ANGLES

d'idcidenca.

DDI-LASDEF

0L.VKI6-T1OW

Lumière

REFH ACTION.

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Double réfraction.

Itt69iùt. Dans le système des oadulalions , la vitesse de propagation des ondes dépend nécessairement de l'élasticité de l'éiber dans le milieu que traverse la lumière ;or, la vitesse de propagation n'étant pas la même dans les cristaux suivant tontes W directions, on a été conduit à admettre que dans ces corps l'élaslicité de l'éilier n'était pas la même dans tous les sens.

1S70. Appliquons ces idées à la double réfraction, et concevons nn cristal à np axe comme un milieu élastique dans lequel la force accélératrice qui résulte du déplacement d'une SIe de molécales perpendicnlaires à l'axe^ relativement aux rangées contiguës^eil

STSTknE DES OlfBULATIOKS. DOUBLE EÉFI^AGTIOK* 551'

la même tout autour de Taxe , tandis que les déplacements parallèles à Taxe produisent des forces accélératrices d'une intensité différente , plus forte si le cristal est répulsif, et plus faible s*il est at* traclif. Le caractère distiuciif des rayons qui éprouvent la réfraction ordinaire étant de se propager avec la même vitesse suivant toutes les directions, il faudra admettre que les mouvements oscillatoires s'exécutent perpendiculairement: au plan mené par ces rayons et Taxe du cristal : car alors les déplacements qu'ils occasionnent, s'effeciuant toujours suivant des directions perpendiculaires à Taxe , développeront toujours la même force accélératrice. Mais, d'après le sens qu'on attache à l'expression plan depolari-sation , le plan dont nous venons de^parler e^ précisément le plan de polarisation des rayons ordinaires. Ainsi , dans un faisceau po-^ larisé , le mouvement oscillatoire s^exécute perpendiculairement à ce qu'on appelle plap de polarisation.

Les oscillations des rayons ordinaires étant perpendiculaires au plan mené par l'axe , les oscillations des rayons extraordinaires seront parallèles à ce plan, et, bien entendu , toujours perpendiculaires aux rayons* On voit alors qu'à mesure qu'ils changeront d'inclinaison relativement à l'axe, la direction du mouvenàent osdilatoire en changera aussi : il sera parallèle à l'axe quand les rayons lui serobt perpendiculaires , et perpendiculaire à Ta^é quand les rayons lui seront parallèles ; ainsi , dans ce dernier cas, la vitesse de propagation des rayons extraordinaires sera la même que celle des rayons ordinaires. Mais pour toiiles les autres directions, les petits dérangements des files de molécules ne s'exécutant plus perpendiculairement à l'axe , les forces accélératrices qui eu résultent, et par, suite la vitesse tie propagation, ne peuvent plus être les mêmes. Cette différence augmente progressivement jusqu'à ce que le mouvement oscillatoire soit parallèle à l'axe ; c'est alors qu'elle atteint son maximum.

Considérons ce cas particulier pour simplifier les idées, et supposons qu'on expose perpendiculairement au rayon incident uœ plaque cristallisée parallèle à l'axe, en sorte que les rayons qui la traversent soient perpendiculaires à ce dernier ; supposons en outre que le faisceau incident soit polarisé suivant un plan déterminé , faisant un angle i avec la section principale du cristal: ses oscillations seront perpendiculaires à ce plan. Cela posé , on peut , eu raison du principe de la composition et de la décomposition d«s« petits nu>uvements, concevoir chacune des vitesses d'oscillatîofi

des ondes incidentes décomposée en deux antres , Tane perpendicalaire et Fautre parallèle à la section principale : les premières composantes produiront les ondes ordinaires , et les autres celles qui éprouvent la réfraction extraordinaire. Or , si Ton prend poar unité le facteur commun qui multiplie toutes les vitesses d'oscillation des diverses couches de Tonde qui entre dans lé cristal , cosf sera le facteur commun des premières composantes ou leur ioteDsité de vitesse absolue , et sin t celle des autres composantes , et les intensités de lumière des rayons ordinaires et extraordinaires seront entre elles comme cos^ i est à sin^»: voilà une explication bien simple de la Joi de Malus. Les oscillations de ces deux systèmes d'ondes étant rectangulaires s'exécuteront dans le cristal d'une manière indépendante; et, en raison de la différence d'énergie des forces accélératrices qui résultent des petits déplacements des molécules du milieu , parallèlement ou perpendiculairement à Taxe, les deux systèmes d'ondes se propageront avec des vitesses différentes, et la distance entre leurs points correspondants dewieoin d'autant plus considérale qu'ils auront traversé une plus grande épaisseur du cristal.

Si c'est de la lumière directe qu'on fait tomber sur le cristal, on pourra appliquer aux divers systèmes d'ondes polarisés dont elle se compose ce que nous venons de dire pour un seul : chacun se divisera de la même manière en ondes ordinaires et ondes extraordinaires, dont les intensités seront en général différentes. Mais comme y en raison de la multitude des chances, il doit se trouver en somme autant de lumière polarisée suivant un plan quelconque que suivant le plan perpendiculaire ; les rayons ordinaires et extraordinaires auront la même intensité.

L^e^Iication des phénomènes que présentent les cristau^i: à deux axes a conduit Fresnel à des considérations beaucoup plus générales , que nous allons exposer.

ip7i. Quand on déplace une molécule dans un milieu élastique • la résultante des forces qui tendent à la ramener à sa première position n'est pas généralement parallèle à la dirœtion suivant laquelle elle a été déplacée. Il faut pour cela que les résultantes' des forcées qui poussent cette molécule de droite et de gauche dans chaque aiimut aient la même intensité. Cette circonstance n*a généralement lieu que dans trois directions rectangulaires, qui portent le nom d'axes d'élasticité. Si nous supposons que les axes d'élasticité conservent la même direction dans toute l'étendue do milieu, ce qui aura lieu toutes les fois^'que les molécules seront disposées entre elles de la même manière , conmie dans les corps cristallisés, en prenant sur chacun des trois axes, et dans.toutes les directions possibles , des longueurs proportionnelles anx racines carrées des élasticités dans ces dir^tions, on formera une sor&ce oonnae

SYSTEME DES 0I^DULA.T10ITS. DOUBLE EÉFRAGTIOIC * 558

SOUS le nom de surface (Célasticité, dont les rayons vecteurs réprésenteront les vitesses de propagation des mouvements parallèles à leurs directions.

Fresnel a démontré que la surface d'élasticité était représentée en coordonnées polaires par Téquation

^2 = a2 C0S2 X + 62 C0s2r + «2 cos2 Z.

a2, 62, (;2, étant les élasticités mises en jeu par les vibrations parallèles aux axes des Xf des y et des z; de manière que les vitesses de propagation correspondantes, qui sont proportionnelles aux racines carrées des élasticités, se trouvent représentées p^r A, 6, c. Cette équation, traduite en coordonnées rectangulaires, devient

( a?2 -f y2 ^ ^2 J2 — «2^.2 ^ ^2y2 ^ e2jï2.

1572. Appliquons maintenant ces idées à la lumière. Admettons qu'elle 86 transmet à travers un corps par les vibrations de Téther intermoléculaire ; et que, dans un même corps cristallisé, Télaslicité de Téther n'est pas la mèine dans toutes les directions. Désignons parles lignes rectangulaires OX, OK, OZ {fig. 928) , les trois axes d'élasticité ; a sera la vitesse avec laquelle les mouvements de réther parallèles à OX se propagent dans le plan KOZ, 6etc seront les vitesses avec lesquelles des mouvements parallèles à OK et à OZ se propageraient dans les plans XO^ et XOV^ et supposons que a soit plus grand que 6, et que b soit plus grand que c , de sorte que b soit Taxe moyen d'élasticité. Considérons une onde plane passant par le point O, et dont toutes les molécules se meuvent simultanément dans une certaine direction ; la direction du mouvement propagé dépendra à la fois de la position du plan de l'onde et de la direction du mouvement dans Tonde. Supposons d'abord que le plan de l'onde coïncide avec le plan VOZ , et que les mouvements de l'éther dans l'onde soient parallèles à Taxe OK, les mouvements se propageront parallèlement à OX en conservant leur direction avec une vitesse 6. Si les mouvements étaient parallèles à OZ, le même effet aurait lieu, mais la vitesse de transmission serait c. Il résulte de là qu'une onde plane perpendiculaire à un des trois axes d'élasticité, et polarisée parallèlement ou perpendiculairement à un des autres axes, se propa;];e sans se diviser et en conservant son plan de polarisation. Mais si, le plan de l'onde étant toujours perpendiculaire à l'axe OX , les mouvements de l'éther étaient obliques aux axes OV et OZ , ces petits mouvements pourraient se décomposer en deux autres parallèles à ces axes : ainsi le rayon se diviserait en deux autres, polarisés parallèlement aux axes OV. et OZ , qui marcheraient dans la même direction mais avec des vitesses diffé^ntes.

i57o# Supposons maintenant que le plan de l'onde ait une position quelconque par rapport aux axes d'élasticité : en général , chaque petit mouvement changera constamment de direction pendant toute la transmission , et il serait difficile d'en suivre la marche. Mais.il y a un cas dans lequel ce changement de direction n'a pas lieu, c'est celui où les directions des mouvements primitifs et des premiers mouvements transmis sont daps un même plan-, et que ce plan est perpendiculaire au plan de l'onde : car il est évident que, si ces directions n'étaient pomt parallèles, le défaut de paràllélisms ne proviendrait que d'une force dirigée dans le sens de la transmission qui agirait inégalement pour comprimer Téther, force qui ne peut avoir aucune influence dansiez vibrations transversales. Mais on trouve, par le calcul, que la circonstance dont il est

question existe toales les fois que les mouvements de Téther dan& l'onde sont dirigéi suivant le plus grand et le plus petit rayon vecteur de la surface d*élasUcité renfermés dans le plan dé Tonde, rayons qui sont toujours perpendiculaires entre eux : para»* Béquent , si on décompose chacun des petits mouvements qui ont lieu dans le plan de Fonde en deux autres dirigés suivant ces deux rayons vecteurs , les mouvements de ceeomposantes se propageront en conservant leur parallélisme , mais avec des vitesses différentes, et, par suile, l'intervalle qui sépare deux points correspondants sera à^mtant plus grand quMls auront parcouru une plus grande épaisseur du cristaL Les deu systèmes d^ondes produites se séparent d*ailleurs par rindinaison des surfaces des oides qui les propagent :. car les normales forment, avec la perpendiculaire à la w^tîMt dlncidence, des angles dont les sinus sont dans le rapport direct des vitesses de propagation des ondes , comme nous Pavons vu en parlant de la réfraction.

Ainsi , un faisceau de lumière naturelle ou polarisée se divisera toujours en deux faisceaux polarisés dans deux plans rectangulaires, parallèles chacun à un des axes de la section de la surface d*élasticité.

io74. En discutant Téquation de la surface d'élasticité, on trouve qu^elle peot toujours être coupée par deux plans diamétraux suivant deux cercles i «ses plans pissent par Taxe moyen , et sont symétriquement placés par rapport aux deux autres. Eb supposant que b soit Taxe moyen , les tangentes des angles de ces plans avec celui des axes a et 6 ont pour valeur

Les ondes parallèles à ces plans ne pourront alors avoir qu'une seule vitesse de proçtgation, et les mouvements élémentaires, quelle que soit leur direction, ne pourront éprouver aucune déviation. Ainsi, les rayons qui pénétreront dans le corps perpendieulairement à ces plans diamétraux n'éprouveront ni double réfraction ni déviatioo dans leurs plans de polarisation : ces directions sont alors celles des axes optiques des cristaux à deux axes. Ainsi les axes optiques sont situés dans le plan des axes déplus grande et de plus petite élasticité, et également inclinés sur leurs directions. Quand deux des trois axes d'élasticité sont égaux , les sections circulaires se confondent et de viennent perpendiculaires au troisième aXe : alors les deux axes optiques se réduisent à un seul.

D'après cela les axes optiques des cristaux sont les directions dans lesquelles des faisceaux de rayons parallèles ou des ondes planes se propagent sans éprouver de division m' de changement dans leurs plans de polarisation. ^

Il est bien important de remarquer qu'il est question d'un large faisceaode lumière correspondant à une onde plane, et non pas d'un rayon, de lumière correspondant à un élément d'onde, car les phénomènes qui se produisent dans les deux cas sont soovent très différents. En effet, lorsqu'une onde plane se propage en conservant sa direction, la direction de propagation du mouvement est toujours perpendiculaire à la direction de Fonde, attendu que les actions exercées pari es molécules d'éther, d'une onde, sur celles qui sont au delà, sont toujours symétriques de part et d'autre du plan mené par la direction du mouvement perpendiculairement au plan de l'onde. Mais il n'en est plus ainsi quand il ne s'agit que d'un élément d'onde, d'un rayon : la propagation peut avoir lieu suivant des direction^ plus ou moins inclinées au plan de Télément.

SYSTÈME DES OttDULATIONS. DOUBLE RÉFRA.CTION.

Nous allons voir d'ailleurs de nombreuse^ conGrmations de la distinction que noua Tenons d'établir.

1575. Les quantités a, 6, <;, représentant les vitesses de propagation de la la* mière perpendiculairement aux trois axes d'élasticité , sont en raison inverse des indices qu'on obtiendrait en taillant dans un cristal trois prismes, dont les arêtes de chacun seraient parallèles à un des axes , et observant dans un plan perpendiculaire aux arêtes l'indice du rayon qui suit la loi de Descartes ; il y en a toujours un qui satisfait à cette condition : car la lumière incidente devra se diviser en deux faisceaux polarisés Tun parallèlement, l'autre perpendiculairement aux. arêtes parallèles du prisme; mais dans ce dernier, les mouvements vibratoires étant parallèles à un des axes, ta vitesse de transmission devient indépendante de l'angle dHnddence , et par conséq#ulAa loi de Descartes subsiste.

Dans un grand nombre de cas les phénomènes de coloration décrits (1464) per» mettent faôlement de déterminer la position des axes optiques, et par suite celle des axes d'élasticité. M. Rudbérg a fait ce» expériences pour la topaze incolore et l'aragonite, en employant successivement les rayons colorés correspondants aux raies B, C^ D^ E, F^Gf H, Voici les résultats obtenu» :

Raies.

Aragonite.

JB.

Topase iueolore.

. Examinons maintenant ce

mment les surf

aces

des<

mdes transmises

ront être déterminées. Considérons un âûsceau de rayons parallèles à l'instant où l'oii* deP/ arrive à la surface MS d'un milieu cristallisé {fig^ 928, A) : le rayon Ll pén^ trera d'abord, et successivement tous les autres, et tous parcourront des direction» parallèles. Supposons que Q représente la position du petit mouvement apporté par le rayon U après l'unité de temps : si nous supposons que IR représente la vitesse de la lumière dans le premier milieu , en prenant le point S de manière que PS«*=Rlf)» mouvement qui était au point P quand celui en / a pénétré dans le cristal sera en 5, etceluiqni était en T est arrivé en un point X tel , que UXiiQii SP i TU. Ainst les points S^ XeiQ, sont en ligne droite : donc tous les mouvements qui existaioil

dans Tonde PI se trouyent après l'unité de lemps sur la ligne SQ ; et, comme il eQ sera de même de tous les plans de rayons parallèles à la figure que pour tous, le points correspondants à S seront sur une ligne tracée sur la surface du cristal perpendiculaire au plan d'incidence, ih s'ensuit que les plans des ondes transmisa après Tunité de temps passent par la ligne S*S**^ et sont perpendiculaires au plan d*incidcnce. Alors, pour déterminer leurs directions, il faudra par le point / et dansle plan d'incidence {fig, 928 B) tracer deux cercles ayant pour rayons, Tun le plus grand, l'autre le plus petit rayon vecteur de la surface d'élasticité, renfermés dan le plan de l'onde incidente; prendre /A =1, 5P» i, oui5ea i : un t, et parte point S Qicner les tangentes aux cercles : les plans élerés par ces lignes perpendiculaii^emei^ a^plaii d'incidence seront les plans cherchés.

Les deux plans de polarisation seront évidemment perpendiculaires aux axes delà section diamétrale de la section de la surface d'élasticité, Fresnel a démontré que chacun de ces plans divise eu deux parties égales les angles dièdres formés par les âeox plans menés suivant la normale à l'onde et les deux normales aux plans des sections circulaires de la surface d'élasticité.

lo77. Surface des ondes. Si on conçoit une onde plane passant par le pointa' {fig, 938) , dans laquelle les mouvements se propa^nt parallèlement , après le temps t elle atteindra une certaine position ; et si on conçoit que des ondes planes, ayant toales les directions possibles autour du point O, partent simultanément , après le teo^/ elles seront toutes tangentes à une certaine surface, qui sera la surface de l'ondf (hovenant du rayonnement du point O dans toutes les directions. Fresnel a trouvé,^ la surface de l'onde, l'équation suivante :

io7o. Fresnel a aussi reconnu, par un calcul ti-ès simple, que, si on construit un ellipsoïde sur les trois axes d'élasticité, et si on mène par le centre uu plan sécant quelconque et une normale à ce plan, en prenant sur cette normale, à partir du centre de l'ellipsofde, deux longueurs égales aux axes de l'ellipse*, ces points se trouvent sar la surface de l'onde.

1579. Supposons que les valeurs de a, ^, c, qui représentent les vitesses de propagation parallèlement aux trois axes d^laslicité, soient connues en nombres pour les différents rayons colorés , en prenant pour unité la vitesse de propagatioo de la lumière dans le vide , qu'on construise la surface représentée par l'équation (a), en prenant une certaine longueur pour représenter l'unité de vitesse , et pour centre un point de la surface du cristal biréfringent : lorsqu'on connaîtra la direction d'un rayon incident, il sera facile de trouver la direction du rayoa transmis, car il suffira de mener à la surface de l'onde un plan tangent, par une ligne de la surface d'incidence déterminée comme pour les ondes planes et la siu^ face d'élasticité (1576). Le point de contact appartiendra au rayon transmis, et la vitesse de propagation sera représentée par le rayon vecteur dirigé suivant te rayon réfracté. L'équation (a) étant du quatrième degré, on peut en 'générait par une droite extérieure , mener quatre plans tangents à la surface qu'elle représente; mais il est ûidle de voir, d'après la disposition de cette surface, que deux d'entre eux iront toucher la surface au dessus du plan d'incidence, et sont élrasfS^n à la question.