SYSTÈME DES ONDULATIONS. DIFFRACTION

Diffraction.

1546. Le docteur Yong avait expliqué les phénomènes de diffrao tion par rinlerrérence des rayons directs avec les rayons réfléchis contre les bords des corps ou des orifices. Cette explication satisfait à certains phénomènes; mais il en est pour lesquels les résultats de la théorie sont en contradiction manifeste avec Tobservation. D'ailleurs , dans cette théorie, Fépaisseur, la nature et le degré de 'poli'des corps devraient avoir une grande influence , tandis que Fexpérience démontre qu'elle est nulle.

1547. L'explication de la diffraction repose sur le principe des interférences, que nous avons développé avec beaucoup de détails^ et sur le principe d'Huyghens qu'on peut énoncer ainsi : le mouvement en un point quelconque d'une onde peut être considéré com* me U résultante des petits mouvements élémentaires qu'y enverraient en même temps tous les points de l'onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures; car chaque point d'une onde est un centre d'ébranlement qui tend à propager le mouvement dans tous les sens; et, en vertu du principe de mécanique connu sous le nom de principe de la superposition des petits mouve^ tnents , quand des ondes partent de différents centres d'ébranlement , le mouvement imprimé à une molécule du fluide est égal à la résultante des petits mouvements qui sont produits sur cette molécule par chacun des centres d'ébranlement considéré séparément. Le mouvement en retour est détruit par la nature même du mode de communication ( 397 ) , et les mouvements latéraux se détruisent mutuellement , mais seulement quand l'onde n'est point

. interceptée.

Mais, comme chaque point de Tonde est ébranlé dans une direction déterminée , le mouvement propagé dans cette direction aura plus d'intensité que dans toute autre , et celte intensité ira en décroissant à mesure que les directions de propagation s'éloigneront davantage de la normale à la surface de l'onde, suivant une loi inconnue, mais que Fresnel suppose très rapide, du moins pour la lumière. Voici maintenant la méthode que Fresnel a employée pour calculer dans tous les cas les effets produits parla diffraction. Dans tous, les ondes sont partiellement interceptées. Lorsque les franges sont produites par un corps indéfini dans un sens , il n'y a qu'une moitié de chaque onde qui dépasse l'Iran ^ lorsque les fraages.soiii

formées dans Tombre d*un corps étroit, les ondes sont seulement diminuées de l'épaisseur du corps ; et enfin , quand les franges sont formées par une où plusieurs fentes, les ondes ont seulement la largeur des fentes. Alors Fresnel a calculé les effets produits à une distance donnée par tous les points libres des ondes, et les résultats du .calcul se sont toujours trouvés parfaitement d'accord avec Teipérience. ' •

Nous n'entrerons pas dans tous les détails des calculs par lesquels Fresnel a déterminé les effets produits par la diffraction ; nous nous contenterons d'expliquer les apparences observées par de simples considérations géométriques ; nous^supposerons que le corps lumineux est réduit à une fente étroite , et alors les pndes seront cylindrique ; nous supposerons en outre que la lumière est homogène.

1548. Franges produites par un écran indéfini. Soient itfiY {fig. 924 ) un écran plan indéfini parallèle à la ligne lumineuse qoi se projette en C, MD la base de l'onde lumineuse cylindrique qui rencontre le bord de Fécran; cherchons la quantité de lumièrefv/ parviendra en un point P quelconque situé à une grande disuooe par rapport à la longueur d'ondulation; menons la ligne PC etfir visons l'arc DM y à partir du poin^^, en parties inégales Amy mni) tn^m'y An y n'«',nw*, etc., de manière que la différence des distances des points de division consécutifs au point/' soit égale à la moitié d'une longueur d'ondulation , et imaginons que ces parties de Tarcilf/^ soient elles-mêmes divisées en un même nombre U'ès grand d'éléments. Gela posé , représentons par 2 l'intensité de la lumière qui éclairerait le point P si Fécran n'existait pas ; il est évident que dans une position quelconque du point P la quantité de lumière qui y arrivera sera composée de celle qui est envoyée par la demi-onde ADy qui est égale à 1, et de celle qui sera envoyée par l'arc AM, Si ce dernier arc renferme une seule division , il est évident que les mouvements de ses différents éléments seront d'accord avec ceux des éléments correspondants de la première divisioh de Fautre côté du point ^, et les effets s^ajouteront; mais si l'arc AM renferme deux divisions , les effets produits par les éléments correspondants se détruiront sensiblement, et la lumière supportée au point P par l'onde totale MD sera plus petite que dans le premier cas, • ep continuant à supposer Farc AM toujours plus grand d'une division ; il est facile de voir qu'il y aura accroissement de lumière quand Farc AM renfermera un nombre impair 4e divisions. Ainsi , en plaçant un écran à une certaine distance, on

STSTÎBIB DES OKBULATIOirS. BlfFRAX^TIOlT, $2$

devra y voir des lignes alternativement brillantes et obscures. Il est même facile de déduire de là les trajectoires suivant lesquels les franges se propagent : car , par exemple , pour les franges obscures du premier ordre , la différence des distances du point P aux points AeiM étant égale à deux demi-longueurs d'ondulation , la différence des distances du même point P aux points C eilU sera plus grande de CA , et comme celte dernière longueur est constante, on voit que la frange se propagera suivant un cylindre hyperbolique dont la base est une hyperbole ayant ses foyers aux points Cet M.

' En dérignant CM par a , par (f la différence des distances du point P aax points M et ^y par « la distance du point P au point o milieu de CM comptée sur CL, par y la distanoe de ce point au bord de Tombre géométrique, et enfin par ^ et ^ les deux axes de Thyperbole, on aura, en négligeant d^^

a^'^Zad a {a — Srf)

2^=9a — rf, A^

éC ^ élk substituant ces valeurs de ^ et de ^ dans Téquation de Thyperbole,

2a {a — 2rf) y» — 4a(te> e» — a(a-»2rf) arf.

Mais» comme cette courbe est rapportée à son centre situé au milieu de CMf si on veut transporter les axes au point if , il faudra faire

et Téquation, ainsi transformée et résolue par rapport à 0^ donne» en négligeant les termes qui contiennent d^^df par rapport à a »

Pour obtenir les distances des centres des franges obscures successives au bord de Tombre géométrique, il suffira de remplacer, dans la valeur dey^d successivement par ^ , 2> , 3> , etc. On voit facilement d'après cela que les franges ne sont point à égale distance , et qu'elles se rapprochent les unes des autres d'autant plus qu'elles s'éloignent davantage des bords de l'ombre géométrique. . ' Les maxima et les minima d'intensité des franges iront en diminuant à mesure qu'ils s'éloigneront de l'ombre géométrique , car les divisions efficaces qui sont toujours voisines du point M ont des longueurs d'autant plus petites, et rayonnent d'autant plus obliquement , que le point P s'éloigne davantage.

La lumière qui se propage dans l'intérieur de l'ombre géoméiri-

^36 LVniÈRB.

tpiene présentera ni oiaxtma ni minima d'intensité , mais elle décroîtra rapidement et d'une manière continue. En effet, chaque point K de Tombre reçoit de la lumière d'une demi-onde MD , et si , pour chaque point, on divise cette demi-onde, à partir da point ilf, en arcs tels, que la différence de distance des points dé division an point K soit égale à une demi-longueur d'ondulation , la quantité de lumière qu'enverrait séparément au point JK une des divisions diminuerait à mesure qu'elle serait plus éloignée du point .^, il cause de Taccroissement d'obliquité et de la diminution de longuenr; par conséquent, la lumière de chacune d'dies pourra être considérée comme composée de deux parties, l'une détruite par une partie de la division précédente , l'autre par une partie de ta division suivante : alors le point M sera éclairé par une partie seulement de la pre« mièré division; ainsi l'intensité delà lumière décroîtra rapidement et d'une manière continue à mesure que le point K s'éloignera dn point L.

1349. D'après la manière dont Fresnel a envisagé la diffraction; on n'a point égard au plus ou moins d'épaisseur des bords de l'écran , mais seulement à la partie de l'onde qui peut envoyer des rayons élémentaires aux points dont on calcule l'intensité; el te «orps opaque ne remplit d'autres fonctions que de supprimer nne partie de l'onde : voilà pourquoi le résultat du calcul est indépendant de la nature de ce corps, de sa masse et de l'épaisseur de ses bords. Cependant si leur surface était trop grande , on ne pourrait plus considérer l'onde primitive au knonient où elle les quitte comme n'ayant reçu aucune modiGcation sensible , et il faudrait tenif compte dans le calcul des petites franges qu'aurait déjà fait naître son passage contre les parties antérieures. Mais tant qu'ils ont pea d'épaisseur, ou une courbure prononcée, les petites franges aussi produites sont si étroites qu'on peut les négliger et regarder l'onde émergente comme ayant une intensité uniforme dans toute son é« tendue au moment où elle quitte l'écran , surtout si on calcule les intensités de la lumière à une distance un peu grande de ce corps. IS50. Il est important de remarquer que le décroissement rapide de la lumière dans l'ombre géométrique résulte du décroissement rapide de la lumière dans des directions qui s'écartent de pins en plus de la normale à la surface de l'onde et de la petitesse des longueurs d'ondulation. S'il n'en était pas ainsi, la lumière se pro' pagerait dans l'ombre à une distance d'autant plus grande qae la loi de décroissement serait moins rapide et les longueurs d'ondola-

SYSTÈME DBS 01IDVDAT10K8. DIFFHACTIOir. 527

tion plus grandes; et, st tous les points de Tonde tendaient à propager également la lumière dans tous les sens, il est évident que Tombré géométrique serait fortement éclairée. C'est là , sans aucun doute , la raison pour laquelle le son se propage avec une faible diminu* tion d'intensité derrière les obstacles placés perpendiculairement à la direction de la transmission, et pourquoi les ondes formées à la surface de l'eau se reforment complètement derrière un obstacle. Les lois des variations d'intensité du mouvement dans des directions obliques ou normales des ondes ne sont point connues.

1881 . Franges formées par une ouverture tris étroite. Lorsque l'écran est seulement percé d'une fente longitudinale très étroite, d'une longueur indéOnie, il faut chercher pour les différents points éclairés par le faisceau lumineux la résultante de toutes les ondes élémentaires qui émanent de la partie de l'onde primitive comprise dans la largeur de cette ouverture; mais nous pouvons, par des considérations géométriques très simples , déterminer la disposition de ces franges.

Il peut se former ou des franges dans l'ombre on des franges dans la partie éclairée , ou en même temps des franges extérieures et intérieures ; nous allons essayer de taire comprendre la formation de tes différentes espèces de franges. Soient {fig. 925) (71e point lumineux , ^B l'orifice , EF la projection conique de l'orifice sur l'écran XY. Occupons-nous d'abord des franges intérieures; supposons que l'écran XYsAi été placé de manière que les différences de distance du point P aux points /4 et Met aux points B eiM soient exactement d'une demi-ondulation: alors toutes les ondes élémentaires parties des différents points de /4MB apporteront au point P des mouvements de même signe, et concourront à en augmenter l'éclat. La même chose aura évidemment lieu &ï on suppose que Técran s'éloigne de Tuuverturo, puisque les différences des distance!» des points /^', P', aux points /à et Met B et M j deviennent plus petites qu*nne demi^ondulation. Prenons maintenant dans la pro- ^ction de l'ouverture sur l'écran XY un point O qui soit tel que OB — OA soit égal à une ondulation entière ; en prenant un poîirt N qui divise Tare JB en deux parties telles que Ton ait

OB—ON^ON'-OA=i\f^\,

il est évident que les deux arcs AN et NB enverront au point 0 des mouvements de signes contraires ^ et que le point 0 sera lë

^28 tUMiÈ&fi,

centre d'une bande obscure. De même, si on prenait un point I, pour lequel on aurait

on pourrait diviser Tare AB en trois parties , telles que les différences des distances des points de division au point L fussent dune demi-ondulation : alors le point L serait le centre d'une bande brillante. Ainsi il y aura de chaque côté du point P des bandes sombres et brillantes symétriquement placées par rapport à Taxe CP. Il est facile de voir que ces bandes se rapprocheront des bords de fombre à mesure que l'écran s'éloignera y et qu'elles disparaîtront complètement lorsque l'écran aura une position X'Y'j teUe que, QB — QÂz=i/^ >. Mais si nous rapprochons l'écran ^JTde l'orifice , le point P sera alternativement le centre d'une bande brillante et d'une bande obscure. En effet , l'écran étant plus rapproché^^ différence des distances -P^ — /^ilf sera toujours > que 1/2 1; quand celte différence sera égale à un nombre pair de demi-ondiilations y les mouvements provenant des arc AM et MB se àéiroh

Tont séparément : car, si 2 — - r^résente la différence en quesùoi^

on pourra diviser l'arc MB et l'arc MA chacun en 2 ^ parties, dont les différences de distance au point P soient de 1/2 \ : alors toutes les ondes élémentaires parties des différents points de deux arcs consécutifs se détruiront sensiblement. Mais si la différence des distances PB et PM était d'un nombre impair de demi-ondulations, on pourrait diviser Tare MB en un nombre impair d'arcs, dont les effets se détruiraient sensiblement , à l'exception d'un seul.

Il est facile de voir, d'après ce qui précède , que, si on prend dans l'ombre géométrique des points o, o', o", qui soient tels que les différences des distances de chacun de ces points aux points J elB soient égales à un nombre pair de demi-ondulations, ces points seront les centres de bandes obscures ; et que, si on prend une série de points /, Py t\ etc., pour lesquels les différences des distance aux points A et B soient d'un nombre impair de demi-ondulations, ces points seront des centres de bandes brillantes. Si maintenant nous remarquons que les conditions qui déterminent la formation des franges intérieures et extérieures sont les mêmes , et que pour les franges d'un même ordre, formées sur un écran dont la distant €e varie , les différences des distances aux points ^ et £ sont con-

SYSTEME DES OICDULàTIOITS. DIFFRACTION. 529

stantes; il en résulte que les franges se propagent suivant des hyperboles dont les points J etB sont les foyers. La dislance AB étant toujours^ extrêmement petite , on peut considérer ces courbes comme se confondant avec leurs asymptotes.

Pour obtenir les équations des lignes suivant lesquelles les franges se propagent siblement , représentons par AeiB\€S axes de Thyperbole^ par d la différence de longueur des rayons vecteurs , et par c la largeur de la fente, nous aurons

2A=^d et ^2-i.jBaa=^; d'où -.^«■-, et en négligeant -7- B »- :

réquatîon de l^asymptote, en prenant Taxe imaginaire pour Taxe des «, est alors

Ad

Pour les franges obscures , il fhudra remplacer d par un nombre pair de demi -ton gueurs d^ondulation , et pour les franges briUantes par un nombre impair : il est alors facile de voir que les franges sont également distantes, et que leur largeur est proporliomielle à la distance du micromètre à la fente, à la longueur d'onduiaUon, et ea -raison inverse de la largeur de l^orifice.

L'expérience confirme parfaitement ces résultats théoriques, dans les circonstances où l'approximation que nous avons employée est permise.

Le docteur Yong avait expliqué les phénomènes dont il s'agit par Finterférence des rayons réfléchis sur les bords de Torn lice; mais il est facile de voir que les résultats de l'expérience sont en opposition complète avec ceux qui résulteraient de cette expH'* cation , car les franges brillantes devraient occuper la place des franges obscures , et réciproquement.

iStSâ. Franges produites par detiûp ouvertures. Lorsque Técran est percé de deux fentes très fines , au travers desquelles passent lés rayons émanés d'une ligne lumineuse placée au delà de cet écran , parallèlement aux fentes et à égale distance de chacune d'elles, les franges qui se forment doivent évidenotment être disposées de la même manière que celles qui sont produites par un même rayon réfléchi sur deux miroirs légèrement inclinés l'un sur l'autre. En effet, les chemins parcourus jus* qu'aux fentes étant égaux, il suffira de compter les chemins par« courus par les rayons à partir des fentes pour avoir leur différence de marche. Ainsi , tout ce que nous avons dit pour le cas de deux miroirs pourra s'appliquer ici, du moins tant que chaque fente sera assez étroite pour être considérée comme un seul centre d'ondulation , relativement aiix rayons infléchis quelle envoie « U. . 34

530 Luttiias.

En désignant par c la distance des deux fentes , etconserrant la notation de Tartick précédent, on est conduit à la même formule approximative» y s=sa^;tf;iiMis, d est égal à un nombre pair ék demi-longueurs d*ondulation pour les franges brillaii' les , et à un nombre impair pour les franges obseurest

1885. Franges produites par un corps très étroit. Lorsque récran, au liea de s'étendre indéfiniment d'un côté, est assez étroit pour que la lumière infléchie jusqu'au milieu de son ombre ne soit pas trop afTaiblie par le décroissement rapide d'intensité que produit l'obliquité des rayons , il faut tenir compte à la fois dans le calcul de ceux qui viennent des deux côtés , et chercher pour chaque point da l'ombre la résultante générale de toutes les ondes élémentaires qu'y envoient les divers points des deux parties de Tonde primitive situées à droite et à gauche de l'écran. On trouTe de celte manière que l'intérieur de l'ombre doit être divisé par une série de bandes obscures et brillantes, de largeur à peu près égale , et dont les positions diffèrent très peu de celles qu'on déduirait en considérant les extrémités du corps comme des ceotref de rayonnement. Mais quand le corps opaque est très étroit, e/fe micromètre assez éloigné de ce corps pour que les bandes observées soient très voisines des bandes extérieures , alors les caM faits par la méthode que nous avons exposée précédemment indiquent, comme l'expérience, que celte méthode n'est plus exacte. Les résultats du calcul représentent aussi avec une fidélité remarquable les altérations singulières qu'éprouvent souvent danscecas les franges extérieures , lorsque les autres sortent de l'ombre , et viennent en quelque sorte se mêler avec elles«

Lorsque les franges que l'on considère sont éloignées des bords de l'ombre géométrique , on peut trouver leurs positions par des considérations très simples. Soit ^G {fig, 926) un corps opaque, assez étroit pour qu'on puisse distinguer des franges dans l'intérieur de son ombre à la distance AB ; soient C le point éclairaoti BD le carton blanc sur lequel on reçoit les franges ; concevons la partie AM de l'onde primitive divisée en petits arcs Antj mm}] w^nti^ etc. , de façon que les lignes menées du point P , situé dans l'intérieur de l'ombre , à deux points de division consécutifs, diffèrent d'une demi-ondulation : toutes les petites ondes envoyées en F par les éléments de chacun de ces arcs seront en discordance complète avec les ondes élén>entaire8 qui émanent desi parties correspondantes des deux arcs entre lesquels il est compris ; mais les arcs enverront au point P des quantités de la-

STST^MB DES 0IIDUDAT10K8. DIFVEACTIOIT. (Si

mîère qui décroîtront rapidement , à mesure qu'ils s'éloignent du point A, Alors on pourra considérer- la lumière de chacun d'eux comme composée de deux parties; l'une serait détruite par une partie de la lumière de la division précédente, l'autre par une partie de la lumière de la division suivante : ainsi il ne restera qu'une partie de la lumière émise par l'arc mA , et l'onde résultante répondra à peu près au milieu «de mA. La même chose ayant lieu relativement à l'autre partie GN de l'onde incidente , le degré d'accord ou de discordance entre les vibrations lumineuses qui se manirestent au point P se trouve déterminé par la diiïérence de longueur entre, les deux rayons iP et tP qui émanent des mi* lieux des arcs Am et Gn^ ou, ce qui revient au même, par la difTé* rence entre les rayons AP et GP partis des bords mêmes du corps opaque. Ainsi , lorsque les franges intérieures que l'on considère sont suffisamment éloignées des bords de l'ombre géométrique, oa peut, sans erreur sensible , les considérer comme résultant des interférences des ondes qui ont leur centre sur les bords mêmes da corps opaque. Mais , à mesure que le point P se rapproche de B^ l'arc Am devient plus grand par rapport, à l'arc mm* , l'arc mmn devient plus grand par rapport à l'arc m'm', etc. ; et de même, dans l'arc mA ^ les éléments qui avoisinent le point A deviennent sensiblement plus grands que ceux, situés vers le point m, et rë* pondant à des différences égales de chemins parcourus. Il en résulte que le rayon efficace iP ne doit plus être la moyenne entre les rayons extrêmes mP et UP , mais se rapprocher davantage de la longueur de celui-ci. BeTautre côté du corps opaque, au contraire, la différence entre les rayons GP et le rayon efficace tP approche d'autant plus d'être exactement égale à un quart d'ondulation que le point P s'éloigne davantage de D. Ainsi la différence des chemins parcourus varie plus rapidement entre les rayons efficaces iP et tP qu'entre les rayons AP et GP : par conséquent , les franges qui avoisinent le point B doivent être un peu moins éloignées du centre de l'ombre que ne le l'indique la construction fondée sur la première hypothèse.

1534. Franges produiteê par une ouverture circulaire ou un écran de même forme. Dans le cas dont il s'agit, il faut déterminer l'influence des ondes élémentaires qui partent de tous les points de l'orifice ou de tous les points du contour de l'écran. Fresnel a retrouvé par ses calculs toutes les circonstances observées , et que nous avons décrites précédemment (1390).

Dans ce qui précède, nous avons supposé la lunotière homogène; il est facile d'en déduire ce qui arriverait dans la lumière blanche, ainsi que les phénomènes analogues produits par la réflexion (1393).

1355. Frangée produites par les réseaux. Les phénomènes que présenient les réseaux, que nous avons décrits précédemmeot avec beaucoup de détails (1393), s'expliquent avecune extrême bcililé dans le système des ondulations , comme M. Babinet Fa reconnu le premier. Soient MN {fig. 927) un réseau éclairé par noe fente lumineuse S parallèle aux raies du réseau , C fa position de Tœil de Tobservaleur ; nous supposerons que CS soit un plan pe^ pendiculaire au réseau , qui passe par le milieu d'une raie obscire du réseau , et que le foyer de lumière soit assez éloigné pov que le plan du réseau se confonde avec une onde cylindrique. Divisons le réseau, à partir du point ^j en partiesJetles que la différence des distances de deux divisions consécutives au pointa soit égale à une demi-longueur d'ondulation , il est évident , d'après ce qui précède, que , si le réseau n'existait pas , les effets prodato par deux divisions consécutives se détruiront sensiblement ,et(pt Tœil ne recevrait que la moitié de la lumière émanée de la preaièR division. Si maintenant nous considérons le réseau, il existera un intervalle transparent et obscur dont l'étendue Coïncidera sensibleinen( avec deux divisions successives ; alors ces deux divisions, qoif dans l'absence du réseau, produisaient des ondes qui se détrvsaient par leur interférence , enverront de la lumière au point C. U en sera évidemment de même quand llntervalle d'une raie obscure et d'une raie brillante occupera 2 divisions, U divisions, et ainsi de suite : par conséquent on devra apercevoir des franges brillaoïes successives, et leur position ne dépendra en aucune nianière de b largeur relative des raies obscures et transparentes , mais seulement de la somme de ces largeurs ; ce qui est parfaitement d'accord avec l'observation de Frauhenhofer.

Toutes les autres lois observées par Fraahenhofer résultent également de cette explication. En effet, joignons les extrémités d et/ de l'élément du réseau correspondant à la première raie avec le point C, où se trouve placé l'œil de l'observateur, et du poiot d abaissons sur Cf la perpendiculaire dp : les triangles dfp et AC( seront semblables , et nous aurons df: fp :: Cf: Af^ ou # : X: : (7/ : Af : : 1 : siu c/. Ainsi ûvl dz=i\ \ s ^ et pour la frange du 7A« ordre , sin Z^ , ou Z> :^ n ). : « , qui est exactemeut la formule déduite de Texpérience. Il résulte aussi de là que la frange qui