IL

S90 LUMIËBE.

dépassant le foyer principal , le foyer con jugaé passera derrière le miroir, par conséqnent il ne sera formé que par le prolongement des rayons et sera virtuel. Lorsque le point lumineux arrivera contre le miroir , le foyer se confondra avec lui. Si on suppose qaeb point lumineux continue à se mouvoir derrière le miroir , celui-ci devient convexe ; le foyer repasse du côté concave, ne le quitte plus, et s'avance vers le foyer principal à mesure que le point lumineux s'éloigne. Ainsi les miroirs convexes n'ont jamais de foyers réek,el les miroirs concaves sont dans le même cas quand le point lumioen est à une distance du miroir plus petite que la moitié du rayon.

On peut obtenir d*une manière très simple les distances relatives des foyers coq!*] gaés au miroir dans une poûtion quelconque du point lumineux. En effet, soit îl {fig, 733) un miroir concave spbèrique, O son centre, jPle point lumineux, Fmâ] rayon incident, tnF* le rayon réfléchi : le rayon Om divisant Fangle FmF* en parties égales , on aura la proportion F'm : Fm iiF'Oi FO, Or, lorsque le poirti est infiniment voisin du point Z>, F*m et Fm se confondent avec F*D et FD : conséquent , en déâgnant ces dernières quantités par p* et p , et le rayon de la par 2r, la proportion précédente deviendra

p* :p :: 2r — p'tp— 2r; d'où p'(/'""2r)e3;j(2r— p'j, pp'—^rp'^^rp-^pp'^ pp''-rp'x=srp;

et , en divisant par ppV, il vient

(a) -+-7S=-; d'où p*s= — ^ ^ ' V P ^ P— r

En discutant cette dernière formule, on trouverait pour p' les valeurs que nousafi' Indiquées précédemment. • |r

Si dans cette formule on changeait le signe de p seulement, die deviendrait ' ^ au cas où les rayons qui rencontrent le miroir sont convergents au lieu d'être gents : c'est ce qui arriverait si les rayons avaient déjà été rendus convergents pir autre miroir avant de rencontrer celui dont il s'agit. Dans ce cas la (bnnuledeiid^ drait '

i,-l=.l. d'où p'- ^

La formule relative aux miroirs convexes peut s'obtenir par une constmcUoo tff logne à cdle dont nous nous sommes servi , ou en changeant dans la formule reb^ aux miroirs concaves d'abord le signe de a et ensuite celui de p' pour rendre sa Tik^ positive; mais il faut se souvenir que le foyer est alors dans la concavité de bi^ face.

On peut aussi trouver les j|Drmu1es des foyers par une autre méthode, qaH otl^ de connaître. On a entre les angles de la fig. 784 les relations suivantes :

obseryant que r n I » et reirandiaot la seconde équation de la pieniiteei 11 fi^

BÉFLEXIOir. 291

AF^m — ÀFm «=» Sr.

igles étant très petits, on peut considérer les arcs comme se confondant avec lançentes, et regarder Am comme une petite ligne droite perpendiculaire à FO : .tion précédente donne alors

Âm Àm 2Àm i 1 i

i formules seraient applicables à des miroirs dont la surface serait engendrée par iÇdblion d'une courbe quelconque, pourvu que la normale de la courbe, au point lé rencontre Taxe de révolution , fïkt dirigée suivant cet axe : alors r représente- 1 layon de courbure de la courbe au point de rencontre avec Taxe.

IS7. I^a distance focale principale d*un miroir sphérique, étant B à la moitié du rayon , peut servir à déterminer le rayon de "bure d*un miroir. L'opération est très simple pour les miroirs HaTes : il faut les exposer au soleil y chercher avec un petit écran Diat où Fimage est le plus vive , et mesurer la distance de ce t au miroir parallèlement à la direction des rayons solaires. p les miroirs convexes {fig. IZk^y il faut coller une bande de er sur le miroir, y pratiquer deux petits trous, a et i6 , recevoir \in écran les deux rayons réfléchis, et faire varier la distance ^écran jusqu'à ce que la distance mn des deux images soit dou« de a£ : il est évident qu'alors la distance de l'écran au miroir lensîblement égale à la dislance focale principale. 1928. Lorsque les rayons réfléchis par un miroir ont un foyer f I il se forme dans l'espace une image du corps lumineux que ipent rendre visible en y plaçant un corps opaque ou en répan- I de la poussière dans l'air : cette image est le lieu des foyers iOUs les points de l'objet lumineux. Dans chaque cas particulier SKI facile, d'après ce qui précède , de construire celte image : il Ira par chaque point du corps et le centre de la sphère meune droite et déterminer le point de cette ligne où se trouve le r. Par exemple , soit {fi g. 735) AB un objet situé en avant du fee 9 il est évident que son image sera renversée , et d'autant (grande qu'il sera plus voisin du centre. Si l'objet est placé en- Ifr centre et le miroir, l'image sera également renversée {fig. ) ; mais , s'il était situé entre le foyer principal et le miroir, il lurait pas d'image , puisque les foyers seraient virtuels. Par la le raison , les miroirs plans et convexes ne forment point d'ies. Les images qui se forment dans l'espace diffèrent de celles Ton voit dans les miroirs, mais elles en diffèrent peu. Nous

29S LUMIÈEB.

reviendrons snr cet objet après avoir examiné Forgane de la ^ sion.

Béfractioiu

1229. Lorsqu'un rayon lumineux pénètre du vide dans un milieu diaphane , ou d'un milieu diaphane dans un ai}tre plus dense, en général le rayon est dévié de sa direction et se rapproche delà normale à la surface (fg. IZl) : c'est cette déviation que l'on désigna sous le nom de réfractioti. On peut reconnaître cette déviatioi' par l'observation suivante : si au fond d'un vase(/{^. 738) onoMt un corps A , et que l'on se place en itf , de manière à voir le corp tangent au bord du vase , en y introduisant de l'eau le corps pit rait élevé , et il faut que l'œil se place en N pour observer le cor|f|j encore tangent au bord du vase : cet effet provient évidemi de ce que le rayon AD s'incline en sortant de l'eau pour entrer < l'air. C'est par la même raison qu'un bâton plongé en partie d^ l'eau parait brisé.

On peut aussi reconnaître directement la déviation qu'éprottV( les rayons lumineux en passant d'un milieu dans un autre, en pi çant sur la route d'un rayon solaire qui pénètre dans une chi obscure un vase formé par des plaques de verre parallèles et d'eau : enrépandant dans ce liquide une poussière légère , on vdl très distinctement le rayon solaire dans l'air et dans l'eau, et h déviation qu'il éprouve en passant dans ce dernier milieu.

1250. Lois de la réfraction. On a constaté par l'expéric 1* que le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un méi plan perpendiculaire à la surface réfringente; 2» que le sii de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction sont dj un rapport constant. L'angle d'incidence est l'angle formé park] rayon incident avec la normale à la surface au point d'incideoœi et l'angle de réfraction celui qui est formé par le rayon réfracii avec celle même normale. Ce rapport porte le nom di indice deri* fraction. Dans le syslème de l'émission, il est égal au rapport dd vilesses de la lumière dans le milieu réfringent et dans le mïM environnant , et à ce rapport renversé lorsqu'on considère la 1»* mière comme provenant des vibrations de l'éther. Cette loi, l'on' des plus importantes de l'optique, a été découverte par Descartes.

Voici I^ méthode qu'il a employée. Un vase de verre hémispi^ rique, plein d'eau, recevait au centre de la surface liquide un rajû>

ielttoiière dont la direction était connue; nn limbe mobile dont le entre coïncidait avec celui de la sphère pouvait se mouvoir an* 3ur de la verticale passant par ce centre : on cherchait le point d'élergence du rayon réfracté , et on mesurait directement Tangle u'il faisait avec la verticale et la position du plan du limbe par apport au plan vertical di^ rayon incident.

1251. Angle limite. Nous avons dit que, quand un rayon Bfise du vide dans un corps réfringent , Taogle d*incidence est plus rand que l'angle de réfraction , et que la même chose a lieu und le rayon passe d'un corps dans un autre plus réfringent. Ré* tproquementy quand un rayon sort d'un milieu réfringent pour en« ler dans le vide ou dans un milieu moins réfringent y le rayon s'é* irte de la normale : ainsi il y a toujours pour chaque corps une infience sous laquelle le rayon ne peut pas en sortir pour pénétrer Kisle vide ou dans nn autre corps diaphane moins réfringent, car, ^le d'émergence (de sortie) étant toujours plus grand que l'an* le d'incidence ^ il y a toujours une incidence plus petite que 90^ , >ur Iaquelle4'.angle d'émergence est droit : cette incidence porte le un à! angle limite* .

Si on suppose que le rayon se présente pour sortir sous un ao* o phis grand que l'angle limite , la formule n'est plus applicable , ir alors on aurait pour le sinus de l'angle d'émergence une val^r us grande que L'unité j ce qui est impossible , et même la formule ) peut pas indiquer alors ce qui arrive an rayon \ mais l'expérienoe Ontre qu'il se réfléchit en totalité dans l'intérieur du milieu en faî* iBt ttn angle d'incidence égal à l'angle de réflexion. Ainsi , en suppo* mi qu'un rayon COÇfig. lZ%A)fjà présente sur la secon()e surface ta milieu diaphane , d'abord perpendiculairement , et qu'il s'inine toujours davantage sur la normale, le rayon réfracté, d'abord irigé suivant le prolongement de la normale, s'incline plus que le tyon incident; il coïncide avec OB quand le rayon incident estdi* gé suivant OE , faisant avec OC un angle égal à l'angle limite ; tis, aussitôt que le rayon incident devient plus incliné, qu'il est irigé suivant ÔF, par exemple, ce rayon est réfléchi suivant OF* idiaé sur OB d'une quantité égale à l'angle FOA^ et à niesure que > rayon s'inclinera davantage sur AO^ le rayon réfléchi s'inclinera issi davantage sur OB, et tous deux finissent par être dirigés stiiknt AB. On voit d'après cela qu'il n'y a pas continuité dans lepa^ kge de la réfraction à la réflexion intérieure*

Il résulte de là que , si un observateur était plongé dans Teau ,

r6vi«Adh)ns sur cet objet après avoir examioé rui^ne aioa.

1998. Lorsqu'un rayon Inminéux pénètre du vide da: lieu diaphane , on d'Un milieu diaphane dans un aylre pi en général le rayon èsi dévié de sa direciion. et se rapprt normale h Ja surface (fig. 737J ; c'est celte déviation que l'o tous le nom de réfraction. On peut reconnaître c«tte par l'observation suivante : si au fond d'un vase <^fig. 78) vu corps 4 , et que l'on se place en Jtf , de manière à voi tangent au bord du vase , en y introduisant de l'eau le* ralt élevé , et il fitnl que l'œil se place en N pour observe «ictHv tangent au bord du vase : cet effet provient évi de ce que le rayon AD s'ijicline en sortant de l'eau pour eo l'air. C'est par la mémetaison qu'un bâton plongé en p> Tean paraît brisé.

On peut aussi reconnaître directement la déviation qa'é les rayons lumineux en passant d'un milieu dans un auire çani sur la ronte d'un rayon solaire qui pénètre dans use obscure no vase formé par des plaques de verre parait^ d'ean : enrépandant dans ce liquide une poussière lëgèn très distinctement le rayon solaire dans l'air ei dans T' déviation qu'il éprouve en passant dans ce dernier miliç

iSSO. Loi» de la réfraction. On a constaté par të i* quQ le rayon incident et le rayon réfraclé sont danft plan perpendiculaire à la surface réfriogeme; 3° qpë de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraclioDi < un rapport constant. L'angle d'incidence est l'angle îA rayon incident avec la normale à la surface au point n et l'angle de réfraction celui qui est formé par le nj<à avec ceitç même normale. Ce rapport porte le nom d'âllj| fraelton. Dana le système de l'i'mission, il est égalauSi vitesses de la lumière dans le milieu réfringent et dwB environnant, et à ce rapport renversé lorsqu'on coaiffi mière comme provenant des vibrations de réiher,.(!!Mff des plus imporlaules de l'optique , a ëtc découvert»

Voici I9 méthode qu'il a employée. Un vas riqoe-, plein d'eau, recevait au centre delà si

kA

EÉPftAGTIOlf. 198

imière dont la direction était connue ; nn limbe mobile dont le "e coïncidait avec celui de la sphère pouvait se mouvoir an* de la verticale passant par ce centre : on cherchait le point d'éyence du rayon réfracté , et on mesurait directement l'angle faisait avec la verticale et la position du plan du limbe par »ort au plan vertical di4 rayon incident. 151. Angle limité. Nous avons dit que, quand un rayon e du vide dans un corps réfringent y l'angle d'incidence est plus d que l'angle de réfraction y et que la même chose a lien \û le rayon passe d'un corps dansuii autre plus réfringent. Ré* MjjBement, quand un rayon sort d'un milieu réfringent pour endans le vide ou dans un milieu moins réfringent , le rayon s'é* ^ de la normale : ainsi il y a toujours pour chaque corps une in- Me tous laquelle le rayon ne peut pas en sortir pour pénétrer 9e ^e ou dans nn autre corps diaphane moins réfringent, car, f« d'émergence (de sortie) étant toujours plus grand que l'an* ^incidence 9 il y a toujours une incidence plus petite que 90^ , laquelle-i'angle d'émergence est droit : cette incidence porte le Ûi angle limite* .

on suppose que le rayon se présente pour sortir sous un an* flm grand que l'angle limite , la formule n'est plus applicable , dors on aurait pour le sinus de l'angle d'émergence une val^r ^grande que L'unité , ce qui est impossible, et ménie la formule Wpasindiquer alors ce qui arrive an rayon ; mais l'expérienoe Ireqa'ilse réfléchit en totalité dans l'intérieur du milieu en fai* ^ angle d'incidence égala l'angle de réflexion. Ainsi , ensuppo* qu'un rayon COÇJig. 738/df}se présente sur la seconde surface nilie;! diaphane , d'abord perpendiculairement, et qu'il s'in- I toujours davantage sur la normale, le rayon réfracté, d'abord ;é suivant le prolongement de la normale, s'incline plus que le B incident; il coïncide avec OB quand le rayon incident est di* ittirant OEj faisant avec OC un angle égal à l'angle limite ; I aussitôt que le rayon incident devient plus incliné ^ qu*il est (^ suivant OF, par exemple, ce rayon est réfléchr suivant OP |é sur OB d'une quantité égale à l'angle FOA^ et à niesure que ffm s'inclinera davantage sur AO^ le rayon réfléchi s'inclinera davantage sur OB, et tous deux finissent par être dirigés sifi- \éiB, On voit d'après cela qu'il n'y a pas continuité dans le pa^ de la réfraction à la réflexion intérieure» résulte de là que ^ si un observateur était plongé dans Teau ,

29S LUMIÈEB.

reviendrons sur cet objet après avoir examiné Forgane de lâri-i

sion.

BéfractloD,

1229. Lorsqu'un rayon lumineux pénètre du vide daDSDOoi'l lieu diaphane , ou d'un milieu diaphane dans un ai{tre plusdeoseij en général le rayon est dévié de sa direction et se rapproche delij normale à la surface (Jig. IZl) : c'est cette déviation que l'on désflj sous le nom de réfraciiofi. On peut reconnaître cette àévéâ] par l'observation suivante : si au fond d'un vase (^fig. 738) (Vi' m un corps A , et que l'on se place enM,àe manière à voirktfp h tangent au bord du vase , en y introduisant de l'eau le cofl*' ratt élevé j et il faut que l'œil se place en N pour observer leflif encore tangent au bord du vase : cet effet provient évid6iMi(| de ce que le rayon ^D s'incline en sortant de l'eau pour enircr' Fair. C'est par la même raison qu'un bâton plongé en partiel l'eau paraît brisé.

On peut aussi reconnaître directement la déviation qa'épi les rayons lumineux en passant d'un milieu dans un autre,

en

çant sur la route d'un rayon solaire qui pénètre dans une cbav] obscure un vase formé par des plaques de verre parallèles d'eau : enrépandant dans ce liquide une poussière légère ^

très distinctement le rayon solaire dans Tair et dans rean^MJ déviation qu'il éprouve en passant dans ce dernier milieu.

1250. Lois de la refraction. On a constaté par Tex] %• que le rayon incident et le rayon réfracté sont dans us plan perpendiculaire à la surface réfringente; 2» que le de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction soofti un rapport constant. L'angle d'incidence est l'angle formé rayon incident avec la normale à la surface au point d'indu et l'angle de réfraction celui qui est formé par le rayon avec celte même normale. Ce rapport porte le nom â'indicê fraction. Dans le système de l'émission, il est égal au rap| vitesses de la lumière dans le milieu réfringent et dans le environnant , et à ce rapport renversé lorsqu'on considère mière comme provenant des vibrations de l'éther. Cette loi| des plus importantes de l'optique, a été découverte par D(

Yoici la méthode qu'il a employée. Un vase de verre héi rique, plein d'eau, recevait au centre de la surface liquide on

EéFftAGTIOlf. 198

de lumière dont la direction était connue ; un limbe mobile dont le centre coïncidait avec celui de la sphère pouvait se mouvoir au» tour de la verticale passant par ce centre: on cherchait le point d*ëimergence du rayon réfracté , et on mesurait directement i'angie qu'il faisait avec la verticale et la position du plan du limbe ptr rapport au plan vertical di^ rayon incident.

1251. Angle limite. Nous avons dit que, quand un rayon passe du vide dans un corps réfringent y Tangle d'incidence est plus grand que l'angle de réfraction , et que la même chose a lien quand le rayon passe d'un corps dans un autre plus réfringent. Ré* ciproquement, quand un rayon sort d'un milieu réfringent pour en« trer dans le vide ou dans un milieu moins réfringent , le rayon s'é« carte de la normale : ainsi il y a toujours pour chaque corps une vb^ cidence sous laquelle le rayon ne peut pas en sortir pour pénétrer dansie vide ou dans un autre corps diaphane moins réfringent, caF| l'angle d'émergence (de sortie) étant toujours plus grand que Fan* gle d'incidence , il y a toujours une incidence plus petite que 90^, pour iaquelie-l'angle d'émergence est droit : cette incidence porte le nom â! angle limite* .

Si on suppose que le rayon se présente pour sortir sous un a»* gle plus grand que l'angle limite , la formule n'est plus applicable , car alors on aurait pour le sinus de l'angle d'émergence une val^f plus grande que L'unité , ce qui est impossible , et même la formule nepeulpasindiqueralors ce qui arrive an rayon ; mais l'expérienoe Bontre qu'il se réfléchit en totalité dans l'intérieur du milieu en foi* 4ant un angle d'incidence égal à l'angle de réflexion. Ainsi ^ en suppo* sttit qu'un rayon CO(Jig. lZ%A)%à présente sur la secon()e surface d'un milieu diaphane , d'abord perpendiculairement! et qu'il s'incline toujours davantage sur la normale, le rayon réfracté, d'abord dirigé suivant le prolongement de la normale, s'incline plus que le rayon incident; il coïncide avec OB quand le rayon incident est di*^ rigé suivant OE^ faisant avec OC un angle égal à l'angle limite ; nais, aussitôt que le rayon incident devient plus incliné, qu'il est jdirigé suivant ÔF, par exemple, ce rayon est réfléchi suivant OP* incliné sur OB d'une quantité égale à l'angle FOA^ et à niesure que le rayon s'inclinera davantage sur AO^ le rayon réfléchi s'inclinera aussi davantage sur OB, et tous deux finissent par être dirigés sctfivant AB. On voit d'après cela qu'il n'y a pas continuité dans lepa%sage de la réfraction à la réflexion intérieure*

Il résulte de là que, si un observateur était plongé dans Teau ,

294 LUMIÈEB.

son œil étant en O (fi g. 739), tous les rayons qui lui parviendraient seraient renfermés dans le cône droit y4B0j dont Tangle COBes,\ égal à l'angle limite ; tous les points de la surface du liquide situes au delà des points ^ et 1^ ne pourront transmettre à l'œil aucun rayon venu de Texiérieur; mais ces points réfléchiront comme un miroir les rayons émanés des corps siuiés au fond de l'eau.

Il est facile de calculer pour chaque substance le maximum de l'angle sous lequel ce phénomène doit avoir lieu, lorsqu'on cooDail l'indice de réfraction d'un rayon lumineux qui passe du vide ou di milieu environnant dans ce corps. En effet, ce maximum aoraévidemment lieu quand l'angle d'émergence sera droit : or, en appelant 0 et 6' les angles d'incidence et de réfraction , et n l'indice de réfraction , on aura sin 9 = n sin 0' ; quand le rayon sort du corps, e se trouve l'angle d'émergence, et ù la limite d'émergence il esi égal à 90® , par conséquent sin G = 1 et sin 6' =^ : ainsi l'angle Smite a pour sinus l'unité divisée par l'indice de réfraction. Poorle verre et le vide , par exemple , n m-| , et 0' zz Al° W 37* : ains tous les rayons qni se présenteront pour passer du- verre dansV vide sous une plus grande incidence seront réfléchis dans l'intéritf du verre.

Nous venons de voir que , lorsqu'un rayon tend à sortir d'onfl^ lieu réfringent sous un angle plus grand que l'angle limite, ilseréflécbit ; nous ajouterons que dans ce cas la réflexion est totale^ 6^ que les images ainsi produites sont beaucoup plus brillanles (pe xelles qu'on obtient à la surface extérieure des corps doués daplos grand pouvoir réflecteur, tels que le mercure ou les plaques métalliques dont le poli est le plus parfait. C'est ce que Ton peut fadb' ment vériGer en mettant de l'eau dans un vase (fîg. 760) etplaçi^ l*œil en o : la surface du liquide donne les images des objets fî sont plongés dans l'eau comme ferait un miroir, mais leur édatctf beaucoup plus vif.

1S32. On a trouvé, par expérience, cpie, quand on appKf* l'une contre l'autre deux lames parallèles ayant des pouvoirs f^ friogents différents, les rayons incidents et émergents sont partie les , car les objets que l'on regarde à travers ces lames ne paraisM^ point déplacés de leurs positions. Ce fait nous fournit unmoyea&i simple de déterminer l'indice de réfraction pour un rayon ta neux qui passe d'un milieu dans un autre, quand on connaît les kl dices de réfraction dé ces deux corps par rapport à Tair : es eMy

AÉFRACTIOIC. 29&

en désignant par m 'et n les indices de réfraction des deux corps » Dous aurons {fig. 7/ii)

sin a =msina'=:msini&9 et sin o'rrsin a^zn sin e^nsini',

sin b n

d'où

sïn7 m

Ainsi y lorsqu'un rayon lumineux passe d*un corps dans un autre, rindice de réfraction est égal au rapport des indices de réfraction da deuxième milieu et du premier par rapport à Fair ; et, comme le parallélisme des rayons incidents et émergents s'observe également quand les deux lames sont placées dans le vide ou dans un milieu quelconque , il s'ensuit que , dans le passage de la lumière d*mi corps dans un autre , l'indice est égal au rapport des indices dn second et du premier corps par rapport au vide ou à un milieu quelconque.

^' IStSS. Lorsqu'un rayon de lumière passe du vide dans un corps y et en général d'un corps dans un autre, indépendamment de la déviation qu'il éprouve par le fait de la réfraction , il se disperse dans une certaine étendue angulaire et se colore; mais nous n'examinerons que plus tard ces phénomènes : dans ce qui précède j la loi doit être considérée comme étant relative au rayon qui occupe le nûUeu du faisceau réfracté.

1SS4. DisposUion des rayons réfractés dans un milieu indé"

fini, terminé par une surface quelconque. Lorsque des rayons

lumineux pénètrent du vide dans un milieu quelconque , ou d'un

milieu dans un autre plus ou moins réfringent , les rayons réfractés ,

consécutifs dans de certaines directions, se coupent deux à deux , et les

jpoints d'intersection forment deux surfaces plus brillantes que les

tutres points de l'espace traversé par les rayons : ces surfaces , *

analogues à celles que forment les rayons réfléchis , portent aussi le

nom de caustiques, et les points d'intersection de ces surfaces por-

.tent également le nom de foyers. Quelquefois ce sont seulement les

■|irolongements des rayons réfractés qui se rencontrent : alors les

..^{[yyers sont virtuels.

, . Quand la surface est de révolution autour d'un axe passant par

u'ie point lumineux, les deux surfaces caustiques sont l'axe de révo-

f.lution lui-même et une surface de révolution autour de cet axe. Ces

caustiques pourraient se construire en traçant dans un même mérir

i9t LUMIÈRE.

dieo un grand nombre de rayons n'^rractéset une courbe tangenlei tous ces rayons; on pourrait même, dans le cas où la surface est spfaérique, oblenir une équation analogue à celle du b^ 1^25 qui servirait à la tracer par points ; mais nous nous bornerons àdonoer la détermination du foyer pour le cas des surfaces sphériques.

1853. Soit n rindice de réfraction, P {fig. 742) le point lumineux , C le centie de la surfece réfringente, PM un rayon incident «^écartant très peu de YdjaJC, P*M)b rayon réfracté ; posons ACtrar, AP s» p, AP* a» j»\ nous auront enire ao|^ des triangles PMC et CMP* les relations suivantes :

CPM^CMN^MCJ, CP'M^MCA^CMP* et CMN^n.CMFi d*où l'on tire CPM + nCP'M:=^ (n — 1) MCA.

Cet angles étant très petits peuvent être considérés comme ayant pour tangents il t sous les rayons PA^ fA et AC , et être remplacés par leurs tangentes : templiçat donc ces angles par leurs tangentes, et divisant par AM^ il vient

ea faisant p infini, on aura -,^=3 \

p'est idla distance focale principale ; en la désignant par a, Téquation primitive devint

La (brmole relative à une surface concave s'obtient en changeant dans cette é^v^ les signes de a et de p' ; elle devient alors

ni»

En iabant r » od , il vient

équation des foyers conjugués relatifs à une surface plane.

Si le point lumineux était dans le milieu le plus réfringent , U faudrait dans ces fSonnules changer p en p', et réciproquement, ou considérer n comme étant Ifr Sce du milieu le plus réfringent par rapport à l'autre.

1836. Disposition des rayons lumineuof à leuf sortie JtWf milieu réfringent , terminé par des surfaces planée. Snffly sons d'abord que le milieu soit terminé par deux faces panl^ lèles JB et CD (fig. 743), chaque rayon en pénétrant par II surface ^B éprouvera une déviation ; mais comme il se préscaitBft pour sortir sur la siurface CD sous un angle parfaitement éga. i

&Ér&AGTIOK. S97

rangle de réfraction sar AB , puisque AB est parallèle à (7Z>, il sortira nécessairement sous un angle égal à Tangle d^incidence sar AB : ainsi les rayons incidents et les rayons émergents seront pa-* nillèles.

1237. Supposons maintenant que les deux surfaces qui termineot le corps réfringent soient deuK surfaces* planes inclinées ABei AC {fig. lUk ) , et considérons d*abord les rayons incidents situés dans un plan perpendiculaire aux deux faces , c'est-à-dire dans la section principale du prisme. Le rayon incident a&, en se réfrac« tant suivant ho , se rapproche de la perpendiculaire i&m , et par conséquent s'éloigne du sommet^ du prisme ^ et le rayon émergent ûd^ en s'éloignant de la normale cm' , s'éloigne encore du somoMt A : ainsi l'etTet d*un milieu réfringent angulaire est d'éloigner le rayon émergent du sommet de l'angle. Il est facile de voir qti'il eH serait de même si le rayon incident ab se trouvait au dessus de la normale au point b {fig. 7/i5).

Si on suppose {fig. 746 ) que la face AC d« prisme tourne auk>ur de l'arête qui passe par le point A y de manière à augmenter fangle réfringent du prisme , l'incidence du rayon réfracté be sur la face AC augmentera continuellement à mesure que l'angle A deviendra plus grand : il existera donc nécessairement une grandeur de cet angle, pour laquelle tous les rayons arrivés par AB , quelle que soit d'ailleurs leur incidence sur BA^ se réfléchiront sur AC. L'angle du prisme cherché sera évidemment celui pour lequel un rayon incident Ba {fig. lUl) émergerait suivant hC: car tout autre rayon incident donnerait un rayon réfracté qui rencontrerait AC sous un angle plus grand, et qui serait réfléchi intérieurement; et les rayons ne pourraient pas non plus émerger après avoir subi plusieurs réflexions, parce que les rayons réfléchis s'inclinent toujours davantage sur les surfaces du prisme, et par conséquent ne peuvent pas sortir. Or, dans ce cas , e:=6' , ^gale l'angle limite , pais* 4116 ces deux angles correspondent à des angles d'incidence et d'émergence droits; mais 29 est le supplément de l'angle D^idiA est également le supplément de l'angle Z^: donc /^ = 29. Pour le ♦iarre ordinaire , w = 31 : 20, et 29 = 83*» 37' W.

Dans ce qui précède , nous avons supposé que le rayon réfracté écait dirigé vers l'puverlure du prisme ; mais s'il était dirigé vers le sommet , il se redresserait à chaque réflexion et finirait par émerger. Pour savoir quand cette circonstance aura lieu , considérons te prisme ABC {fig. 7&S)j au point a menons la normale

298 LUMIÈ&E.

DaE et la perpendiculaire ah sur AC; il est évident que , pour qu'un rayon entré par a se réfléchisse sur AC du côté du point i^, il faut que le rayon réfracté soit dirigé au dessus de ai , et par conséquent qu'il fasse avec aE un angle plus grand que Fangle de prisme : ce qui n'est pas possible quand l'angle A est égal à l'angle limite, et à plus forle raison quand il est égal au double de cet angle.

Si l'angle A {fig. Ik^) était seulement égal à 0 , tous les rayons incidents compris dans l'angle SaA seraient réfléchis sur la lace AC\ mais tous ceux qui seraient renfermés dans l'angle SaB émet' géraient par AC. £n effet, le rayon incident Sa perpendicobûv ^ UB donnera un rayon réfracté ab , qui fera avec la normale àhbce AC un angle égal à l'angle /^, c'est-à-dire égal à l'angle limteî alors le rayon émergent correspondant sera dirigé suivant bC. S maintenant on suppose que le rayon s'incline vers le point ^,ltt rayons réfractes correspondants feront avec la normale à ACi» angles plus grands que B et seront réfléchis , tandis que , si on si^ pose que le rayon s'incline vers le point jB, les rayons réfracta correspondants feront avec la normale à AC des angles plus pet que B , et sortiront du prisme.

Il est facile de voir que, si l'angle A était compris entre 9 et 96,h réflexion sur AC commencerait à partir d'un rayon incid^t«$*} d'autant plus rapproché de aB que l'angle A s'approcherait àxnt tage de 2ô.

Si l'angle A était plus petit que 0 , la réflexion sur y4C s'artto" rait au rayon incident 05"^ qui sera d'autant plus rapproché le aA que l'angle A sera plus petit , et ce rayon ne coïncidera avec«i que quand l'angle A sera nul. En eiïet, le rayon Aa se réfracte* point a, suivant une droite ac faisant avec ab un angle égal à U gle limite G , et il se présente pour sortir en faisant avec la norfltfb un angle m = e + ^ /car , l'angle acC extérieur au triangle ii' étant égal à la somme des deux angles intérieurs opposés, oi* 90»+wi=:90*-|-'^ + ^ • ï^ rayon Aa ne pourra donc sortir <|* quand on aura Jf = 0.

1258. Jusqu'ici nous avons supposé que le plan d'incideart était perpendiculaire aux deux faces du prisme ; il nous restai examiner quelles seraient les conditions d'émergence si ce pbi avait une direction quelconque.

Soit ABC(fig. 750) la section principale du prisme qui passe parii point a quelconque de la sur/ace d'incidence. Elevons ta oonualeiii^

HéFKAGTiOlf. 39S

de lumière dont la direction était connue ; un limbe mobile dont le centre coïncidait avec celui de la sphère pouvait se mouvoir au» tour de la verticale passant par ce centre : on cherchait le point d'émergence du rayon réfracté , et on mesurait directement Tangle qu'il faisait avec la verticale et la position du plan du limbe par rapport au plan vertical di^ rayon incident.

1251. Angle limite. Nous avons dit que, quand un rayon passe du vide dans un corps réfringent , Tangle d^incidence est plus grand que l'angle de réfraction , et que la même chose a lieu quand le rayon passe d'un corps dans un autre plus réfringent. Ré* ciproquement, quand un rayon sort d'un milieu réfringent pour en* trer dans le vide ou dans un milieu moins réfringent , le rayon s'é« carte de la normale : ainsi il y a toujours pour chaque corps une incidence sous laquelle le rayon ne peut pas en sortir pour pénétrer dansie vide ou dans un autre corps diaphane moins réfringent, car, l'angle d^émergence (de sortie) étant toujours plus grand queTan-* gle d'incidence , il y a toujours une incidence plus petite que 90^ , pour iaquell&rangle d'émergence est droit : cette incidence porte te nom di angle limite» .

Si on suppose que le rayon se présente pour sortir sous un an* gle plus grand que l'angle limite , la formule n'est plus applicable , car alors on aurait pour le sinus de l'angle d'émergence une valeur plus grande que l'unité, ce qui est impossible, et même la formule nepeutpasindiqueralors ce qui arrive an rayon ; mais l'expérience laontre qu'il se réQéchit en totalité dans l'intérieur du milieu en fah jant un angle d'incidence égal à l'angle de réflexion. Ainsi , en supposant qu'un rayon CO(Jig. 738/^)66 présente sur la seconde surface d'nn milieu diaphane, d'abord perpendiculairement, et qu'il s'incline toujours davantage sur la normale, le rayon réfracté, d'abofd dirigé suivant le prolongement de la normale, s'incline plus que le rayon incident; il coïncide avec OB quand le rayon incident estdi*^ rigé suivant OEy faisant avec OC nu angle égal à l'angle limite ; mais, aussitôt que le rayon incident devient plus incliné^ qu*il est jdirigé suivant OF, par exemple, ce rayon est réfléchi suivant OF' incliné sur OB d'une quantité égale à l'angle FOA^ et à mesure que le rayon s'inclinera davantage sur AO^ le rayon réfléchi s'inclinera aussi davantage sur OB^ et tous deux finissent par être dirigés sufivant AB, On voit d'après cela qu'il n'y a pas continuité dans le paesage de la réfraction à la réflexion intérieure*

Il résulte de là que , si un observateur était plongé dans Teau ,

Z9k lUMiEac*

son œil étant enO(fig. 739) , tous les rayons qui lui parviendraient seraient renfermés dans le cône droit y4B0j dont l'angle COBeA égal à Tangle limite ; tous les points de la surface du liquide situés au delà des points .^ et £ ne pourront transmettre à Fœil aucoi rayon venu de Texlérieur ; mais ces points réfléchiront comme un miroir les rayons émanés des corps siuiés au fond de Teau.

Il est facile de calculer pour chaque substance le maximum de Fangle sous lequel ce phénomène doit avoir lieu, lorsqu'on cooDaS l'indice de réfraction d'un rayon lumineux qui passe du videoadir milieu environnant dans ce corps. En effet, ce maximum auraévi- '^ demment lieu quand l'angle d'émergence sera droit : or, en appelant 0 et 6' les angles d'incidence et de réfraction, et n Tindicede réfraction , on aura sin Bz=zn sin 0' ; quand le rayon sort du corps» 6 se trouve l'angle d'émergence, et à la limite d'émergence il eil égal a 90^ , par conséquent sin d = 1 et sin 6' =^ : ainsi l'angle fr mite a pour sinus l'unité divisée par l'indice de réfraction. PoorJi verre et le vide , par exemple , w zi-f > et ô' zz Al° 48' 37' : aina tous les rayons qui se présenteront pour passer du» verre danshj vide sous une plus grande incidence seront réfléchis dans l'inlériei du verre.

Nous venons de voir que , lorsqu'un rayon tend à sortir d'un lieu réfringent sous un angle plus grand que l'angle limite, il sef^ fléchit ; nous ajouterons que dans ce cas la réflexion est totale, é que les images ainsi produites sont beaucoup plus brillantes (f^ -celles qu'on obtient à la surface extérieure des coi*ps doués duph grand pouvoir réflecteur, tels que le mercure ou les plaques méii^ liques dont le poli est le plus parfait. C'est ce que l'on peut faci ment vérifier en mettant de l'eau dans un vase {fig. 740) elplaçrf Pœil en o : la surface du liquide donne les images des objets <|* sont plongés dans l'eau comme ferait un miroir, mais leur éclatesl beaucoup plus vif.

1252. On a trouvé, par expérience, que, quand on appli<P^ l'une contre l'autre deux lames parallèles ayant des pouvoirs ré' fringents différents, les rayons incidents et émergents sontparaH^ les , caries objets que l'on regarde à travers ces lames ne paraisse point déplacés de leurs positions. Ce fait nous fournit un moyen tri* simple de déterminer l'indice de réfraction pour un rayon In» neux qui passe d'un milieu dans un autre, quand on connattlesi^ dices de réfraction dé ces deux corps par rapport à l'air : en efWi

&ÉFRAGT10IC. 295^

;n dcsignant par m et n les indices de réfraction des deux corps | nous aurons {fig. 741)

siin a =m sina'=:msini&, et sin e'irsin a:=zn sin e =:n sini',

... sin £ n

dou -:— ï7=— •

sin b^ m

Ainsi , lorsqu^un rayon lumineux passe d'un corps dans un autre, Tindice de réfraction est égal au rapport des indices de réfraction lu deuxième milieu et du premier par rapport à Fair ; et , comme te parallélisme des rayons incidents et émergents s'obsen'e également quand les deux lames sont placées dans le vide ou dans un iiilieu quelconque , il s'ensuit que , dans le passagé'de la lumière l*nn corps dans un autre , l'indice est égal au rapport des indices lii second et du premier corps par rapport au vide ou à un milieu luelconque.

1235. Lorsqu'un rayon de lumière passe du vide dans un k)rps, et en général d'un corps dans un autre, indépendamment le la déviation qu'il éprouve par le fait de la réfraction , il se disperse dans une certaine étendue angulaire et se colore; mais nous l'examinerons que plus tard ces phénomènes : dans ce qui précède , a loi doit être considérée comme étant relative au rayon qui occu- [le le milieu du faisceau réfracté.

^ 1254. Disposition des rayons réfractés dans un milieu indé^ l^f^ terminé par une surface quelconque. Lorsque des rayons (iiinineux pénètrent du vide dans un milieu quelconque , ou d'un iiilieu dans un autre plus ou moins réfringent ^ les rayons réfractés , Consécutifs dans de certaines directions, se coupent deux à deux, et le6 |>QiDts d'intersection forment deux surfaces plus brillantes que les stutres points de l'espace traversé par les rayons : ces surfaces , • stnalogues à celles que forment les rayons réfléchis, portent aussi le nom de caustiques, et les points d'intersection de ces surfaces portent également le nom de foyers. Quelquefois ce sont seulement les prolongements des rayons réfractés qui se rencontrent : alors les byers sont virtuels.

Quand la surface est de révolution autour d'un axe passant par le point lumineux , les deux surfaces caustiques sont l'axe de révoation lui-même et une surface de révolution autour de cet axe. Ces iaostiques pourraient se construire en traçant dans un môme mérir

kl

i9i LUMiiEE.

dieu un grand nombre de rayons rérractés et une coaii>e tangente à tous ces rayons ; on pourrait même , dans le cas où la surface est spfaérique, obtenir une équation analogue à celle du n? 1^25 qui servirait à la tracer par points ; mais nous nous bornerons adonner la détermination du foyer pour le cas des surfaces sphérique».

1853. Soit n rindice de réfraction , P (fig* 742) le point lumineux , C^ le centre de la surface réfringente, PM un rayon inddent «^écartant très peu âe raie JC^ P^M le rayon réfracté ; posons JC ta r, JP =^ p, AP* =rs p* , nous aurons entre an|^ des trian^^es PMC et CMP* les relations suivantes :

CPM^CMN^MCJ, CP'M^^MCJ^CMP* et CMN^n.CMFt d'où ron tire CPM + nCP'M^ (n — 1) MCA.

Cet angles étant très petits peuvent être considérés comme ayant pour tangenttti^i sous les rayons PA^ V^A et AC , et être remplacés par leurs tangentes ;. templaçant i( donc ces angles par leurs tangentes, et divisant par AM^ il vient '^

i,n n — I ffl

en faisant p infini, on aura -.== t

p*est idla distance focale principale ; en la désignant par a, Téquation prnnitive deTient \i

La formule relative à une surface concave s'obtient en changeant dans cette éqoatioi lessignes de a et de p'; die devient alors

En faisant r a» od , U vient

équation des foyers conjugués relatifs à une surface plane.

Si le point lumineux était dans le milieu le plus réfringent, il faudrait dans toflW ces formules changer p en p\ et réciproquement , ou conâdérer n comme étant Hi* &e du milieu le plus réfringent par rapport à l'autre.

1256. Disposition des rayons luminetiof à leur sortie £f^ milieu réfringent y terminé par des surfaces planes. SnppO' sons d'abord que le milieu soit terminé par deux faces parai* lèles AB et CD {fig. 7li^)j chaque rayon en pénétrant par h surface AB éprouvera une déviation ; mais comme il se présentera pour sortir sur la surface CD sous un angle parfaitement éga* à

&ÉVBAGTIOK. S97

Migie de réfraction sar AB , puisque AB est parallèle à CD, il mira nécessairement sous un angle é{jal à Tangle d'incidence sur \B : ainsi les rayons incidents et les rayons émergents seront pa-* illèles.

1837. Supposons maintenant que les deux surfaces qui terminent le corps réfringent soient deuK surfaces* planes inclinées A Bel te {fîg. Ikk ) , et considérons d*abord les rayons inci<lents situés ans un plan perpendiculaire aux deux faces , c'est-à-dire dans la action principale du prisme. Le rayon incident a&, en se réfrac« iHt suivant bo , se rapproche de la perpendiculaire i&m , et par >nséquent s'éloigne du sommet^ du prisme ;. et le rayon émergent ij en s'éloignant de la normale cm' , s'éloigne encore du somoMt ^ : ainsi l'etTet d*un milieu réfringent aBgulaire est d'éloigner le lyon émergent du sommet de l'angle. Il est facile de voir qu'il eH trait de même si le rayon incident ab se trouvait au dessus de la >rmale au point b {fig. 7/i5).

Si on suppose {fig. Ik^) que la face AC d«i prisme tourne au* »Qr de l'arête qui passe par le point A y de manière à augmenter iDgIe réfringent du prisme , l'incidence du rayon réfracté be sur i face AC augmentera continuellement à mesure que l'angle A (viendra plus grand : il existera donc nécessairement une gransur de cet angle, pour laquelle tous les rayons arrivés par AB j Qèlle que soit d'ailleurs leur incidence sur BA, se réfléchiront sur W, L'angledu prisme cherché sera évidemment celui pour lequel un tfon incident jSa {fig. lUl) émergerait suivant bC: car tout autre lyon incident donnerait un rayon réfracté qui rencontrerait AC OQs un angle plus grand, et qui serait réfléchi intérieurement; (les rayons ne pourraient pas non plus émerger après avoir subi dasieurs réflexions, parce que les rayons réfléchis s'inclinent toaours davantage sur les surfaces du prisme, et par conséquent ne t^Qvent pas sortir. Or, dans ce cas , G:=6' , ^gale l'angle limite , puislue ces deux angles correspondent à des angles d'incidence et l'émergence droits; mais 29 est le supplément de l'angle Dy^i A «t également le supplément de l'angle Z^: donc /^ = 29. Pour le erre ordinaire, w = 31 : 20, et 29 = 83*» 37' W.

Dans ce qui précède , nous avons supposé que le rayon réfracté laie dirigé vers l'puverlure du prisme ; mais s'il était dirigé vers \ sommet , il se redresserait à chaque réflexion et finirait par no^r. Pour savoir quand cette circonstance aura lieu , coadérem te prisme ABC {fig. 7&S ); aa point a menons la nonnale

298 LUMIÈEE.

Z^af* et la perpendiculaire a& sur ^C/ il est évident que , pour qu'un rayon entré par a se réfléchisse sur JC du côté du point i, |*^ il faut que le rayon réfracté soit dirigé au dessus de ai , et par conséquent qu'il fasse avec aE un angle plus grand que l'angle ds prisme : ce qui n'est pas possible quand l'angle /i est égal à l'angle limite, et à plus forte raison quand il est égal au double de cet angle.

Si l'angle j4 (fig. 71x9) était seulement égal à 0 , tous les rayons incidents compris dans l'angle SaJ seraient réfléchis sur la face ^C'y mais tous ceux qui seraient renfermés dans l'angle SaB ë^I6^ géraient par j4C. En effet, le rayon incident Sa perpendiculaire i AB donnera un rayon réfracté oî , qui fera avec la normale à la bce y4C un angle égal à l'angle /rf, c'est-à-dire égal à l'angle limiic; alors le rayon émergent correspondant sera dirigé suivant bC* S' maintenant on suppose que le rayon s'incline vers le point ^,les rayons réfractés correspondants feront avec la normale hJCis^ angles plus grands que B et seront réfléchis, tandis que , si on suppose que le raypn s'incline vers le point jB , les rayons réfractél correspondants feront avec la normale à /iC des angles plus peiiu que 0 , et sortiront du prisme.

Il est facile de voir que, si l'angle y4 était compris entre 9 et 80 , h réflexion sur /4C commencerait à partir d'un rayon incident aS) d'autant plus rapproché de aB que l'angle J s'approcherait daYantage de 20.

Si l'angle J était plus petit que 0 , la réflexion sur j4C s'arrêterait au rayon incident aS" , qui sera d'autant plus rapproché (fc a^4 que l'angle ^ sera plus petit , et ce rayon ne coïncidera avecoi que quand l'angle J sera nul. En effet, le rayon Ja se réfracte ai point a, suivant une droite ac faisant avec ab un angle égal à faogle limite 0 , et il se présente pour sortir en faisant avec la normale un angle m = 0 -}- ^^ /car , l'angle acC extérieur au triangle^ étant égal à la sommç des deux angles intérieurs opposés, on a 90«+wi=:90*-f-'^ + ^ • ï® rayon Ja ne pourra donc sortir que quand on aura /^ = 0.

1258. Jusqu'ici nous avons supposé que le plan d'incidence était perpendiculaire aux deux faces du prisme ; il nous reste à examiner quelles seraient les conditions d'émergence si ce plaa avait une direction quelconque.

Soit ABC{fig. 750) la section principale du prisme qui passe par ob point a quelconque de la sur/ace d'incidence. Elevons la normale êb à

&ÉFEAGTI05. 299

pelle surface, et décrivons autour de cette ligne comme axe un cône droit matij ayant pour angle au sommet le double de Fangle limite ; ce cône renfermera tous les rayons réfractés qui pénètrent dans le prisme par le point a; de ce même point abaissons une perpendiculaire ac sur la face d'émergence AC^ et décrivons de même autour de cette ligne un cône droit ayant un angle au sonunet double de l'angle limite , ce cône renfermera évidemment tous les rayons réfractés correspondants au point d'incidence a qui pourront émerger : par conséquent , la partie commune des deux cônes renfermera tous les rayons qui pourront traverser le prisme. Mais l'angle formé par les axes des deux cônes est égal à l'angle du prisme: par conséquent 9 quand l'angle du prisme sera égal à 2 6 , les cônes seront tangents; un seul rayon pourra traverser le prisme, et ce rayon sera évidemment celui qui est dirigé dans la section princi* pale du prisme suivant Ba. Pour un angle plus grand du prisme , .les deux cônes ne se pénétreront pas , et aucun rayon ne pourra trarerser le prisme , quelle que soit d'ailleurs la direction du plan d'incidence. Si les cônes se pénètrent, il est facile de voir que les rayons incidents qui pourront traverser le prisme sont compris dams un cône qui coupe le plan AB , suivant deux arêtes situées dans les plans ahr et ahs du côté de aB , et dont l'arête la plus élevée correspond au rayon réfracté aq^ lequel coïncide avec la normale quand l'angle du prisme est égal à d, se rapproche.de oA quand Tangle du prisme est plus petit que 0 , de aB quand il est plus grand , et finit par coïncider avec a£ quand cet angle est égal à 2 e. 1S39. Déviation que les prismes font éprouver aiêx rayons qui les traversent. Soit ABC{fig. 751) la section principale d'un prisme, les rayons qui peuvent émerger et qui passent par le point m sont fx>nipris dans l'angle Bml^ Im étant le rayon incident qui , prolongé par réfraction, rencontre la normale à la face ^C sous un angle égal à l'angle limite.

* lOL yaleur de l'angle x peut s*obteiiir de la manière suivante :

Dans'le triangle mdk on a r = 0 —^ a; et , comme sin a; =■ n sin r , il vient

sin 0? =3B n sin (0 -* a] =a n (sin 6 cos a .— sin a cos 6] ; (i)

tuais 8in6s=- et cosO = - 1/ n'^t — i s

ainri 9 sin a? es cos a «- sin a (/«'-* — 1.

* En faisanfdans Téquation (1) a ss 0, a =3 29, on trouve x^^O etâCss— i,ce que nous savions déjà.

100 LUMIÈKC.

Supposons mainlenunt que le rayon incident /«• toorne autotf da point m en se rapprochant de mB , le rayon émergeoC, d'abon! dirigé suivant dC^ se relt*vera constamment ; et si par le point qnd' eonque n on mène une ligne nE^ formant avec la normale en œ point un angle égal à jr , il est évident qne toutes les lignes meoéei par le point n parallèles aux rayons émei^ents seront compriseï dans Fangle CnE. Il suit de là qu à mesure que le rayon incident le rapproche de mB y le rayon émergent s'éloigne de nC lîljua donc un rayon incident Lm dont le rayon émergent nP fonien avec nC un angle PnC égal à LtnB, On désigne sons le noads déviation le plus petit des angles formés par les prolongemenlidv rayons incidents et émergenis. Ou voit d*après cela* qne lesdènitîous des rayons incidents lm et Bm sont égales , car les mm émergents correspondants sont nC et nE , et que de part et d'aM du rayon £m, dont le rayon émergent sort sons un angle égall Fangle d'incidence , il existe toujours des- rayons incidents ijll même déviation. En eiïet, considérons un rayon incident Z'msiHf au dessus de Lm, le rayon émergent correspondant n/^ sera pfarf au dessous de n/' y menons nn autre rayon incident L*m dontraïf d'inciilence soit égal à l'angle d'émergence du premier , il sera ptai en dessous de£m, le rayon émergent seran/^, etia déviation desdflB rayons sera la même. Ainsi, de part et d'autre de Lnty les rayoufl^ deux à deux la même déviation; la déviation de part et d*autredeX« varie donc dans le mémesens; donc la déviation correspondanteil* est un maximum ou un minimum. Pour reconnaître lequel des deOil suffit de voir si la déviavion du rayon Dm très voisin de Zm(ji|- 752) est plus grande ou plus petite que celle deZm. Pourcebt prolongeons les rayons Lm et Pn jusqu'à leur rencontre en i;l sera la déviation du rayon Lm; et si par le point k on mène M droites kt eikp^ parallèles aux rayons lAmeiP'n , en désignant pf jD* la déviation du rayon L'mj on aura Z?' = /> -|- i — a;ei9^ vaut que a sera > ou < que b ^ D sera < ou > que Z^. Or alU le décroissemeut de Fangle d'incidence correspondant au décrois sèment de l'angle de réfraction nmiC y et h est raocroissemeatà l'angle d'émergence correspondant à Faccroissement de Faagli de réfraction de n' — » ; mais cet angle est évidemment égal à ru* gle nmn\ Ainsi les angles a^\,h sont les variations des angles dit* ddence correspondants à des variations égales , et en sens coolrti' re de l'angle de réfraction ; mais on sait que les angles varient phi rapidement que les sinus , et d'autant plus que Jm arcs sont ph*

LBlCTIIiLES. 301

rands. ParcoiifëqneDt, si deux angles sont assujetiis à aroir leurs Inus dans un rapport constant, le rapport du plus grand angle au lus petit croîtra à mesure qu*un des arcs deviendra plus grand : ODC Faccroissement de Fangle d'incidence est plus grand que le lécroissement pour la même variation de Tangle de réfraction ; kmc b est plus grand que a ; par suite y D est plus grand que D*y et . I déviation correspondante à un angle d'émergence égale à Fangle rincidence est un minimum.

On peut facilement vériGer par Fexpérience les résultats précëleots* Si on dirige un rayon de lumière sur un prisme dont les aré«> es sont horizontales , et qu'on le fasse tourner autour d'un axe ho* izontal de manière à faire varier les angles d'incidence , on voit, [aand on tourne le prisme dans un sens quelconque, mais toujours B même , Fimage changer de place , rester stationnaire et marcher unité en sens contraire ; quand le sommet du prisme est en hàut^ Image est stationnaire quand elle est au point le plus haut de sa ionrse, et c'est le contraire quand le sommet est en bas. Lorsqu'on ^arde un objet à travers un prisme , les mêmes etTets ont lien ; nais Fimage stationnaire est au point le plus bas quand le sommet la prisme est en haut , et au point le plus haut quand le sommet du prisme est en bas, parce que , dans ce cas, les rayons émergents {ai sont les plus abaissés produisent Fimage la plus élevée.

1240. Lentilles. On désigne sons le nom de lentilles des Masses d'un corps diaphane terminées par des portions de sphè- Hi. On en connaît de deux espèces , les lentilles convergentes ttles lentilles divergentes , ainsi désignées parce que les premières approchent les rayons qui les ont traversées , et que les dernières les éloignent. Les premières sont toujours plus épaisses au centre <IQe vers les bords , les lentilles divergentes sont toujours au con* traire plus minces au centre que vers les bords; l'a /î^.753 présente toutes les formes de lentilles convergentes, et la fig.lhk toutes celles des lentilles divergentes. Il est facile de reconnaître qu'elles jouissent de la propriété que nous avons énoncée. En effet , les surfaces Courbes qui terminent les lentilles peuvent être considérées comme formées d'une infinité de peli tes -^ur faces planes , et les petites surfaces planes opposées comme appartenant à des prismes tronqués {fig. 755, 756) : or ces prismes ont leurs bases tournées vers Faxe de la lentille lorsqu'elle est plus épaisse au centre que vers les bords, et vers les bords dans le cas contraire; mais nous avons tu que y quand un rayon lumineux traversait un prisme , le rayon

302 lumière;

émergent se rapprochait de la base : donc les lentilles fig. 753 font converger les rayons , et les lentilles fig. 754 les rendent divergents.

i24i. Lorsqu'un système quelconque de rayons traverse une lentille , les rayons émergents consécutifs dans certaines directioDS , se coupent deux à deux, et forment des surfaces caustiques comme les rayons réfléchis sur les miroirs sphériques , et les sommets de ces caustiques sont encore désignés sous le nom de foyers; mais, comme en général on n'emploie jamais que des lentilles dont les faces ne sont qu'une très petite fraction des surfaces sphériques aoxquelles elles appartiennent , on peut considérer tous les rayons qoi les traversent comme se réunissant sensiblement au foyer.

1242. Détermination des foyers des lentilles. Supposons d*idbord Is rayons in* ddents parallèles entre eux et à Taxe de figure de la lentille ; soit XY {fig. 757) cet aie de figure , c'est-à-dire la ligne qui passe par les centres ^ et C des deux sphères qui la terminent ; et IM un rayon incident infiniment voisin de Taxe : le rayon é fraclé MN étant prolongé rencontrera Taxe en un point G^ qui serait le foyer principal dans le cas où la substance de la lentille serait prolongée indéfiniment au delà de h surface d'incidence; mais le rayon réfracté AfiV éprouve une nouvelle déviation, elle point iP*, où le rayon émergent vient l^ncontrer raxe, est le foyer principal de la |^ lentille.

En désignant par r etr* les rayons des deux sphères , on aura d'^rd (1235)

AG — î:=-.

Mais on peut considérer les points i^ et G^ comme foyers conjugués par rapportait surface sphérique ^, car, si le point P* était lumineux, le rayon incident FN se ri* fracterait suivant Mf^i on aura donc la relation

PI' Tg'^"!^' s

En négligeant l'épaisseur de la lentille on aura q

AG:=^A'Gy A*P':=JP'^a, et les deux équations précédentes donneront

1 n — l,n — i ,, , 'rr*

-==— ; i , d'où a=. ^, . ;

a Hr' * r ^ (n — d)(r4-r') '

et, si rsarV

Dans le cas que nous venons d'examiner, les deux sph^^ tournaient leur comexfi^ en dehors ; mais la formule conviendra à tous les cas en changeant le signe des nyo^ des sphères dont la concavité est dirigée vers le milieu environnant : ainsi, pour 10 lentilles Inooncaves^ aura

(r + r')(n-l)' y pour les lentilles concaves-conTexes,