C. R., t. viii
iB88. Quant aux anneaux qu'on observe par transmission, ils résultent, comme nous Tavons déjà dit, de rinlerférence des rayons transmis directement avec ceux qui ne l*oiit été qu'après avoir éprouvé deux réflexions consécutives dans la lame mloce. En effet , les différences de marche des rayons qui interfèrent apri's la transmission sont alors exactement les mêmes que celles des rayons qui interfèrent après la réflexion^ mais, comme dans le premier cas , la double réflexion fait disparaître le changement de signe de la vitesse du rayon réfléchi, il s'ensuit que les effets produits par l'iulerférence dépendent uniquement de la différence des chemins^ et, par conséquent, que les deux ordres d'anneaux sont complémentaires. La teinte si faible des anneaux transmis résulte de la faible intensité des rayons qui sortent après deux reflexions successives.
1^86. Le système des ondulations explique avec une extrême facilité les anneaux réfléchis à centres blancs dont nous avons parlé [U15], et qui se forment quand la lame mince est placée entre deux milieux, Tun plus, l'autre moins réfringent. En effet, dans ce cas, les réflexions à la première et à la seconde surface de la lame mince ayant lieu dans les mêmes circonstances, c*estrà-dii« quand la lumière rencontre un milieu qui est plus réfringent moins réfringent, il n'y a plus lieu d'ajouter une demi-IoqgpBtf d'ondulation à la différence des chemins parcourus par les qui interfèrent, et, par conséquent, les anneaux doivent élii plémentaires de ce qu'ils sont dans les cas ordinaires , ely p
BDtOT
STSTËHB DBS ONVL'LATIO!IS. AHREAVX COLORÉS. ftlS
le ceDtre doit être coloré dans une lumière bomogèDe, et blanc daiu la lumière blanche.
La fig. toi5 représente l'appareil imaginé par M. Soleil pour produire les anneaux dont il est question. Il se compose d'un prisme placé au-dessus d'une plaqne à Taces parallèles, et que l'on pent comprimer à l'aide de deux vis; )e prisme «A en flinl-glass, la plaque en crown-glass; en mettant une goutte d'eau ou d'essence de luurier sur la plaque , substances dont les indices sont l'un plus grand, l'autre plus petit que ceux du prisme et de la plaque, on obtient des anneaux à centre noir; mais, avec de l'essence de girofle ou de sassafras, dûnt l'indice est intermédiaire entre cens de la plaque et du prisme , on obtient des anneaux à centre blanc. En employant une plaque formée de deux autres réunies latéralement, l'une en llint-glass, l'autre en crown-glass, et de l'essence de girolle , on obtient deux derai-syslèmes d'anneaux , l'un à centre blanc , l'antre à centre noir.
m87. Ànneatix coloré» produit! par dei plaquii ipaitat*. Les anneaux dont il est question, et dont nous avons décrit toutes les particularités [1^(6], s'expliquent aussi très-facilement dans le système des ondulations. En effet, lorsqu'un faisceau très-délié de lumière bomogène vient rencontrer perpendiculairement la première surface d'une glace étamée , le rayon qui pénètre normalement dans le verre, à couse de l'imperfection du poli de la snrface, est environné d'un faisceau de rayons d'une faible intensité, et d'autant plus petite qu'ils s'éloignent davantage de la normale. Ces rayons disséminés, rélléchis ô la seconde surface, émergent par la première dans un cône plus ouvert ; le rayon principal , de retour à la première surface, produit encore de nouveaux rayons disséminés autourde lui, etc'est l'interférence de ces demiersavec les premiers qui donne naissance aux franges qu'on observe. 11 est Tacile de voir que les rayons de ces deux systèmes ont parcouru sensiblement le même chemin , et que la différence, très-petite, augmente avec la distance de leurs points de concours à l'axe du foisceau. H. W. Hersciiel a retrouvé par le calcul toutes les circoasttpce» que préiealeBt cet phénomtocs.
lltSâ. ^^^^^^^^^^KÊ^ bandes colonies avec des p|iw]ae9 ép^^^^^^^^^^^^Hpe nous rapporlerons. Supposons que'TBT^^W^^^nWhenl deux plaques de la même " «ibstancc ^'i faces parallèles et il'i^Kali^ épaisseur: si, les plaques I éta nt légèrement inclinée^ apHfflrde tu objet lumineux au travers,
#16 LDMlèKE.
(fig. 924) an écran plan, indéfini, parallèle à la ligne Imnineiise <
se projette en C, MD la base de Tonde Inminease cylindrique
rencontre le bord de l'écran : cherchons la qnantilé de lainière
parviendra en un point P quelconque situé à une grande disUi
par rapport à la longueur d'ondulation^ menons la ligne PC etdi
sons l'arc DM , à partir du point A , en parties inégales Am, m
m'm^, An, nn*, n'n", etc., de manière que la différence des dist
ces des points de division consécutifs au point P soit égale i
moitié d'une longueur d'ondulation , et imaginons que ces pur
de l'arc MD soient elles-mêmes divisées en un même nombre ti
grand d éléments. Cela posé, représentons par 2 l'intensilé
la lumière qui éclairerait le point P si l'écran n'existait f
il est évident que, dans une position quelconque du point I
quantité de lumière qui y arrivera sera composée de celle qui
envoyée par la demi-onde AD, qui est égale à 1, et de celle
sera envoyée par l'arc AM. Si ce dernier arc renferme une s
division les mouvements de ses différents éléments seront d
cord avec ceux des éléments correspondants de la première d
sion de l'autre côté du point A , et les effets s'ajouteront; mai
Tare AM renferme deux divisions, les effets produits par les
menls correspondants se détruiront sensiblement, et la lun
supportée nu point P par l'onde totale MD sera plus petite
dans le premier cas; en continuant à supposer l'arc AM touj
plus grand d'une division, il est facile de voir qu'il y aura acci
sèment de lumière quand l'arc AM renfermera un nombre im
de divisions. Ainsi , en plaçant un écran à une certaine dista
on devra y voir des lignes alternativement brillantes et obscure
Il est même facile de déduire de là les trajectoires suivant
quelles les franges se propagent : car, par exemple, pour les frai
obscures du premier ordre, la différence des distances du poi]
aux points A et M étant égale à deux demi-longueurs d'ondulatj
la différence des distances du même point P aux points G et M i
plus grande de CA, et comme cette dernière longueur est constai
on voit que la frange se propagera suivant un cylindre hyf
bolique dont la base est une hyperbole ayant ses foyers aux po
Cet M.
En désignant CM par a , par d la différence des distances da pilli;ftt points M et A , par x la distance du point P an point o mflieQ db.CMMfl sur CL , par y la distance de ce point au bord de Toiiibre g4o||| "^ ' enfin par A et B les deux axes de Thyperbole , on aura , en
STSteilB DBS ONDULATIONS. DIFFUCTIOK. fll7
a» a (a — M) ad ♦ 4 ~ 2 •
a lubstitnuit cea ttdeun de A et de B dani l'équalion de Itijperbotc ,
2a{a — U)y*—4adx*= — «(a— 2<i)orf.
, commB cette courbe eit rapportée i ton centre litaé au milieu de CU, a vent tnntporler le* ne* lu poînl M, U faudra faire
et l'équation , ainai tranafonnée et réaolue par rapport i z , doniie , en négligeant le* termei qui contiennent i(* «t d , par rapport i a ,
Ponr obtenir les distances des centres des franges obscnres successives au bord de l'ombre géométrique, il suffira de remplacer, dans la valeur Aey,d successivement pari^, ^, Zk, etc. On voit facilement d'après cela que les franges ne sont point à égale dislance, et qu'elles se rapprochent les unes des autres d'autant plus qu'elles s'éloignent davantage des bords de l'ombre géométrique.
Les maxîma et les minima d'intensité des franges iront en diminuant à mesure qu'ils s'éloigneront de l'ombre géométrique , car les divisions efficaces qui sont toujoars voisines du point H ont des longueurs d'autant plus petites, et rayonnent d'autant plus obliquement, que le point P s'éloigne davantage.
La lumière qui se propage dans l'intérieur de l'ombre géométrique ne présentera ni maximani minima d'intensité; mais elle décroîtra rapidement et d'une manière continue. En effet, cbaque point K de l'ombre reçoit de la lumière d'une demi-onde MD, et si, pour chaque point , on divise cette demi-onde , à partir du point H, en arcs tels, que la différence de distance des points de division an point K soit égale à une demi-longueur d'ondulation , la quantité de lumière qu'enverrait séparément au point K une des divisions diminuerait à mesore qu'elle serait plus éloignée du poiDt A, à couse de l'accroissemenl d'obliquité et de la diminution de longueur; par conséquent, la Juaiière de chacune d'elles pourra être considérée comme composée de dpux parties, l'une détruite par une partie de la rlivision précédente , l'autre par une partie de la
690 LDinftRB.
oomplétement lorsque Técran aura une pontion X'Y*, tdle QB — QA— r-. Hais si nous rapprochons l'écran XYde
fice , le point P sera alternativement le centre d'une bande bri et d'une bande obscure. En effet, Técran étant plus rappri
la différence des distances PB — PM sera toujours >* qu
quand cette différence sera égale à un nombre pair de demin lationsy les mouvements provenant des arcs AM et MB se d<
Il A.
ront séparément : car, si 2-t- représente la diflTérence en que
on pourra diviser Tare MB et Tare MA cbacun en 2 n parties,
les différences de distance au point P soient de ^ : alors 1
les ondes élémentaires parties des différents points de deuji consécutifs se détruiront sensiblement. Mais si la différeno distances PB et PM était d'un nombre impair de demi-ondulat on pourrait diviser Tare MB en un nombre impair d'arcs , do effets se détruiraient sensiblement, à Vexception d'un seul.
Il est facile de voir, d'après ce qui précède, que, si l'on ] dans l'ombre géométrique des points o, o\ o^, qui soient teli les différences des distances de chacun de ces points aux poi et B soient égales à un nombre pair de demi-ondulations , ces i seront les centres de bandes obscures ^ et que , si Ton prenc série de points /, /', /", etc. , pour lesquels les différence: dislances aux points A et B soient d'un nombre impair de d ondulations, ces points seront des centres de bandes brillante maintenant nous remarquons que les conditions qui détermine formation des franges intérieures et extérieures sont les même que pour les franges d'un même ordre , formées sur un écran la distance varie, les différences des distances aux points A sont constantes; il en résulte que les franges se propagent suj des hyperboles dont les points A et B sont les foyers. La dist AB étant toujours extrêmement petite, on peut considérei courbes comme se confondant avec leurs asymptotes.
Pour obtenir les équations des lignes suivant lesquelles les franges se
pagent sensiblement , représentons par A et B les aies de Phyperholc ,
la différence de longueur des rayons vecteurs , et par c la largeur do la f
nous aurons
r* d rf*
2A = d, et A«-hB« = -r-; d\m A = ^ ; et , en négligeant —, B =
réquation de Tasymptote , eu prenant Taxe imaginaire pour Taie des x , est alors
Pour les franges obscures , il faudra remplacer d par un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation , et pour les franges brillantes par un nombre impair : il est alors facile de voir que le franges sont également distantes , et que leur largeur est proportionnelle à la distance du micromètre à la fente , à la longueur d'ondulation , et en raison inverse de la largeur de Torifice.
L'expérience conGrme parfailement ces résultats théoriqaes^ dans les circonstances où Tapproximation que nous avons employée est permise.
Le docteur Yong avait expliqué les phénomènes dont il s'agit par rinterférence des rayons réfléchis sur les bords de ToriGce } mais il est facile de voir que les résultats de Texpérience sont en opposition complète avec ceux qui résulteraient de cette explication^ car les franges brillantes devraient occuper la place des franges obscures y et réciproquement.
i 595. Franges produites par deux ouvertures. Lorsque Vécran est percé de deux fentes très-fines , au travers desquelles passent les rayons émanés d'une ligne lumineuse placée au delà de cet écran, parallèlement aux fentes et à égale distance de chacune d'elles y les franges qui se forment doivent évidemment être disposées de la même manière que celles qui sont produites par un même rayon réfléchi sur deux miroirs légèrement inclinés l'un sur l'autre. En effet, les chemins parcourus jusqu'aux fentes étant égaux ^ il suffira de compter les chemins parcourus par les rayons à partir des fentes pour avoir leurs différences de marche. Ainsi, tout ce que nous avons dit pour le cas de deux miroirs pourra s'appliquer ici^ du moins tant que chaque fente sera assez étroite pour être considérée comme un seul centre d'ondulation, relativement aux rayons infléchis qu'elle envoie.
En désignant par c la distance des deux fentes , et conservant la notation de Tarticle précédent, on est conduit à la même formule approximative, y = xd : c ; mais d est égal à un nombre pair de demi-longueurs d*ondulation pour les franges brillantes , et à un nombre impair pour les franges obscures.
1596. Franges produites par un corps très-étroit. Lorsque l'écran , au lieu de s'étendre indéfiniment d'un cêté , est assez étroit pour que la lumière infléchie jusqu'au milieu de son ombre ne soit pas trop affaiblie par le décroissement rapide d'intensité que pro-
6ii LinutaB«
dttit Tobliquilé des rayons, il fout l^iir compte àk fiisèi| calcul de ceux qui viennent des deux côtés ^ et chercha poori que point de Tombre la résultante générale de toutes les élémentaires qu'y envoient les divers points des deux putie^i Tonde primitive situées à droite et à gauche de I*écran. On Li de cette manière que Tintérieur de lombre doit être di\isé piri série de bandes obscures et brillantes y de largeur à peu prèséfil et dont les positions diffèrent très-peu de celles qu'on dédûrsli considérant les extrémités du corps comme des centres denm ment. Mais, quand le corps opaque est très-étroit, et le micnxDèi assez éloigné de ce corps pour que les bandes observées m très-voisines des bandes extérieures, alors les calculs laits ] la méthode que nous avons exposée précédemment indiiiM comme l'expérience, que cette méthode n*est plus exacte. Les sultats du calcul représentent aussi avec une Gdélité remarqs les altérations singulières qu'éprouvent souvent dans ce cas franges extérieures, lorsque les autres sortent de lombre, viennent en quelque sorte se mêler avec elles.
Si les franges que Ton considère sont éloignées des boià Tombre géométrique, on peut trouver leur position par des sidérations très-simples. Soit AG (Gg. 926) un corps opat assez étroit pour qu on puisse distinguer des franges dans 11 rieur de son ombre à la distance AB; soient C le point édaii BD le carton blanc sur lequel on reçoit les franges; concevoi partie AM de Tonde primitive divisée en petits arcs Am, vpim^^ , etc., de façon que les lignes menées du point P, situé rintérieur de l'ombre, à deux points de division conséci diffèrent d'une dèmi-ondulation : toutes les petites ondes env( en P par les éléments de chacun de ces arcs seront en discor^ complète avec les ondes élémentaires qui émanent des n correspondantes (les deux arcs entre lesquels il est compris*
SYSTÈME DBS ONDULATIONS. DIFFRACTION. 618
discordance entre les vibrations lamineases qui se manifestent au point P se trouve déterminé par la différence de longueur entre les deux rayons t^ et fP qui émanent des milieux des arcs A m et Gn^ ou 9 ce qui revient auméme^ par la différence entre les rayons A P et GP partis des hords mômes du corps opaque. Ainsi, lorsque les franges intérieures que Ton considère sont suffisamment éloignées des bords de l'ombre géométrique ^ on peut, sans erreur sensible ^ les considérer comme résultant des interférences des ondes qui ont leur centre sur les bords mêmes du corps opaque. Mais 9 à mesure que le point P se rapproche de B, l'arc Am devient plus grand par rapport i l'arc mm', l'arc mm' plus grand par rapport à l'arc m'm*', etc; et de même, dans Tare mAy les éléments qui avoisinent le point A deviennent sensiblement plus grands que ceux situés vers le point m, et répondant à des différences égales de chemins parcourus. Il en résulte que le rayon efTicace #P ne doit plus être la moyenne entre les rayons extrêmes mP et APy mais se rapprocher davantage de la longueur de celui-ci. De l'autre côté du corps opaque^ au contraire , la différence entre les rayons GP et le rayon eflicace ïP approche d'autant plus d'être exactement égale à un quart d^ondulation ^ que le point P s'éloigne davantage de D. Ainsi la différence des chemins parcourus varie plus rapidement entre les rayons eflicaccs sV et tP qu'entre les rayons AP et GP : par conséquent ^ les franges qui avoisinent le point B doivent être un peu moins éloignées du centre de l'ombre que ne l'indique la construction fondée sur la première hypothèse.
1697. Franges produites par une ouverture circulaire ou un écran de même forme. Dans le cas dont 11 s'agit , il faut déterminer l'influence des ondes élémentaires qui partent de tous les points de l'orifice ou de tous les points du contour de l'écran. Fresnel a retrouvé par ses calculs tontes les circonstances observées ^ et que nous avons décrites précédemment [1427].
Dans ce qui précède, nous avons supposé la lumière homogène^ il est facile d'en déduire ce qui arriverait dans la lumière blanche, ainsi que les phénomènes analogues produits par la réflexion [IfcâO].
1698. Franges produites par /e# r^^eatior. Les phénomènes que présentent les réseaux , que nous avons décrits précédemment avec beaucoup de détails [1430], s'expliquent avec une extrême (aâïilé dans le système des ondulations, comme M. Babinet Ta reconnu le premier. Soient MN (fig. et?) un réseau éclairé pw ue fente
6S4 LUMIÈRB.
lumineuse S parallèle aux raies du réseau, C la position de T de Tobservaleur; nous supposerons que CS soit un plan perp diculaire au réseau ^ qui passe par le milieu d'une raie obscn et que le foyer de lumière soit assez éloigné pour que le p du réseau se confonde avec une onde cylindrique. Divisons réseau , à partir du point A ^ en parties telles que la différei des dislances de deux divisions consécutives an point C soit ég à une demi-longueur d'ondulation : il est évident , d*après œ' précède y que, si le réseau n'existait pas, les effets produits] deux divisions consécutives se détruiront sensiblement, et i Tœil ne recevrait que la moitié de la lumière émanée de la premi division. Si maintenant nous considérons le réseau , il existera intervalle transparent et obscur dont retendue coïncidera sensii ment avec deux divisions successives -, alors ces deux divisions, <] dans Tabsencedu réseau, produisaient des ondes qui se détr saient par leur interrérenee, enverront de la lumière au point C en sera évidemment de même quand Tintcrvalle d'une raie obsci et d*une raie brillante occuperai divisions, 4 divisions, et ainsi suite : par conséquent, on devra apercevoir des franges brillan successives, et leur position ne dépendra en aucune manière de largeur relative des raies obscures et transparentes, mais sen ment de la somme de ces largeurs ; ce qui est parfaitement d*aco avec l'observation de Frauhenhofer.
Toutes les autres lois observées par Frauhenhofer résultent éj lement de celte explication. En effet, joignons les extrémités d e de l'élément du réseau correspondant à la première raie avec point C, où se trouve placé l'œil de l'observateur, et du poini abaissons sur C/* la perpendiculaire dp : les triangles dfp et À seront semblables^ et nous aurons dfifp:: Cf: Af, ou six C/* : A/* : : 1 : sin d. Ainsi sm d = x : s, et pour la fran du n* ordre, sin D, ou D = n x : «, qui est exactement la formi déduite de Texpérience. 11 résulte aussi de là que la frange c provient de l'élément du réseau pour lequel la différence des cb mins est égale à deux ondulations devrait disparaître , si la n obscure avait une largeur égale à celle de la raie transparente } il < serait de même pour la troisième frange , si la largeur d'une des rai était le tiers de l'espace occupé par les deux raies ^ et enfin pour
frange de l'ordre n, si la largeur dune des deux raies était égale à
de la somme des largeurs des deux raies ^ ce qui est encore parf<]
SYSTEME DES ONUL'LATIONS. DIFFRACTION. 625
tement d'accord avec Texpérience. Nous devons dire cependant que y pour que l'explication précédente fût complète ^ il serait indispensable de faire le calcul des efiets produits par tous les rayons qui traversent le réseau : car, dans ce que nous avons dit précédemment, on ne voit pas nettement pourquoi les éléments du réseau qui sont compris entre ceux que nous avons considérés n'envoient pas de lumière. La déviation d pouvant se mesurer avec une < très-grande précision [1432] , on en déduirait Vilement les valeurs de X pour les différentes couleurs.
En terminant la diffraction , nous répondrons à une objection qu'on a souvent reproduite contre le système des ondulations. Nous avons dit que , si Ton recevait les franges sur un verre dépoli , elles avaient les mêmes apparences que si on les regardait directement ou avec une loupe. Or, on a prétendu qu'il ne pouvait pas en être ainsi, attendu que les rayons, en se propageant directement dans l'œil , suivent des chemins différents et éprouvent des différences de marche qui dépendent de leurs directions primitives et des milieux qu'ils traversent. Pour répondre à cette objection , remarquons d'abord que, quand des rayons lumineux qui se propagent suivant des lignes courbes quelconques viennent rencontrer la première surface d'une lentille, les rayons convergent au même point que si les rayons incidents étaient rectilignes et dirigés suivant la dernière tangente à leur trajectoire au point d'incidence. Cela posé, considérons une lentille placée dans un faisceau de franges, se propageant suivant des directions quelconques, l'intersection de la première surface de la lentille et du faisceau renfermera des bandes dans lesquelles l'éther sera alternativement en vibration et en repos, et dans les premières Tintensité et la direction du mouvement en chaque point seront déterminées par la direction et l'intensité de la résultante des petits mouvements émanés des différents centres d'ébranlement. Alors ces mouvements se propageront à travers la lentille et produiront à une certaine distance derrière, sur un écran, une image semblable à celle qu'on verrait sur la première surface de la lentille, si elle était dépolie^ mais elle sera renversée y et, à ce foyer, il ne se produira pas de franges par des interférences directes, parce que, quelque grands que soient les rayons de courbure de la lentille, les différence de distance, en ondulations, d'un point du plan focal aux points lumineux seraient trop grandes. Ainsi, quand on regarde directement des franges i Vosà nu, celles qu'on voit ne sont pas celles qui se forment directement sur la ré- 11. ••
Oie Ll-MIÈRK.
tine, mais celles qui se produisent sur la cornée transparente, vont former ensuite leur image sur la rétine par réfraction.
Polarisation de la lumière,
1509. Nous avons dit, en commençant l'exposition dn sj des ondulations , que Fresnel avait supposé que les monvc vibratoires de l*éther avaient lien , non pas dans la direclj mouvement de propagation , comme dans la transmission di mais parallèlement à la surface même des ondes. Dans ce qu cède , nous n'avons point rappelé ce principe , parce que le nomènes étaient les mêmes, quelque direction qu'on ait su] aux mouvements vibratoires. Mais l'explication de tous les { mènes relatifs à la polarisation dépend de la direction des m ments vibratoires de l'étber.
Des expériences décisives [1600] démontrent la réalité des vements transversaux ainsi que leur parallélisme dans la It polarisée, et les phénomènes des plaques cristallisées [1613] q mouvements sont perpendiculaires au plan de polarisation, si l'on admet que les corps lumineux éprouvent à chaque insta perturbations qui changent continuellement la direction du p polarisation des rayons , de soiic que , dans un intervalle de très-courl , ils cinettenl autant de rayons polarisés dans un c plan que dans un plan perpendiculaire, celte lurnic^re se co tera comme un faisceau de lumière formé de deux autres do intensité, polarisés dans doux plans rectangulaires; et , par elle ne pourra donner naissance à aucun des pbénoini^ncs qu< sente la lumièro polarisée dans un seul plan , puisque les appai sont toujours complémentaires quand les plans primitifs de p sation sont rectangulaires. D'après cela , dans la polarisation lumière par la réflexion ou la réfraction simple ou double, Vi des corps consiste uniquement à ramener les mouvements de 1 en totalité ou en partie dans un même plan.
1000. La direction du mouvement oscillatoire dans les» lumineuses peut êlre déterminée par l'expérience. En effet , direction est nét*essairemenl parallèle ou perpendiculaire i la face de l'onde; mais dans le premier cas, et dans ce cas s ment , si la |)olarisation consiste dans le parallélisme des i mouvements, en faisant interférer deux faisceaux de lumièr roog^ne polarisés dans deux plans rectangulaires, il ne se pro
pas de franges, quelle que soit d'ailleurs la différence des chemins parcourus : car le mouvement résultant sera toujours égal à la racine carrée de la somme des carrés des vitesses des ondes élémentaires, et l'intensité de la lumière en un point quelconque de Tespace éclairé par les deux faisceaux , sera égale à la somme des intensités de la lumière apportée par chacun des faisceaux. Void maintenant les expériences de MM. Fresnel et Arago.
Considérons un faisceau de lumière introduit dans une chambre obscure à travers deux fentes parallèles : si dans chaque faisceau on place une pile égale de lames minces de mica , sous une assez grande inclinaison pour le polariser presque complètement, et de manière que les plans d'incidence soient perpendiculaires entre eux, les franges disparaissent ; elles se reproduisent quand les plans cessent d'être perpendiculaires , et avec un éclat qui crott à mesure que les plans approchent du parallélisme. Ainsi , les rayons de lumière polarisés suivant le même plan s'influencent comme les rayons de lumière non modifiée ; mais cette influence diminue à mesure que les plans de polarisation s'écartent l'un de l'autre, et devient nulle quand ils sont rectangulaires. L'expérience suivante conduit encore à la même conséquence.
« On prend une lame de sulfate de chaux ou de cristal de roche parallèle à l'axe, et d'une épaisseur bien uniforme; on la coupe en deux , et l'on place chacune des moitiés sur une des fentes de l'écran. Supposons qu'on ait tourné ces deux moitiés de manière que les bords qui étaient contigus dans la lame avant sa division soient restés parallèles, les axes le seront aussi : or, dans ce cas, on n'aperçoit qu'un seul groupe de franges au milieu de l'espace éclairé , comme avant l'interposition de la lame. Mais^si l'on fait tourner une de ces deux moitiés dans son plan, en dérangeant ainsi le parallélisme, on fait naître deux autres groupes plus faibles, situés l'un à droite , l'autre à gauche du groupe du milieu , et qui en sont complètement séparés dans la lumière blanche lorsque les lames ont seulement un millimètre d'épaisseur. 11 est à remarquer que le nombre de laiigeurs de frange comprises entre le milieu d'un de ces groupes et celui du groupe central est proportionnel à répais«> seur des lames pour des cristaux de même nature , ou dont la double réfraction a la même énei^e, comme le cristal de roche et la chaux sulfieitée. A mesure que l'angle des deux axes augmente, cet nouveaux groupes de franges deviennent de plus en plus prononcés, et atteignent enfin ienr maximum d'intensité qnand les axes
Gâ8 LUNIÂRË.
des deux lames sont perpendiculaires entre eux : alors le gnm| central , qui s'était affaibli graduellement , a tout à lait dispani, est remplacé par une lumière uniforme. Il faut en couclare que 1 rayons qui les produisent par leur interférence ne sont plus cap blés de s*influencer mutuellement. 11 est aisé de voir, d'après position des franges , qu'elles résultent de rinterlërence des raya qui ont subi le même mode de réfraction dans les deux lame puisque, les ayant parcourues avec des vitesses égales, ilsddvr arriver simultanément dans le milieu de Tespace éclairé qui r^ à des chemins égaux , si d'ailleurs les deux lames sont de mén épaisseur et restent toijgours Tune et Tautre perpendiculaires ai rayons y comme nous le supposons ici. Ainsi les franges du groo] central étaient formées par la superposition de celles qui résii taient 1° de Tinterférence des rayons ordinaires de la lame de ga< che avec les rayons ordinaires de la lame de droite^ 2^ de Tinte férence des rayons extraordinaires de la première lame avec l rayons extraordinaires de la seconde. Les deux groupes excenti queSy au contraire 9 résultent de Tinterférence des rayons qnioi subi des réfractions différentes dans les deux lames; et, comme i sont les rayons ordinaires qui marchent le plus vite dans le crist de roche ou le sulfate de chaux , on voit que , si Ton emploie une ( ces deux espèces de cristaux , le groupe de gauche doit être fbni par la réunion des rayons extraordinaires de la lame de gaucJ avec les rayons ordinaires de la lame de droite , et le groupe < droite par la réunion des rayons extraordinaires de la lame i droite avec les rayons ordinaires de la lame de gauche. Or, quan les axes des deux lames étaient parallèles , les rayons qui avaiei éprouvé les méroes réfractions dans les deux cristaux se trouvaiei polarisés suivant la même direction, et ceux de noms contraire suivant des directions rectangulaires : voilà pourquoi le groupe d franges du milieu , qui provient de l'interférence des rayons d même nom, était à son maximum d'intensité, et les autres, qui ré suUent de rinterférencc des rayons de noms contraires, ne parais saient pas encore. Mais quand les axes des deux lames formaien entre eux un angle oblique , de 45® par exemple , les rayons d noms contraires et ceux de n)éme nom pouvaient agir à la fois le uns sur les auti*es, puisque leurs plans de polarisation n'étaien plus rectangulaires , et les trois groupes de franges étaient produits Lorsque enfin les axes deviennent perpendiculaires entre eux , le rayons de mémo nom se trouvent polarises suivant les direction
rectangulaires y et le groupe central auquel ils donnaient naissance s'évanouit y tandis que les rayons ordinaires de la lame de gauche sont alors polarisés parallèlement aux rayons extraordinaires de la lame de droite ^ ce qui fait que le groupe de droite qu'ils produisent atteint son maximum d'intensité. 11 en est de même du groupe de gauche, résultant de l'interférence des rayons ordinaires de la lame de droite avec les rayons extraordinaires de la lame de gauche.» (Frbsnel.)
Nous rapporterons enfin une dernière expérience qui conduit aux mêmes conséquences. Si, après avoir fait polir un rhomboïde de chaux carbonatée sur deux faces opposées , dressées avec soin et bien parallèles, on le scie perpendiculairement à ces faces, on obtient deux rhomboïdes d'égale épaisseur, et dans lesquels la marche des rayons ordinaires et extraordinaires est exactement pareille sous la même incidence. En les plaçant l'un devant l'autre, de manière que les rayons partis du point lumineux , après avoir traversé le premier rhomboïde, parcourent ensuite le second, et que leurs faces soient perpendiculaires à la direction des rayons incidents , les sections principales étant à angle droit, les quatre faisceaux que produisent en général les deux rhomboïdes sont réduits à deux; le faisceau ordinaire du premier rhomboïde est réfracté extraordinairement dans le second , et le faisceau extraordinaire de celui-là est réfracté ordinairement dans celui-ci. 11 résulte de cette disposition que les différences de marche provenant de la différence de vitesse des rayons ordinaires et extraordinaires se trouvent compensées pour les deux faisceaux sortants. Ils se croisent d'ailleurs sous un angle très-petit, et tel que les franges doivent avoir une largeur beaucoup plus que suffisante pour être aperçues ; et cependant , quoique toutes les conditions nécessaires à la production des franges, pour les circonstances ordinaires, soient observées, il est impossible de parvenir à les faire paraître.
11 est donc complètement démontré que les rayons polarisés à angle droit n'exercent aucune inûuence l'un sur l'autre, et, par conséquent, que les mouvements de Tétlier ont lieu dans le plan de l'onde, et dans une même direction quand la lumière est polarisée.
1 60 1 . Fresnel , en partant de certaines hypothèses très-probables, est parvenu à des formules qui représentent, avec une admirable précision, les intensilcs des rayons réfléchis ou réfractés, et d'où résultent, non-seulement les phénomènes généraux de polarisation (|ui se produisent par la réflexion et la réfraction ordinaires,
ASO LUMIÈRB.
maifi encore toutes les lois obsenrées. Un Cûsôeâii de lumière mturelle pouvant être considéré comme composé de deux foisoenl d'égale intensité ^ polarisés dans deux directions rectangnlaiietl disposés d'une manière quelconque ) pour arriver à ladétennin-' tion des phénomènes que présente la lumière naturelle quand dit se réfléchit à la surface des corps ou les traverse ^ il faut d'tboi étudier les modifications que ces circonstances apportent à la limière complètement polarisée.
1 602 . Détermination de l'intensité des rayons réfléchis et réfractés lorff^ le rayon incident est complètement polarisé dans te plan dTincidence. Fwûà pour résoudre cette question , admet : 1* que , dans la communicalioii do m» Tement do Téthcr du premier milieu ik celui du second , la force vive d« Vo^ incidente est égale n la somme des forces vives de l'onde réfléchie et de roe^ réfractée , c'estp-à-dirc que le produit de la masse de Tonde incidente , multiplié par le carré de la vitesse de vibration , est égal à la somme des prAdni--des niasses des ondes incidentes et réfractées , multipliées par les carrés àh vitesses respectives; c'est un principe général de mécanique qui eiisle dafl» tout système de points matériels dont les vitesses ne varient en grandeur et ft direction qu'on vertu de leurs liaisons mutuelles , et qui est npplictbVe u choc des corps parfaitement élastiques ; 2° que les molécules de l'éther ih premier et du second milieu qui sont voisines de la surface de séparation èm deux milieux exécutent des oscillations de même amplitude , et que cette vitesse commune est égale à la somme des vitesses de Téther dans Tonde incidente et dans Tonde réflécliic, ou à celle de Tonde transmise, mais toutrî décomposées parallèlement à la surfncc. Ce dernier principe n'est point êtident , et n'a point été démontré.
A Taide do ces deux principes , il est facile do trouver Tintcnsité de l'aoie réfléchie : eu ciïet , si nous désignons par ï et r les angles d'incidence et <!>' réfraction , par 1 la vitesse de vibration dans le rayon incident , par v et m b vitesses correspondantes dans les rayons réfléchis et réfractés, nous auron*. en vertu du deuxième principe , dans le cas dont il s'agit , où les mouvements sont perpendiculaires au plan d'incidence
t* r= tv-h i.... (o)
Pour obtenir Téquation relative à la conservation des forces vives , il faut d'abord déterminer les masses des ondes incidentes réfléchies et réfracté*^ : or. les largeurs des furiscenux incidents et réfractés sont représentées par le? lignes Gl et DM ( fig. (>a > ) * ^^ « comme on a Gl = GDcos i et DM = GDcosr, il s'ensuit que ces largeurs sont proportionnelles à cosi, et cosr. Les hauteur des ondes incidentes et réfractées étant les longueurs d'ondulation dans le premier et le second milieu, et ces longueurs étant proportionnelles à sinirf à sîn r, il s'ensuit que les volumes d'éther de Tonde incidente et de Tonde rvfrnctée, entre lesquels la communication du mouvement a lieu, sont proportionnels à cosI sini et k cosrsinr; et les masses seront proportionnelles à dcosi'sin^ et à d'cosrsinr*^ d et d^ étant les densités de Téther daos le pre-
mier et lo second milieu. Mais dans la communication du moutement dans un fluide éla8tii|uc , on a v* =^e : d, e représcatuiil réluslicité du fluide et d sa densité ; si Ton suppose que daus les difl'érents corps Tétlier ne diflere que par la densité , et que son élasticité reste constante , la densité sera en raison inverse du carré de la vitesse de propagation du mouvement , ou proportionnelle à i : sin*t* et i : sin*r. Par conséquent, les masses d^éther des deu\ milieui seront proportionnelles à
sinicosî sinrcosr , cos< cosr
- — . , . - et — r-i , ou à -: — : et -: — .
sm"t snrr smi smr
D'après cela , le principe de la conservation des forces vives donne
cos f cosr , cosi ^ cosi ,, .. cosr . ...
. - = . ^« -4- - .— T-»', ou -.— (i— 1>») = . -u*..,. (b) sui I smr smi sint smr
En éliminant successivement u et r entre les équations (a) et (b), on tronve
sin (t — r) 2 sinr cos i
sm (t 4- r) sm (t -h r)
alors , en désignant par R l'intensité du rayon réfléchi , et par T celle du rayon transrois , comme ces intensités sont proportionnelles aux carrés des vitesses , on a
Si Ton remplace dans ces formules sin r par sa valeur tirée de la relation sini = » sin r, on trouve
P ^ /l/n'-,in«.-cosjV ^j T=l-R.
\|/w* — sin*i -h COSI/
Si dans cette dernière formule on fait 1 = 0, on trouve R =r (n — 1 )* : ( /i -h 1 )* ; et pour t = 90 , on a R = 1 . 11 est facile , en outre , de reconnaître au moyen de la formule (1) que , si l'on fait croître i d*une manière continue de 0 à 00®, la valeur de R ira constamment en croissant : en effet, 8in(i — r) est plus grand que sini — sinr = sinr (n - 1 ) , et d'autant plus que Tangle r est plus grand; sin(t4-r) est, au contraire, toujours plus petit que sin i -j- sin r = sin r (n -|- 1 ) , et d*autant plus que r est plus grand. Donc, ù mesure que i augmente, sin (t — r) prend des valeurs qui excèdent toujours davantage sinr (n — 1), et 8in(t+r) prend des valeurs qui sont toujours, de plus en plus, plus petites que sinr(»4- 1 ) ' ainsi la valeur de la fraction sin (i — r) : 8in(t-l-^) va constamment en croissant. Quant aux variations d'intensité du rayon réfracté, elles se déduisent de a'ilcs du rayon réfléchi, car les intenaités de ces deux rayons sont complémentaires.
Les formules (1) et (2) peuvent aussi s'obtenir au moyen de celles du choc des corps élastiques. En eiflet, en désignant par m et m' deux masses , dont la première est animée d'une vitesse représentée par l'unité et la seconde en
LlTNlftRR.
repos, nous avons vu [147] que les vitesses des deux nuutes, apièskck. étaient
et u ^
SIms
En remplaçant dans ces deui formules m et m' pur leur* Taleiiri cosi ;■! et cos r : sin r, trouvées plus haut , on retombe sur les formules préc^falu
1603. Détermination de l'intensité des rayons ré/lécMM et réfrmMh» que le rayon incidient est complètement polarisé dams un pUm perpsménkm au plan d'incidence. Dans ce cas , Fresnel admet les mêmes sappositisas fv dans le cas précédent ; mais alors les molécules d'ëtlier des deux niiKii, voisines de la surface , ont pour vitesse , celles du premier milieu la mmet des composantes parallèles à la surface des vitesses de Téther dans le nm incident et le rayon réfléchi , et celles du deuxième milieu la composante pirallèle au même plan des vitesses de Tonde réfractée : alors on a ks érti équations
cos I (v -h 1) =r tt cos r.
cosi sin i
cos t ,
sin i
cosr sinr
cos •
cosr
OU,-r-;(l— »•) = .
sm I ' ' sin r
En éliminant successivement « et v entre ces deux équations , on trouve
sin r cos r — sin t cos • tang (t — r)
sin r cos r -h sin < cosi tang (• -J- r) *
et
2 sinr cosi
sin r cos r 4- sin i cos i*
Ainsi , en désignant par R et par T les intensités des rayons réfléchis ot réfractés , on a
R = ;!iî£;ii=Z) (3), etT=p lanc» (i 4- r) (si
4 sin* r cos* i
(sinr cosr-h sin I cosi)*****
Si Ton remplace dans ces formules sinr par sa valeur déduite de la relatioi sin f = n sin r, il vient
P /yn* — sin* i — n" cos
VV^n* — sin* f -f- n* cos
* j , et T = 1 R.
Si Ton suppose t = 0 , il vient R = (» — 1 )■ : (n -f- i )*. Ainsi , lorsque le rayon incident est normal , Tintensité du rayon réfléchi est la même quand le rayon incident est polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d^incidence. 11 est d'ailleurs facile de voir qu'il doit en être ainsi , car, la sui^ face du corps étant parallèle aux ondes , la direction des mouvements vibratoires est sans influence. Lorsqu'on suppose i = 90®, on a R =: | , comme dans le cas où le rayon incident est complètement polarisé dans le plan d'incidence ; mais ,ici l'intensité du rayon réfléchi n'augmente pas d*une manière continue de i = 0 à i = ftO«, c nr, poiir f -}- r = 00, l'éqnation (3) donne
H = 0 : c'est ce qui devait être , car nous sarons qu^alors la réflexion est nalle.
1 604. Détermination de ^intensité des rayons réfléchis lorsque le rayon incident est polarisé dans un plan quelconque, A Taide des formules (1) , (2) , (3) , (4) , on peut facilement trouver les intensités des rayons réfléchis ou réfractés dans toutes les circonstances possibles. Nous nous occuperons d'abord des rayons réfléchis.
Supposons d'abord que le rayon incident soitimnplétement polarisé, mais que son plan de polarisation fasse un angle A avec le plan d'incidence : ce faisceau pourra évidemment être considéré comme composé de deux faisceaux polarisés , Fun dans le plan d'incidence , Tautre dans un plan perpendiculaire, et ayant pour intensités cos' A et sin^A. Alors l'intensité R du faisceau réfléchi sera donnée par la formule
„ sin* (i — r) ^ . tang* (t — r) ... .„.
R = --^-L ( co«« A -f- , \), , — { sm« A.... (5)
sm» (t -h r) tang* (i + r) ^ '
Si la lumière était complètement polarisée dans le plan d'incidence , on aurait A = 0 , et Ton retomberait sur la formule (1). Si le faisceau était, an contraire, polarisé dans un plan perpendiculaire , on aurait A = 90®, et Ton retrouverait la formule (3); et si, dans ce dernier cas , l'angle de réflexion était celui de la polarisation complète , on aurait i -f-r = 90®, d'où tang (i-f- r) = oo , et par suite R = 0.
Si la limiière incidente était complètement polarisée dans un plan incliné
de 45° sur le plan d'incidence , on aurait cos* A = sin* A = ^ , et , par conséquent ,
R - 1 Ï^^JtzIÏ I tang«(t--rn
^ " 2 Lsin» (• -f- r) ^ tang» (t -h r) j*'" ^^^
Ce dernier résultat est le même que celui qu'on obtiendrait en supposant la lumière incidente composée de deux faisceaux ayant chacun l'intensité i/2, et polarisés l'un dans le plan d'incidence , l'autre dans un plan perpendiculaire. On arriverait aussi exactement à la même formule en considérant le faisceau incident comme composé de deux faisceaux d'intensité 1/2, polarisés dans deux plans rectangulaires disposés d*une manière quelconque par rapport au plan de réflexion : car, en désignant par A et A' les angles de ces plans avec le plan d'incidence , on aurait
R = ^ !!5!('^)(cos«A4-cos«A0 4-i |^"g;[^~^l(sin«AH-sin»AO; 2 sm» (t 4- r) ^ '2 tang»(t-Hr) ^ ' '
mais , comme les angles A et A' sont complémentaires , A et A' disparaissent, et l'on retombe sur la formule (6).
Si la lumière incidente était naturelle , on pourrait toujours la considérer comme composée de deux faisoeam ayant chacun une intensité 1/2, et polarisent dans denx plans rectangulaires quelconques : par conséquent la fornrnlo TB) ettt applicable à la réflexion de la Inmière naturelle.
LDXifeBR.
4uu dm» piuu qui seront plas rapprodiéf da plta dlacidMiee, etqtîaactdenûent avec lui si la réfleliou arait lieu S4Nif un «ogle ,tel qae t -f-r ^ff. Si Ton considère chacun des plans primitifs de polarisniioo ccMiiiBe étant iadiK de 45<* sur le plan d'incidence, la formule (8) devient
cos(*-|-r)
tangA'= — j-, {.
^ co8(i — r)
En disentant cette formule , il est fociie de tout que , aoas l*inridoff p» pendiculaire, les plans de polarisation des deux foiiceanx réfléchu loiit incb de 45* sur le plan de réflexion et, par conséquent, sont perpendiciilairestatR eux : ainsi le rayon réfléchi est à l'état natuià comme le rayon inodent; ■■§, à mesure que l'angle d'incidence augmente , les denx plans de pelarisatioe s rapprochent du plan d'incidence, et coïncident arec lui lorsqoe <+r=90*. Au delà de cette incidence les plans de polarisation s'éloignent du plan d'iaôdence, maison tournant dans le même sens, car cos(<--hr) change de sigae; enfin , pour Tincidence de 90®, les plans de polarisation redeviennent de aw* veau rectangulaires , et le rayon réfléchi reprend les propriétés de la lomièrc naturelle.
1606« DéUrminaUon de la qwtnHté d$ lumière poiarMe datu le pfaM d'incidsiios qui as trouve dans le rayon réfléchi. Considérons un faisceaa è lumière entièrement polarisé dans l'asimut A , on a
R = !''!^!co.«A + !îî§fe^«n« A....
8m*(*-hr) tang«(<-f-r)
et
. cosft-h»*)
tanirA'= tangA — 7: r....
° ^ co8(i — r)
Or, la quantité de lumière polarisée est égale à la différence des quantités de lumière polarisée dans le plan d'incidence et dans un plan perpendiculaire : par conséquent, en désignant cette quantité par K, on aura
K = R(cos«A' — sin'AO = R(l — 2sin« A')....
En combinant les trois dernières équations , on trouTe pour la quantité àt lumière polarisée la valeur suivante :
r8in«(< — r) , , K= ■. cos«A4-
Lsm'(i-hr)
tang' (f -h r)
cos* (t ^ r) ^ tang* A ces* (• -f- r) cos* (t — r) -h tang* A cos* (<-Hr)
Si la lumière incidente était naturelle , il faudrait la considérer comme étant composée de deux faisceau» ayant une intensité 1/2, et polarisés dans des plans inclinés à io* sur le plan d'incidence : alors on aurait
fos'A = sin'A =
SYSTÈME UES ONUULAIIOKS. KOLARISATIOX. 637
et la formule précédente deTiendrait
. sin* (• — •*) i tang* (t — r) ] 2[»in« (t -f-r) » Ung* (i -h r) J
pco»! (,• — r) -- co»* (i -f- r) 1
I C08* (f — r) H- co«« (i -h r) J"" ^ ^
M. Arago a vérifié Texactitude de cette dernière fommle, en déterminant yar des eipériences nombreuses les incidences sous lesquelles le rayon réfléchi renfermait la même quantité de lumière polari^^e , et les résultats des expériences faites sur difierentes espèces de Verre et sur Tean s'accordent trèsbien avec la formule.
Si le rayon incident, toujours formé de lumière naturelle, était perpendiculaire à la surface réfléchusante , U faudrait faire i = 0 dans la dernière formule, qui deviendrait alors K = 0. On obtient le même résultat en supposant i = 90. Ces deux cas particuliers de la formule ont aussi élé vérifiést par l'expérience.
Enfin f si Ton pose i -h >' = 90 , la formule devient
K = -sin«(i — r),
résultat identiquement le même que celui que donne la formule (6) qui représente l'intensité totale de la lumière réfléchie ; la loi de Brewster est alors une conséquence de la théorie.
Si la lumière incidente est complètement polarisée dans le plan d'incidence , on a A = 0 , et la formule devient
-^ sin* (• — r)
"" sin*(t-hr)*
La valeur de K étant la même que celle que Ton obtient dans les mèmefl circonstances pour rintensité totale du rayon réfléchi , il s*ensnit que le rayon réfléchi est complètement pobrisé dans le plan primitif.
Si le rayon incident était polarisé dans un plan perpendiculaire an plan d'incidence , on aurait A = 90*,
et K = - '•°g<'-"|.
1^ signe — indique que la lumière est polarisée dans un plan perpendiculaire au plan d'incidence ; et , comme cette valeur de R est la même que ceDe qu'on obtient dans le même cas pour Tintensité totale du rayon réfléchi , il s'ensuit que le rayon réfléchi est complètement polarisé dans le plan primitif. Si i 4-r = 90*, la valeur de K devient nulle , comme on devait s'y attendre.
Si le rayon incident était seulement en partie polarisé , il serait également très-facQe de trouver llntensité du rayon et la direction du nouvean plan de polarisation , en considérant la lumière comme composée de deas faisceaux , l'un de lumière naturelle , l'autre de lumière complétemeat polarisée.
1607. Polarisation par ét$ réflexions mcteuicf s. Lorsqu'un rayon de lumière naturelle !<« réfléchit mmd' une inridence diflerente de celle qui pr^li^
658 LVHIÈmS.
la polarisation complète , nous saTons qu'il se polarise en partie ; on , an coisidérant la lumière natorelle comme formée de deux faisceaiu d'égale inlositc , polarisés dans des plans ioelinés de 45* mr le pUn de réflexion , que os plans se rapprochent du plan d'incidence par le aeôl fait de la réflexion : a conçoit alors que , si le rayon éprouve une suite de réflexions , les plans k polarisation , se rapprochant toujours davantage du plan d^încidence , fininst. après un nombre suffisant de réflexions, par coïncider avec lui, et alonk lumière se trouvera complètement polarisée.
La formule (S) permet de calculer la posîtioo des plana de polarisatîoD apè un nombre quelconque de réflexions. Si nous supposons nue la réflexion lil lieu entre deux surfaces parallèles , de manière que les angles de réfleni soient les mêmes, en désignant par A', A^, A^.... les axiniuts des pbnsée polarisation après 1,2, 3.... réflexions, nous aurons éTidenunent
, coi(t + r)
lang A' = — y. ; ,
^ cos (• — r)
tang A" =: tang A' — 7: v = — =-7: ( .
^ ^ cos (• — r) cos» (i — r) '
* Aw â 4// <^<>8(t-hr) cos*(i-f-r)
tang A'" = tang A" — ); \ = — -)- [ ,
^ ^ CQs{* — r) C08*(i — r)
tang AW = tang A(^*) — ). ( = ;. {.
^ ^ cos (t—r) cos«»(i-*.r)
Cos(» 4-»*) étant toujours plus jictît que C08(l — r), on voit que l'azimut rfs plan de |K)larisntion va en diminuant h, mesure que le nombre des réflexions augmente ; mais , comme cet aagle ne peut jamais devenir nul , la iHiIarisation ne peut jamais devenir complète quand i-i-r diffère de 90®. Cependant, razinmt des plans de }M)larisation devenant très-petit après un nombre de réflexions qui n'est jamais très-considérable , la polarisation devient alors pre>quc totale. M. Brc\>ster a vérifié ces résultats théoriques par une expérience sur le verre ; il a reconnu qu*après cinq réflexions sous un angle de l(f, U polarisation était complète : or, la formule donne alors 22* pour Pazimut de< plaus de polarisation.
On pourrait facilement trouver la position des plans de polarisation dant» le cas où les angles d'incideuce seniient vai'iables , et où les substances réflédiissautes seraient difl'éreutes.
Toutes les questions que nous venons de traiter pom* le rayon réfléchi peuvent se résoudre de la même manière pour le rayon réfracté.
1608. Intensité du rayon réfracté. La Carmule générale qui représente l'intensité du rayon transmis peut se déduire des formules qui reprc^^alent cette intensité dans le cas où le rayon incident est polarisé dans le plan d'inci* dence ou dans un plan perpendiculaire ; mais il est plus simple de nrendfv k complément du rayon réfléchi : on aura ainsi
MB» (t—r) iang*(i — r) . .^
1=1 — -i A. , — ( cos" A — . — Vt: < sm» A .
sm«(i-4-r) 1ang« (t 4- r) ^ •
SYSTÈME DES ONIMJLATiOKS. POLARISATlOIf. «St
et , dans le cas de la Iwnière natiirelle ,
irsiD«(i— r) , ung«(i — r)] "" lL«nM«-4-r)"^taiig«{i-4-r)J-
Sous rincidenctt perpendiculaire et sons Tai^^fo de pohrisatioii , on trtmTe
* - * (n'-f-fir* ~" * 2^n«-f-n'*y•
l609. Quantité de lumière polarisée qui se trouve dans le rayon réfracté. On pourrait déterminer c^te quantité par la même mélbode qne nous avons employée pour la réflexion ; mais il est beanconp plus simple de la déduire de celle qui se trouve polarisée par réflexion dans le plan dlncidence et dans le plan perpendiculaire : car les quantités de lumière polarisée dans chacun de ces plans qui se trouvent dans le rayon réflécht et dans le rayon réfracté, sont complémentaires. Ainsi , en désignant par A l'azinmt du plan de polarisation du rayon incident , ou aura pour la quantité de lumière polariaée dans un plan perpendiculaire au plan d'incidence,
K = sin« Afi ^^^°g;f-^n - cos- Afl - '^\ ^î^'^l] , . [ tang«(«-Hr)J i. sm» (• -h r)J '
et , dans le cas où la Innicre incidente est natnreUe ,
i sin'{<--r) 4 tong'(< — r) 2 sin« (t -hr) 2 tang» (• -h r)'
Cette dernière valeur de K est la même que celle qu'on trouverait directemeut pour la quantité de lumière da rayon réiéchi polarisée dam le plan d*inctdenee, et cUc est équivalente à celle çie omis «tooi donnée en parlant de Tangle du plan de pokrisatien dn rayon réflédiL Aiaai, pour la lujBÎère untnrelle, il y a autant de lumière polarisée dans le rajon réfracté que dans le rayon transaûs. C'est la loi qui avait été découverte par M. Arago longtemps avant que la théorie Teùt indiquée.
1610. Mouvement du plan de polarisation produit par la réfraction. Le rayon incident, étant polarisé dans un plan formant avec le plan d'incidence un angle A , pourra être considéré comme composé de deux rayons polarisés l'un dans le plan d'incidence , Tautrc dans un plan perpendiculaire , et dont les vitesses de vibration seraient cos A et sin A ; chacun de ces rayons donnera des rayons transmis dont les vitesses de vibration seront
^^ ^sinrcosl . .^^ 2sinreosl
en remarquant que
sin t cos i -+- sin r cos r = sin (t 4- *•) cos (<— r) ; d'où l'en déduit frcilonent 4pic l'angle A' de k léwi^nk avec le plan d'inci*
640 LUIllÂftE.
dence , c'est-À-dire Ttiipiut du pUn de poUritatioa du rmjmk trifii, ni donné par Téquation
cotA' =: cotAcoip^r).
Si klwnîèra était natoreUe, pour chacun de cet plans de polarisatioa, i landrait poser A = 45*, d^où cot A = 1 , et la fonnule deriendrait
cotA' = «)•(•— r).
En Mppoaant que le rayon incident soit d^abord perpendicuUire à la surfet du corps, et qu*il 8*incline toujours daTantage, <— r ira en angoMatnit. cos(<— r) en diminuant, et A' en augmentant. La formule générale et h tornaàt relative au cas particulier de la lumière non polarisée ont été douK^ d'abord par M. Brewster comme résultats de Texpérience ; il se servait <r« prisme disposé de numière que le rayon transmis rencontrait perpendindsiie' ment la seconde surface : alors le rayon émergent avait le même plan de plarisation que le rayon réfracté.
Si le rayon sortait dans Tair par une surface parallèle à la pieniière,ci désignant par A" l'asimut du plan de pdarisation du rayon émergent , ete^ servant que
co8(i — r) = cos(f— <),
il viendrait col A* = cotA'cos(<— r) =: ootAcos* (î«— >r) ;
et, pour les deux plans de polarisation de la lumière naturelle ,
cot A" = cos* (i — r),
If. Brewster a vériûé ces deux formules par un grand nombre d'observalisBft.
Si va faisceau de lumière naturelle traversait successivement une série à plaques parallèles , Tasimnt des plans de polarisation du dernier rayon émergent serait donné par la formule
cotAW =z cos* (i — r).
< — r étaut une quantité ^ que 90*, A(") s'approche toujours davantage ée l'angle droit à mesure que n augmente , mais sans jamais lui être égal. Mw quand la différence est très-petite , les deux plans partiels de polarisalisa coinrident sensiblement , et la lumière réfractée parait complètement polarisée dans un plan perpendiculaire au plan de réfraction. Par exemple , M. Biewsler a trouvé que la lumière était complètement polarisée par des pUes de 8 , î^ et 47 plaques de verre, sous des incidences de 78* 52' pour la première, de 61* pour la seconde et de 43* 34' pour la troirième; la formule donne pour les asimuts des plans de polarisation des rayons émergents 88* W, 89* 38' et 88* 27'.
1611. Pour résumer tout ce que nous venons de dire sur la polarisatioo par réflexion et par réfraction , conservons les notations précédentes , dcsignou» par r et r' les quantités de lumière du rayon réfléchi polarisées dan» k>
plan d'incideuce et dans un plan perpendiculaire , par t et t' les quantités analogues pour le rayon réfracté , et posons
a = sin (• — r) : sin (i-f- ») et 6 ï= taug (i — r) : laiig (i-f-r) ,
nous aurons
r = a*cos«A, r'==6«sin«A, R = rH-r', K = r— r',
tang A' = 1/ — = laiig A cos (i -h r) : cos (•'— r) ; / = (1— a^cos-A, ('= (1 — 6ysin«A, T = «4-^', K = /'— ^
et taug A} = \ Y = taug A : cos(i — r).
1618. Polarisation des anneaux colorés formés par les lames minces. M. Arago a reconnu dans la luiuière des anneaux colorés plusieurs phénomènes , dont un surtout est fort remarquable , et qui s'eipliquent a^ec une grande facilité dans le système des ondulations. Voici en quoi ils consistent : lorsqu^on observe les anneaux réfléchis à travers un prisme biréfringent achromatique, placé de manière que sa section priucipale soit parallèle ou perpendiculaire au plan de rénexion, sous Tincideucc perpendiculaire, ou aperçoit deux images de même intensité : par conséquent , la lumière des anneaux n'est pas polarisée ; mais , si l'inclinaison augmente , une des deux images s'affaiblit , disparait sous Tangle de polarisation complète du verre , et réparait au delà avec due intensité croissante à mesure que les rayons réfléchis s'inclinent davantage. L'image qui éprouve ces variations est Tiniage extraordinaire quand la section principale du prisme est parallèle au plan de réflexion ; c'est l'image ordinaire dans le cas contraire. Dans toutes les inclinaisons du rayon incident, les teintes des deux images sont les mêmes; elles ne dilÏÏTcnt que par l'intensité. Ainsi la lumière des anneaux colorés est eu partie polarisée dans le plan d'incidence , et la quantité de lumière polarisée augmente jusqu'à ce que l'angle de réflexion soit celui de la polarisation complète sur le verre , et diminue au delà.
Les mêmes phénomènes se développent lorsque les anneaux se forment entre une lentille et un miroir métallique , mais avec cette différence caractéristique , que rimoge qui reparait au delà de l'incidence de 35®, présente des teintes complémentaires de celle qui n'a pas disparu.
Lorsqu'on observe avec un prisme biréfrigent les anneaux transmis à travers un système de deux lentilles éclairées par une large feuille de papier, en arrêtant par un écran les rayons qui pourraient produire des anneaux par réflexion , on aperçoit deux images qui éprouvent , par les changements d'inclinaison , les mêmes variations que les anneaux réfléchis : par conséquent , la lumière est polarisée de la même manière. Le prisme biréfringent n*agit que sur la lumière même des anneaux , car un objet placé sur le papier donne toujours deux images de même intensité.
Si Ton observe directement les anneaux réfléchis fonnés entre un verre et un pribine biréfringent , le verre étant placé en dessus , les anneaux ne diffèrent
