PENDULE
lOB. Un pendule csl un corps pesant mobile autour d'un axe /Ixc horizonlal, appelé axe de suspension, qui ne passe pas par son centre de gravité. Un balancier dhorlof^e, un fléau de balance sonl des pendtiles.
Oo appelle pendule simple un pendule idéal formé par un point matériel pesant A suspendu ù l'une des extrémités d'un iil inextensible et sans poids ; l'autre extrémité du fil est soutenue par un point C'est un pendule irréalisable, mais sa conception est utilisée tur établir théoriquement les lois du mouvement pendulaire. Tout autre pendule est appelé pendule composé. On ne peut expérimenter qne sur un pendule composé.
,.ÎJ
109. Mouvement pendnlltlre. — Le mouvement d'un pendule est déterminé par ton poids. Considérons d'abord un pendule simple, oscillant dans le vide et s'cxerçant aucun frottement contre son point d'appui.
Lorsque le fil est vertical, le poids du point A agissant suivant la direction même da fil <^l détruit [lar la résistance du point d'appui (), et il y a équilibre.
Écartons le pendule de sa position d'équilibre UA et amenons-le en
Fig. 72.
32 COUHS DE PHYSIQUE
OA' (fig. T'^^ ; si on l'abandonne, il exécute des oscillations autour de OA dans un plan vertical invariable. En effet, le poids A'P de la molécule se décompose, suivant la règle du parallélogramme, en deux composantes A'F" et A'H dans le plan PA'O ou A'OA. La composante A'F, dirigée suivant le prolongement du fil, a pour effet de le tendre ; la composante perpendiculaire A'H produit le mouvement du point. La force A'P et sa composante A' F se trouvant dans le plan vertical AOA', c'est dans ce plan AOA' que se trouve toujours la composante A'H, le point A" reste dans ce plan et y décrit une circonférence décentre O ^''. Supposons le poids descendu en M', et soit 9 l'angle d'écart AOM' ; M'P étant égal à mg, on a M'H = mg sin 6 : cette composante décroît avec l'angle d'écart. Quand le point matériel est arrivé en A, la force qui agit sur lui est devenue nulle, mais il ne s'arrête pas, car il a une vitesse acquise, égale à la somme des vitesses qui lui ont été communiquées par la composante efficace M'H dans sa chute de A' en A. En vertu de sa vitesse acquise, le point matériel s'élèvera de l'autre côté, mais, de ce côté, la composante tangentielle agit en sens contraire du mouvement et dans une position quelconque symétrique de M', pendant un même intervalle de temps très petit, elle diminue la vitesse d'une quantité précisément égale à celle dont elle l'a augmentée en M'. La totalité de la vitesse imprimée par la pesanteur de A' en .V sera annulée quand le point matériel se sera élevé jusqu'en A'', point symétrique de A' par rapport à la verticale. En A" la vitesse est nulle. De A" la molécule redescendra jusqu'en A. remontera en \' et exécutera autour de la verticale OA une série indëlinie d'oscillations d'égale amplitude et par suite d'égale durée ^■'.
(r Le mouvemeot e:^! le mêmr que «i la rotation s'eiTectuait autour d'un axe fixe perpf nJicuUirc an plan AOA .
Q (i) Le monvement pendulaire noas
^ donne un exemple d'une transformation
/' d'énergie potentielle en forée vive on éner-
j gie de niourement (57 . et inTersement. Ainsi, dans une position A' 'ig. T3}. le
, point matériel partant do repos m one
I énergie potentie'ie maximum et une forve
I vire nulle: à mesure qu'il descend, son
I énergie potentielle diminue et sa force
/ vive augmente, mais ;a somme reste eons-
/ I tante En M' l'énergie potentielle a dimi-
j^ T •, oné Je mjji ot le mobile a acquis nne
^■jj^^ , ^^y^ foreo vire - nir- é^ale à rn^n.
j De A ea A U diminution d'énergie
pi'tont:*"* a i\: nig i — i et la força
PESANTEUn
L.*ang1e d'écart maximum A"0.\ s'appelle Vampliltide. l.'oscillulion »/c est le passage d'une position extrême A'' à une autre liion extr«-me consécutive A'. l,'oscill,ilion complélv t^tniprend doux oscillations simples, de sens opposés, de A" en A', avec retour de A' en A '.
IIO. Durée de l'oscillation simple. — L'élude malliémalique da tnoiiTcmenl du pendule simple conduit pour la durée en secondes de l'oscillation simple, dans le cas des oscillations à amplitude très pclitf, à la formule
indépendante Je l'amplitude; I est la longueur OA du pendule, j est l'nccélératioD de la pesanteur ou la vitesse acquise en une seconde par un corps qui tombe en chute libre dans le vide ; I el g sont exprimés avec la même unité de longueur ; -k est le rapport de la circonférence au diamùlre.
Si l'uiiiplitude n'est plus très petite, la durée de l'oscillation croît
•v«c l'amplitude; elle s'obtient en mullinliant ni/- par un facteur
qai ne dépend que de l'amplitude.
Elle c«t donnoe par la formule :
lui ae réduii, lonujiie ran!>le x est suirisainiurai |>etit, H :
L« |Mir«nth(?8e est «xtrénicment |>etitc si l'angle inilial d'écart a ne dépaaM ~p«*y ou 6" ; si l'umplitudc atteint 10", l'erreur commise en négligeant la
{larcolIl<^«c n'est encore que î^^ environ de la diu-C-e
111. I.<e mouvement d'un pendule est un mouvement oscillatoire périodique. Pour obtenir sa courbe représentative (8), on convient
|ul*« • frit In même valcar. D« A i:n M" la forc« vive a dimiDu^, luuia l'éDcrgia tiU >'<'«t arcruo d'uoo quantité iga.\e mg%'. Ea A l'rnergie putcntiille a re|iri> ^ÎlIuit ^'«IU avait «o A' et la force vive est nulle.
de porter les ordonnées au-dessus ou au-dessous de l'horizontale XX', suivant que le mobile se trouve à droite ou à gauche de sa positi.:>n moyenne'. Les espaces AA', AA" (flg. 72) de la trajectoire sont égaux, parcourus dans le même temps ; comme il en est de même pour des points symétriquement placés par rapport à la position d'équilibre A, la courbe représentative sera formée de parties égales situées audessus et au-dessous de XX'.
Aux époques b, c, d de la ligne des abscisses (fîg. 74], le mobile passe dar sa position d'équilibre. A partir de b sa distance augmente, elle est
Fig. 74.
maximum en II, puis elle diminue pour redevenir nulle en c ; alors le mouvement change de sens, le maximum de distance à gauche correspond au point figuratif L, puis le mobile revient et l'ordonnée diminue en valeur absolue jusqu'en d.
La distance bd est égale à la période '2t. 4 / ; la période est aussi
la distance /)s qui sépare deux ordonnées égales correspondant à deux positions identiques du mobile. A deux époques distantes d'une demipériode, les ordonnées Pp, Rr sont égales et de signes contraires.
La courbe représentative dans le cas d'un mouvement pendulaire s'appelle une sinusoïde.
112. Lois du pendule simple. — Les lois du pendule se déduisent de l'expression de la durée d'oscillation.
Première loi. — Pour de très petites amplitudes et dans un même lieu, la durée des oscillations d'un même pendule est constante, malgré les variations de l'amplitude. C'est la loi de risochronisme des petites oscillations pendulaires. En effet, l'expression de la durée de l'oscillation ne dépend pas de l'amplitude, puisque l'amplitude n'y entre pas.
Deuxième loi. — Pour des pendules de même longueur, la durée de l'oscillation en un même lieu ne dépend ni de la substance rfn point matériel ni de sa masse. L'expression de la durée de l'oscillation
PBSANTEI'II
f en e»t en cITel indépendante, car g a la même valeur pour tous les corps '100).
Troisième loi. — En un même lieu, les durées des oscillnlions Je tndates de lomjueurs Ji/férentex carit'iil proportionnetleniciil aiij racine* carrées des lomjueurs de ces pendules. On a en effet, puisque tg est constant :
Qruktrlévae loi. — Dans les locaiilès différenles, les durées des otcilljttions de pendules de même longueur varient en raison inverse de* racines carrées des accélérations de la pesanteur.
113. Pendule composé. — Un pendule simple ne peut être réalisé, tout pendule est un pendule composé.
Soit un pendule composé (fig. 75), dont l'axe de suspension se
projette en O, et dont le centre de gravité est
G. Ce pendule, abandonné à lui-même,
>rend une position d'équilibre stable quand la
Pvcrlicale OG menée par le contre de gravité
rencontre l'axe de suspension. En effet, le poids
du pendule peut être sup^iosi' appliqué au
centre i\o gravité, et si la verticale menée par
le centre do gravité rencontre l'axe, la résis-
I lance de cet axe détruit l'action du poids. f.(
»ns le pendule de sa position <réquilibre
supposons le centre de gravité eu ('■'; le poids
.du pendule peut être décomposé en deux
>mpoBante8 dans le plan vertical PG'O perpendiculaire à l'axe : la
Iposanle G'F dont le prolongement rencontre l'axe est sans effet,
>in|K»sante perpendiculaire G'II produit le mouvement; le centre
ité décrit une circonférence dans le plan vertical PG'O. La
ïpnsante G'II va en décroissant à mesure que l'angle d'écart
liouc, elle est nidle quand la verticale qui passe par le centre de
gravité passe en 0, mais le pendule continue son mouvement en vertu
de la vitesse acquise. Comme pour un pendule simple, le mouvement
I est un mouvement oscillatoire autour de la position d'équilibre OG.
Fig. 7.1.
On démontre en mécanique que le mouvement oscillatoire d'un pendule composé est identique à celui d'un pendule simple de longueur déterminée. 11 a donc la même durée d'oscillation que ce pendule simple qui est appelé pendule synchrAne du pendule composé *'^.
La durée de l'oscillation simple d'un pendule quelconque dans le vide est donc représentée dans le cas des oscillations très petites
par ni/—, où / désigne la longueur du pendule simple synchrone. V 9' Les lois du pendule simple se vérifieront pour un pendule quelconque, mais il faut entendre par longueur du pendule composé la longueur du pendule simple synchrone.
