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Double réfaction.

1569 bis. Dans le système des ondulations, ta vitesse de propagation des ondes dépend nécessairement de l'élasticité de l'étber dans le milieu que traverse la tu* mière ; or, la vitesse de propagation n'étant pas la même dans les cristaux suivant toutes les directions, on a été conduit â admettre que dans ces corps l'élasticité de Péther n'était pas la même dans tous les sens.

1570. Appliquons ces idées à la double réfraction, et concevons un cristal à un axe comme un milieu élastique dans lequel la force accélératrice qui résulte du déplacement d'une (île de molécules perpendiculaires à Taxe, relativement aux rangées conligues, est la même tout autour de l'axe; tandis que les déplacements parallèles à l'axe produisent des forces accélératrices d'une intensité différente, plus forte si le cristal est répulsif, et plus faille s'il est attractif. Le caractère distinctif des rayons qui éprouvent la réfraction ordinaire étant de se propager avec la même vitesse suivant toutes les directions, il faudra admettre que les mouvements oscillatoires s'exécutent perpendiculairement au plan mené par ces rayons et l'axe du cristal : car alors les déplacements qu'ils occasionnent, s'effectuant toujours suivant des directions perpendiculaires à Taxe, développeront toujours la même force accélératrice. Mais,

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE m PHYSitftJÊ. 37/

d'après le sens qu'on attache à l'expression plan de polarisation, le plan dont nous venons de parler est précisément le plan de polarisation des rayons ordinaires. Ainsi, dans un faisceau polarisé, le mouvement oscillatoire s'exécute perpendiculairement à ce qu'on appelle plan de polarisation.

Les oscillations des rayons ordinaires étant perpendiculaires au plan mené par Taxe, les oscillations des rayons extraordinaires seront parallèles à ce plan, et bien entendu, toujours perpendiculaires aux rayons. On voit alors qu'à mesure qu'ils changeront d'inclinaison relativement à l'axe, la direction du mouvement oscillatoire en changera aussi : il sera parallèle à l'axe quand les rayons lui seront perpendiculaires, et perpendiculaire à l'axe quand les rayons lui seront parallèles ; ainsi, dans ce dernier cas, la vitesse de propagation des rayons extraordinaires sera la même que celle des rayons ordinaires. Hais pour toutes les autres directions, les petits dérangements des files de molécules ne s'exécutant plus perpendiculairement à l'axe, les forces accélératrices qui en résultent, et par suite la vitesse de propagation, ne peuvent plus être les mêmes. Cette différence augmente progressivement jusqu'à ce que le mouvement oscillatoire soit parallèle à Taxe; c'est alors qu'elle atteint son maximum.

Considérons ce cas particulier pour simplifier les idées, et supposons qu'on expose perpendiculairement au rayon incident une plaque cristallisée parallèle à l'axe, en sorte que les rayons qui la traversent soient perpendiculaires à ce dernier ; supposons en outre que le faisceau incident soit polarisé suivant un plan déterminé, faisant un angle 1 avec la section principale du cristal : ses oscillations seront perpendiculaires* â ce plan. Cela posé, on peut, en raison du principe de la composition et de la décomposition des petits mouvements, concevoir chacune des vitesses d'oscillation des ondes incidentes décomposée en deux autres, l'une perpendiculaire et l'autre parallèle à la section principale : les premières composantes produiront les ondes ordinaires, et les autres celles qui éprouvent la réfraction extraordinaire. Or, si l'on prend pour unité le facteur commun qui multiplie toutes les vitesses d'oscillation des diverses couches de l'onde qui entre dans le cristal, cos i sera le facteur commun des premières composantes ou leur intensité de vitesse absolue, et sin i celle des autres composantes, et les intensités de lumière des rayons ordinaires et extraordinaires seront entre elles comme cos 1 1 est à sin* i ; voilà une explication bien simple de la loi de Malus. Les oscillations de ces deux systèmes d'ondes étant rectangulaires s'exécuteront dans le cristal d'une manière indépendante ; et, en raison de la différence d'énergie des forces accélératrices qui résultent des petits déplacements des molécules du milieu, parallèlement ou perpendiculairement à l'axe, les deux systèmes d'ondes se propageront aveo des vitesses différentes, et la distance entre leurs points correspondants deviendra d'autant plus considérable qu'ils auront traversé une plus grande épaisseur du cristal.

Si c'est de la lumière directe qu'on fait tomber sur le cristal, on pourra appliquer aux divers systèmes d'ondes polarisés dont elle se compose ce que nous venons de dire pour un seul : chacun se divisera de la même manière en ondes ordinaires et ondes extraordinaires, dont les intensités seront en général différentes. Mais comme, en raison de la multitude des chances, il doit se* trouver en somme autant de lumière polarisée suivant un plan quelconque que suivant le plan perpendiculaire j les rayons ordinaires et extraordinaires auront la même intensité.

L'explication des phénomènes que présentent les cristaux à deux axes a conduit Fresnel à des considérations beaucoup plus générales , que nous allons exposer.

1571. Quand on déplace uue molécule dans un milieu élastique , la résultante des forces qui tendent à la rameuer à sa première position n'est pas généralement parallèle à la direc-

TRAIU de WYSiqui. T. 11. 35

Uon suivant laquelle elle a été déplacée. Il faut pour cela que les résultantes des forces qui poussent cette molécule de droite et de gauche dans chaque azimut aient la même intensité. Cette circonstance n'a généralement lieu que dans trois directions rectangulaires, qui portent le nom d'axes d'élasticité. Si nous supposons que les axes d'élasticité conservent la même direction dans toute l'étendue du milieu , ce qui aura lieu toutes les fois que les molécules seront disposées entre elles de la même manière, comme dans les corps cristallisés , en prenant sur chacun des trois axes, et dans toutes les directions possibles , des longueurs pro« porlionnelles aux racines carrées des élasticités daus ces directions, ou formera une surlace connue sous le uom de surface d'élasticité , dont les rayons vecteurs représenteront les vitesses de propagation des mouvements parallèles à leurs directions.

Fresnel a démontré que la surface d'élasticité était représentée en coordonnées polaires par l'équation

f a 1 cos'Jlf + b* cos* Y + c'cos J Z.

a% b\ c% étant les élasticités mises en jeu par les vibrations parallèles aux axes des ar,

ûc&y et des z ; de manière que Les vitesses de propagation correspondantes , qui sont proportionnelles aux racines carrées des élasticités, se trouvent représentées, par a, b 9 c. Cette équation , traduite en coordonnées rectangulaires, devient

1572. Appliquons maintenant ces idées à la lumière. Admettons quelle se transmet à travers un corps par les vibrations de l'éther intermoléculaire ; et que , dans un même corps cristallisé , l'élasticité de l'éther n'est pas la même dans toutes les directions. Désignons par les lignes rectangulaires OX, OY, OZ (ftg. 928), les trois axes d'élasticité; a sera la vitesse avec laquelle les mouvtments de l'éther parallèles à OX se propagent dans le plan YOZ* b et c seront les vitesses avec lesquelles des mouvements parallèles à OY et a OZ se propageraient dans les plans XOZ et XOY; et supposons que a soit plus grand que b, et que b sort plus grand que c, de sorte que 6 soit l'axe moyen d'élasticité. Considérons une onde plane passant par le point O, et dont toutes les molécules se meuvent simultanément dans une certaine direction; la direction du mouvement propagé dépendra à la fois de la position du plan de l'onde et de la direction du mouvement dans l'onde. Supposons d'abord que le plan de l'onde coïncide avec le plan YOZ, et que les mouvements de l'éther dans l'onde soient parallèles à l'axe Oy, les mouvements se propageront parallèlement à OX en conservant leur direction avec une vitesse 6. Si les mouvements étaient parallèles à OZ, le même effet aurait lieu, mais la vitesse de transmission serait o. 11 résulte de là qu'une onde plane perpendiculaire à un des trois axes d'élasticité, et polarisée parallèlement ou perpendiculairement à un des autres axes, se propage sans se diviser et en conservant son plan de polarisation. Mais si, le plan de l'onde étant toujours perpendiculaire à l'axe OX, les mouvements de l'éther étaient obliques aux axes OY et OZ, ces petits mouvements pourraient se décomposer en deux autres parallèles à ces axes : ainsi le rayon se diviserait en deux autres, polarisés parallèlement aux axes OY et OZ, qui marcheraient dans la même direction mais avec des vitesses différentes.

1573. Supposons maintenant que le plan de l'onde ait une position quelconque par rapport aux axes d'élasticité : en général, chaque petit mouvement changera constamment de direction pendant toute la transmission, et il serait difficile d'en suivre la marche. Mais il y a un cas dans lequel ce changement de direction n'a pas lieu, c'est celui où les directions îles mouvements primitifs et des premiers mouvements transmis sont dans un même plan, et que ce plan est perpendiculaire au plan de l'onde : car il est évident que, si ces directions n'étaient point parallèles, le défaut de parallélisme ne proviendrait que d'une force dirigée dans le sens de la transmission qui agirait inégalement pour comprimer l'élher, force qui ne peut avoir aucune influence dans les vibrations transversales- Mais on trouve, par le calcul, que la circonstance dont il est question existe toutes les fois que les mouvements de l'éther dans l'onde soul dirigés suivant le plus grand et le plus petit rayon vecteur de la surface d'élasti-

cité renfermét dans te plan de Ponde, rayons qui sont toujours perpendiculaires entre eux : par conséquent, si on décompose chacun des petits mouvements qui ont lieu dans le plan de Tonde en deux autres dirigé suivant ces deux rayons vecteurs, les mouvements de ces composantes se propageront en conservant leur parallélisme, mais avec des vitesses différentes, el f par suite, l'intervalle qui sépare deux points correspondants sera d autant plus grand qu'ils auront parcouru une plus grande épaisseur du cristal. Les deux systèmes (Pondes produites se séparent d'ailleurs par l'inclinaison des surfaces des ondes qui les propagent : car les normales forment, avec ta perpendiculaire à la surface d'incidence, des angles dont les sinus sont dans le rapport direct des vitesses de propagation des ondes, comme nous l'avons vu en parlant de la réfraction. *

Ainsi, un faisceau de lumière naturelle ou polarisée se divisera toujours en deux faisceaux polarisés dans deux plans rectangulaires, parallèles chacun à un des axes de la section de la surface d'élasticité.

1574. En discutant l'équation de ta surface d'élasticité, on trouve qu'elle peut toujours être coupée par deux plans diamétraux suivant deux cercles; ces plans passent par Paxc moyen, et sont symétriquement placés par rapport aux deux autres. En' supposant que b soit l'axe moyen , les tangentes des angles de ces plans avec celui des axes a et b ont pour valeur

Les ondes parallèles à œs plans ne pourront alors avoir qu'une seule vitesse de propagation, et les mouvements élémentaires, quelle que soit leur direction, ne pourront éprouver aucune déviation. Ainsi, les rayons qui pénétreront dans le corps perpendiculairement à ces plans diamétraux n'éprouveront ni double réfraction ni' déviation dans leurs plans de polarisation : ces directions sont alors celles des axes optiques des cristaux a deux axes. Ainsi les axes optiques sont situés dans le plan des axes de plus grande et de plus petite élasticité, et également iuclinés sur leurs directions. Ouaod deux des trois axes d'élasticité sont égaux, les section* circulaires se confondent et deviennent perpendiculaires au troisième axe : auu> les deux axes optiques se réduisent à un seul.

D'après cela les axes optiques des cristaux sont les directions dans lesquelles des faisceaux de rayons parallèles ou des ondes planes se propagent sans éprouver de division ni de changement dans leurs plans de polarisation.

Il est bien important de remarquer qu'il est question d'un large faisceau de lumière correspondant à une onde plane, et non pas d'un rayon de lumière correspondant à un élément d'onde, car les phénomènes qui se produisent dans les deux cas sont souvent très-différents. En effet, lorsqu'une onde plane se propage en conservant sa direction, la direction de propagation du mouvement est toujours perpendiculaire à la direction de l'onde, attendu que les actions exercées par les molécules d'éther, d'une onde, sur celles qui sont au delà, sont toujours symétriques de part et d'autre du plan mené par la direction du mouvement perpendiculairement au plan de l'onde. Mais il n'en est plus ainsi quand il ne s'agit que d'uu élément d'onde, d'un rayon : la propagation peut a\oir lieu suivant des directions plus ou moins incJinées au plan de l'élément,

ISous allons voir d'ailleurs de nombreuses confirmations de La distinction que nous vêtions d'établir.

1575. Les quantités a, b, c, représentant les vitesses de propagation de la lumière perpendiculairement aux trois axes d'élasticité, sont en raison inverse des indices qu'on obtiendrait en taillant dans un cristal trois prismes dont les arêtes de chacun seraient parallèles k un des axes, et observant dans uu plan perpendiculaire aux arêtes l'indice du rayou qui suit la loi de Descartes; il y en a toujours un q"i safisf.nl à cette condition : car la lumière incidente devra se diviser en deux faisceaux polarisés l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement aux arêtes parallèles du prisme ; mais dans ce dernier, les mouvements vibratoires élaoA, parallèles à un des axes , la vitesse de transmission devient mdépeudaule dd l'angle d'incidence, et par conséquent la loi de Descarlea subsiste.

Dans un grand nombre de cas lei phénomènes de coloration décrits (1464) permettent facilement de déterminer la position des axes optiques, et par suite celle des axes d'élasticité. M. Rudberjî a fait ces expériences pour la topaze incolore et l'aragonile, en employant suc* cessivement les rayons colorés correspondants aux raies B, C, D, £ f F, G, H. Voici les résultats obtenus :

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