COEFFICIENTS
Bois de sapin ....
Fer doux forge . . .
Flint-Glass
Or
Cuivre
Laiton
Acier trempe ....
Argent
Acier recuit ....
Plomb
243a. [Formules des dilatations. — Les lois de la dilatation conduisent à des formules d'un usage fréquent, et qui permettent de résoudre les problèmes suivants:
1° Etant donnée la longueur Lo d'un corps à 0°, calcider sa longueur Lt a t°.
Soit h le coefficient de dilatation linéaire de ce corps; l'allongement de l'unité de longueur pour t° sera t fois h ou ht, et la dilatation de Lo unités de longueur sera Lo ht; donc la longueur du corps h t° est Lo ■+■ ho ht ou, en mettant Lo en facteur commun, Lo (1 -+- ht).
Ainsi on a : Lt = Lo (1 ■+• ht) (1)
Le facteur (1 -f- ht) se désigne sous le nom de binôme de dilatation. Quand on connaît L0, Lt et t, on peut calculer lo coefficient h h l'aide de la formule précédente.
2° Etant donnée la longueur Lt d'un corps a t°, trouver la longueur Lo qu'il aurait à 0°.
De la foi-mule (1) nous tirons immédiatement
Cette formule permet de ramener la longueur d'un corps h zéro.
3° Etant donnée la longueur Lt d'un corps a t°, calculer la longueur Lt' qu'il aurait h t'°.
Nous avons la formule (1) :
Lt =L„(1+ ht)
et. de même :
Lt' = L„ (1 -+- ht').
474 CHALEUR
Sî nous éliminons Lo entro ces doux équations, eu divisant membre à membre la seconde par lu première, il vioni :
LV 1 -*■ ht' Lt 1 -+- ht
d'où: LV=Lt 1±£ (3)
Au lieu de cette formula exacte, on emploie fréquemment la formule approchée:
Lt' = Lt [1-1- h {f — t}] (4)
qu'on déduit de la formulo (3) en effectuant la division do (1 -4- ht') par (1 -t- ht), et en négligeant les termes qui renferment h à une puissance supérieure h l'unité.
Pour la dilatation cubique ou dilatation en volume , on obtient des formules tout h fait semblables aux précédentes; il suffit d'y remplacer le coefficient de dilatation linéaire par le coefficient de dilatation cubique]
Lorsque la dilatation est uniforme dans tous les sens, on peut calculer la dilatation cubique à l'aide do la dilatation linéaire et réciproquement. Considérons, en effet, un cube dont lo côté ait une longueur égale h 1, et dont lo coefficient de dilatation linéaire soit 7c. Elevons la température de ce corps de. 1°; il se dilatera dans toutes les directions. La longueur du côté deviendra 1 •+- k, et le volume du cube, qui était primitivement égal à 1 , sera actuellement ( 1 -+- h) 3-l + Sk -4- 3h2 -4- h3. Or l'allongement h étant toujours une fraction très-petite, le cube h3 et le carré h2 seront beaucoup plus petits et pourront être négligés en comparaison de 3 h. Le nouveau volume aura ainsi pour valeur suffisamment approchée 1 -h S h, par conséquent l'augmentation de l'unité de volume pour 1°, c'est-à-dire le coefficient de dilatation cubique est 3 h, quantité égale ait triple du coefficient de dilatation linéaire le.
243b. Dilatation des corps cristallisés. — Pour les cristaux, le coefficient de dilatation linéaire n'est le même dans toutes les directions que lorsqu'ils appartiennent au système régulier ou cubique. Les cristaux h un axe optique éprouvent dans le sens de l'axe principal un allongement tantôt supérieur, tantôt inférieur à la dilatation suivant les axes secondaires, selon que le cristal est positif ou négatif. Dans les cristaux à deux axes optiques, lesquels possèdent trois axes d'élasticité inégaux, la dilatation est différente pour chacun des axes. Mitscherlich a démontré l'inégalité de dilatation des cristaux dans différents sons, en mesurant leurs angles à dos températures différentes; car évidemment, si la dilatation linéaire n'est pas la même dans toutes les directions, la grandeur des angles doit aussi varier avec la température. Supposons, par exemple, que dans un rhomboèdre, l'axe principal s'allonge plus que les axes secondaires qui lui sont perpendiculaires, il est évident que les angles qui aboutissent aux extrémités de l'axe principal diminueront, et que les angles situés aux extrémités des axes secondaires aug~ menteront. Le contraire aura lieu, si la longueur des axes secondaires croît dans une proportion plus grande que celle de l'axe principal.
[243e. Thermomètre métallique de Breguet. — L'inégale dilatabilité des métaux a été mise à profit par Breguet pour construire un thermomètre d'une grande sensibilité. Cet instrument se compose d'un ruban métallique HH (Fig. 274) enroulé en hélice , suspendu verticalement par son extrémité supérieure à une potence SS, et portant à son extrémité inférieure une aiguille qui se meut sur un cadran horizontal divisé en degrés centigrades.
Le ruban métallique qui forme l'hélice est composé de trois lames de platine, d'or et d'argent superposées et soudées ensemble dans toute leur longueur. Le platine constitue la paroi extérieure de l'hélice; l'argent est à l'intérieur. Lots-
que que
a température s'élève, l'hélice se déroule puisque l'argenl se dilate plus
platine; l'effet inverse se produit quand la température baisse. L'aiguille suit les mouvements, de l'hélice et indique sur le cadran la température correspondante. Ce thermomètre se gradue par comparaison avec un thermomètre étalon à mercure. — L'or, qui possède une dilatation intermédiaire entre celles de l'argent et du platine , n'est là que pour empêcher les deux autres métaux de se séparer, ce qui pourrait arriver à cause de leur grande différence de dilatabilité.]
Pig. 274. - Thermomètre métallique de Breguet.
[243J. Contraction de quelques corps solides par la chaleur. — Nous avons vu que la chaleur dilate les corps. Il en est pourtant quelques-uns qui font exception à cette loi générale; le caoutchouc est de ce nombre. M. Joule a découvert que cette substance diminue de volume en s'échauffant. L'iodure de plomb se trouve dans le même cas. Cette propriété du caoutchouc de se contracter sous l'influence de la chaleur est en rapport avec un autre fait tout aussi singulier : un métal soumis à une compression s'échauffe ; au contraire, un fil métallique qu'on étire se refroidit ; or, quand on étire le caoutchouc , il s'échauffe.]
244. DILATATION DES LIQUIDES. — Dilatation apparente et dilatation absolue. — Les
liquides n'ont pas de forme fixe, leur volume seul est constant pour une même température. Nous n'avons donc à considérer dans cette classe de corps que des dilatations cubiques, c'est-à-dire des augmentations de volume.
La dilatation du mercure a été choisie pour mesurer les variations de température. Il n'était pas nécessaire, dans ce but, de déterminer l'augmentation réelle de volume du mercure, c'est-à-dire la valeur numérique de son coefficient de dilatation absolue; [il suffisait de connaître la dilatation apparente, c'est-à-dire la différence entre la dilatation absolue du mercure et la dilatation de l'enveloppe contenant ce liquide.]
Dulong et Petit, ainsi que M. Regnault ont employé, pour mesurer la dilatation absolue du mercure, une méthode fort ingénieuse basée sur le principe des vases communiquants, et qui offre l'avantage de ne pas faire intervenir la dilatation du réservoir.
Nous avons démontré, §68a, que des liquides renfermés dans des vases com-
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muniquants sont en équilibre, quand leurs hauteurs au-dessus de la surface de séparation sont en raison inverse de leurs densités. Supposons qu'on verse une certaine quantité de mercure dans un système de deux tubes communiquants : si le liquide a partout la même température, et par suite la même densité, il se mettra exactement de niveau dans les deux vases. Mais, si on porte à t° la température du mercure de l'un des tubes, en disposant autour de ce dernier un manchon contenant de l'huile chauffée, tandis qu'on refroidit à0° l'autre tube, en l'entourant de glace fondante, le niveau du mercure dans le premier vase s'élèvera au-dessus de la surface libre du liquide flans le second vase, d'une quantité en rapport avec la dilatation qu'a subie ce liquide en passant de O à t". M. Regnault, en opérant de cette manière et en prenant toutes les précautions nécessaires pour obtenir des températures stationnaires dans les deux vases, et pour empêcher que leurs contenus ne se mélangént, a trouvé comme coefficient de dilatation absolue du mercure, entre 0° et 50° le nombre 0,00018027; entre 0° et 400, le nombre 0,00018153. [La première de ces valeurs est à très-peiji
1 ' près égale à gggn , car cette fraction ordinaire réduite en fraction décimale
donne 0,000180180.
Quant au coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre , il est sensiblement égal à la différence entre le coefficient de dilatation absolue
de ce liquide et celui du verre, c'est-à-dire, en moyenne, à •]
Connaissant le coefficient de dilatation absolue du mercure, il est facile de déterminer celui des autres liquides.
La manière la plus simple de procéder à cette recherche consiste à remplir de liquide à 0° un réservoir en verre, à le peser et à répéter la même opération à une autre température i°. Soient P0 et Vo le poids et le volume du liquide à 0°, Pt le poids d'un même volume de ce liquide à t° et V0', ce volume ramené à la température de 0°. Supposons, pour un moment, que la capacité du réservoir n'ait pas varié dans l'intervalle de 0° à t°, alors les poids P0 et Pt seront proportionnels aux volumes V0 et V0', c'est-à-dire qu'on aura :
Pt ~ Vo'
Et si K désigne le coefficient de dilatation absolue du liquide , le volume V0' de ce liquide est égal au volume V0 divisé par le binôme de dilatation (cf. p. 473, formule [2] :
Vo
En mettant cette valeur de V0' dans la formule précédente et en simplifianl , nous obtiendrons :
^57 = 1 + K t d'où l'on tirerait le coefficient de dilatation absolue
DILATATION I > KS WMU'S l'Ail LA CHALEUR.
Mais la valeur ainsi jxouvée serait inexacte, car nous avons négligé t'auginontation de volume subie par le réservoir. Or ce volume, qui était V„ à 0", est devenu V„ (î -f- a t) à t°, " désignant le coelïicieni de dilatation cubique du verre. Nous tiendrons compte de cette dilatation de L'enveloppe, si nous prenons pour volume du liquide pesé à t°, non pas VU; mais V„ (1 + a l) ; alors le volume ramené à 0° est
0 ~ 1 + Kt ' ce qui donne après réduction :
l\, 1 + Kt
Pt ' *5i \ 1 + a t
dette équation permet de calculer le coefficient de dilatation absolue du liquide, quand on connaît celui du verre. On détermine ce dernier en répétant avec du mercure la série des opérations que nous venons d'indiquer, ce qui conduit à nne formule ne différant de la précédente que par la valeur de K , qui représente alors le coefficient de dilatation absolue du mercure, quantité connue en fonction de laquelle on calculera le coefficient a du verre. Il faut avoir soin , d'ailleurs , de faire cette recherche pour le réservoir employé, attendu que le coefficient de dilatation varie d'un verre à l'autre.
244a. Dilatation irrégulière de la plupart des liquides. Maximum de densité de l'eau. — On a trouvé qu'en général la dilatation des autres liquides n'est pas proportionnelle à celle du mercure, mais que le coefficient croit avec la température. Toutefois la plupart des liquides ont ceci de commun avec le mercure qu'ils se dilatent d'une manière continue à mesure qu'ils s'échauffent. L'eau seule et les liquides qui en contiennent font exception à cette loi : à une température déterminée, ils occupent le plus petit volume possible, et, à partir de ce point, ils se dilatent, soit qu'on les chauffe, soit qu'on les refroidisse. Le maximum de densité de l'eau distillée correspond à. la température d'environ + 4°. Pour les mélanges ou les solutions contenant de l'eau , cette température est un 'peu moins élevée.
Quelle que soit la loi que suit la dilatation d'un liquide, on peut toujours la représenter par une équation. Pour le mercure, la loi de sa dilatation est facile à traduire algébriquement, puisque l'augmentation de volume de ce liquide est proportionnelle It l'élévation de la température. Si nous supposons, en effet, que le volume h 0° est 1, le volume x îi une température de t° sera :
a désignant le coefficient de dilatation du mercure.
Nous avons vu que pour les autres liquides le volume croit généralement avec la température, mais plus rapidement. Le volume d'un pareil liquide à t° pourra se représenter par l'équation :
a, b et c étant des Coefficients qu!il faut déterminer pour chaque liquide. Cctto formule est aussi applicable h l'eau et aux liquides aqueux , à condition qu'on donne des valeurs différentes aux coefficients a, b, c, suivant l'intervalle des températures que l'on veut embrasser ; entre 0° et 50° les coefficients acte sont négatifs.
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A la suite de nombreuse^ recherches et en s'aidant des formules d'interpolation ou de la représentation graphique, JLDespretz et, plus tard,flt. Hermann Kopp ont dressé dos tables donnant les volumes et les densités de l'eau de degré en degré. Comme on a souvent h faire usage do la densité de l'eau pour la correction des poids spécifiques des autres corps, nous reproduisons ici une partie de ces tables :
TFMPFRATIIRF
1 tlll r LnH i une.
