SYSTÈME DES 0IT1)ULA.TI0ITS. DOUBLE RÉFRACTIOIT

Quant aux directions des plans de polarisation, on pourrait les déterminer d la même manière que pour lés ondes planes indéfinies, au moyen de la surface d'élasticité; ou bien, en projetant le rayon vecteur de Tonde sur le plan tangent à son extrémité, le plan projetant est le plan de polarisation du rayon : car la direction des mouveme^nts de Téther restant toujours la même, la déviation du rayon n'a pu avoir lieu que perpendiculairement à ces mouvements, et par conséquent le plan perpendiculaire à Télément de Tonde passant par le rayon est perpendiculaire aux mouvemrats élémentaires. On pourrait aussi employer la loi approchée suivante, due à M. Biot : Si on mène un plan par chacun des rayons et chacun des axes optiques , le plan de polarisation d'un des rayons divisera Tangle dièdre en deux parties égales, Tautre sera perpendiculaire à ce plan intermédiaire.

Il résulte de la construction que nous venons de décrire que les petits mouvements élémentaires ne sont plus perpendiculaires aux rayons, comme dans la transmission à travers un milieu homogène, car les rayons vecteurs ne sont pas perpendiculaires aux plans tangents à leursi extrémités.

Tout cela suppose qu'il s'agisse d'un rayon lumineux. S'il s'agissait d'un large faisceau correspondant à une onde plane d'une étendue fmie , le plan tangent serait la position de Tonde , la vitesse serait représentée par la perpendiculaire abaissée du centre de ta surface sur le plap tangent, et la .direction du mouvement vibratoire serait parallèle aux axes de la section de la surface d'élasticité par le plan de Tonde incidente.

1380. Fresnel a démontré que, dans les cristaux à deux axes, les vitesses Tet y* des rayons qui traversent le cristal dans une direction commune, faisant avec les deux axes optiques des angles^ et.^', sont données par les équations

h-\ (72 + ^)-- 5 (i- '2) cosU-^), équations qu'on peut mettre sous la fonne

Dans les cristaux à un axe -4 = -<^, et les deux formules deviennent

V>.^,2 et ^==l+(l.J)sin^^.

Jr2

En retranchant Téquation (2) de Téquation (1) , et remplaçant 2 sin ^ ^ cos ;- ^ et

2 sin - -^ cos- ^' , par sin u^ et sin ^' , il vient

J-^S- ^(l - t-N «In ^ sin ^'. • (3)

Il fout bien remarquer que, dans toutes, les foimules précédentes^ b est Taie

moyea d'élaslidlé, et par conséquent qae, si on sqiposait a =a « , il s^eosniTraH ié>

cessairement que les trois axes seraient égaux.

Ces formules ont été obtenues au moyen de Tellipsolde constmlt sur les axes d^âastielté (1578). Les vitesses des rayons propagés suivant les mêmes directions étaient proportionnelles aux axes de la section de la surface par le plan perpendiculaire à k ^Breotion commune des deux rayons; mais, comme dans cette surface les nonnales des sections circulaires ne coïncident pas avec les normales des sections circulaires de la surface d'élasticité, les angles ^ et ^ ne sont pas rdatifo aux axes optiques comme nous les avons définis; ils sont relatif^ à deux autres lignes, qui en diffèrent, mais très peu , car les tangentes trigonométriques des angles que les normales aux secdons circulaires de Fellipsolde et de la surface d'élasticité font avec Taxe de plus grande âasticité sont entre elles : : a : c, quantités qui, dans toiÉ4es^cristaux connus, diffèrent très peu Tune de Tautre.

Il fhut bien remarquer, en outre, que ces formules de Fresnel sont relatives aux rayons qui suivent la même direction , et non pas aux deux rayons conjugués qulpioviennent d'un même rayon icddent, excepté quand il s'agit des cristaux à un axe, attendu qu'alors, une des nappes de la surface de Ponde devenant sphériqne-, les fonna' les sont applicables aux rayons ordinaires et extraordinaires qui s'accompagnent; mais comme les deux rayons conjugués sont très peu écartés, etV|ue la courbure des nappes varie peu , en général , ces formules: peuvent être appliquées aux rayons qui s'aco»pagnenL

La formule (8) a été donnée parM. "Biot et M. Brewster, comme résdtitde Texpérience, long-temps avant que Fresnel ait fait connaître la théorie gfénéraleèe\i double réfraction ; mais 1 : F2 et 1 : F*2 étaient remplacés par F2 et V^ ^ pjj,^ ^^ dans le système de l'émission alors adopté, la vitesse de la lumière est la vitesse leaversée dans le système des ondulations ; en outre, la formule était relative aux lilesses des deux rayons conjugués.

iS8i. DiscasmoH de l'équation de la surface de tonde. Supposons que deux des trois axes d'élasticité deviennent égaux, par exemple que c =6, la formule (a) devient

qui se décompose en deux autres :

X^+y^ + z2^M'^z=0 et a2a;2^^2y2^^2x2 a2^2=-0,

LA première représente une sphère dont le rayon est &, Ja seconde un ellipsoïde de révolution dont le rayon de l'équateur est b, a et 6 étant les vitesses des rayons extra-

. . i i ordinaires et ordinaires, - et-r 'sont les indices correspondants : on retrouve ainsi la

construction d'Huyghens donnée (14i2).

1382. Revenons maintenant au cas général dans lequel les vitesses a , 6 , c, sont toutes différentes, et déterminons les sections de la surface d'élasticité par les trais plans coordonnés ; on trouve

y=30, {z^ + x2^b2){ç2 z^+a^x^^a^c^y^Oi £ = 0, (a;2-|-y2— c2)(a2aî24-62y2 a2^2)«o,

Ahtti les traces &oiit composées d'un oérde et d*Qiie dl^sé; d'apte l'hypothèse ad-

SYSTÈME DES OTCDULàTIONS. DOUBLE &ÊFRAGTIOIT. 569

mise pour les valeurs relatives de a, 6 et « , les figures 729, 7^0 , 781 , représentea( les trois intersections de la surface par les plans YZ, XZ et XY,

Dans la première et la troisième une des courbes est extérieure à Tautre, dans la deuxième elles se coupent aux points a, 6, <;, <{; et il est lacile de voir, diaprés oe que nous avons dit précédemment, que les^ lignes qui joignent ces points d*intei> section diffèrent des axes optiques. ^

Considérons d'abord le cas où te rayon incident est perpendiculaire à la surface du cristal, les axes du cristal ayant une position quelconque par rapport à sa surface. Pour c^tenir les directions des rayons transmis il faudra construire la surface de Tonde, et lui mener un plan tangent parallèle à la surface du cristal. Il est facile de voir que, quand les axes d'élasticité seront parallèles ou perpendiculaires à la surface d'incidence, il y aura toujours deux plans tangents , mais les points de tangence seront toujours situés sur la normale à la surface du cristal au point dMncidence : ainsi les rayons transinis suivront la même direction , mais avec des vitesses différentes. Dans le cas où le rayon incident serait complètement polarisé dans un plan perpendiculaire à un des axes, il est évident que l'intensité d'un des deux rayons transmis deviendrait nulle : alors il n*y aurait qu'un seul rayon réfracté dont le plan de polarisation serait le même que celui du rayon incident. Si, au lieu d'un rayon très délié, on avait une onde plane incidente, les ondes réfractées resteraient évidemment parallèles.

Mais, si la surface du cristal n'est perpendiculaire à aucun des trois axes, il y aura toujours deux plans tangents distincts, et par conséquent le rayon incident se divisera en deux autres, qui suivront des routes différentes et plus ou moins écartées de la noi>maie.

iS85. En cherchant lès directions dans lesquelles les deux vitesses deviennent égales , on trouve que ces directions coïncident avec les diagonales qui joignent deux à deux les quatre points d'mtersection du cercle et de l'eUipse dans la section de la surface de l'onde par le plan perpendiculaire à Taxe moyen {fig, 930). Ces lignes ne coïncident pas avec les normales aux sections circulaires de la surface d'élasticité , c'està-dire avec les axes optiques, mais ils en sont très voisins : la tangente de l'angle qu*ll forment avec l'axe de plus grande élasticité est

iS84. En discutant l'équation de là surface des ondes, M. Hamilton a reconnu que , dans les deux directions où les deux plans tangents se réduisaient à un seul, les - points de tangence étaient en nombre infini , et distribués suivant une petite courbe fermée, sensiblement circulaire : les plans qui jouissent de cette propriété passent par les tangentes communes au cercle et à l'ellipse r^ultant de l'intersection de la surface par un plan perpendiculaire à l'axe moyen, et sont perpendiculaires à ce plan; cet quatre tangentes communes sont parallèles deux à deux, et perpendiculaires aux axes optiques (normales aux sections circulaires de la surface d'élasticité). Il résulte de là que , si un cristal était taillé parallèlement à deux de ces plans tangents communs, et s'il recevait un rayon incident normal , le rayon réfracté serait déterminé par le point de contact avec la surface d'élasticité d'un plan tangent parallèle à la surface d'entrée ; mais , comme alors il y aurait Une infinité de points de contact , le rayon réfracté formerait un cane creux, et ces rayons, à l'émergence, devant reprendre la direction priinitive, devraient former un cylindre creux ayant un dia-

mètre constant. Cette conséquence si remarquable de la théorie de Fresnel a été vérifiée par M. Lloyd.

Avant d'exposer les détails des expériences , remarquons d'abord qu^il n^est pas nécessaire que le cristal soit taillé comme nous Tavons indiqué ; il suffit que le rayon traverse le cristal dans la direction d'un des axes optiques, car alors le plan tangent qm déterminera sa position dans la surface de Tonde devra être tangent aux deux nappes. M. Lloyd a employé un cristal d'aragonite , taillé perpendiculairement à la li{pie moyenne ; la lumière partait d'une lampe placée à distance, et, pour réduire autant qae possible la largeur du faisceau, il le faisait passer à travers deux petites ouvertures, Fone pratiquée dans un écran placé près de la flaoune, la seconde dans une plaque mina de métal placée sur la première face du cristal. Dans les circonstances ordinaires, en observant avec une lentille, on voyait deux images ; mais, en faisant varier progrès» Vjement Tincidence, les deux images se confondaient et on apercevait un anneaa brillant. M. Lloyd, en employant de la lumière solaire, s^est assuré que son diamètre ne changeait pas avec la distance.

tS8S. M. Hamilton a encore remarqué dans là surface de Tonde une drconstana fort importante : les intersections du cercle et de TelUpse (fig, 980) sont des ombilks, c'est-à-dire qu'en ces points la surface a la forme d'un cône évasé , et par conséquent qu'il y a une infinité de plans tangents, qui passent par ces points. Il résulte deU qu'un faisceau incident formant un cône creux pourra donner un seul >a7on lébdcté dirigé suivant sa ligne ombilicale ; les plans d'incidence de ces rayons seroatpefpendiculaires aux intersections des plans tangents à Tombilic avec la surfaa tfiocidence, et les distances de ces lignes. au point d'incidence représenteront 1 : àniii étant l'angle d'incidence ; et réciproquement le rayon réfracté émergera en un otee creux , car il doit être disposé de la même manière relativement aux deux siiifto& Pour vérifier cette conséquence de la théorie, M. Lloyd a placé une lentille aconit foyer à sa distance focale de la première surface de la plaque d'aragonite, de manière que la partie centi'ale du faisceau se réfracte sensiblement suivant la ligne ombilicale; une plaque minpe de métal, percée d'un petit orifice, fut placée sur la sur&oedt |.ristal voisine de l'œil. Lorsque l'ajustement était exact, on voyait un cercle lumineai avec un petit espace obscur au centre, et dans cet espace central obscur deux points brillants séparés par une ligne étroite et bien définie ; quand Touverture de la plaqoe était légèrement déplacée, le phénomène changeait rapidement, l'anneau blanc se ré' duisait à une petite fraction de son étendue. En opérant avec des rayons solaires , on reconnut que la^ section du cône émergent augmentait avec la distance.

1586 . 11 résulte de ce qui précède que dans les cristaux à deux axe s il n'existe aocune direction du rayon incident qui ne doqne qu'un seul rayon transmis : car, poor qu'il en fût ainsi , il faudrait que les deux nappes de la surface des ondes fussent tangentes à certains points, afin que par ces points on pût leur mener un plan tangent commnob et cette circonstance n'existe pas ; il n'y a que dans |e cas où, la surface étantj>araUèle i deux des axes d'élasticité , le rayon incident est normal et polarisé dans un plan passant par un des axes , qne le rayon traverse le cristal sans dériation ni division.

Ainsi les axes optiques, définis comme nous l'avons fait pour les ondes planes, œ jouissent plus des mêmes propriétés pour des rayons isolés. Quelqù\es physideus rega^ dent les lignes ombilicales comme les véritables axes obliques , qu'ils définissent parla propriété d'être parcourus avec la même vitesse par des rayons polarisés dans une di rection quelconque.