RÉFLEXION. 3SS

fléchie comme les pouvoirs éclairante des plaques n etm, o'est-à-dlre en raison inverse des carrésdes distances de la bougie à ces plaques. La mélhode la plus simple ^ applicable à tous les cas, consisterait dans la disposition photométrique de Bouguer [1232] , en se servant de deux bougies donnant des flammes de même intensité, dont la lumière do Tune n^arriverait au corps opaque qu'après s'être réfléchie. La fig. 726 représente la disposition de l'appareil : Cy C sont les deux bougies , AB l'écran sur lequel se projettent les ombres du corps opaque O, MN le corps réflecteur, mn et pq des écrans : il est évident que les intensités des rayons directs et réfléchis seront entre elles comme les carrés des chemins parcourus par ces rayons, depuis les points C et C jusqu^aux ombres qu'ils éclairent.

La réflexion de la lumière a non-seulement lieu quand un rayon passe de Tair dans un corps solide ou liquide , opaque ou diaphane, mais généralement toutes les fois qu'un rayon de lumière passe d'un corps dans un autre , quel que soit l'état de chacun d'eux.

11146. Disposition des rayons réfléchis sur une surface plane. Soit MN (Gg. 7S7 ; une surface plane, O un point lumineux , OA un rayon incident ; pour avoir la direction du rayon réfléchi , abaissons du point 0 une perpendiculaire OX , que nous prolongerons d'une quantité \0' égale à XO; si nous menons O'A , je dis que AB, prolongement de O'A, sera le rayon réfléchi : en effet, langle a est égal à l'angle b, et ce dernier est égal à l'angle e. La même construction étant applicable à tous les autres rayons incidents, il en résulte que tous les rayons réfléchis , étant prolongés au-dessous de MN , vont passer par un point situé derrière le miroir, sur la perpendiculaire abaissée du point lumineux, et à la même distance du miroir que le point lumineux. Il est facile de voir que, si les rayons incidents étnicnl convergents, les rayons réfléchis passeraient par un point symétrique, par rapport au miroir, au point de réunion des rayons incidents prolongés : il sufGt, pour s'en convaincre , de supposer dans la Gg. 727 que les rayons réfléchis sont incidents, et réciproquement.

1247. Disposition des rayons réfléchis sur un miroir sphérique. Soit MN (lig. 7i>9; un miroir sphérique, 0 son centre; supposons d'abord que les rayons partent d'un point situé à l'inGni, c'est-à-dire qu'ils soient parallèles. En coupant le miroir par des plans méridiens parallèles aux rayons, et traçant dans chacun d'eux des rayons incidents très- voisins, ainsi que les rayons réflé-

chis correspondants, ces derniers se couperont deux à deux; el, en les supposant consécutifs , la série des points d'intersection formera une courbe XFY, à laquelle tous les rayons réfléchis seront tangents. Cette courbe étant la même dans tous les plans méridiens y il en résulte que les rayons réfléchis consécutifs se coupent deux à deux sur une surface de révolution autour du rayon de la sphère parallèle à la direction des rayons lumineux, et dont la génératrice est XFY : cette surface s'appelle caustique. Chaque point de la caustique, recevant au moins deux rayons lumineux, est plus brillant que l'espace environnant. Les rayons réfléchis sur les différents points d'un cercle quelconque situé dans un plan perpendiculaire à l'axe, passant tous par un point de l'axe, une partie de cette ligne sera aussi plus lumineuse que les autres points de Tespace; mais la lumière sera principalement accumulée au sommet de la caustique, qui se trouve dans la partie brillante de l'axe. Le sommet de la caustique porte le nom de foyer. On dit ordinairement que le foyer est le point où passent tous les rayons réOéchis; cette définition n'est point exacte : car il n'y a que les rayons réOéchis sur les points du miroir qui sont inQniment voisins de l'axe, qui passent réellement par le foyer; mais , quand le miroir n a qu'une petite étendue, relativement à la sphère à laquelle il appartient, on peut admettre, sans erreur sensible, que le foyer e^t le point de concentration de tous les rayons réfléchis. On peut facilement reconnaître la forme de la caustique, en mettant devant un miroir concave exposé aux rayons solaires , un carton blanc dans la direction de l'axe de la caustique : on aperçoit très-nettement la section de cette surface.

1248. Les caustiques produites pni* In réilcxiou des miroirs spliériques uo soDt qu'un cas particulier d'une loi beaucoup plus générale , et qui |)eut sVnoncer ainsi : Iors(|u'une surface de forme quelconque réfléchit ré^lièreluent des rayons émanés d'un |)oiut , on peut toujours tracer sur cette surface deux systèmes de lignes courbes se coupant à angle droit , dont chacune jouit de la propriété que tous les rayons consécutifs qui se réfléchissent sur ses différents points se coupent deux à deux, et forment une surface développable. Les arêtes de rebroussement des surfaces qui s'appuient sur les courbes appartenant à un même système , étant continues , forment également une surface continue. Les points où se coupi'ut ces deux dernières surfaces, qu'on désigne sous le nom de caustiques , sont les foyers. Dans le cas de la sphère, un des systèmes de courbes est formé par les méridiens , l'autre est formé de cercles dont les centi-es sont sur Taxe optique ; les surfaces développables du premier système sont planes , et ont pour arêtes de rebroussement des courbes

CAUTIQUES PAR RÉFLEXION. 357

syinctriqnes par rapport à Taxe ; les surfaces déTeloppables da socond système sont des cônes ayant leur sommet sur Taxe : les deux surfaces caustiques sont donc une surfisice de révolution autour de Taxe , et Taxe lui-même ; leur intersection se réduit à un point qui est le sommet de la caustique , et le foyer se réduit aussi à un seul point. Les deux systèmes de courbes rectangulaires sur losqucUes s^appuient les surfaces développables coïncident avec les lignes de courbure dans le cas où la surface est sphérique ; mais dans tous les autres cas ils en diflêrent.

Il est très-facile de construire graphiquement les courbes génératrices des caustiques formées par les rayons réfléchis sur des miroirs de révolution , puisque cette courbe doit être tangente à tous les rayons réfléchis ; mais pour les miroirs sphériques on peut employer avec plus d'avantage la méthode suivante , qui est duc à Petit.

Soient PA et PB (fig. 73o) deux rayons lumineux consécutifs émanés du point P ; P' rintersection des rayons réfléchis correspondants ; P' sera un point de la courbe génératrice de la surface de révolution ; représentons par t et r les accroissements de Tangle d'incidence et de Tangle de réflexion , quand le point d*încidence passe du point 0 au point I. L'angle d'incidence POR a pour mesure | AH , et l'angle d'incidence PIS a pour mesure J BD : ainsi

i = J AH— iBD = A(AB-hDH).

L'angle de réflexion FOH a pour mesure |FH; Tangle de réflexion GID a pour mesure | GD : ainsi on aura

r = iFH — iGD = J(FG — DH);

mais f comme t == r, il vient

AB4-DH = FG — DH, ou AB — FG = — 2DH.... (a).

Désignons par p la distance variable du point lumineux au point d'incidence , par p' la distance également variable de ce point d'incidence au point correspondant de la surface caustique , et par 4a la longueur IB ou IG : nous torons sensiblement

AB = OLil±J?. etFG = OLiî:=:^'; P P

dors Téquation (a) devient

ou r— = — 2; d'où-, = -.

Si le point p était placé dans l'intérieur, il faudrait changer le signe de p , et U formule deviendrait

SS8 LITMIÊBE.

Si leywthwifiiAétMtà HiâM, m wnil r=as.et il

A Ttiêt àt ces feraiaks la covrbe est trè»-bc3e à cstliuke.

Dêms le cas oà le point Iiindiieiix est placé à FmfiH . la cimrtiyae est vae éptcydoide engendrée par on cerde dont le ratxw est le ^nart ém raven da ■ûroir. et qni se ment sor on cercle dont !•? rayon e<t nii?«tiê.

En effet . soit ABC (%. 730 A) le niroîr ; dn point O. ctosBe cevtre. de^ cnrons nn cerde arec nn rayon é^ à la noitÂé de cdni dn ■nrar; par aa point ^nelconqoe I aaenons k ravon incident K . le rayon reA^in IL . h li*ne 10 . et décrivons nn cercle snr Ir CMame diaBoètre : on mmn In = | K = n : car, si dn (wint a on abaisse une perpenJîcnhire an rayon mâàtwA, cette perpenificnlaire passera par le point r. et on anra In = dO ^ «/*= | K : par consé^nent le point h sera nn point de la caBçtitfne. fl ne reste pins alpn ^*â faire ¥«ir fne Tare Fc a la atee lun^neni ^œ Tare le on «r : or c'est ce ^ est très-acîle : car. Taa^ 6k étant êsal à l'an^ c^X. rare Kr rmfcffâe dru foê pins de depés <pe Tare Fc: et . cnaanK k ifeinâii est décrit «ver nn rayon donble . 1 s^ensnii fne ces arcs sont ésanx M. «J^rrr '.

Lorsque le point Inmineiix est placé i une distance finie, les njiMisifflécfeîssool rncofe disposés de la inénenMB»e ig. m ; mais la position da foyer varie, sott en aranl . socl en ariMii di mîrotr : dans ce dernier eas, ce sont senlemesl les proàngements des rayons (foi se coapent , ei on dit a]*>rs qoe le foyer est rirtmel,

1149. Les positions reladTes du point himineax • du foyer ei du Btroir étant très4mportantes i eonnailre, nons allons les devhre iescasfH ptmurt se pnénenicr; Maâs avant nd» qn*en vertn de la ki qne sait la rtit^itn, à le nyan eii retournai snÊranl la néne Section . il se réAectefaît svrani la ligne dlnadence : par conséipKnt. le point lamineia et le foyer sont réciprofoesy e'cs4-À-dife <|ne. si le fl^er devenait tnmiaefn. le point UBnînenx devieninit ie foyer: e est poor cette raèon que ces dem pimts s appellent A^erv cvn/nfiMs.

Sopposons d âbi'jri qœ le point lumineux sott sitaé i l'infirt Iti^'^s :s«îtAl«nrsvqniBcident«H'ltnv«?nreAécÉÉ.ODrjAe

opCàfae. c>rtnâ-din! > ny>Hi dtf la splière parallèitf dox rayiws lamiiKVX : ^ Tom mimt le nf on Oft^ u est évâient qne l'uwie b est êeil à 1 43£:e «.- et. comme ce dernier est esil i I utre r. îe Ifiu^ IFO est Mtêie. et BF est e^ à FO. qnei i«àe ami W point Bl Or. qisuid B est înânmieBt ^obui de D. F est ii? foyer; mais aiijrs la jffiK tesee BFO est e^aie i DO : par coo:seqiient. le l^y^r est an mifien dn rayon» Otes le csts qp» nos» conrsafetons. îe foyer

RÉFUKIOii. 3se

porte le nom de fayet» prinêigal t aîasi^ le Ibyer prineipal est situé au milieu du rayon.

Supposons maintenant ^e le point lainineux s'avanpe de Tinfini vers le miroir, le foyer s'avancera vers le ç^ptre ^X y arriver^ Pft méipe (emps que le point lumipeiix, I^ poiqt lomineip^ conMnuAPt son mouvement vers le miroir, le foyer s'éloignera du centre, et sera à rinfîni lorsque le point lumineux sera au foyer principal. Le point lumineux dépassant le foyer principal, le foyer conjugué passera derrière le poiroir» Pftr conséquent il ne sera formé que par le {mtos* longement dès rayons et sera virtuel. Lorsque le point lumineux arrivera contre le miroir, le foyer se confondra avec lui. Si on suppose que le point lumineux continue à se mouvoir derrière le miroir, celvû-ci devient convexe; le foyer repasse du cété concave, ne le quitte plqs^ et s'avance vers le foyer principal à mesure que le point lumineux s'éloigne. Ainsi les piiroirs convexes n ont jamais de foyers réels, et les miroirs concaves sont dans le même cas , quand le point lumineux est à une distance du miroir plus petite que la moitié du rayon.

On peut obtenir d'une manière très-ï-simple les distances relatives des {byers conjugués au miroir dans une position quelconque du point lumineux. En effet, soit MN (%. :33) un miroir concave sphcrique, 0 son centre, F le |)oini luoÛHeux , pm un rayon incident , mF' le rayon réfléchi : le rayon Om divisant langlc FmF' en deux parties égales, on aura la proportion fm : FfH :: F'O :F0. Or, lorsque le point' m est inHuiment voisin du point D, F'm et Fr/i se confondent avec P'D et FI) : par conséquent , en désignant ces dernières quantités par p' et p , et le rayon de la sphère par 2r, la proportion précédente deviendra

j/: p :: 2r — p': p-2r; d'oùp'{p — 2r) = p(2r -pQ, pp' — 2rp' = 2rp — pp'; pp'— rp' = rp ;

et , en divisant par ppV, il vient

(a) l-f-i,^!, d'oùp'=r^.2-.

En discutant cette dernière formule , on trouverait pour ^ les valeurs que nous avons indiquées précédemment.

Si dans cette formule on changeait le signe de p seulement, elle devicn(}rait relative au cas où les rayons qui rencontrent le miroir sont convergents au lieu d'être divergents : c'est ce qui arriverait si les rayons avaient déjà été rendus convergents par un antre miroir avant de rencontrer celui dont il s'agit. Daof ce CfM 1a formule deviendrait

-, — = - ; d ou p' —

^éM» M4rtdvr.ii^ • vsb* dmi! jiiiiif «fiui iiiiiiiii iB^ . j« £■ dbuignBl dans la ^mh4U /«liiiO^* Ma auruvY cuMcwiS iitkmi m agat «le • et easaiie celui 4U ^ ^fW 0^'iii4f^ M iakiur |iiiiiitr«t: m» 1 âai « —iiiiirtfBc le foyer est

hn p'^ «VMf Uvmt«r ief fmaidei è» imn pv «k laire méthode, <{n*0 ^•4 1^ 4^ «^MMHiM#«'. Os » «alrfc !*« wâ» et k iç . 7I4 les rebtioos sni-

fiHtU'9 •

«flfiM^tMNf i|M« r r= I, et rrtnndwt It wciwiér «^hIîm de h première, il vient

Kf'm — AFi» = 2 e.

l!f*« ftMKlf* /''iNfil lrf'ii-|»eiiU, 00 peot ooMidcitr les ifts CMune se coofoodint H«M- li'MM (f(MK''Ml«*ii , et rcgirder Km tommit — e petite ligne droite perpeofllfUlnl^H hVi)\ l'Hiiiation {irécédeate donne alors

Am Km 2Am ! I 1

('(•H InittldlM iiiNiiMil n|iplirabloi à des miroirs dont la surface serait eiip>ii-

lUtHl \\\ iKMhmoo AkmiIo principale d*un miroir sphérique, l'iMlil \^\\s\\\^ >\ \\\ \\\\\\W\\\\ t\\yA\ « peut servir à déterminer le rayon tl;< t Kinhtn* \\ \\\\ \\\\\\\\\\ I.V|H^raUon est très-simple pour les mi- IKlI'i iMMmu^^ • Il \\\\\\ U^ ov|HUier au soleil, chercher avecuQ |r m lit itiM \v \^\\\\\\ \^^ \\\\\w$K^ ost lo plus vive, et mesurer ladi- ' h((! '■■ lit \ ^ |M«lMl ^w \\\\\\\\K imrAUMtnuent à la direction des rayons ■ "ImII! ' V\m \v^ \\\\\\^\^ vHmxovcs vlîg. 754 A), il faut coller une liMicli ill \\s\\\\v\ ^\\\ \\^ mU>^r» > i^rtiUquerdeux petits trous, net 6, t : ! ,Mli MU \\\\ \Ms\\\ \k<\ slvHtv K^w^^ réfléchis, et fiodre varier la il h((* ' >l I \^\\*\\\ huv)H ;\ vv v|VH' U distaiK^ «ui des deux images Il 1 Mill^ \\v ** il \M v'NHMa v)u uKhts U U^nae «6 di\iseeDdeux l'MI II' ' ♦■'ii'\l\*^ l*s yiU^^vv sK^ tsSTi^tt au K>\er principal.

IIAM t \ H^^\u^^ Kv^ ^^wvux iviKvhis par on miroir ont on foyer ii •' \^\\ Uis> \V^u ( Nvx^v uuo ^làM^e du corps lomineux «{QeîoD ( > m| \^ \\^\\<. \k'a\»\\^ vu i^Uv^^iU uu v\»Aj^ opoique «i^n< le lîeii qn'dk "■ ' •»!•» -M » u uv.msUu^ a\^ U iK^uvNkV don^ V^ : cHIe image ' I l- U. u a« . u.,\r.u viv- l^^u.^ U\\ jMibU Oc rohjet luminen. Dans • l'iju. » i . i.uUi \0UH il wia lusàlc de v.vustruire cette image : il

REFRACTION. 344

une droite et déterminer le point de cette ligne où se trouve le foyer. Par exemple , soit ( Gg. 7S5) ÂB un objet situé en avant du centre , il est évident que son image sera renversée , et d'autant plus grande qu'il sera plus voisin du centre. Si Tobjct est placé entre le centre et le foyer principal^ l'image sera également renversée (fig. 736) -, mais, s'il était situé entre le foyer principal et le miroir, il n'y aurait pas d image y puisque les foyers seraient virtuels. Par la même raison, les miroirs plans et convexes ne forment point d'images dans l'espace. Ces images, quand elles existent, diffèrent de celles que Ton voit dans les miroirs , mais elles en diffèrent peu. Nous reviendrons sur cet objet après avoir parlé de la vision.

Réfraction,

i 252. Lorsqu'un rayon lumineux pénètre du vide dans un milieu diaphane, ou d'un milieu diaphane dans un autre, il est dévié (le sa direction et se rapproche ou s'éloigne de la normale à la surface , suivant que le second milieu est plus ou moins dense que le premier (fig. 757) : c'est cette déviation que l'on désigne sous le nom de réfraction. On peut la constater par l'observation suivante: si au fond d'un vase (fig. 738) on met un corps A, et que l'on se place en M de manière à voir le corps tangent au bord du vase, en y versant de l'eau le corps paraît élevé, et il faut que l'œil se place en N pour que le corps paraisse encore dans sa première position : cet effet provient évidemment de ce que le rayon AD s'incline en sortant de l'eau pour entrer dans l'air. C'est par la même raison qu'un bâton plongé en partie dans l'eau parait brisé.

On peut aussi reconnaître directement la déviation qu'éprouvent les rayons lumineux en passant d'un milieu dans un autre, en plaçant sur la route d'un rayon solaire qui pénètre dans une chambre obscure un vase formé par des plaques de verre parallèles et plein d'eau : en répandant dans ce liquide une poussière légère, on voit très-distinctement le rayon solaire dans l'air et dans l'eau , et la déviation qu'il éprouve en passant dans ce dernier milieu.

1255. Lois de la réfraction. On a constaté par l'expérience, l*" que le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un même plan perpendiculaire à la surface du corps réfringent; 2* que le sinus de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction sont dans un rapport constant. L'angle d'incidence est l'angle formé par le rayon incident avec la normale à la surface au point d'incidence, et Vangle de réfraction celui qui est formé par le rayon réfracté «ivec

id»l&lHB»re<laBil#iBifiraréfiiii9niletdfl» temffieaoï- • el à C9 n^Mt mnrene Isn^'cMi cmnidère la foiiiifre

Colle loi . V\am iks [riai inforfaotes de ToptâpK. a été ^coq- ^crte par Dassrtcs^oK awyai <i» ia méllnée avanie : imiraspde fBiie hÉiiiis|tani{a». pien 4**?aii. rKcmiîfc au centre de 1& aor&ce liyùÉB OD nyon lia ItBBÉèreéeaA la ilîrrf tion était comiiK : an limbe iBoÉiie doBl la oentre ooMMnlait xfm t^vivi de la spten* pomrait se monroir jutour de la vorticide paManI par ce c«itre : on cherdnit le poiiil d*êmerçem!e du rayon refirai:te . et «m mesnniit directement l'angie (|a II âùsait ùxcc la verticale, jinà «{oe la position da pian du limbe par taçpint an pilA «wilicai dli rayon UHâdAit.

ISÂC Aifto fiawHw !lwia aifWK dit qœ^ qnand an rayon passe énviiedanaanoorparafrmgntt r^ui^ d'incûfence est plus grand fae Tangle de refractkai, al qne la même eiioae a lien qnaiid le njom pw d'an airpa dana an antre plna réfringent ; récipruqa^ aunt^ÇHud on rayon saftd'an milien réfringent ponr entrer dans le ^deondana an oiilien nnâ» rêffingBBt. leraymi s'écarte delà Bonnaie. àinai il j a tBtqettra ponr c&aqœ corps ane inckienre laipirile le rayon ae peiÉt paa en sortir ponr pénétrer dans le on dana on aalre eorpa diaptiane moins réftingent^ car^ Paagle d'émeigence ;da sortie étant toi^oors pite grand cpie l'angle d'iMMt«iiia> il y a tagionis one mddence pins petite que 98^. poor laipidlerangied'éBBBigenaa est «rail: cette iiicnfence porte le nom

Sk ronnppoae ^k la rayon se présente ponr sortir sons on antfe phia grand qna Tangie limite^ la loi nest pins applicable. car alors on aamil ponr le sinna de Tangia d'émergenre one ^aleor fina grande qne Tonilé , ee qni est imponribie; et même la fiirmale ae pent paa iadiiiaer ce qai arrtire alors an rayon ; mas Texpérience montre qu'il se réfléeMi en lotafité dans Imtérievr dn milien en ftdaant on angle d'inckience égal i l'angle de réflexioD. Ain«,ensappo8anlqaanrByonCO:fig.TttA' se présratesnrla ieerNHk snrftM^e d*on milien £apliane ^ d'abord perpendicnlalreaient ^ et qoli s incline toujours daTantage sof la normale „ le rayon féhnttéf d'abofd dirigé sniTant le prolongement de la normale, «ineline pins qii le rayon incident; il coïncide atec OB quand le ^^ iaaidani aal IMgd atthranl EO, fidsant at«e OC tm angle

égal à Tangle limite) mais^ aussitôt que le rayon incident devient plus incliné 9 qu'il est dirigé suivant FO, par exemple , oe rayon est réfléchi suivant OF' incliné sur OB d'une quantité égale à Taiigle FOA 9 et à mesure que le rayon s'incline davantage sur AO , le rayon réfléchi s'incline aussi davantage sur OB f et tous deux finissent par être dirigés suivant AB. On voit d'aprèi cela qu'il n'y a pas continuité dans le passage de la réfraction à la réflexion intérieure.

Il résulte de là que ^ si un observateur était plongé dans l'eau , son œil étant en G ( fig. 759) ^ tous les rayons réfractés qui lui parviendraient seraient renfermés dans le cône droit ABO , dont l'angle COB est égal à l'angle limite^ tous les points de la surface du liquide situés autour du cercle AB ne pourront transmettre à l'œil aucun rayon venu de Textérieur^ mais ces points réfléchiront comme un miroir les rayons émanés des corps situés au fond de l'e^u.

Il est facile de calculer pour chaque substance le maximum de l'angle sous lequel ce phénomène doit avoir lieu, lorsqu'on connaît l'indice de réfraction d'un rayon lumineux qui passe du milieu environnant dans ce corps. En effet , ce maximum aura évidemment lieu quand l'angle d'émergence sera droit s or, en appelant o et 6' les angles d'incidence et de réfraction ^ et n l'indioede réfiraction , on aura sin9 »nsino'; quand le rayon sort du corps , 6 se trouve l'angle d'émergence, et à la limite d'émergence il est égal a 90% par conséquent sini «• 1^ et sine' — > ^ : ainsi l'angle limite a pour sinus l'unité divisée par l'indice de réfiraotion. Pour le verre et le vide , par exemple, n -» | , et a' -« *!• W 87" : ainsi tous les rayons qui se présenteront pour passer du verre dans le vide sous une plus grande incidence seront réfléchis dans Tintérieur du verre.

Nous venons de voir que , lorsqu'un rayon tend à sortir d'un milieu réfringent sous un ongle plus grand que l'angle limite, il se réfléchit ; nous ajouterons que dans ce cas , la réflexion est totale > et que les images ainsi produites sont beaucoup plus brillantes que celles qu'on obtient à la Surface extérieure des corps doués du plus grand pouvoir réflecteur, tels que le mercure ou les plaquea métalliques dont le poli est le plus parfait. C'est ce que l'on peut facilement vérifier en mettant de l'eau dans Un vase de verre (flg. 740) et plaçant l'œil en o .* la surfieice du liquide donne les images des objets qui sont au-dessous, comme ferait on miroir j mais leur ëelai tst beaucoup plus vif.

S44 LUMlitKC.

1155. On a troavé, par expérience, que, qund m appbqiie Fane contre l'antre deox lames à faces parallties , ayant des poniFOÎrs réfirîngentsâiflérents, les rayons incidents et émeigeBls sont paraDMes : car les objets qne Ton regarde à traders ces kows ne paraissent point déplacés de lenrs positions. Ce fiût nous inimit on moyen très-simple de déterminer Tindice de réfractioD pov on imyon Inmineox qui passe d'un milieu dans on antre, qoand od eomiatt les indices de réfraction de ces deox corps par rapport à l'air : en effet , en désignant par ai et a ks indices de réfradioB des

deox corps, nons aorons (fig. 74i )

ma = fliBna' = «isiAb, et m€^ z=z sm« = asôir z= rnsm^.

mb m

roà

ûmb' m'

Ain , loraqn*ui rayon hnninenx passe d'an corps dans na antrt?. Imdiee de réfraction est égal an rapport des indices de réfractioa dn denzième et du premier miliea par rapport àTair^ et, comme k ptraDélisme des rayons incidents et émergents s'obscrre égale- BMBt qoand ks deox lames sont placées dans k inde on dans on BHko qoelconqoe, il s'ensuit qoe, dans k passage de k lanière d'oa corps dans on antre, llndice est égal an rapport des indices dn second et da premier corps par rapport an inde on i ob même BHko qoelconqoe.

i 1 56. Lonqo'on rayon de lomâère passe doinde dans OB corps, cl en général d*on corps dMS on antre, indépcadammat de la déflation qoH épcoore par k kit de k réfraction ^ il se &pfrse rtaine élCBdoe angokire et se colore ; mais noos n'examipins laid ces phénomènes : dans ceqoi précède, kloi doit être consîdéTée comme étant rektiTC an ra^on qoî occoneone

it57. Di^miHom dtÊ rm^mu réfrme^ dmms mm milim iméâfmi ,

fÊCt ffloDf t. Loisqoe des rayons loniiiM ii dn fîde ^msoB nûlkn qofk<mqoe, on d on miken dans OB antre pins on moÉBréfringenl, les rayons léfraciés. ronsécnlife dMsde certaines dîicclMns, se conpent denx idenx, et les d mlcnrctHn fcnncnt denx snrkces plus briHanles qoe les de reipnce traicné par ks rayons : ces snrktes, à ccAes qoe fcnncnt ks rayons rclkcltts* portent anssî le r, Hks pants dmleiscctioB de ces snrfftces pork nom de /lyBpa. OndqncliB ce swt senknnettt ks

prolongements des rayons réfractés qui se rencontrent : alors les foyers sont virtuels.

Quand la surface est de révolution autour d'un axe passant par le point lumineux, les deux surfaces caustiques sont Taxe de révolution lui-même et une surface de révolution autour de cet axe. Ces caustiques pourraient se construire en traçant dans un même méridien un grand nombre de rayons réfractés et une courbe tangente à tous ces rayons ; on pourrait même, dans le cas où la surface est sphérique, obtenir une équation analogue à celle du n*" 1244 qui servirait à la tracer par points ; mais nous nous bornerons à la détermination du foyer pour le cas des surfaces sphériques,

1258. Soit n rindice de réfraction, P (fig. 74*] le point lumineux, C le centre de la surface réfringente , PM un rayon incident s'écartant trèspeu de Taxe PC, MP' le rayon réfracté; posons AC = r, AP =|>; AP'=|/, nous aurons entre les angles des triangles PMG et CMP' les relations suivantes :

CPM = CMN — MCA , CPOtf = MCA — CMP', et CMN = n.CMF; d'où Ton tire CPM 4- nCPOtf = (n — 1) MCA.

Ces angles étant très-petits peuvent être considérés comme ayant pour tangentes AM , sous les rayons PA , P'A et AC , et être remplacés par leurs tangentes : remplaçant donc ces angles par leurs tangentes, et divisant par AM, il vient

p i pf r

En faisant p infini , on aura -, = ;

pf r

p' est ici la distance focale principale; en la désignant par a, Véquation primitive devient

La formnle relative à une surface concave s'obtient en changeant dans cette équation les lignes de a et de p'; elle devient alors

En faisant r = 00 , il vient

équation des foyers conjugués relatifs à une surface plane.

Si le point lumineux était dans le milieu le plus réfringent, il fauclrait daps

Si6 LtmiÊRE.

tmit^s cet formules diànger p en p\ et réctproqoemeiit , ou considérer r comme étant Tindice du milieu le plus réfringent par rapport à raatre.

19tt0. DiifOfiHm éêi rmyanê kimineux à Uur «oriti cfim nttfièM Hfrwftmî, Urmimé par éM êurfoêti plana. SappoioAS d'abord qao te milieu soit terminé par deux faces parallèles A B et CD (Bg, Y4S\ chaque rayon en pénétrant par la surface AB éprouvera une déviation ; mais comme il se présentera pour sortir sur la stir- Am« CD sous un angle par&itement égal à Tangle de réfraction sur AB, puisque AB est parallèle à CD ^ il sortira nécessairement soas un angle égal à langle d^inddence sur AB : ainsi les rayons incidenU et les rayons émergents seront parallèles.

1 900. Supposons maintenant que les deux surfaces qui terminent le corps rélVingent soient deux surftices planes inclinées AB et A(« (flg. 7ii\ et considérons d*abord les rayons incidents situés dans tm plan perpendiculaire aux deux faces , c'est-à-dire dans la section principale du prisme. Le rayon incident a6^ en se réfractatU stiivant ^r, se rapproche de la perpendiculaire 6m, et par oonséquent sVUùgne du sommet A du prisme ^ et le rayon émergent f4j en s'éloignant de la normale em*, s*éloigne encore du sommet A : ainsi TeCTet d'un milieu réfringent angulaire est déloigner le rayon émergent du sommet de Fanglc. Il est facile de voir qu'il en serait de même si le rayon incident ak se trouvait au-dessus de la normale au point b ,fig. 745\

Si Ton suppose ^tlg. tm:' que la fiace AC du prisme tourne autour de l'arête qui passe par le point A , de manière à augmenter l'angle réft'ingent du prisme, Tincidence du rayon réfracté ak sur la face AC augmentera continuellement à mesure que Tangle A deviendra plus grand : il existera donc nécessairement une grandeur de cet angle , pour laquelle tous les rayons arrivés par AB y quelle que soit d'ailleurs leur incidence sur AB» se réfléchiront sur AG. L'angle du prisme cherché sera évidemment celui pour lequel un rayon incident Ba (flg. 747) émergerait suivant bC : car tout autre rayon incident donnerait un rayon réfracté qui rencontrerait AC sous un angle plus grand , et qui serait réfléchi intérietirement; et les rayons ne pourraient pas non pltis émerger après avoir subi plusieurs réflexions , parce que les rayons réfléchis s mclinent toujours davantage sur les surfaces du prisme , et par conséquent ne peuvent pas sortir. Or, dans ce cas , • = •', égale langle limite , puisque ces detix angles cofresqBondent à des angles d*incidenee et d'émergence

RÉli>ftA(2ttÔN. 347

droits; mais 2ô est le stipplémetit de l'angle D, et A est également le supplément de Tangle D : donc A = 26. Pour le verre ordinaire, n = 31 : 20, et 2$ =-83<» 37' 14".

Dans ce qui précède, nous avons supposé que le rayon réfracté était dirigé vers la base du prisme; mais, s'il était dirigé vers le sommet, il se redresserait à chaque réflexion et finirait par éme^ger. Pour savoir quand cette circonstance aura lieu, considérons le prisme ABC (Og. 748); au point a menons la normale DaE et la perpendiculaire ah sur AC ; il est évident que , pour qu'utl rayon entré par a se réfléchisse sur AC du côté du point A , il faut que le rayon réfracté soit dirigé au-dessus de ah, et par conséquent qu'il fasse avec a£ un angle plus grand que Tangle du prisme : ce qui n*est pas possible quand Tangle A est égal à Tauglc limite , et à pluâ forte raison quand il est égal au double de cet angle.

Si l'angle A (flg. 749) était seulement égal à e , tous les rayons incidents compris dans Tangle SaA seraient réfléchis sur la face AC ; mais tous ceux qui seraient renfermés dans l'angle SaB émergeraient par AC. En effet, le l'ayon incident Sa perpendiculaire à AB donnera un rayon réfracté ah, qui fera avec la normale à la face AC un angle égal à l'angle A, c'est^-à-dire égal à l'angle limite : alors le rayon émergent correspondant sera dirigé suivant 6C. Si maintenatit on suppose que le rayon s'incline vers le point A , les rayons réfractés correspondants feront avec la normale à AC des ntigles plus grands que o et seront réfléchis , tandis que , si on suppose que le rayon s'incline vers le point B , les rayons réfractés correspond onts feront avec la normale à AC des angles plus petits que 6 , et sortiront du prisme.

Il est facile de voir que, si Tangle A était compris entre 6 et 26, la réflexion sur AC commeticerait à partir d'un rayon incident oS', d*autant plus rapproché de aBque l'angle A s*approcherail davantage de %.

Si l'angle A était plus petit que ô , la réflexion sur AC s arrêterait au rayon Incident oS", qui serait d'autant plus rapproché de aA que l'angle A serait plus petit, et ce rayon ne coïnciderait avec aA que quand l'angle A serait nul. En effet, le rayon Aa se réfracte au point a , suivant une droite ac faisant avec ah un angle égal à l'angle limite 0 , et il se présente pour sortir en faisant avec la normale un angle m == ô + A : car, Tangle acC extérieur au triangle cah étant égal à la somme des deux àiigles ultérieurs opposés, on a

UtëMr4e

ÎÊfDt AC soBS im ai^

étU

Dans le triangle mdk on ar = 0 — a; et, comme 8ina;=.n8inr, il vient sino; = nsin(d — a) = n(8indcosa — sinacosd).... (1)

rnô = -, et cosd = -{/n* — i ; n n

ainsi , sin a; = cos a— sinaK n* — 1 .

mais sm

En faisant dans Téquation (i)a = d, a =2d, on trouTe x =z o, et x=. — n sin 0 = — 1 , ce que nous savions déjà.

Supposons maintenant que le rayon incident Im tourne autour du point m en se rapprochant de mBy le rayon émergent ^ d'abord dirigé suivant dC , se relèvera constamment^ et si par le point quelconque n on mène une ligne nE , formant avec la normale en ce point un angle égal à or ^ il est évident que toutes les lignes menées par le point n parallèles aux rayons émergents seront comprises dans Tangle CnE. Il suit de là^ qu'à mesure que le rayon incident se rapproche de mB^ le rayon émergent s'éloigne de nC : il y aura donc un rayon incident Lm dont le rayon émergent nP formera avec nC un angle PnC égal à LmB. On désigne sous le nom de déviation le plus petit des angles formés par les prolongements des rayons incidents et émergents. On voit d'après cela que les déviations des rayons incidents Im et Bm sont égales ^ car les rayons émergents correspondants sont nC et nE , et que de part et d'autre du rayon Lm, dont le rayon émergent sort sous un angle égal à l'angle d incidence, il existe toujours des rayons incidents ayant même déviation. En effet, considérons un rayon incident L'm situé au-dessus de Lm, le rayon émergent correspondant wP' sera placé au-dessous de nP ; menons un autre rayon incident L''m dont l'angle d'incidence soit égal à Tangle d'émergence du premier, il sera placé en dessous de Lm, le rayon émergent sera nP", et la déviation des deux rayons sera la même. Ainsi, de part et d'autre de Lm, les rayons ont deux à deux la même déviation } la déviation de part et d'autre de Lm varie donc dans le même sens : donc la déviation correspondante à Lm est un maximum ou un minimum. Pour reconnaître lequel des deux , il sufGt de voir si la déviation du rayon L'm très-voisin de Lm (fig. 752) est plus grande ou plus petite que celle de Lm. Pour cela, prolongeons les rayons Lm et Pw jusqu'à leur rencontre en k; 1) sera la déviation du rayon Lm ; et si par le point k on mène les droites kl' et kp' parallèles aux rayons L'm et P'n, en désignant par D' la déviation du rayon L'm, on aura D'= D -j- ô — a;

950 Lmtw*

et saivani qoc a sera > oa< que 6, I^ sem < oa > qiie D. Or a est le decroisseroent de l'angle d'incidence correspondant an décroiscément de Tanglé de réfraction nmn\ et 6 est l'accroissement de l'angle d'émergence correspondant i raccroissement de langle de réfraction de n* — n; mais cet angle est évidemment égal à l'angle nmn'. Ainsi les ang'es a et 6 sont les variations des angles d*indden(*e correspondants à des variations égales , et en sens contraire de l'angle de réfraction; mais on sait que les angles varient plus rapiflement que les sinus , et d'autant plus que les arcs sont plus grands. Par conséquent, si deux angles sont assujettis i avoir leurs sinus dans im rapport constant , le rapport du plus grand angle ao f)lus petit croîtra à mesure qu*un des arcs deviendra plus grand : donc raccroissement de langle d'incidence est plus grand que le décroisscmçnl pour la môme variation de Tangle de réfraction; donc ù est plus grand que a/ par suite, D' est plus grand que D, et la dtiviation correspondante à un angle d émergence égale à l'angle d*incidenco est un minimum.

On |>eut facilement vérifier par l'expérience les résultats précédents. 8i Ton dirige un rayon de lumière sur un prisme dont les ar<^l(*ri sont liorizimtales , et qu'on le fasse tourner autour d'un axe hfirixontal de manière à Caire varier les angles d'incidence, on voit, quiind on tourne In prisme dans un sens quelconque, mais toujours le MH^nio, I image changer de place, rester stationnaire et marcher cnsuiU^ en s«u)s c^mtraire; quand le sommet du prisme est en haut, l'image lïHt Ktalionnairc quand elle est au point le plus haut de sa luMirso , et c'est le (UHitraire quand le sommet est en bas. Lorsqu'on ringarde un objet à travers un prisme, les mêmes effets ont lieu; nmlN rinntge «lationnaire est au point le plus bas quand le sommet du prisme est en haut, et au point le plus haut quand le sommet du prisme est en bas , parce que , dans ce cas , les rayons émergents qui sont les plus nhaissi^s produisent l'image la plus élevée.

IttUcS. LentiiUi, On désigne sous le nom de lentilles des ntasKes d'un (U)r|m diaphane terminées par des portions de sphères. On en e^nuialt de deux espèces, les lentilles convergentes et les lenlilles fliv(*rgentes, ainsi désignées parce que les premières rapprochent loii rayons qui les ont traversées, et que les dernières les iMoignent. Les premières sont toiyours plus épaisses au centre qn(^ \erH les bords, les lentilles divergentes sont toujours au contraire plus minets au centre que vers les bords; la fig 755 présente luuti^s les formes de lentilles convergentes, et la fig. 75i toutes celles

LBVnUM. SKI

des lentilles divergentes. Il est fiu^îla ie^ reoQDiUlttre qa'dlleg joini» sent de la propriété que nous avons énoncée. En effet, les surfaces courbes qui terminent les lentilles peuvent être considérées comme formées d'une inflnité de petites surfaces planes , et les petites surfaces planes opposées comme appartenant à des prismes tronqués : or ces prismes ont leurs bases tournées sur Vede de la lentille lorsqu'elle est plus épaisse au centre qpe vers les bord39 ^^ vers les bords dans le cas contraire; mais nous avons vu que y quand un rayon luminew traversait un prisnie, le rayon émergent se rapprochait de la base : donc les lentilles fig. 785 font converger les rayons , et les lentilles fig. 75* les i]pndent divergents.

1864. Lorsqu'un système quelconque de rayons traverse une lentille, les rayons émergents consécutifs dans certaines directions se coupent deux à deux , et forment des surfaces caustiques comme les rayons réfléchis sur les miroirs sphériqueSy et les sommets de ces caustiques sont encore désignés sous le nom de foyers; mais, comme en général on n'emploie jamais que des lentilles dont lesftbces ne sont qu'une très-petite fraction des surfaces sphériques auxquelles elles appartiennent, on peut considérer tous les rayons qui les traversent comme se réunissant sensiblement au foyer.

1865. Détermination dês foyers âês lentilles. Supposons d*abard les

rkyoos incidents parnllèlcs entre eux et à Taxe de figure de la lentille ; soit XY (fig. 757) cet axe de figure, c^est-à-dîre la ligne qui passe par les centres C et C (les deux sphères qui la terminent ; et LM un rayon incident infiltîment voisin de l'axe : le rayon réfracté MN étant prolongé rencontrera Taxe en un point G , qui serait le foyer principal dans le cas où la substance de la lentille serait prolongée indéfittimeat au drià de la lurfiice d^incidence ; mais le rayon réfracté MN éprouve une nouvelle déviation , et le point P^ où le rayon émergent vient rencontrer Taxe , est le foyer principal de la lentille. En désignant par r et r' les rayons des deux sphères , on aura d'abord [1258]