MOUVEMENT VARIÉ
3. Tout mouvement dans lequel le mobile parcourt des espaces inégaux dans des temps égaux est dit varié.
Définition de la vitesse. — Soit M la position du mobile au lemps /, M, au temps I -f 0, MM, — s (lig. 4j.
" ' =- se nomme la vitexse moyenne du mobile pendant le
temps 9, c'est la vitesse d'un mobile qui se trouverait en même temps
M l'iK. i-
que le mobile vrai en M et en M, et qui parcourrait d'un mouvement uniforme l'intervalle MM,. Ce mobile fictif s'écartera d'autant moins du mobile vrai que le temps 0 sera plus court.
Un espace MM', ^ e'. inférieur à s. sera parcouru dans un temps 0',
inférieur à 0 ; -, sera la vitesse moyenne pendant le temps 0'.
Lorsque les espaces e, t considérés à partir de M vont en décrois-
Bant. il en est de même de 6 et de 6'; les quotients -i -, diffèrent
«le moins en moins à mesure que i et 0 diminuent. Lorsque e et 6
tendent vers zéro, - tend vers une limite déterminée : c'est cette
limite qu'on appelle vitesse du mobile à t'inslani (.
Ixiraque l'espace est exprimé ea foncliuu du temps par une relation tc^f(l), 1a vitesse est lu liiiiile vers laque-Ile tend le rapport de l'accroissement de l'espaee e ù. l'accroissement de la variable (. lorsque l'accroissemcni de la variable tend vers zéro ; cette limite se uoinnic la dérivée de e par rapport a (.
4. MoDTement rectiligne uniformément varié. — Si la vit«»i.'i« ainsi délinie varie de quantités égales dans des temps égaux, quels que soient ces temps, le mouvement est dit uniformément
IT COCHS DE PHYSIQOE
varié : la variation y de la vitesse par seconde est appelée accélération.
5.-. ' 5. Mouvement aniformèment accéléré. — Le mouvement est dit
>i' unirormément accéléré si la vitesse croit proportionnellement au
i. temps. Vg désignant la vitesse au temps zéro, la vitesse sera v, -|- y
'. après une seconde, t», -{- t' après l secondes.
est la relation entre la vitesse et le temps.
De cette loi des vitesses nous pouvons déduire la loi des espaces ou l'espace parcouru par le mobile depuis le temps zéro jusqu'au temps t.
Loi des espaces déduite de la loi des vitesses. — Partageons le
temps < en R intervalles égaux à -, Tacroissement de vitesse pendant un intervalle - est v - ; les vitesses au début des intervalles successifs sont :
«o.fo + r-' i'o + 2ï-' «'o+n— V!t-'
si nous supposons que pendant chacun de ces intervalles le mobile conserve la vitesse du début de l'intervalle, les espaces parcourus seront
et l'espace total
sera inférieur à l'espace réellement parcouru, puisque les vitesses attribuées au mobile sont inférieures aux vitesses réelles. Les vitesses à la fin des intervalles sont
NOTIONS DE MÉCANIQUE V
Supposons que pendant chacun des intervalles le mobile possède la vitesse de la fin de l'intervalle, les espaces parcourus seront :
l'espace total obtenu
sera supérieur à l'espace réellement parcouru, puisque les vitesses supposées sont supérieures aux vitesses réelles.
Si le nombre n des intervalles croit indéfiniment, la durée de chacun d'eux décroît indéfiniment, les vitesses du début et de la fin d'un intervalle diiTèrent de moins en moins de la vitesse réelle pen-
dant cet intervalle ; ^ décroit indéfiniment et les deux sommes, l'une in
inférieure, l'autre supérieure à l'espace parcouru, tendent vers la
même limite qui est l'espace réellement parcouru.
est la loi des espaces correspondant à la loi des vitesses » = », + yt. Si l'espace parcouru à l'origine du temps est e,, c, ayant été parcouru dans le sens du mouvement, la relation devient
e = eo + V + Y'f2)
Lorsque «g = 0 et <■(, = 0, la vitesse et l'espace sont exprimés par
r z=fl e = -i^ (chute d'un corps qui part du repos sans vitesse
initiale).
Pour obtenir la vitesse au moment où l'espace parcouru par le mobile est e, éliminons t entre les équations (1) et (2), on trouve
f* — V = 2Y(e — eo)">
et si Uj = 0 et e„ = 0
r =: ^'Zye.
(I) Ca r<*nltat s'obtieot en substituant à ( dans l'équation (3) sa valeur tirée de l'éqnatioo (1). On y arrive rapidement en écrivant :
= v„» + 2y (i-J + .jT»») = l'o» + iv (« - ««)•
Loi des vitesses déduite de /a loi des espaces. — Nous avons pu déduire la loi des espaces de la loi des vitesses ; inversement, de la loi des espaces on peut passer à la loi des vitesses, d'après la définition de la vitesse.
Aux temps < et < + 6, les espaces parcourus sont :
e = eo + V + 2^'^'
e' = e + e = e, + «,(< + 9) + iY(< + 6)*; en retranchant, e = i-^ô + y'* + 0 Y^*
Lorsque 6 décroit indéfmiment, e et 6 tendent tous deux vers éro, mais rinstant t.
zéro, mais le rapport - tend vers une limite qui est la vitesse à
On voit par ce qui précède que la loi des espaces et la loi des vitesses ne sont pas deux lois distinctes, puisque l'une peut être déduite de l'autre. Une de ces deux lois suffît donc pour caractériser Je mouvement.
6. Mouvement uniformément retardé. — Le mouvement est appelé uniformément retardé si la vitesse décroît proportionnellement au temps.
Désignons par l'j la vitesse initiale, v^ — y sera la vitesse après une seconde, »•(, — 2y après deux secondes, d, — yt après ( secondes,
v-^v^ — yt.
En partageant le temps < en n intervalles égaux et en procédant comme plus haut, on déduit de la loi des vitesses la loi des espaces
Inversement, de la loi des espaces, on passera à la loi des vitesses. La formule unique « = «, -|- yt est l'équation générale de la vitesse d'un mouvement uniformément varié, à la condition de regarder y
NOTIONS DE MECANIQUE
Vtl
positif quand les vilesses successives s'ajoutent à la vitesse I rnttîale et comme nêgalif quand elles s'en retranchent.
7. Mouvement périodique. — Parmi les mouvements variés, le mouvement périodi(]ue est un de ceux que l'on rencontre le plus souvent en physique.
On ap[iclle ainsi le mouvement d'un mobile M <|ui décrit une trajectoire fixe [iig. j) ot repasse par lii même position à des interralles de temps égaux. Le mouvement de la terre autour du soleil est un mouvement périinlique. Lorsque la trajectoire se compose de deux portions de courbe repliées l'une .-
sur l'autre, l'aller et le retour ayant lieu
sur le même arc de courbe (fig. 6 et 7, segment de droite ou arc de cerclci. de A en A' et de .V en A, le mouvement est dit oscillatoire.
Le mouvement du pendule d'une horloge, le mouvement du pistou dAO« le cylindre d'une machine i\ vapeur, sont des mouvements oscillatoires.
Fig. 7.
La durée de la période est le temps <jui sépare deux passages consécutifs du mobile au môme point M et dans le même sens.
L'amplitude du mouvement est la distance qui sépare sur la trajectoire deux positions extrêmes consécutives A et A' du mobile.
8. Représeutation graphique d'un mouvement. — Les purti- Rularilés du mouvement d'un mobile peuvent être représentées par une coD6truction grophiquo. Sur une droite horizontale .'ippeléo ligne des •toelsses, on porte unu succession de longueurs égales tigiuant des temps égaux. A chacun des points de division, on élève une perpoudiculaire ou ordonnée sur laquelle on prend une longueur proporli'iunolle i» l'espace parcouru au temps correspondant. La courbe
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I.e «Tst-i^e a >i» niouremunl tJ'eruem/jle si ses différents points se m4:nti«nii«rit aux ni<:rii<;H diKtancc» pendant leur mouvement.
Dans rt: ott, U>nn\u»', Iouh le» points du corps possèdent au même in<)t4nt d«ii vit/iKH';» <r((ol(ft» et parallèles, le mouvement est appelé
NOtlONS DE MÉCANIQUE
tnoapemenl Je Iranxlation mouvement d'un corps solide qui tombe) ; la vitesse commune à tous les points est la vitesse du mouvement de traasiation.
Si chaque point du corps reste dans son mouvement à la même distance d'un a\e fixe, ou décrit une circonférence dont lo plan est perpendiculaire à l'axe, le mouvement est appelé mouvement de rotation i;mouvemenl dun fléau de balance), la vitesse angulaire est
vitesse d'un point situé à l'unité de distance de l'axe de rotation.
