — Eq fiU»ant touruer le )>laD Ji: In figura
kul^ur ik l'ttxii priiii'ipiU. les droites PN, P'N" engniidruot doux plan» perpeudioulaires
ix-ipnl : CCS plant sont àX\% plans conju^uis. Tout point de l'an do ces pUni a
'■ur In pisn cunjuguii.
Pour luQUIruiri! l'Iuiiigu il'uu plao perpondiculairi! à l'axe princip&l, il tulflru donc da
' cti<rrcb«r l'iuuge P' d'un point I', et d'aliaisnec du P' un pliiu pvrpondiculairo u l'axe.
\" construction : posons FM^/", NM = /) NTM^/)'; remarqaons que PN^IM,. IM, est la perpendiculaire abaissée du point I sur l'axe. On peut confondre M et M, pour un miroir de très petite ouverture.
Considérons les triangles semblables IMF, P'N'F {ûg. 430),
P'N'FN' />'—/• IM ~FM~ f '
2* consiraction : (fig. 451) P'N' = rM; ItA étant la perpendiculaire
abaissée du point l' sur .
l'axe.
Dans les triangles semblables l'MF, PNF
^ ^^- ' l'M FM f
pN~FN~;n7"
Egalons les 2 va-
Fig. 4jl.
leurs de
d'où pf+p'f=pp' et l-^J. = Y D'après la construction, l'image est réelle et renversée.
La figure 452 montre la marche du faisceau issu d'un point A de rol)jet et venant converger en A' après réflexion.
2° Droite réelle, entre le foyer et le miroir. — Posons NM =/>,
OPTIQUE
N'M =/>'; remarquons que les perpendiculaires IM et l'M abaissées de 1 et r sur l'axe sont égales à PN et P'N'.
Triangles semblables IMF, P'N'F (fig. 453) , ^ = ^ = £L+/. Triangles semblables l'HP, PNF (fig. 454), ^ = ^ = -X.
d^où p'f-pf=pp' eli-i = i.
Fig. 4i:i.
Fig. 4:i4.
Le point de concours P' des rayons réfléchis ne peut être rendu visible en y plaçant un écran puisqu'il est situé derrière le miroir; on le dit virtuel, il n'est visible ({ue pour un œil recevant les rayons réfléchis. D'après la construction, l'image est droite, virtuelle et plus grande que l'objet.
I<a figure 455 représente les
rayons par lesquels l'image P'
est vue par l'œil. Du point P'
on mène le cône qui s'appuie
sur le contour de la pupille, on
joint au point P les points d'intersection de ce cône avec le
miroir: les rayons obtenus sont
ceux que l'œil reçoit après la
réflexion.
3* Droite virtuelle en arrière du miroir. — PN' serait une image
réelle formée par une lentille convergente ou un miroir concave si
l'interposition du miroir M n'empêchait la formation de cette image ;
Fig.
COURS DE PHYSIQUB
les rayons incidents ont la môme direction que si l'image PN se formait ; l'objet PN est dit virtuel par rapport au miroir M. Posons NM =p, N'M =/»'. Les constructions des Gg^res 453 et
?. 45li.
Fig. 457.
454 où PN occupe la place de P'N', et P'N' celle de PN, conviennent encore au cas actuel (fîg. 43G et 457).
P'N'. FN' /•—/)'
IM FM f
l'M FM f PN~FN~/> + /-
=^^f Pf P'f-PP'
D'après la conslruclion, l'image est droite, réelle et plus petite que Vohjet.
La figure 458 représente un faisceau dont les rayons se réuniraient au point P sans l'interposition du miroir : ils viennent après réilexion converger en P'.
L'objet et l'image sont, dans chaque cas, à la fois du môme côté du foyer.
L'objet et l'image correspondante sont en outre, vus sous un même angle du centre du miroir.
Fig. 40,S.
OPTIQOE
N et N' étant conjugués, la relation établie entre les distances FN et FN' se rapporte aux distances au foyer de deux points conjugués; elle fait connattre les variations de position de l'image d'un point lumineux situé sur l'axe principal quand ce point se déplace sur cet axe.
Comme rien ne distingtie géométriquement un axe secondaire de l'axe principal, les relations établies conviendront aussi à deux points conjugués situés sur un axe secondiiire.
633. Rapport de grandeur de l'image à l'objet. — Le rapport de grandeur d'une droite à son image est égal au rapport de leurs dislances au miroir <"'.
Cela résulte de la comparaison des rapports égaux qui servent à établir la relation des foyers conjugués. On obtient un rapport égal en prenant pour numérateur la somme des numérateurs, et pour dénominateur la somme des dénominateurs; ou encore en prenant les différences.
I" cas 7T = ^
cas 7T ='
3* cas — = '
par addition par soustraction par soustraction
^P Une démonstration directe se fait simplement en menant le rayon incident PM qui passe par le centre de figure du miroir et le rayon rélléchi correspondant P'M (fig. 4ij9 : les angles PMC, P'MC avec la normale dM en M sont égaux ; d'autre part, le foyer conjugué de P se trouve en P' à l'intersection du rayon rélléchi MP' et d« l'axe secondaire PC. Les triangles
recUnpIes PNM, P'N'M sont semblables parce qu'ils ont leurs angles égaux, donc :
1 P'N'MN' p' 0~ PN ~MK~p '
Une démonstration directe analogue s'applique aux autres cas.
Mh
Fig 4i»,
(1) Poar on gl>]el quvlvonqoe, la rapport lia deux dimensions bomologaos ds l'imags I 4» l'objot «tl l'gal au rapport de Isurs disUnces an miroir.
t-Tt!
634. Formule générale. — Nous avons trouvé pour détermine: le conjugué d'un point lumineux placé sur an axe principal o secondaire trois relations différentes, valables chacune entre certain 4 limites assignées au point lumineux.
--{-—,^j pour un point lumineux situé au delà du foyer principss -,^f pour un point lumineux compris entre le foyer et le miro :
\--,=zy. pour un point lumineux situé derrière le miroir.
Ce sont trois relations numériques entre des longueurs essentiel ment positives.
Il suffît d'avoir écrit la première pour en déduire les deux auti~~ car, si l'on compare les positions de P et de P'aux signes des tem p et p', on remarque que les signes -f- correspondent dans ces éq-n tions à des points de concoure réels, et les signes — à des pointas concours virtuels.
Cette règle mnémonique peut suffire pour des applications nue riques ; il est toutefois possible de remplacer les trois équations une seule comprenant tous les cas, en usant d'une convention h^ tuelle en géométrie.
Les points de concours réels se trouvent sur l'axe d'un côté point M, les points virtuels du côté opposé ; en désignant par y distance du point lumineux au miroir, par/»' la distance de son im^^ on conviendra de compter positivement les distances des points ré' au sommet M, c'est-à-dire positivement les distances des points «t'^c du côlé de la lumière réfléchie ; on comptera négativement les di tances au sommet M des points virtuels ou de ceux qui sont situés c
côté du miroir opposé à la lumière réfléchie.
Avec cette convention, la formule unique - -4- — > = , ^ fj coŒ
^ P P f ^ prend tous les cas. Cette relation a l'avantage de donner par s discussion la valeur de p' et de faire connaître la position d conjugué sans qu'on ait l)esoin de recourir à la construction géomé trique, quand on fait parcourir au point lumineux tout un axe, d'un exlrémité à l'autre, ce qui revient à faire varier/» de -|- °° à — 00.
Si l'on trouve une valeur négative pour p', l'image est virtuelle ( semble se former derrière le miroir ; si l'on trouve une valeur positivi l'image est réelle et se forme devant le miroir. Une image renverse
correspond à ^ positif, une image droite à — négatif.
OPTIQUE
