SYSTÈME DES ONDULATIONS. DIVFRAGTIOK. 55S

provienl de réiément du réseau pour lequel la différence des chemins est égale à deux ondulations devrait disparaître, si la raie obscure avait une largeur égale à celle de la raie transparente; il ea serait de même pour la troisième frange, si la largeur d'une des raies était 1/3 de Tespace occupé par les deux raies; et enfin pour la frange de Tordre n , si la largeur d'une des deux raies était égale à i/n de la somme des largeurs des deux raies; ce qui est encore parfaitement d'accord avec l'expérience. Nous devons dire cependant que, pour que l'explication précédente fût complète, il serailindispeosable de faire le calcul des effels produits par tous les rayons qui traversent le réseau , car, dans ce que nous avons dit précédemment , on ne voit pas nettement pourquoi les éléments du réseau qui sont compris entre ceux que nous avons considérés n'envoient pas de lumière. La déviation c/'pouvant se mesurer avec une très grande précision (1395) , on en déduirait facilement les valeurs de > pour les différentes couleurs.

£n terminant la diffraction , nous répondrons à une objection qu'on a souvent reproduite contre le système des ondulations. Nous avons dit que , si on recevait les franges sur un verre dépoli, elles avaient les mêmes apparences que si on les i^egardait directement ou avec une loupe. Or, on a prétendu qu'il ne pouvait pas en être ainsi , attendu que les rayons , en se propageant directement dans l'œil , suivent des chemins et éprouvent des différences de marche qui dépendent de leurs directions primitives et des milieux qu'ils traversent. Pour répondre à cette objection , remarquons d'abord que , quand des rayons lumineux qui se propagent suivant des lignes courbent quelconqueviennentrenconlrer la première surface d'une lentille , les rayons convergent au même point que si les rayons incidents étaient rectilignes et dirigés suivant la dernière tangenle à leur trajectoire au point d'incidence. Cela posé, considérons une lentille placée dans un faisceau de franges, se propageant suivant des directions quelconque , l'intersection de la première surface de la lentille et du faisceau renfermera des bandes dans lesquelles l'éther sera alternativement en vibration et en repos, et dans les premières l'intensité et la direction du mouvement en chaque point seront déterminées par la direction et l'intensité de la résultante des petits mouvements émanés des différents centres d'é • branlements. Alors ces motivements se propageront à travers la lentille et produiront à une certaine distance derrière, sur un écran, une iiiltige semblable à celle qu'on verrait sur la première surface

5S& LUHIÈRE.

de la lentille, si elle était dépolie; mais elle sera renversée ;eti|l^ ce foyer il ne se produira pas de franges par des înterférenGesA* recies, parce que , quelque grands que soient les rayons de col^ bure de la lentille , les différences de distances en ondulations d'à point du plan focal aux points lumineux seraient trop grandes. Aii- 81, quand on regarde directement des franges à Tœil nu, celles qn'ti voit ne sont pas celles qui se forment directement sur la rétiie, mais celles qui se produisent sur la cornée transparente eiqniTOi former ensuite leur image sur la rétine par réfraction.

Polarisation de la lumière»

185G. Nous avons, dit , en commençant Texposition da îjià0 des ondulations , que Fresnel avait supposé que les moii?eaai vibratoires de Téther avatënt lieu , non pas dans la direcdoià mouvement de propagation , comme dans la transmission di Ni; mais parallèlement à la surface même des ondes. Datftf^ précède nous n*avons point rappelé ce principe, parce (ftif^^ Domènes étaient les mêmes, quelque direction qu'on aili^V^ aux mouvements vibratoires. Mais Texplication de tous lesfMiBA' mènes relatifs à la polarisation dépend de la direction desaontmenis vibratoires de Tétber.

Des expériences décisives (1557 ) démontrent la réalité defl mouvements transversaux et leur parallélisme dans la lumière pt* larisée, et les phénomènes des plaques cristallisées (1570) qD€<* mouvements sont perpendiculaires au plan de polarisation. Uxfh si on admet que les corps lumineux éprouvent à chaque instante; perturbations qui changent continuellement la direction du pb>"j polarisation de la lumière, de sorte que, dans un intervalle de très court , ils émettent autant de lumière polarisée dans un plan que dans un plan perpendiculaire , cette lumière se coai| ra comme un faisceau de lumière formé de deux autres de intensité , polarisés dans deux plans rectangulaires , et par elle ne pourra donner naissance à aucun des phénomènes présente la lumière polarisée dans un seul plan , puisque les rences sont toujours complémentaire» quand les plans priaiilib| polarisation sont rectangulaires. D'après cela , dans la {)olarif de la lumière par la réflexion ou la réfraction simple on doi l'action des corps consiste uniquement à ramener les mouvei de rëther en totalité ou en partie dans un même plan.

STSTEBIB DES OlTDUI.ATIOfiS. POLARISATION. 535

1857. La direction du mouvement oscillatoire dans les ondes lamineuses p8^'t être déterminée par Texpérience. En effet , cette direction est néces3airement parallèle ou perpendiculaire à la surface de Fonde; mais dans le premier cas , et dans ce cas seulement, si la polarisation consiste dans le parallélisme des petits mouvements , en faisant interférer deux faisceaux de lumière homogène polarisés dans deux plans rectangulaires, il ne se produira pas de franges, quelle que soit d ailleurs la différence des chemins parcourus: car le mouvement résultant sera toujours égal à la ra* cine carrée des carrés des vitesses des ondes élémentaires, et l'intensiié de la lumière en un point quelconque de Tespace éclairé par les deux faisceaux sera égale à la somme des intensités de Ja lumière apportée par chacun des faisceaux. Voici maintenant les expériences faites par Fresnel.

Considérons un faisceau de lumière introduit dans une chambre obscure à travers deux fentes parallèles : si dans chaque faisceau on place une pile égale de lames minces de mica , sous une assez grande inclinaison pour le polariser presque complètement , et de manière que les plans d*incidenQe soient perpendiculaires entre enX| les franges disparaissent ; elles se reproduisent quand les plans cessent d'être perpendiculaires, et avec un éclat qui croit à mesure que les plans approchent du parallélisme. Ainsi les rayons de lumière polarisés suivant le même plan s'influencent comme les rayons de lumière non modifiée ; mais cette influence diminue à mesure que les plans de polarisation s'écartent Tun de l'autre , et devient nulle quand ils sont rectangulaires. .L'expérience suivante conduit encore à la même conséquence.

On prend une lame de sulfate de chaux ou de cristal de roche parallèle à l'axe , et d'une épaisseur bien uniforme ; on la coupe en deux , et l'on place chacune des moitiés sur une des fentes de Técran. Supposons qu'on ait tourné ces deux moitiés de manière que les bords qui étaient contigus dans la lame avant sa division soient restés parallèles, les axes le seront aussi : or , dans ce cas, on n'aperçoit qu'un seul groupe de franges au milieu de Tespace éclairé , comme avant l'interposition de la lame. Mais si on fait tourner une de ces deux moitiés dans son plan , en dérangeant ainsi le parallélisme, on fait naître deux autres groupes plus faibles , situés l'un à droite, l'autre à gauche du groupe du milieu, et qui en sont complètement séparés dans la lumière blanche lorsque les lames ont seulement un millimètre d'épaisseur^ Il est à remarquer que le

nombre de largeurs de fran{;es comprises entre le milien d'un ces groupes el celui du {groupe ceniral esl proporûonifbl àréj seur (les lauies pour difs cristaux de même nature , ou dont la ble rérraction a la même éner|;ie, comme le cristal de roche chaux sulfatée. A mesure que l'an^rle des deux axes augmente, nouveaux groupes de franges deviennent de plus en plus pi ces , et atteignent enfin leur maximum d'intensité quand les des deux lames sont perpendiculaires entre eux : alors le central , qui s'était affaibli graduellement, a tout à fait dispara, esl remplacé par une lumière uniforme. II faut en conclureqœ rayons qui les produisent par leur interférence ne sont plus blés de s*influeucer mutuellement. Il est aisé de voir, d'apràk position des franges, qu'elles résultent de l'interférence desr qui ont subi le même mode de réfraction dans les deux lames^frir que, les ayant parcourues avec des vitesses égales, ilsdoJTali^ river simultanément dans le milieu de l'espace éclairé qnii^ à des chemins égaux, si d'ailleurs les deux lames sontdbi^ épaisseur et restent toujours l'une et l'autre perpendioUti*' rayous, comme nous le supposons ici. Ainsi les frangesiif^^ central étaient formées par la superposition de celles qui tislùl^ 1* de l'interférence des rayons ordinaires de la lame de ^ avec les rayons ordinaires de la lame de droite ; 2* de l'iDieifii^ ce des rayons extraordinaires de la première lame aveclespf^ extraordinaires de la seconde. Les deux groupes excenuîqvi^ contraire résultent de Tinterférence des rayons qui ont salii'l^ réfractions différentes dans les deux lames ; et comme ce sfli^v rayons ordinaires qui marchent le plus vite dans le cristal de che ou le sulfate de chaux , on voit que , si on emploie une ds deux espèces de cristaux, le groupe de gauche doit être formé la réunion des rayons extraordinaires delà lame de gauche avec rayons ordinaires de la lame de droite , el le groupe de droits la réunion des rayons extraordinaires de la lame de droites rayons ordinaires de la lame de gauche. Or, qiiand les axfli deux lames étaient parallèles , les rayons qui avaient épr mêmes réfractions dans les deux cristaux se trouvaient suivant la même direction, el ceux de no|ps contraires suivaolfi directions rectangulaires : voilà pourquoi le groupe de fi*a milieu , qui provient de rinterférence des rayons de même éuit à son maximum d'intensité, et les autres, jqni résultent de terférerxe des rayons d^ noms contraires , ne paraiwaienl pu

SYSTEME DES 0NDTILATI058. POLAEISATIOIT. 6^7

core. Mais quand les axes des deux lames formaient entre eux un angle oblique y de lib"* pur exemple, les rayons de noms contraires, et ceux de même nom pouvaient agir à la fois les uns sur les autres, puisque leurs plans de polarisation n*éiaient plus rectangulaires , et les trois groupes de franges étaient produits* Lorsque enfin le» axes deviennent perpendiculaires entre eux , les rayons de même nom se trouvent polarisés suivant les directions rectangulaires, et le groupe central auquel ils donnaient naissance s*évanouit , tandis que les rayons ordinaires de la lame de gauche sont alors polarisés parallèlement aux rayons extraordinaires de la lame de droite; ce qui fait que le groupe de droite qu'ils produisent atteint son maximum d'intensité. Il eh est de même du groupe de gauche, résultant de riuterférence des rayons ordinaires de la lame de droite avec les rayons extraordinaires de la lame de gauche.

Nous rapporterons enfin une dernière expérience qui conduit aux mêmes conséquences. Si , après avoir fait polir un rhomboïde de chaux carbonatée sur deux faces opposées, dressées avec soin et bien parallèles , on le scie perpendiculairement à ces faces , on obtient deux rhomboïdes d'égale épaisseur , et dans lesquels la marche des rayons ordinaires et extraordinaires est exactement pareille sous la même incidence. £n les plaçant Tun devant l'autre, de manière que les rayons partis du point lumineux qui avaient traversé le premier rhomboïde parcourussent ensuite le second , et que leurs faces fussent perpendiculaires à la directiou des rayons incidents , les sections principales étant à angle droit , les quatre fsrisceaux que produisent en général les deux rhomboïdes étaient réduits à deux; le faisceau ordiuaire du premier rhomboïde était réfracté extraordinairement daus le second, et le faisceau extraordinaire de celui-là était%éfracté ordinairement dans celui-ci. Il résulte de cette disposition que les différences de marclie provenant de la différence de vitesse des rayons ordinaires et extraordinaires se trouvent compensées pour les deux faisceaux sortant. Ils se croisent d'ailleurs sous un angle très petit, et tel que les franges doivent avoir une largeur beaucoup plus que sufUsante pour être aperçues; et cependant, quoique toutes les conditions nécessaires à la production des franges pour les circonstances ordinaires soient observées, il est impossible de parvenir à les faire paraître.

Il est donc complètement démontré que les rayons polarisés à angle droit n'exercent aucune influencée l'un sur l'autre, et par

SS8 LUMIÂBB.

conséquent que les monvcments de Télher ont lieu dans le plan de Tonde, et dans une même direction quand lalumière est polarisée. io58. Fresnel, en partant de certaines hypothèses très probibles, est parvenu à des formules qui représentent, avec une admirable précision , les intensités des rayons réfléchis ou réfractés, et d'où résultent, non seulement les phénomènes généraux de polarisation qui se produisent par la réflexion et la réfraction ordinaires, mais encore toutes les lois observées. Un faisceau de lumière naturelle pouvant être considéré comme composé de deux faisceaux d'égale intensité polarisés dans deux directions rectangulaires , disposés d*une manière quelconque , pour arriver à la détermination des phénomènes que présente la lumière naturelle quand elle se réfléchit à la surface des corps ou les traverse, il faut d'abord étudier les modifications que ces circonstances apportent à lalumière complètement polarisée.

i8S9. Détermination de Cinten^té des rayon» réfléchis et réfractés torêgiult rayon incident est complètement polarisé dans le plan d'incidence* Fresnel , poarf^ soudre celle questioD, admet i** qae, dans la communication du mouTementderétkr du premier milieu à celui du second, la force vive de Tonde incidente est éginti^ somme des forces vives de Tonde réfléchie et de Tonde réfractée, c^est-à-dire qœk produit de la masse de Tonde incidente , multiplié par le carré de la vitesse de vibraluD* rat égal à la somme desproduits des masses des ondes incidentes et réfractées multipliées par les carrés des vitesses respectives ; c^estun principe général de mécanique qui existe dans tout système de points matériels dont les vitesses ne varient en grandeur et en direction qu^en vertu de leurs liaisons mutuelles, et qui est applicable au choc des corps parfaitement élastiques ; 2^ que les molécules de Télher du premier et du second mi' lieu qui sont voisines de la surface de séparation des deux milieux exécutant des oscillations de même amplitude , et que cette vitesse commune est égale à la somme des vitesses de Téther dans Tonde incidente et dans Tonde réfléchie, ou à celle de Tonde transmise, mais toutes décomposées parallèlement à la surface. Ce dernier prindqpe n'est point évident , et n'a point été démontré. '^

A Taide de ces deux principes, il est facile de trouver Tintensité de Tonde réfléchie : en effet, si nous désignons pd§ i et r les angles dincidence et de réflexion , par 1 la vitesse de vibration dans le rayon incident , par v et u les vitesses correspondantes dans les rayons réfléchis et réfractés , nous aurons , en vertu du deuxième principe, dam le cas dont U s'agit, où les mouvements sont perpendiculaires au plan d'inddence,

Pour obtenir Téquation relative à la conservation des forces vives, il faut d'abord déterminer les masses des ondes incidentes réfléchies et réfractées : or, les largeurs des faisceaux incidents et réfractés sont représentées par les lignes GI et DM {fig, 921 ) ; et, conune on a G/ss GD cosi et DM= GDcosr, il s'ensuit que ces largeurs sont proportionnelles à cos t et cos r. Les hauteurs des ondes incidentes et réfractées étant les longueurs d'ondulation dans le premier et le second milieu, et ces longaeun

SYSTEME DES ONDULATIOICS. POLARISATIOlf. 539

étant proportionnelles à sin t et à sin r, il 8*ensuit que les volâmes d'éther de Tonde incidente et de Tonde réfractée, entre lesquels la communication du mouvement a lieu, sont proportionnels à cos t sin tet àcos r sin r; et les masses seront proportionnelles à d cos I sin i et à (T cos r sin r, deitC étant les densités de Téther dans le premier et le second mUieu. Mais dans la communication du mouvement dans un fluide élastique on a v^ = e : (/ , e représentant Télastidté du fluide et 4 sa densité ; si on suppose que dans les différents corps Téther ne diffère que par la densité , et que son élasticité reste constante, la densité sera en raison inverse du carré de la vitesse de propagation du mouvement, ou proportionnelle à i : nn^t et 1 : sin^ r. Par conséquent les masse» d*éther des deux milieux seront proportionnelles à

sin t cos { ^ Binrcosr . cosi ^ cosr

— r-ô-; — et - . -i 1 ou ft -, — 7 Cl . ■

D'^après cela, le principe de la conservation des forces vives donne

cosi cosr , , oos< * cosi-, *>. cosr ^

siu t sm r ^ sin < '^ sin P ' sm r ^ '

En éliminant successivement a et v entre les équations (a) et (6), on trouve

sin {i — r) Ssin r cosi ^

sm(t-l-î') sm (i+r)

«lors, en désignant par R Tintensîté du rayon réfléchi, et par T celle du rayon transmis, comme ces intensités sont proportionnelles aux carrés des vitesses, on a

8in2 (i -f- r) ^ ' sm2 (* + r)

Si on remplace dans ces formules sin r par sa valeur tirée de la relation sin t =■ n sin r, on trouve

\ J/„2 «. gin2 ,' ^ COS ( /

Si dans cette dernière formule on fait tasQ, on trouve JR sa (n — 1)^ : (ff^ i)^ ; et pour t SB 90, on a /i =» i. Il est facile, en outre, de reconnaître au moyen de la formule (1) que, si on fait croître i d'une manière continue de 0 à 90**,. la valeur de R ira constamment en croissant t en effet, sin (t — r) est plus grand que sin t — sin r CB sin r (n — i) , et d^autant plus que Tangle r est plus grand ; sin (t -|- r ) est au contraire toujours plus petit que sin t -^ sin r=as sinr (n -|- i)i et d*autant plus que r est plus grand. Donc, à mesure que t augmente, sin (t — r) prend des valeurs qui excèdent toujours davantage sin r (n — 1), et sin (t-|-r) prend des valeurs qui sont toujours, de plus en plus, plus petites que sin r (n -|~ ^) ^ ^^^^ ^^ valeur de la fraction sin (t — r) : sin (i -|- r) va constamment en croissant. Quant aux variations d'intensité du rayon réfracté, elles se déduisent de celles du rayon incident» car les intensités de ces deux rayons sont complémentaires.

Les formules (i]et (2) peuvent s'obtenir au moyen de celles du choc des corps élastl- ques. En effet, en désignant par m et m' deux masses, dont la première est animée d'une vitesse représentée par Tunité et la seconde en repos, nous avons vu (H7) que les vitesses des deux masses après le choc étaient

fiZiO ^ liUUlE&E.

m — nC .2m

V e= — , — . et tt

ni m-^îH

En remplaçant dans ces deux formules m et nC par leurs valeurs cos t : sin t et cos r : sin r troufées plus haut , on retrouve les formules précédentes.

I06O. Détermination de Cintensité des rayons réfléchis et réfractés lorsqu U rayon incident est complètement potarisé dans an plan perpendieuluire au plan (fn* cidence. Dans ce cas, Fresnel admet les mêmes suppositions que dans le cas préoédeot; mais alors les molécules d*éther des deux milieux, voisines de la surface, ont pour vitesse, celles du premier milieu la somme des composantes parallèles à la surface des vitesses de Téther dans le rayon incident et le rayon réfléchi, et celles du deuxième milieu la composante parallèle au même plan des vitesses de Tonde réfractée : alors od i

les deux équations

cos t (v 4~ i) ^ tt cos r ,

cosi cosi ^ , cosr - cosi.. ,% cqs r .,

-r— . =3- — :.t;2-| — ; «2 ou -r— î (1 — f^) = r^ a-*.

sm t sm t ' sm r sm t - ' Bin r

En éliminant successivement u et v entre ces deux équations, on trouve

^ sin r cos r — sinï cos t tang (i — r)

sin r cos r 4- sin t cos i "** tang (« + '*) ^ 2 sin r cos i

sinrcosr-f-smtoost

Ainsi, en désignant par R et par T les intensités des rayons réflédds et lébv^i on a

n ^^Pg^ (» — r) ,-. . ^ Asin^rcoB^i .

la^g-^ (i + r) (sm r cosr + sm t cos t)^ ^ '

Sfi on remplace dans ces formules sin r par sa valeur déduite de la relation sin t ssxaori il vient

\f^n2 — sîn2 1 -|- n2 cos i /

Si on"ppose t a= 0, il.vîent fl = (n — i)2 : (n + 1)^» Aî^si , lorsque le rayon!»cident est normal, l'intensité du rayon réfléchi est la même quand le rayon incideot est polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence : il est d'ailleurs facile de voir quMl doit en être ainsi , car, la surface du corps étant parallèle aux ondes, la direction des mouvements vibratoires est sans influence. Lorsqu*on supposa tsa OO*" , on a /{ s= 1 , comme dans le cas où le rayon incident est coihplétement polarisé dans le plan d'incidence; mais ici l'intensité du rayon réfléchi n^augmente pas d'une manière continue de fs=«0 à i==ï 90*, car, pour i-|-r s=i 90», l'éqaatioa (3) donne A »= 0 : c'est ce qui devait être , car nous savons qu'alors la réflexion est noUe. lt>6l. Détermination de l'intensité des rayons réfléchis lorsque le rayon inàdent est polarisé dans un plan quelconque, A l'aide des formules (i), (2), (8), [h)i on peut facilement trouver les intensités des rayons réfléchis ou réfractés dans toutes les circonstances possibles. Nous nous occuperons d'abord des rayons ré^échis.

Supposons d'abord que le rayon incident soit complètement polarisé, mais qoe soi plan de pdarisation fasse un angle J avec le plan d'incidence : ce faisceau poom évidemment être considéré comme composé de deux faisceaux polarisés, l'un dansk plan d'mcidence, Tautre dans un plan perpendiculaire, et ayant pour intcosiés

SYSTÈME DES ONDULATIOtTS. POLAEISATIOIC. . 5&1

cos^ A et sin^ A, Alors rintoiàké R du faisceau réfléchi sera donnée par la formule

H^^^^, co,2A +f^g; i^-^i sia^A. (5)

8in2(i + r) ' taDg'^(i + »')

Si la lumière était complètement polarisée dans le plan d'incidence, on aurait ^aa o, et on retomberait sur la formule (i). Si le faisceau était au contraire polarisé dans un plan peipendiculaire, on aurait ^=: 90**, et on retrouverait la formule (8) ; et si» dans ce dernier cas , Tangle de réflexion était celui de la polarisation complète» on aurait t + r 5= 90» , d'où tang (t + r>:= oo , et par suite R =0»

Si la lumière incidente était complètement polarisée dans un plan- incliné de & sur le plan d'incidence , on aurait cos"^ A b» sin^ ^ =» - , et par conséquent

„lr8in2(

r sin2(t^r) tang2 (i^r) -i .

L 8in2 (i + r) "^ tang2 (i + r) J' ^°'

Ce dernier résultat est le même que celui qu'on obtiendrait en supposant la lumière incidente composée de deux faisceaux ayant chacun l'intensité 1/2 , et polariséa Tundans le plan d'incidence, l'autre dans un plan perpendiculaire. On arriverait aussi exactement à la même formule en considérant lé fhisceau incident comme composé de deux faisceaux d'intensité i/2 , polarisés dans deux plans rectangulaire^ disposés d'une manière quelconque par rapportau plan de réflexion : car, en désignant par ^ et ^' les angles de ces plans avec le plan d'incidence, on aurait

mais , comme les angles AeiA* sont complémentaires , ^ et ^ disparaissent , et «» retombe sur la formule (6).

Si la lumière incidente était natureUe, on pourrait toujours la considérer comme composée de deux faisceaux ayant chacun une intensité i/2, et polarisés dans deux plans rectangulaires quelconques : par conséquent la formule (6) est applicable & la réflexion de là lumière naturelle.

Si on suppose la lumière naturelle, et qu'après avoir éUminé r dans l'équation (6) au moyen de la rdation n' sin t =3 n sin r , fi et n' étant les indices des deux miUenx» en iàsise successivement txsQ, t-f>'**"^^**^^'=='^«<^ trouve pour les intensités.

des rayons réfléchis

\p\r;c) ' V;PT^2J *' ^•

Ainsi l'intensité du rayon réflédii augmente avec l'inclinaison : par exemple, pour le verre ordinaire, dont l'indice est 3/2, en supposant que le milieu environnant soit de rair, les quantités de lumière réfléchie sons ces trois incidences sont 0,04 ; 0,148 et 1. On pourrait faicilement, d'après ce qui précède, trouver la somme des intensités des rayons de lumière naturelle qui seraient réfléchis perpendiculairement par une plaque à faces parallèles après un nombre quelconque de réflexions : car, en désignant par r2 Tintensité du rayon réfléchi à la première surface « les intensités des rayons émergents après 4, 3, ^, 7, réflexions, seront

r2, (i— r2)ar2, (i--r2)2r«, (i*-r2)2ri0, (l — r2)2H*î

5&3 LUMià&sl

et la somme de ces intensités sera

En appliquant cette formule au Terre ordinaire^ au cristal de roche, au sd gemm«,

à l'eau et au diamant, pour lesquds les indices sont 8/2, S5/i6, l7/il , 53/49,

100/ Ai « et en supposant que le premier ndUeu soit de rair, <m trouve les résulUli

•uivants : . ^ .

Réflexion \ la prrmièr* smfacét

Verre eommun.

Cristal de roche Eau ....

Diamant « • Sel g»nme« •

RMemioa totale cTbm plaque li facea parailUct.

On Yoit à rinspection de ces nombres la cause de Téclat du diamant. Les nomiio ^ la dernière colonne qui sont relatif au verre conunuh, au cristal de rodie etaoïd gemme sont très voisins de ceux que M. Melloni a trouvés pour-la quantité de cUor réfléchie. Ces derniers nombres sont, comme noi]|s Tavonadit, 0,084, 0,081 et O^ML Ce rapprochement semblerait indiquer que les indices de i^fhicti<m des. rayons eik^ fiques sont les mêmes ou du moins diffèrent peu de ceux de la lumière.

Enfin , si la lumière incidente se composait de lumière naturelle et de lunûire^ risée, en désignant par k Tintensité du faisceau polarisé, Tintensité du finisceniMlB. rel sera 1 — A:, et ce dernier pouvant être considéré comme composé de deux fiadscoia

ayant chacun pour intensité — — , et polarisai Tun dans le plan d^inddenoe, l^utn

dans un plan perpendiculaire, on aura

-, 8in2(i — r)/. « . , 1 — *\ tang2(i— r)/ , ^ . , 1 — *\ ^

1S68. Mouvement du plan de polarisation produit par la réflexknu Loo* qu^un rayon de lumière polarisée se réfléchit sur une surface polie, le plan depoliii> Bation du rayon réfléchi n^a pas, en général, la même position que celui du rayoBÎih iâdent; mais il est facile de la délerminer. U est d^abord évident que, si la lumière incidente était polarisée dans le plan d'incidence ou dans un plan perpendiculaire, le rayon réflédii serait polarisé dans la même direetiou : car, dans Tun et Fautre cas, k plan de réflexion étant symétriquement placé relativement aux mouvements vibratoires , il n'y a pas de raison pour que la direction de ces mouvements change plutôt dans un sens que dans Tautre. Supposons maintenant que le plan de polarisation du rajoa incident fasse un angle ji avec le plan d'mddence, on pourra considérer le rayoa ia* ddent comme composé de deux rayons polarisés Tun dans le jilan d^inadence, Taotie dans un plan perpendiculaire, ayant le premier une vitesse de vibration représentée par cos^^ et Tautre par sin ^ ; le premier donnera un rayon réfléchi dans lequd h

vitesse de vibration sera cos A

sin (t — r) sm (i -f r)

, et le second un autre rayon réfléchi ayant

une vitesse de vibration représentée par sin A

tang((r-r)

\ Mais , si on désigne par i*

lang(i-f r) Tangle du plan de polarisation du ray(m réfléchi avec le plan de réflexion , la diiedios

STStiHE DBS OUDULATIOirS. POLARISATIOJT. 5bt

ée ce plan sera celle de la résaltante des mouvements dans les deax faisceaux élémen* taires réfléchis, polarisés dans le plan de réflexion et dans un plan perpendiculaire : on aura donc '

tang jf s= .X. ^/' I - X X-r-;-r-M ou tang J* sa tang A — ) ~ ;. (8)

" co8>rf'^^tang(i4-»*) sin(i — r) ^ " co8(i — r) ^ '

Il résulte de cette formule que la direction du plan de polarisation du rayon réfléchi ne coïncide avec celui du rayon incident qu*autant quey^estégalàO*" ouà90% ou bien que, ji étant quelconque, on a cos (t -^ r] sa cos (i— r), ce qui exige que <es0out=^90".

On voit aussi , à Tinspection de cette formule , que ^est toujours plus petit que^, car, les angles t et r étant toujours < que 90», cos O'+r) est < que cos (i—r) j , ainsi la réflexion rapproche toujours le plan de polarisation du plan dMncidence. Lorsque la réflexion a lieu sous un angle tel que i -{- r =» 90"* , ^ sa o : ainsi , sous Tan* gle de la polarisation complète, le rayon réfléchi est polarisé dans le plan d*incidence« quelle que soit la direction du plan de polarisation du rayon incident*

Si le rayon incident était formé de lumière naturelle, on pourrait le considérer comme composé de deux faisceaux égaux, polarisés dans deux plans rectangulaires : alon le rayon réfléchi s«ra composé de deux faisceaux polarisés dans deux pl^ns qui seront pHii rapprochés du plan d*incidenoe, et qui coïncideraient avec lui si la réflexion a Ueu sons un angle tel que t -}• r "== ^^^» ^^ ^'^ oonsidëre chacun des plans primitifii de polarisation comme étant hidiné de A5** sur le plan d'inddenœy la formule (8j devieift-

" cos (i — r)

En discutant cette formule, Il est facile de voir que, sous Tincidenoe perpendica* laire , les plans de polarisation des deux faisceaux réfléchis sont inclinés de 45*" sur le plan de réflexion , et par conséquent sont perpendiculaires entre eux t- ainsi le rayon réfléchi est à Tétat naturel comme le rayon incident ; mais, à mesure que Tangle d^incldence augmente, les deux plans de polarisation se rapprochent du plan d'incidence, et coïncident avec lui lorsque t -^ r sas 90". Au delà de cette incidence les plans de polafisation s'éloignent du plan d'incidence, mais en tournant dans le même sens, car cos (i -)- r) change de signe ; enfin , pour l'incidence de 90* , les plaqs de polarisation, redeviennent de nouveau rectangulaires , et le rayon réfléchi reprend les propriétés de la lumière naturelle»

lo63. Déterminaiton de la quantité de lumière polarisée dam le pland^inei» denee qui se trouve dans le rayon réfléchi. Considérons un faisceau de lumière entiè* rement polarisé dans l'azimut ^ , on a

sm2(i-]-r) • tang2(i-j-r) ^

-. ■ * ^ . ^CM(i4-r)

et tang ^- tang >j5j^^...

Or, la quantité de lumière polarisée est égale à la différence des quantités de lumière polarisée dans le plan d'incidence et dans un plan perpen^culaire : par conséquent» en désignant cette quantité par K, on aura

K *« A (cos^ i' -. nn2 A')»mR\i^t lln^ A%.

5ii& ' LUffllÂRB.

En combinant les trois dernières équations ». on tronre pour la quantîté dehadiR polarisée la valcnr suÎTante î

^-L8in2(t + r)'^* ^-TT^^i+p)^ ^J

Lcos^(< — r) + tang^rf cos2 (i + r) J* ^^^

Si la lumière incidente était naturelle , il faudrait la considérer oomme étant oompoeée de deux faisceaux ayant une intensité i/2 » et polarisés dans des plans inclinés à 4S* sur le plan d'inddence : alors on a

^ co«a^.— 8in2^s=»|,

«t la formule précédente devient

irsin2(t'— r) . tang2(,'— r)-.

'^""2 LSPt7^)'^îâng5"(f4.r) J

L cos^{t — r) -j- cos2 (i r^ r) J *

M. Arago a vérifié Texactitude de cette ^temfêre f<ftiDule« endéterminantpardaffpériences nombreuses les incidences sous lesquelles Vs rayon réfléchi renfemit li même quantité de lumière polarisée, et les résultats des expériences faites sor^ rentes espèces de verre et sur Teau s^accordent très bien avecla formule.

Si le rayon incident, toujours formé de lumière riatureUe, était perpendîcolàiei^ surface réfléchissante, il faudrait faire t = 0 dans la dernière formule», qui deviendrait alors K «3 0. On obtient le même résultat en apposant t sâs 90. Ces deux os particuliers de la formule ont aussi été vérifiés par Texpérience.

Enfin, si on pose t -|- r «is 90 , la formule devient

Ks±a-sin2(i — r>,

résultat identiquement le même que celui que donne la formule (6) qui représente rintensilé totale de la lumière réfléchie ; la loi de Brewster est alors une conséquoice de la théorie.

Si la lumière incidente était complètement polarisée dans 4e plan d*inddeooe, os aurait ^=:0, et la formule devient

--Sin2 (i-^r) sin2(i-j-r)

La valeur de K étant la même que celle que Ton obtient dans las mêmes droonstanco nour rintensité totale du rayon réfléchi « il s*ensuit que. le rayon réfléchi est compiélonent polarisé dans le plan primitif.

Si le rayon inddent était polarisé dans un plan perpendiculaire au plan d^inddencck on aurait y^ =» 90» , M K^ tans2 (i — r)

lang-^Ci-j-r)

Le signe — indique que la lumière est polarisée dans un plan perpendiculan«ai' plan d'inddence ; et^ comme cette valeorde K est la même que odle qu*on obtient difl>

SYSTÈME DES ONDULATIOITS. POLARISATIOK. 5&5

le même cas pour rintennté totale du rayon réfléchi, il s'ensuit que le rayon réfléchi est complètement polarisé dans le plan primitiC Si t -{-rsa 90* , la valeur de K d^ Tient nulle , comme on devait s'y attendre.

Si le rayon incident était seulement en partie polarisé , il serait également très facile de trouver Tintensité du rayon et la direction du nouveau plan de polarisation, en considérant la lumière comme composée de deux faisceaux, Tun de lumière naturelle» Fautre de lumière complètement polarisée.

1504. Polarisation par des réflexions successives. Lorsqu'un rayon de lumière naturelle se réfléchit sous une incidence différente de celle qui produit la polarisation complète, nous savons qu'il se polarise en partie ; ou, en considérant la lumière nte turelle comme formée de deux faisceaux d'égale intensité, polarisés dans des plans in« clinés de Aô** sur le plan de réflexion, que ces plans se rapprochent du plan d'mddenoe par le seul fait de la réflexion : on conçoit alors que, si le rayon éprouve une suite de réflexions, les plans de polarisation, se rapprochant toujours davantage du plan dlnddence, finiront, après un nombre suffisant de réflexions, par coïncider avec lui, et alors la lumière se trouvera complètement polarisée.

La formule (8) permet de calculer la position des plans de polarisation après un nombre quelconque de réflexions. Si nous supposons que la réflexion ait lieu entre deux surfaces parallèles , de manière que les angles de réflexion soient les mêmes, en désignant par il'. A", il'"... , les azimuts des plans de polarisation après 1 , 2, S.,. » réflexions, nous aurons évidemment

cos (i + r)

tang A' = — ;.-^- ; ,

" cos (i — r)

^- ^ cos(» + r) cos2(i4-r)

tang A*' «= tong jf ;.^ ; -» — r-).^ ; ,

^ " cos (i — r) cos2 (i — r)

^„ ^, cos (i + r) cos' (t + r)

tang ^" =a tang A" ^ ),^ { « — .).^ { , " ^ C08(i — r) co63(t — r)

., , , .. ,cos(i+r) cosn(i+r)

tang ^(n)«= tang -^(»-0 — ).^ { » rP—i*

" * " cos (i — r) COS" (i — r)

Cos (t-}- r) étant toujours plus petit que cos (t — r) , on voit que l'aximut du plan de polarisation va en diminuant à mesure que le nombre des réflexions augmente ; mais, comme cet angle ne peut jamais devenir nul, la polarisation ne peut jamais devenir complète quand t -|- r diffère de 90<*. Cependant, l'azimut des plans de polarisation devenant très petit après un nombre de réflexions qui n'est jamais très considérable , la polarisation devient alors presque totale. M. Brewster a vérifié ces résultats théoriques par une expérience sur le verre ; il a reconnu qu'après cinq réflexions sous up angle de 70*> , la polarisation était complète : or, la formule donne alors 22' pour Ta* zimut des plans de polarisation.

On pourrait facilement trouver la position des plans de polarisation dans le cas où les angles d'incidence seraient variables, et où les substances réfléchissantes seraient différentes.

Toutes les questions que nous venons de traiter pour le rayon réfléchi peuvent le ésoudre de la même manière pour le rayon réfracté.

m68. Intensité du rayon réfracté, La formule générale qui représente l'intensité du rayon transmis peut se déduire des Xonnulet qui représentent cette inteml^ IL 35

5A6 LUVIÂRB.

dans le «as où le rayon incident est polarisé dans le plan d^înddeDce on dans mi plan

perpendiculaire; mais il est plus simple de prendre le complément dn rayon reflet

on aura ainsi

^ .. sin2 (i — r) ^ tantp (i — r)

sm^{t+r) tang2(t + r) '

et , dans le cas de la lumière naturelle ,

T—l — * r 8'"^ 0' — ^) t tangZ (t — r) 1 "■ 2 Lsin^ (» + r)"*"tang2(i.fr)'J*

Sous rinddence perpendiculaire et sous Tangle de polarisation on trouve

iooo. Quantité de lumière polarisée gui se trouve dans le rayon réfracté. Os pourrait déterminer cette quantité par la même méthode que nous avons employée pour la réflexion ; mais il est beaucoup plus simple de la déduire de celle qui se trouve polarisée par réflexion dans le plan d'incidence et dans le plan perpendiculaire, csr les quantités de lumière polarisées dans chacun de ces plans qui se trouvent dans le rayon réfléchi et dans le rayon réfracté sont complémentaires : ainsi, en désigiait par A Tazimut du plan de polarisation du rayon incident, on aura pour la qoaotil^ de lumière polarisée dans un plan perpendiculaire au plan d*încidence,

L tang'«(t-fr)J L 8m^(t-j-r)J*

et , dans le cas où la lumière incidente est naturelle,

' 1 sin2 ji-^r) 4 tan^2 (j^ r) " 2 sin2 (i + r) 2 tang2 (i + r)*

Cette dernière valeur de K est la même que celle qu'on trouverait directement pour la quantité de lumière du rayon réfléchi polarisée dans le plan d'incidence , et elle est équivalente à celle que nous avons donnée en parlant de Tangle du plan de polarisation du rayon réflédii. Ainsi , pour la lumière naturelle, il y a autant de lami^ polarisée dans le rayon réfracté que dans le rayon transmis. (Test la loi qui avait été découverte par M. Arago long-temps avant que la théorie Tait indiquée.

1867. Mouvement du plan de polarisation produit par la'réfraction» Le rayoe incident, étant polarisé dans un plan formant avec le plan d'incidence un angle ^f pourra être considéré comme composé de deux rayons polarisés Tun dans le plan d'incidence, Pautre dans qn plan perpendiculaire, et dont les vitesses de vibration seraient cos J et sin A; chacun de ces rayons donnera des rayons^ transmis dont les vitesses de vibration seront

^^.2sinrcost ^ . .^. 28ittrcosi

cos A X~^/ • I — \ et sm ^X". /. I \ r- r ?

■^^ sm (i + r) ^^sm (i + r) cos (i — r)

en remarquant que

sin < cos i + sin r cos r =» sin (t -j- r) cos (i — r) ;

d'où Van déduit fadlenent que l'angle A* de la restante avec le plan

SYSTEME DES OlfDULATIOKS. POLAHISATIOlf. 5&7

c^est-à-dire Tazimut du plan de polarisation du rayon transmis» est donné par Té-

quution

cet u^' = cot ^ ces (ï— r).

Si la lumière était naturelle, pour chacun de ses plans de polarisation il faudrait poser ^ = 450 , d'où cot ^^ = i , et la formule deviendrait

cot ^ = cos (i — r).

En supposant que le rayon incident soit d'abord perpenfficulaire à la surface du corps» et qu'il s'incline toujours davantage, 1 — r ira en au^pnentant , cos (t — > r) en diminuant^ et A* en augmentant. La formule générale et la formule relative au ctt particulier de la lumière non polarisée ont été données d'abord par M. Brewster comme résultats de l'expérience ; il se servait d'un prisme disposé de manière que le rayon transmis rencontrait perpendiculairement la seconde surface : alors le rayon émergent avait le même plan de polarisation que le rayon réfracté.

Si le rayon sortait dans l'air par une surface parallèle à la première, endéûgnantpar ^" l'azimut du plan de polarisation du rayon émergent , et observant que

cos (* — r) = cos (r — i) ,

n viendrait cot ^' = cot u^ cos (i— r) = cotudf cos» (î— r),

et » pour les deux plans de polarisation de la lumière naturelle»

cot^' = cosa(i — r).

M* Brewster a vérifié ces deux formules par un grand nombre d'observations.

Si un faisceau de lumière naturelle traversait successivement une série de plaques

parallèles, Tazimut des plans de polarisation du dernier rayon émergent serait donné

par la formule

cot udfi») =a oofta (î — r).

t — r étant une quantité < que 90**» Ai.^) s'approche toujours davantage de l'angle droit à mesure que n augmente, mais sans jamais lui être égal. Mais quand la différence est très petite, les deux plans partiels de polarisation coïncident sensiblement, et la lumière réfractée parait complètement polarisée dans un plan perpendiculaire ait plan de réfraction. Par exemple» M. Brewster a trouvé que la lumière était complètement polarisée par des piles de 8, 24 et 47 plaques de verre, sous des incidences de 78*> 52' pour la première» de 61** pour la seconde et de 43** 34* pour là troisième ;. la formule donne pour les azimuts des plans de polarisation des rayons émergent* 88* 50' , 89» 38' et 88« 27'.

iS63. Pour résumer tout ce que nous venons de dire sur la polarisation par i^ flexion et par réfraction, conservons les notations précédentes» désignqps par r et r^ les quantités de lumière du rayon réfléchi polarisées dans le plan d'incidence et dans un plan perpendiculaire , par / et t' les quantités analogues pour le rayon réfracté» el

posons

a«sin(i — r):sin(i + r) et 6 = tang(i-.r) tang (i + ^,

nous aurons

r=a2 cos2-4, r' = 62sin2^, /l=:r -[-»•*» K*=^r — r',

tang -4' s=B 1/ ■= tang A cos (i + r) : cos (i — r) ;

f = (1 — a2) cos»^, <'«=(i — 62)8ina^, r=a/+*% K^V-^t

et tangurf/=|/ - &:= tang ^ : co$ (t — r).

1d69. Polarisation des anneaux colorés formés par les lames minces, M. Aragoa observe dans la lumière des anneaux colorés plusieurs phénomènes, dont un surtout est fort reiparquable, et qui s'expliquent avec une grande facilité dans le système des ondulations. Voici en quoi ils consistent : lorsqu'on observe les anneaux réfléclûs à travenim prisme biréfringent achromatique, placé de manière que sa sectioq principale sdt parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion, sons Tîncidence perpendiculaire, on apo" çoit deux images de même intensité ; par conséquent la lumière des anneaux n'est p» polarisée; mais si Tinclinaison augmente, une des deux images s^affaîblit, disparaît sous l'angle de polarisation complète du verre, et reparait au delà avec une intensité croissante à mesure que les rayons réfléchis s'inclinent davantage. L'image qui éprouve ces variations est l'image extraordinaire quand la section principale du prisme et parallèle au plan de réflexion ; c'est l'image ordinaire dans le cas contraire. Dans toutes les inclinaisons du rayon incident, les teintes des deux images sont les mêmes ;ells ne diffèrent que par l'intensité. Ainsi la lumière des anneaux colorés est en partie polarisée dans le plan d'incidence, et la quantité de.lumière polarisée augmente jn5gB) ce que l'angle de réflexion soit cdui de la polarisation complète sur le Terre, ettfivnue au delà.

Les mêmes phénomènes se développent lorsque les anneaux se forment enkicja^ lentille et un miroir métallique, mais avec cette différence caractéristiqpie, que Ytam^ qui réparait au delà de l'incidence de 35° présente des teintes complémentaires de celle qui n'a pas disparu.

Lorsqu'on observe avec un prisme biréfringent les anneaux transmis à travers on système de deux lentilles éclairées par une large feuille de papier, en arrêtant par on écran les rayons qui pourraient produire des anneaux par réflexion , on aperçoit deox images qui éprouvent , par les changements d'inclinaison , les mêmes Tariations que les anneaux réfléchis: par conséquent, la lumière,est polarisée de la même manière. Le prisme biréfringent n'agit que sur la lumière même des anneaux , car un objet placé sur le papier donne toujoui% deux images de même intensité.

Si on observe directement les anneaux réfléchis formés entre un verre et unpiîsiBe biréfringent, le verre étant placé en dessus , les anneaux ne diffèrent en rien de ceux qui se forment entre deux lames de verre ; mais si la plaque cristallisée est placée en dessus, on voit deux systèmes d'anneaux ; et si l'angle d'incidence est de 35*", en fàr sent tourner le système des deux plaques , pour chaque tour complet , Fimage disparaît deux fois. Lorsqu'avec le même appareil on observe les anneaux transmis , les images ne changent pas d'intensité quand la lumière traverse d^abprd la plaque de verre; dans le cas contraire, les anneaux varient d'intensité comme les anneaux réfléchis.

De tous ces faits, deux seulement exigent une explication particulière : ce sont 4 <> le parallélisme des plans de polarisation des anneaux réfléchis et transmis, et la tendance vers une polarisation opposée sous une incidence qui excède celle de la polarisation complète ; 2*' le changement qu'éprouve un des deux systèmes d'anneaux ^ travers un prisme biréfringent, au delà de l'angle de la polarisation complète , Ion* que la plaque inférieure est Hiétallique.

SYSTEME DES OfCDULâiTlOlICS. POLARISATION. 5ft9

Pour rendre compte du premier^ il faut considérer la lumière incidente comme composée de deux faisceaux d'égale intensité, polarisés, Tun dans le plan de réflexion, Tautre dans un plan perpendiculaire , et calculer les intensités des rayons réfléchis à la seconde surface de la lame mince , et de ceux qui sortent après deux réflexions inlérieures, en tenant compte des quantités de lumière perdue à toutes les réflexions et les réfractions qu'ils ont éprouvées. Ces intensités étant précisément celles des an* neaux polarisés dans le plan de réflexion et dans un plan perpendiculaire, celui qui aura la plus grande intensité déterminera le sens de la polarisation des deux systèmes superposés. En désignant par r^ et r^'^les intensités des rayons réfléchis, pour les rayoni incidents polarisés dans le plan d'incidence et dans un plan perpendiculaire, et dont l'intensité est 1, on trouve que \ei rayons réfléchis à la seconde surface delà Ifune mince ont pour intensités r^ (l — r^)* et r'2 (i — r'2) ^ , et que celles des rayons qui sortent après deux réflexions sont r* (i — r^)* et r'* (1 — r'^)*. Si on remplace r^ et r'2 par leurs valeurs sin2 (i — r) : sin2 (i -]- r) et tang2 (i — r) : tang^ (i -f- r)» oa trouve que les rayons polarisés dans le plan d'incidence ont une plus grande intensité que les autres.

Quant au fait observé lorsque la plaque inférieure est métallique, il se réduit évidemment à ceci : lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, au delà de l'incidence correspondante ki-^rss 90**, un des deux systèmes de rayons réfléchis qui interfèrent éprouve un retard d'une demi-loague^^ d'ondulation. Ce retard s'explique par la seule inspection de la formule qui représente la vitesse d'oscillation dans le rayon réfléchi. En effet, ces vitesses pour le rayon réfléchi à la première et à la seconde surface de la lame mince sont proportionnelles à

tang(i — r) ^ tang(t— r*) toûg(t + r) tang(t + r')'

r et r* étant les angles de réfraction correspondants à l'angle d'incidence t dans la lame mince et dans le dernier milieu. Or, . quand i-\-r dépasse 90" , tang ( < 4" ^ ) change de signe , et comme il n'en est pas de même de tang ( t -j* ^* ) « attendu que , le second milieu étant métallique , r' est beaucoup plus petit que r, et ce changement de signe correspond, comme on sait, à une différence de cheniin d'une demi-longueur d'ondulation. Cette explication, due à M. Ivory, a été vérifiée directement II résulte évidemment de ce que nous venons de dire que , si on formait des anneaux avec Une lame d'air renfermée entre deux lames minces, dont la première aurait un indice plus petit que la seconde, pour les incidences comprises entre t -f- r s=s 90, et t-f- ^* sss 90 , on devrait obtenir des anneaux à centre blanc lorsque la lumière incidente est polarisée dans un phm perpendiculaire au plan de réflexion ; et quand la lumière est naturelle, deux systèmes d'anneaux, l'un à centre noir, l'autre à' centre Mano, superposés, et que l'on pourrait facilement séparer en les observant avec un prisme de chaux carbonatée. L'expérience a complètement confirmé ces conséquences de la théorie.

Le tableau suivant, calculé par M. Brewster, renferme les quan* tilés de lumière réfléchie réfractées et polarisées , pour le verre dont rindice de réfraction est 1,525 ; la quantité de lumière incidente naturelle est 1000 ^ et les angles sont comptés à partir de la normale.