O.OO
Double ré fraction .
1015. La théorie de la double réfraction est enUèremcnt au génie de Fresne]^ elle est certainement une des plus remar^l blés que possède la science , et, par sa généralité qui embna tous les phénomènes qui étaient connus lorsqu'elle a été créer d ceux qui ont été découverts depuis y et par les nouvelles propriéîa de rétber qu'elle a fait connatirc. Les limites dans lesquels nous sommes obligé de nous renfermer ne nous permettent ^ d'entrer dans tous les détails qui seraient nécessaires pour r4ntdigence complète de cette belle théorie^ nous essayerons seulenifiiti de donner une idée nette des principes sur lesquels elle repose, H des résultâtes auxquels clic conduit.
1614. Dans le système des ondulations, la vitesse de pruinsgalion des ondes dépend nécessairement de Télasticité de 1 éllrr dans le milieu que traverse la lumière^ or, la vitesse de prupa;:âtion n'étant pas la même dans les cristaux suivant toutes lesdinrlions, on a été conduit à admettre que dans ces corps rélasticitcik réther n*est pas la même dans tous les sens.
161 S. Considérons un cristal à un axe comme un milieu éb>tiquc dans lequel la force accélératrice qui résulte du déplaceianl d'une file de molécules perpendiculaires à Taxe, relativement a«v rangées conliguCs, est la même tout autour de Taxe , tandis que ie^ déplacements parallèles à l'axe j)roduisent des forces accélératrices d'une intensité différente, plus forte si le cristal est répulsif, et plus faible s'il est attractif. Le caractère distinclif des rayons qui éprouvent la réfraction ordinaire étant de se propager avec la même vitesse suivant toutes les directions, il faudra admettre que li'> mouvements oscillatoires s'exécutent perpendiculairement au plan mené par ces rayons et Taxe du cristal : car alors les déplacemeiiis qu'ils occasionnent, seffectuanl toujours suivant des directions perpendiculaires à l'axe, développeront toujours la même force accélératrice. Mais, d'après le sens quon attache à l'expression plan de polarisation ,]e ^\an dont nous venons de parler est précisément le plan de polarisation des rayons ordinaires. Ainsi , dans un faisceau polarisé, le mouvement oscillatoire s'exécute perpendiculairement à ce qu'on appelle plan de polarisation.
Les oscillations des rayons ordinaires étant perpendiculaires an plan mené par l'axe, celles d(^s rayons extraordinaires seront i*ci-
STSTftMR DES ONOriATIONS. DOUBLE RÉFRAriION. 045
allèles à ce plan, et, bien entendu, toujours perpendiculaires
lUx rayons. On voit alors qu'à mesure qu'ils changeront d'in-
rlinaison relativement à l'axe, la direction du mouvement os-
illatoire en changera aussi : il sera parallèle à Taxe quand les
ij*ayons lui seront perpendiculaires, et perpendiculaire à Taxe
i^]uand les rayons lui seront parallèles; ainsi, dans ce dernier cas,
B^a vitesse de propagation des rayons extraordinaires sera la même
j|ne celle des rayons ordinaires. Mais pour toutes les autres direc-
iiions, les petits dérangements des ûlesde molécules ne s'exécutant
^plus perpendiculairement à L'axe, les forces accélératrices qui en
^'ésultent, et par suite la vitesse de propagation, ne peuvent plus
^^Ire les mêmes. Cette différence augmente progressivement jusqu'à
ce que le mouvement oscillatoire soit parallèle à Taxe ; c'est alors
qu'elle atteint son maximum.
^ Considérons ce cas particulier pour simplifier les idées, et sup-
. posons qu'on expose perpendiculairement au rayon incident une
^plaque cristallisée parallèle à l'axe, en sorte que les rayons qui la
- traversent soient perpendiculaires à ce dernier; supposons, en outre^
que le faisceau incident soit polarisé suivant un plan déterminé,
. faisant un angle t avec la section principale du cristal : ses oscilla-
* lions seront perpendiculaires à ce plan. Cela posé, on peut, en ' raison du principe de la composition et de la décomposition des f petits mouvements, concevoir chacune des vitesses d'oscillation
* des ondes incidentes décomposée en deux autres, l'une perpendi- ^ culaire et l'autre parallèle à la section principale : les premières
* composantes produiront les ondes ordinaires , et les autres celles ' qui éprouvent la réfraction extraordinaire. Or, si l'on prend pour ' unité le facteur commun qui multiplie toutes les vitesses d'oscilla- ' fion des diverses couches de Tonde qui entre dans le cristal, cos î '• sera le facteur commun des premières composantes ou leur in- ' tensilé de vitesse absolue, et sint celle des autres composantes, ^ et les intensités des rayons ordinaires et extraordinaires seront ' entre elles comme cos*i est à sin*t .• explication bien simple f de la loi de Malus. Les oscillations de ces deux systèmes d'on- I des, étant rectangulaires, s'exécuteront dans le cristal d'une ' manière indépendante; et, en raison de la différence d'énergie des
forces accélératrices qui résultent des petits déplacements des molécules du milieu , parallèlement ou perpendiculairement à Taxe, les deux systèmes d'ondes se propageront avec des vitesses difTérentes, et la dislance entre leurs points correspondants deviendra
LmiËBE.
d'nntonl pins considérable qn'ils aaront travei tipni^seur do cristal.
Si c'est de la lumière naturelle (jn'on fail tomber sur V^ pourra appliquer an\ divers systèmes d'ondes polarisa se composp ce que nous venons de dire pour dd seol ; divisera de la même mani^^e en ondes ordinaires et odJi dinoires, dont les intensités seront en général différa comme, en raison de la multitude des cliances, il doit , en somme aulunl de lumière polarisée suivant un plan l que suivant le plan perpendiculaire , les rayons ordjna traordinaires auront la même intensité. Ces considérsb quent tes phénomènes, en supposant la décora post lion do en deux faisceaux polarisés ù angle droit; mais oa g pourquoi cette décomposition a lieu. L'explicralion des H que présentent les cristaux à deux axes a conduit Fr( considéralions beaucoup plus générales qui font vmrlal décomposition des mouvements, et qui conduisent à la d^ de la surface des ondes dans tous les cas qui peuvent se I I f) I B. Quand on déplace une molécule dons un ipilia la résultante des forces qui tendent à la faoïençr à fl [wsition n'est pas généralement parallèle à la direcs laquelle elle a été déplacée. Il faut, pour cela, que les] des forces qui poussent cette molécule de droite et de ■{ chaque azimut ajent la même intensité. Cette eircopi t;énéralement lieu que dans trois directions reclaagql portent le nom d'axes d'élasticité. Si nous supposons qi d'élasticité conservent la même direction dans toute Yi milieu , ce qui aura lieu toutes les fois que les moléà disposées entre elles de lu même manière, comme daqi cristallisés, en prenant sur chacun des trois axes , et dan directions possibles, des longueurs proporlionnelles al carrées dos élasticités dans ces directions , on fprmera t connue sous le nom de turfacf d'HaitkiU, dopl Içs ri^j^ représenteront les vitesses de propagation des mouvem lèlesà leurs directions.
Fresncl a démontré que la. surface d'élasliçi(é él^it n en coordonnées polaires par j'équation
V = o' ™s' X + 6' cot' Y +■ e» cw* ■ . I d*. ft', e* étant les élasticités mises en jea par les *>
SYSTÈME DES OXDULATïONS. DOl'BLE RÉFRACTION. C47
parallèles aux axes des x, des y et des z, de manière que les vites^gs de propagation correspoudantes, qui sont proportionnelle^ aux racines carrées d<3s élasticités, se trouvent représenté^ par a,b, ç. Dans cçtte équation j Y pe représente pas la valeur totale de la réaction, mais seulement sa composante dans la direction du rayon vecteur; de sorte que la résultante totale se compose de V et d'une autre force perpendiculaire au rayoo vecteur, v&n^Ie de grandeur et 4e positiop,
1617. Appliquons ces idées à la lun^ière. AdfPPttons qu'elle se transmette à travers un corps par les vibrations de Téther internioléculaire , et que, dans un même corps cristallisé, l'élasticité de rétlier pe soit pas la n)$me dans tontes les directions. Désignons par les lignes rectangulaires OX, 0Y| QZ (flg. 928), les trois axes d'élasticité; q, b, c seront les vitesses avec Ijçsquellfs les petits mouvements parallèles ^ OX, QV et OZ se propageraiep) perpendiculairefpopt ayx directioi^^ 4q ce^ axes ; et supposons que a soit plus grapd que b, et que b soit plps grand que c, de sorte que ^ soit Taxe moyen d'élasticité. Considérons une opde plane passant par le point 0, et dont toutes les molécules se meuvent simultanément dans une certaine directioi) ; ladirecliop du mouvement propagé dépendra à la fois de la position du pl^n de l'onde et de la direction du mouvement dans Tonde. Si le plan de l'onde coïncide avec le plan YOZ , et que les mouvements de Tétber dans l'onde soient parallèles à Taxe OY, les p)ouvement^ sq propageront parallèlement à OX avec une vitesse b, eu conservapt leur direction, Si les mouvenients étaient parallèles à OZ , le même effet aurait lieu, mais la vitesse de transmission serait* <?• Il résulte de là qu'une onde plane perpendiculaire à un des trois axes d'élasticité, et polarisée parallèlement ou perpendiculairement à un des autres axes, se propage sans se diviser et en conservant son plan de polarisation.
1GI8. Supposons maintenant que le plan de Tonde, passant toujours par le point 0 , ait une direction quelconque, ainsi que les mouvements oscillatoires de Tétber. Comme la réactiop , suivant la direction du mouvement, sera toujours accompagnée d'une autre force perpendiculaire, d'une intensité et d'une direction variable, il s'ensuit que la direction du mouvement de Tétber ne se propagera pas parallèlement, et qu'il sera constamment détourné de sa direction par la force perturbatrice, et qu'il en résultera un mouvemiwt qu'il sérail assez difficile de suivre. Mais Fresnel a démontré que, pour chaque position du plan de Tonde , il y a deux direc-
648 LmiÈIIK.
lions du mouvement de Féther pour Icf^iaelles les moQVfiBnl| élémentaires se propagent parallèlement : celles da plus gcniet du plus petit rayon vecteur de la surfeoe d'élasticité renfermés ém\ le plan de l'onde. Dans ces deux circonstances , la foroe pertvli-| trice, perpendiculaire au rayon vecteur de la sarftioe d'âtstidlé. devient normale au plan de Tonde , et se trouve sans inflocan al la transmission des vibrations. Si les mouvements primitibii' valent point les directions dont nous venons de parler, la fm \ perturbatrice les y amènerait immédiatement. Les deox w/Mn-l ments élémentaires se propageront avec des vitesses représnilw 1 par les longueurs des rayons vecteurs dont lisent la directkn^ft.' comme ils sont en général inégaux , l'intervalle qni sépare dm pdnts correspondants sera d'autant plus grand qu'ils auront pvcouru une plus grande épaisseur du cristal. Les deux systèvs d'ondes produites se séparent d'aUleurs par l'inclinaison des svfaces des ondes qui les propagent : car les normales forment^ant la perpendiculaire à la surfttoe d'incidence , des angles dont te sinus sont dans le rapport direct des vitesses de prcqMigation is ondes 9 comme nous l'avons vu en parlant de la réfraetim.
Ainsi 9 un foisceau de lumière naturelle on polarisée se dirâa toijoura en deux faisceaux polarisés dans deux plans reetaagilairesy parallèles chacun à un des axes de la section de la sorte d'élasUdté.
1619. En discutant l'équation de la surfiaoe d'élastictlé, m trouve qu'elle peut tom'oure être coupée par deux plans diamétnn suivant deux cercles; ces plans passent par Taxe moyen, et soil symétriquement placés par rapport aux deux autres. En supposât que b soit l'axe moyen, les tangentes des angles de ces plans avce celui des axes s et c ont pour valeur
Les ondes parallèles à ces plans ne pourront alore avoir qn'one série vitesse de propagation , et les mouvements élémentaires, quelle que soit leur direction , ne pourront éprouver aucune déviation. Par conséquent y les rayons qui pénétreront dans le corps, perpendicalairement à ces plans diamétraux, n'éprouveront ni double réfractioD ni déviation dans leurs plans de polarisation : ces directions sont alors celles des axes optiques des cristaux à deox axes. Ainsi les
SYSTÈME DES ONDULATIONS. DOUBLE It INTERACTION. 640
axes optiques sont situés dans le plan des axes de plus grande et de plus petite élasticité , et également inclinés sur leurs directions. Quand deux des trois axes d'élasticité sont égaux , les sections circulaires se confondent et deviennent perpendiculaires au troisième axe; alors les deux axes optiques se réduisent à un seul.
D'après cela, les axes optiques des cristaux sont les directions dans lesquelles des faisceaux de rayons parallèles ou des ondes planes se propagent sans éprouver ni division ni changement dans leurs plans de polarisation.
Il est bien important de remarquer qu'il est question d'un large faisceau de lumière correspondant à une onde plane, et non pas d'un rayon de lumière correspondant à un élément d'onde, caries phénomènes qui se produisent dans les deux cas sont souvent trèsdifférenls. En effet , lorsqu'une onde plane se propage en conservant sa direction , la direction de propagation du mouvement est toujours perpendiculaire à la direction de l'onde, attendu que les actions exercées parles molécules d'éther d'une onde, sur celles qui sont au delà , sont toujours symétriques de part et d'autre du plan mené par la direction du mouvement perpendiculairement au plan de l'onde. Mais il n'en est plus ainsi quand il ne s'agit que d'un élément d'onde, d'un rayon : la propagation peut avoir lieu suivant des directions plus ou moins inclinées au plan de l'élément.
Nous allons voir d'ailleurs de nombreuses confirmations de la distinction que nous venons d'établir.
1620. Les quantités a > b, c, représentant les vitesses de propagation de la lumière perpendiculairement aux trois axes d'élasticité, sont en raison inverse des indices qu'on obtiendrait en taillant dans un cristal trois prismes dont les arêtes de chacun seraient parallèles à un des axes , et observant dans un plan perpendiculaire aux arêtes l'indice du rayon qui suit la loi de Descartes; il y en a toujours un qui satisfait à cette condition : car la lumière incidente devra se diviser en deux faisceaux polarisés , l'un parallèlement, Tautre perpendiculairement aux arêtes parallèles du prisme; mais dans ce dernier, les mouvements vibratoires étant parallèles à un des axes, la vitesse de transmission devient indépendante de l'angle d'incidence, et, par conséquent, la loi de Descartes subsiste.
Dans un grand nombre de cas, les phénomènes de coloration décrits au n" 1499 permettent facilement de déterminer la position des axes optiques, et par suite celle des axes d'élasticité. M. Rudberg a fait ces expériences pour la topaze incolore' et laragonito, en
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I HSI . SxmtiqoR» imwnleMPl cofDiœnt les mcfn^es de» «pis lfMmk\m pourront être ^termin^. CowiîdérQiw p» Mtcm fc myont Mrallèlfi ii Vin^t ojk Topde PI v^^p i I4 wrfKc ID f nn mfliea miftUllifié (flg. M8 A) : le ngqp U p^DèlfilÎT^f|'4lMr K «oceeMîveiiient Uni» les autres , et tous parpoqntipt d« direct tfams pemllèles. Suppofops que Q wt lu posilkn 4q g^ vement apporté pfir le jt^yo^ U épris Vffpité de tempe : si ^PpMons que IR repr49en)e la vitesse 4e la lumîèfe dap^ |e fftmier milieu , çn pri^piint l« point 9 4e maiH^ gnè ^ «? BI,le moqvemrnt qpi éteif «q point P, qimi^ ce|oi qui é^jt ep I n p^nM dfos le cristal , sera eq S quao4 }e Bremier est in^Yé ça Q, ^ ostà qpi était en T est arrivé ep up PQipt X tel que U)^ ; IQ : ; SP : TC. Ainsi les points S , X et Q fK>nt en ligue drpite ; 4ouo , tom |^ mouvements qui existaient dfip^ inonde P( se trouvent après Vanité de temps sur la ligne SQ; et, comme il eu sera de luéme de toys les plans de rayons, parallèles à le figure \ qne pour V^f k» poii^t^i oprrespondants à § serqpt sur upe ligue S^S' tracée sur la SlirfiEioe dn cristal per|>endiculaire ^u plai^ 4*inQi4ence 9 il ^epsuit que les plans drs ondes transmises après yvif^iè de temps p^çseut par )k li^e S'S" , et sont perpendiculaires au plan d'incidence. Alors , pour déterminer leurs direclions, il faudra par le point I et dans le plan
SYSTÈME DES ONDULATIONS. DOUBLE RÉFRACTION. 6Si
B d*incidence ( fig. 9:28 B ) tracer deux cercles ay$uit poiir niyQn$ » l'un
t le plus grand, Vautre le plus petit rayon vecteiir ^ la gurface
* d'élasticité, renfermas dans le plan de Tonde incidej&t§) prendre
IR =^ 1 , IS = 1 : sint^ et par le poipt S mener les t$i)^Pfites aux
cercles : les plans élevés par ces lignes pprpendicpl^r^ep^ au
I plan d*incidence seront les plans cherchés.
Les deux plans de polarisation seront évidemment perpendiculaires aux axes de la section diamétrale de la 3ecllon 4e )ç^ sqrface d'élasticité. Frcsnel a démontré que chacun ^e ces plans divise en deux parties égales les angles dièdres formée par les ^e^x plans menés suivant la normale à Tonde, e( les deux normales f^^X plans des sections circulaires de la surface d'élasticité.
1 622. Surface des ondes. Si Ton conçoit une onde plapç passant par le poipt Q (fig. 928), dans laquelle les mouvements se prqpagent parallèlement, après le temps t elle atteindra une cer(aipe position} et si Ton conçoit que des ondes planes, ayant toutes les directions possibles autour du point 0? partent sinmltanément, ^près le temps t elles seront toutes tangentes à une certaine surffice, qui sera la surface de Tonde provenant du rayonnement du point 0 dans toutes les directions. Tresnel a tronvé , pour la surface de Tonde, Téquation suivante :
(x* 4- y»-l- «•) (a*x* 4- b^y* 4- c*2*) — (6* 4- c") a'j?' — (o* 4- c*) 6*î/« — (a* 4- b*) r»«» 4- o*bV» = 0. . . . (o).
Cette équation représente la surface de Tonde, en suppo^nt, comme nous Tavons dit, que le point d'incidence soit éhraplé simultanément dans toutes les directions ^ c'est ce qu pn f'éaliscrait, du moins en grande partie, en plaçant ce point au foyer principal d'une lentille éclairée par des rayons parallèles. Toutes les fois que la lumière provient d'un corps ayant un diamètre apparent sensible, la surface d^ Tonde, plus ou moins lipiitée dans son éten()ne, appartient toujours à la surface représentée par l'équation (a), à cause de Tiniluence mutuelle des rayons voisins. Ce n'est que dans le cas de rayons exactement parallèles que la surface de Tonde est plane et tangente à cette surface. Il résulte de Ift que les rayons élémentaires se propagent autrement qne les pn4cs planes ; car, pour les premiers, le mogvement de translation est généralement oblique aux. plans des ondes élémentaires, puisque les plans tangents de la surface générale ne sont pas perpendiculaires aqx rayons vecteurs qui passent par les points de contact. L'équation [a] permet faci-
653 LITMIÊRE.
lement de déterminer , dans tous les cas , les plans des ondes gq ks rayons après la réfraction.
1623. Supposons qoe les valeurs de a,b,e, qui représenleot les vitesses de propagation parallèlement aux trois axes d'élasticité, soient connues en nombres pour les différents rayons colorés, n prenant pour unité la vitesse de propagation de la lumière dans le vide; qu'on construise la surface représentée par l'équation (a) y n prenant une certaine longueur pour représenter l'unité de vitesse,€l pour centre un point de la surfiîce du cristal biréfringent. Lorsqa ob connaîtra la direction du plan de Tonde incidente , il sera focile de déterminer celle de Tonde réfractée \ il suffira , pour cela , de meoer à la surhce générale de Tonde un plan tangent par une ligne de la surface d'incidence, déterminée comme nous Tavons dit précédeiBment, ou comme dans la construction d'Huyghens, ce plan sert celui de Tonde cberchée. S'il s*agit d*un rayon incident isolé, qd obtiendra la direction du rayon réfracté enjoignant le point de tangenoe avec le point d'incidence. L'équation (a) étant du quatnènv degré, on peut, en général, par une droite extérieure , mener quabe plans tangents à la surface qu'elle représente; mais il est fadie de voir que deux d'entre eux iraient la toucher au-dessus de la surbce d'incidence, et sont étrangers à la question.
Quant aux directions des plans de polarisation , on les obtient en projetant le rayon vecteur de Tonde sur le plan tangent à son extrémité, le plan projetant est le plan de polarisation du rayon : car k direction des mouvements de Téther restant tocgours la même, la déviation du rayon n'a pu avoir lieu que perpendiculairement à ces mouvements, et, par conséquent , le plan perpendiculaire à Télément de Tonde passant par le rayon est perpendiculaire aux mouvements élémentaires.
1624. Fresnel a démontré que, dans les cristaux à deux axes, les vitesses V et V des rayons qui traversent le cristal dans une direction commune, faisant avec les deux axes optiques des angles; A et A', sont liées par l'équation
Il faut bien remarquer que, dans toutes les formules précédentes, h est Taxe moyen d'élasticité , et, par conséquent , que, si Ton supposait a «= ^ , il s'ensuivrait nécessairement que les trois axes seraient égaux ; et que cesdeniières formules sont relatives aux
rayons qui suivent la même direction , et non pas aux deux rayons conjuj^ués qui proviennent d'un môme rayon incident, excepté quand il s'agit des cristaux à un axe, attendu qu'alors, une des nappes de la surface de Tonde devenant sphérique, les formules sont applicables aux rayons ordinaire et extraordinaire qui s'accompagnent. Cependant, comme les deux rayons conjugués sort très-peu écartés, et que la courbure des nappes varie peu, en général , ces formules peuvent èlre appliquées aux rayons qui s'accompagnent.
La formule {b) a été donnée par M. Biot et M. Brewster, comme résultat de l'expérience, longtemps avant que Fresnel ait fait connaître la théorie générale de la double réfraction j mais 1 : V* et 1 : V" élaient remplacés par V* et V", parce que , dans le systènie de l'émission alors adopté , la vitesse de la lumière est la vitesse renversée dans le système des ondulations ; en outre, la formule était relative aux vitesses des deux rayons conjugués.
1625. Discussion de V équation de la surface de Vonde. Supposons que deux des trois axes d'élasticité deviennent égaux, par exemple que c = b, la formule (a) devient
qui se décompose en deux autres :
iC*-|-//'-f-3» — 6" = 0. et a^x*-\-b*y*-hb*x^ — an* = 0.
La première représente une sphère dont le rayon est 6, la seconde un ellipsoïde de révolution dont le rayon deTéquateur est b; aei b
étant les vitesses des rayons extraordinaire et ordinaire, - et -
sont les indices correspondants : on retrouve ainsi la construction d'Huygbens donnée au n' 14W.
1626. Revenons maintenant au cas général dans lequel les vitesses a, b, c sont toutes différentes, et déterminons les sections de la surface d'élasticité par les trois plans coordonnés : on trouve
x= 0 , (y« -h 3« — a*) (6* !/• 4- c**' — b*v*) = 0 ; ^ = 0, (»«-|-a;« — b»)(c*a*-f-a*aî*— a«c«) = 0; 3 = 0, (j;*4-î/* — c*)(a*aj*-f-6»y*— ai6») = 0.
Ainsi, les traces sont composées d'un cercle et d'une ellipse; d'après l'hypothèse admise pour les valeurs relatives de a, b et e, les fig. l'Eu, 730, 731 représentent les trois intersections de la surface par les plans YZ, XZ et XV.
I>aiis la première et la troisième , une des ooaii>es esl exténeore h l'autre y dans la deuxième elles se coupent aux points a, b, c, i; et il est facile de voir, d après ce que nous avons dit précédenuDeot, que les lignes qui joignent ces points d'intersection difièrent da axes optiques.
Considérons d*abord le cas où le rayon incident est perpendiolaire à la surface du cristal , ses axes ayant une position qneloooqv par rapport à sa surface. Pour obtenir les directions des nyoM transmis 9 il fioiudra construire la surface de Tonde et lui mener n plan langent parallèle à la surface du cristal. Il est &cile de w que y quand les axes d'élasticité seront parallèles on perpeodicilaires ft là surface d*incidence, il y aura totyoors deux plans taih gents ; tnais les points de tangence seront toi^ours situés sar b normale à la surface du cristal au point d*incidence : ainsi lo rayons transmis suivront la même direction , mais avec des viteses diflérentes. Dans le cas où le rayon incident serait compléteoMBt polarisé dans un plan perpendiculaire à un des axes , il est ésikot que rintensité de Tun des deux rayons transmis deviendrait ïï&\ alors il n*y aurait qu'un seul rayon réfracté dont le plan de polihsalion serait le même que celui du rayon incident. Si , aii lieu dm rayon très-délié y on avait une onde plane incidente , les ondes réfractées resteraient évidemment parallèles.
Mais , si la surface du cristal n est perpendiculaire à aucun de^ trois axes, il y aura toujours deux plans tangents distincts, et, par conséquent , le rayon incident se divisera en deux autres, qoi suivront des roules diiïôrentes et plus ou moins écartées de la normale.
1627. En cherchant les directions dans lesquelles les deui vitesses deviennent égales, on trouve que ces directions coïncideot avec les diagonales qui joignent deux à deux les quatre points d'intersection du cercle et de l'ellipse dans la section de la surface de l'onde par le plan perpendiculaire à Taxe moyen (Og. 930). Ces lignes diffèrent des normales aux sections circulaires de la surface d'élasticité, c'est-à-dire avec les axes optiques pour les ondes plaiics ] mais ils en sont très-voisins : la tangente de Tangle qu'ils forment avec Taxe de plus grande élasticité est
1688. En discutant l'équation de la surface des ondes, M. Ha-
inilton a reconnu que, dans les deux directions où les deux plans tangents se réduisaient ft un seul , les points de tangence étaient en nombre infini ^ et distribués suivant une petite courbe fermée, sensiblement circulaire : les plans tfai Jotiissënt de cette propriété passent par les tangentes cotnitiunes ati cettle et à Tellipse résultant de l'intersection de la surfdcc par uii plâti perpendictitaire h Taxe moyen, et sont perpendiculaires à ce plan; ces qtlatrë tangentes communes sont patallèles dèdx ft deux , et perpendiculaires aux axes optiques (nortnàles aux ^cctiotls cir^tilaires de la surface d'élsksticité). 11 résulte de là que, stuh cHstal était taillé parallèlement à dctix de ces pldhs t&ngents cothmtnls, et s*tl te^^ëvait un rayon incident norital, le rayon réfracté serait déletifaiîné par le point de contact avec la surface de Tonde d*iln plan tangèiit parallèle à la surface d'entrée; mais, comme alors il y aurait une infinité de points de contact, le rayon réfracté formerait un cdne creux , et ces rayons , à Témergence, devant reprendre la direction primitive, devraient former un cylindre creux ayant un diamètre constant. Cette conséquence si remarquable de la théorie de Fresbel a été vérifiée par M. Lloyd.
Avant d'exposer les détails dés expériences , remarquons d'abord qu'il n*est pas nécessaire qàé le cristal soit taillé comme noiis l'avons indiqué; il sufflt que le rayon traverse le cristal dans la direction d'un des axes optiques, car alors le plan tangent qui déterminera sd position dans la surface de l'onde devra être tangent aux deux nappes. M. Lloyd a employé un cristal d'aragonite, taillé perpendiculairement h la ligne moyenne; la lumière partait d'une lampe placée à distance , et, pour réduire autant que possible la largeur du faisceau, il le faisait passer à travers deux petites ouvertures , l'une pratiquée dans un écran pjjicé près de la flamme, la seconde dans une plaque mince de métal placée sur la première face du cristal. Dans les circonstances ordinaires, en observant avec une lentille, on voyait deux images; mais, en faisaUt varier progressivement l'incidence , les deux images se confondaient, et on apercevait un anneau brillant. M. Lloyd, en employant de la lumière solaire, s*est assuré que sob diamètre ne chàiigeait pas avec la distance.
1629. M. Matnilton a encore remarqué dans la stirface de l'onde une circonstance fort importafite : les intersections du cercle et de lellipse (fig. 930) sont des ombilics , c'éâf-à-dire qii'ëii ces points la surfoce ala Mme d'Un cAiie évase, et, par cbnséquenti
n5H LUMIÈRE.
qu'il y a mu* infiiiiU; de plans tangents qui passent par OEr> ;• i Il réKulle i\v là qu'un faisceau incident formant on o!4k: rr |K)urra(i(Hincr un seul rayon réfracté dirige sui\ant sa ligne •<: liiMilc ; len plans d'incidence de ces rayons seront perpendKnûLaux intersections des plans tangents a l'ombilic avec U mî^ d'incidence, et tes distances de ces lignes au poinl d'iùàia.' repréMMileroiil 1 : sin i, i étant l'angle d'incidence; et, nédpnMpnienti le rayon réfracté émergera en un cône creux, car il doit ^^ diN|M)m^ de la niénie manière relativement aux deux surfaces. P>>-' vérifier cette conséquence de la théorie, M. Lloyd a placé une btille à court foyer à m dislance focale de la première surface dri^ pla(|ue d'aragonitc, de manière que la partie centrale du faivr»: Kc réfracte sensihlemenl suivant la ligne ombilicale; une pbii«. inincedo métal , percée d'un petit orifice , fut placée sur la suri»= tlucriKla! voisine de lœil. Lorsque l'ajustement était exact. 4. voyait tin cercle lumineux avec un petit espace obscur au ceDlreti dans cet espace (entrai obscur, deux points brillants sép^'^ par une lij;ne étroite et bien définie ; quand Touverture de la plaq^ était légèrement déplacée , le phénomène changeait rapidemen-. l'anneau hianc se réduisait à une petite fraction de sou étendue, b opérant avec des rayons solaires, on reconnut que la sectiouôt c(^no émergent augmentait avec la distance.
I.a llg. lOii représente l'appareil construit par M. Soleil peur \éri(ler le dernier fait dont nous venons de parler : a est une leDliiîe fixée au centre d'un écran qu'on éclaire avec la lumière des nues ou la flamme d une lampe placée à une grande distance; au ro\or de la lentille se trouve une i>laque d'aragonilc dont les faces sont perpendiculaires à un des axes; elle est appuyée sur une plaque mince percée d'un très-petit trou; elle peut tourner dans sonpi<A et autour d'une ligne verticale; au delà et dans l'axe du faisceau % trouve im oculaire à deux \ erres. L'anneau lumineux sapercoil très-dislinclen.ent , et, quand on l'observe avec un prisme de Mcol. on y remarque une solution de continuité qui tourne avec k prisme, parce que les rayons de l'anneau sont polarisés dans de; plans qui passent par son centre. Mais il faut beaucoup de tâton nements ptuir anïcner la plaque dans la position convenable, attendu (luelle n'est jamais tailKn? suivant des plans exactement perpendiculaires i\ Taxe.
I U50. 11 résulte de ce qui précède, que dans les cristaux à deu: axes il n'existe aucune direction du rayon incident qui ne donnf
SYSTÈME DES ONDUL. COLOliATiON UE LA LUMiEBE POLAR. 657
K qu'un seul rayon transmis : car, pour qu'il en fût ainsi , il faudrait 3 que les deux nappes de la surface des ondes fussent tangentes à ^ certains points ^ afin que par ces points on pût leur mener un plan j. tangent commun, et cette circonstance n'existe pas; il n'y a que ^ le cas où y la surface étant parallèle à deux des axes d'élasticité, le rayon incident est normal et polarisé dans un plan passant par un des axes , que le rayon traverse le cristal sans déviation ni division.
Ainsi les axes optiques, définis comme nous l'avons fait pour les ondes planes , ne jouissent plus des mêmes propriétés pour des rayons isolés. Quelques physiciens regardent les lignes ombilicales comme les véritables axes obliques, qu'ils définissent par la propriété d'être parcourus avec la même vitesse par des rayons polarisés dans une direction quelconque.
Au reste, ces deux systèmes de lignes diffèrent très-peu dans les cristaux connus : car les tangentes des angles qu'ils forment avec l'axe déplus grande élasticité sont dans le rapport de e:a; or, dans la topaze c : a =: 0,9939, et, dans la chaux sulfatée anhydre, l'un des cristaux à deux axes , dont la double réfraction est la plus énergique, cia^: 0,9725.
Coloration de la lumière polarisée par les lames minces cristallisées.
1651. Ce phénomène, que nous avons décrit avec beaucoup de détails [1396] , a été expliqué par Frcsuel avec une admirable précision. Avant d'entrer dans les détails de cette explication, nous donnerons un aperçu des principes sur lesquels elle repose.
1652. Considérons un faisceau de lumière polarisée, traversant perpendiculairement une plaque cristallisée d'une épaisseur convenable , que nous supposerons d'abord à un axe : le faisceau se divisera en deux parties, l'une traversera le cristal avec la vitesse ordinaire, l'autre avec la vitesse extraordinaire, et les ondes planes réfractées resteront parallèles à l'onde incidente. Ces deux systèmes d'ondes parallèles étaient d'accord à leur entrée dans la lame, puisqu'ils proviennent de la division d'un même système d'ondes ; mais , à cause de l'inégalité de vitesse, ils ne seront plus d'accord à la sortie, de sorte qu'en reprenant dans l'air la même longueur d'ondulation, celui qui a marché le plus vite se trouvera en avance sur l'autre d'une certaine quantité. Alors, si les ondes pouvaient interférer, l'intensité du système d'ondes résultant varierait avec
658 LIJNIÈRB.
Tavance d*uii des deux systèmes sur l*aDtre^ et, OMnaie la difléraice de marche doit élre estimée en fonction de la longueur d'ondubtion dans Tair, les rayons de différentes teintes éprouveraient d« variations d'intensité qui ne seraient point proportionnelles , et, par conséquent, la lumière serait colorée* Mais les deux syslèmei d'ondes sont polarisés dans deux plans rectangulaires, et rinterfe^ rence ne peut rien changer, car alors, quelle que soit la différence de marche , Tintensilé de Tonde résultante est égale a la somme te intensités des ondes composantes. Mais si les deux iiaisceaux émergents sont ramenés à un même plan de polarisati<Mi , ils pourront interférer, les couleurs se développeront , et le calcul conduit su circonstances les plus minutieuses de Tobservation.
tB5S. Soient PP' (fîg. 93 a) le plan primitif de polarisation, 00' U section principale du cristal , i' Kangle qn^elle forme arec le plan PP', SS'k •ection priacipale du rhomboïde , t IVuiglc qu'elle forme arec le plan primtif. A U longueur d'ondulation, et F l'iatenulé de la Titesse des rooléenlet de Yéén dans leurs oscillations. D'après la loi de Mains , les faisceaux polarisé* mit- Tant CO et CE auront pour intensité
eosi'F«, et siniF^.
Les petites lettres o et e placées au bas de F ne changent rien à la Talenr 4e cette quantité : elles indiquent seulement la longueur des chemins parcourue au nicuic ÎJislaut |)ar les rayons ordinaires et extraordinaires , après quûf $oot
sortis de la lame crintallii^éc , et déterminent ainsi , par leur difTérence o e.
riutcrvallc qui sépare les points correspondants des deui systèmes d'oudc».
Chacun de ces faisceaux se divise en deux autres en traversant le rltoui^ boîde , et il en résidte les quatre faisceaux dont les valeurs sont
cosf C4H (#— ») V\^o' Il tt>»« «« (• — *) F^ ^ ,.
sin^ «in (< — *) F, ^ „' | «n ♦ ^^ (» — 0 ^e : ••
Les deux premiers forment Timagc ordinaire , et les deux derniers l'inis^c extraordinaire. Mais les deux derniers faisceaux doivent nécessairement avoir des vitesses de signes contraires , indépendamment de la différence des chemins pareonrus : car, à l'inspection seule de la ligure , on voit que les fiionvemenls •sciilatoirei perpendiculaires à CO et à CE donneront lien à de petits monve* ments perpendiculaires àCS, qui seront dirigés dans le même sens, tandis
Îue ces mêmes mouvements donneront luiissance a des mouvements perpeaiculaircs à CT, qui seront dirigés en sens contraire; et il est facile de ^oir que rimage dont l'intensité dépend non-seulement de la différence des chemins parconrns , mais encore a'tme différence d*une demi-ondulation dans les denv foîfioeaux ooniAituants , est ceUe dont les deux faitcesnix ont eu des pions de palarÎBatioB ipû se sont toiyours écartés on rapprochés jusqn'à ce qu'ils se •oie^t confondus ; et que Vima^e dans UqaeUe Tintensilé tie résuke qne des
SYSTÈME DES ONDUL. COUMUTIOII DE LA LUMIÈRE POLAB. 65t
diSérencM de cbeniM efl celle dont leeiaieeawr eoaftîtatiite oof ev det pkae ^0 pelartselioB ^t est éptewfé raceesn^eneBl deu BHMteflWBto craCndref «▼anl de se waikmàit.
Les ntessee d'oseillatiott dans rînnge esIreerdiiMdre sont tler»
F C08 1 sin (ï — *) , et — F sin t cos (i — *).
En apptitpiaiit ici ta formoïe générale (1569]
A* = a«4-a^4-2iMi'ceaa» [^J ,
dans laquelle a et a' représentent les vitesses d*08GinatîoB des deux sytlAmet d'ondes , c la différence des chemins parcourus , et A la longoeitr d^ondulation^ on trouve , pour Hntensité de la lumière homogène dans limage extraordî* naire , en supprimant le facteur F , qn'on peut prendre pour unité ,
cos'i sin* (i — *)+sin*i cos*(i — «)— 2 sin i cos i sin (?—«) cos (î— «) cos 2» f T ,
on
[sin i cos (f-*)rco8 ( sin («-*)?+ 2 nn i cos t sin (t-*) cos (i-«) [ ^ "" •**• ^* { "7" I [»
ou enfi» 8i«*y-f-sin2^ 8in2(i— ^jfin^jrf -^^|.... («).
En faisant un calcul semhiable sur les deux faisceaux constituant Fûnage ordinaire, et olnervant qne les vitesses de* deux tayoos sont dirigées dians le même sens , on trouve peur l'intensité de celte image
cos* s — sin 2 1 sin 2 (i — *) sin^ ml l.... (6)»
Telles sont les formules générales qui donnent Tintensité de chaque rayon homogène dtae ftes imèges evdmairo ef estraordinncre, en foncHon dé la longueur d'ondulation et dé ht^dMérence des ehemms o*«e. pareoums par lés rayons qui ont traversé^ lé- ktme cristallisée , esfînée em fongueur d'ondulétion. Quand on coimailr» Képeàseurde la lune et les viltesse» êks rayons ordinaire et extraordhiaire , if sera facie de détemnher o — «. Comme , dans la pfis' part des cristaux qui pesièdent la* (fetihle réfraction*, o- — e n'épronve que êë très-légères variations ev raison de la dSfférenee de teinte des rayons Inminetix, on poarra regarder ettte quantité eenone eonstanfe ; alors , si , après avoir calculé sa valeur, os lé: dWise snecessivenient par les longueurs d'ondulation des sept principales confenrs^, lés furmnlea fa) et (9) donneront les intensités do la hiniière dans le» dem images.
1 654. IV résulte de ees^ formules pIMéunr conséquences remarquabres.
P. Les intensités ëK deux images sont complémentaires , car Ifcnr somme est égalée Tunité , intensité dû rayon incident; d'où 0 suit que, si la lumière iiictdeute était blanche , lé Hev oà les images se superposeraient serait blanc , parée «fue les intensités des images dé différentes teintés se trouveraient exac-
teuicut dans les mêmes rapports que dans la lumière inGidente. La perte <k lumière par la réflexion ù la première et à la seconde surface du cristal napporterait aucune modification : car les rayons resteraient toojoars dans ks mêmes proportions relatives , puisque la lumière blanche n*est pas colorée par la réflexion ou la rcfraclion à travers les lames à faces parallèles dont oobs nous occupons.
2®. Les images deyiendront évidenmient blanches quand le second tenue sera nul : on a, par conséquent, pour cette circonstance , la condition
sin2i8in2(i — y) = 0,
qui peut être satisfaite , iodépendomment de s, par sin2ff =: 0 , d^où i :=:0, i=:.90'>; et par 8in2(i — 5) = 0, d'où 2i — 25 = 0, 2» --2*= ±180». et 5 = t, 5 = 00*^-f-<> Ainsi les images sont toujours blanches quand la section principale de la lame mince est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation , et , lorsque t étant quelconque, elle est parallèle ou perpendiculaire à la section principale du rhomboïde : c'est ce qui est d'ailleur érident , car alors les images ordinaire et extraordinaire ne renferment chacune qu^nn seul rayon qui a traversé ordinairement ou extraordinairement h lame mince. Mais , dans le premier cas , une des deux images disparaît pour « =: 0 ou 9 = 90®, tandis que dans le second les deux images sont ioujoun visibles.
3®. Le maximum d'éclat des deux images a lieu quand le coeflficient du {second terme est le plus grand possible ; quand t est constant et quelconque , ce maximum a lieu pour les valeurs de s qui donnent
2i — 2« = 90», ou 25 — 2i = 90®, 2* — 2i = 270»; d'où s = t 4- 45«, s = i-{- i3o«.
Mais le plus grand maximum d'éclat aura lieu quand sin 2t siu2 (i — s) ht^ égal à Tunité ;cc qui arrivera quand
I = t5<», et 5 = 0, ou 5 = 90«.
4°. Dans la lumière blanche , et quand t est constant , la teinte de chaque image reste constante pour une même épaisseur du même cristal , dans l'intervalle angulaire correspondant à deux images blanches. En effet , Tinteositë de chaque image élémentaire est composée de deux parties : Tune est constante , quelle que soit la couleur du rayon , et par conséquent donnera de la lumière blanche; l'autre varie avec la nature des rayons. Mais, le facteur variable étant indépendant de i et de 5 , les rayons de diiïérentes couleurs seront toujours entre eux dans les mêmes rapports : par conséquent, la teinte résultante sera toujours la même , seulement l'intensité variera avec le facteur 8in2tsin2(i — s). Cela suppose cependant que le terme variable est positif; s'il était négatif, la teinte totale se composerait d'une certaine quantité de lumière blanche et de la teinte complémentaire à celle qui résulte du terme négatif : car, dans ce cas , le premier terme est toujours plus grand que le second , attendu que l'intensité de la lumière ne peut pas être négative , et qu'il existera toujours assez de lumière blanche pour pro<luire la teinte cumplémrutairc à celle qui résulte du deuxième ternie. C'est ce qu'où i)cut
