I.ois DU MOUVEMENT

qui sont entre elles comme les longueurs des bras de levier correspondants. D'ailleurs, pour que l'équilibre subsiste, il faut que les forces soient inversemenl proportionnelles à leurs distances du point d'appui ; il s'ensuit que la force qui suffît exactement à amener la rupture de l'équilibre, doit aussi être en raison inverse du bras de levier auquel elle est appliquée.

De là , cette conséquence importante au point de vue théorique et pratique , à savoir qu'on peut suppléer à la force par la vitesse , et réciproquement , à la vitesse par la force; ainsi, la force AP, qui agit sur le bras de levier le plus long, est la plus petite; mais, en revanche, la vitesse avec laquelle a lieu le déplacement du point d'application de cette force est d'autant plus grande; de même, la force BQ qui agit sur le bras de levier le plus court compense, par la grandeur de son intensité, le peu de vitesse qu'elle imprime au mouvement de son point d'application. Supposons, pour fixer les idées, qu'en B' (Fig. 5) se trouve un poids à soulever, et en A' la main d'un homme qui exerce une pression sur le levier : l'intensité de la force nécessaire dans ces conditions pour faire équilibre au poids est plus petite que la grandeur de ce poids, et elle l'es'r d'autant plus que le bras de levier sur lequel elle agit est plus grand par rapport à celui auquel est appliqué le poids. La pression exercée par l'homme vient-elle à éprouver un léger accroissement, aussitôt le poids est soulevé; mais pour que ce poids s'élève seulement de B' en B , il faut que la main de l'homme parcoure le chemin A'A qui est au déplacement BB' dans le rapport de la longueur du bras de levier OA à celle de OB. Supposons maintenant que l'homme agisse en B et que le poids soit placé en A : alors, pour qu'il y ait équilibre, il doit exister, entre l'intensité de la force exercée enB et le poids, le même rapport qu'entre les bras de levier OA et OB. Si ensuite la force développée par l'homme augmente d'intensité, le levier tournera autour de son point d'appui, de manière à ce que le poids s'élève de A en A', pendant que le point d'application de la force motrice se déplacera d'une quantité BB', et les chemins ainsi parcourus par les points d'application des forces seront entre eux comme les longueurs des bras de levier correspondants.

Le levier est fréquemment employé, comme on le voit dans l'exemple précédent, pour soulever des fardeaux, [c'est-à-dire pour vaincre des résistances] ; aussi désigne- t-on sous le nom de bras de levier de la résistance le bras qui est destiné à produire un effet tel que celui que nous venons d'indiquer, et on appelle bras de levier de la puissance le bras auquel est appliquée la force motrice. Cela posé, toutes les fois que, dans l'emploi du levier, on cherche à obtenir une vitesse considérable de préférence à une grande force, il faut que le bras de levier de la puissance soit plus petit que celui de la résistance; quand, au contraire, la résistance à vaincre nécessite un grand développement de force, et qu'on n'a pas besoin de beaucoup de vitesse, on doit donner au bras de levier de la puissance une longueur supérieure à celle du bras de levier de la résistance.

20». Divers genres de levier. — [On dist ingue trois sortes de leviers, d'après la position du point d'appui par rapport aux points d'application des forces.] Le levier est dit du premier genre ou intermobile, lorsqu'il a son point d'appui placé entre les points d'application des deux forces; tel est le levier que nous

avons considéré jusqu'ici (voy. notamment la Fig. G). Mais la puissance et la résistance peuvent être situées toutes deux d'un même côté du point d'appui; ces conditions se trouvent réalisées dans la Fig. 8, où le point d'appui est en A; la résistance représentée par la droite CR est appliquée en G; le point d'application de la puissance BP est en B : on a ainsi un levier du deuxième

genre on interrésistant , dans lequel le point d'application de la résistance est placé entre le point d'appui et le point d'application de la puissance. [Dans ce cas, la puissance a toujours l'avantage.] Lorsque c'est , au contraire , le point d'application de la puissance qui est situé entre le point d'appui et le point d'application de la résistance, on a le Fig. s. — Ll^;edu deuxième levier du troisième genre ou levier interpuissant

(Fig. 9) [dans lequel la puissance a toujours le désavantage, mais où, en revanche, le déplacement que le point d'application de la résistance éprouve sous l'influence d'une augmentation de la puissance, est constamment supérieur à l'espace parcouru par le point d'application de

la puissance.]

La seule forme de levier que nous ayons indiquée jusqu'ici est le levier droit, c'est-à-dire une barre rectiligne, dans laquelle, par conséquent, le point d'appui et les points d'application des forces sont placés sur la même droite. Il existe .une autre forme de levier , où les deux bras sont deux droites qui forment entre elles un certain angle ; tel serait dans la Fig. 6 le cas

Flgt 9. -Levier du troisième du levier FAE aYant P0Ur braS AF et AE > et P°ur

genre. point d'appui le point A. Un pareil levier est dit an-

gulaire ou coudé.

21. Principe des vitesses virtuelles. — La relation réciproque que nous avons signalée, à propos du levier, entre la puissance et la vitesse de déplacement de son point d'application va nous permettre de donner aux conditions d'équilibre du levier une autre expression que celle de l'égalité des moments. En effet, puisque les arcs AA' et BB' (Fig. 5) sont entre eux comme les bras de levier correspondants proportionnels eux-mêmes aux longueurs des perpendiculaires abaissées du point d'appui sur les forces , il s'ensuit que les moments des forces sont aussi proportionnels aux produits des forces par les arcs qui représentent les chemins que parcourent dans le même temps les extrémités des bras de levier. On peut donc dire que l'équilibre a lieu quand : fe = f'e';f et f re~ présentant les forces , e et e' représentant les espaces parcourus par les points d'application de ces forces. Or il est évident qu'on peut remplacer l'arc AA' par un autre aussi petit qu'on le voudra , à condition toutefois qu'on diminue la longueur de l'arc BB' dans le même rapport ; supposons qu'on donne à ces arcs des valeurs infiniment petites , mais conservant toujours entre elles le rapport voulu : la loi représentée par l'équation fe = f e' sera encore vraie dans ce cas. En réalité , lorsque les forces se font équilibre , il ne se produit pas de déplacement même infiniment petit; il y a seulement tendance à la production

LOIS DU MOUVEMENT

Fig. 10. — Démonstration du principe des vitesses virtuelles.

de déplacements dont les vilesses soient entre elles comme les arcs AA' et BB'; on dit alors que les vitesses sont virtuelles. Ainsi donc, la loi de l'égalité des moments qui exprime les conditions d'équilibre du levier peut être remplacée par ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles, dont voici l'énoncé : pour que l'équilibre ait lieu, il faut que. la somme algébrique des produits des forces par les vitesses virtuelles correspondantes soit nxdle.

Ce principe est aussi applicable au mouvement de translation. Considérons, en effet , la force AF (Fig. 10) et décomposons-la en deux autres perpendiculaires entre elles, AP' et AL. Si ^ le point A était libre d'obéir à /\ chacune de ces forces séparément , il serait transporté en L par l'action de la composante AL ou en P' par l'action de la composante AP', dans le même temps que celui qu'il mettrait à arriver en F sous l'influence de la force AF qui le sollicite en réalité ; à proprement parler, nous n'avons donc pas décomposé la force donnée , mais- plutôt la vitesse AF du mouvement qu'elle serait capable d'imprimer au point A. Or ce point fait partie d'un système sollicité encore par d'autres forces qui concourent à maintenir l'équilibre; il en résulte que la force considérée ne détermine pas de mouvement réel , mais tend seulement à en produire, et qu'en conséquence les composantes AL et AP' représentent des vitesses virtuelles. En répétant successivement sur toutes les forces qui sollicitent le système AB la décomposition qu'on a fait subir à la première force , on arrive finalement à poser, comme condition d'équilibre, en ce qui concerne le mouvement de translation , que la somme algébrique des vitesse virtuelles parallèles à AB et la somme des Altesses virtuelles perpendiculaires à AB doivent être toutes deux nulles. Il va sans dire que les vitesses île sens contraire doivent aussi être affectées de signes contraires.

[De ce qui précède , on peut tirer les conclusions suivantes :

Ce que Von gagne en force, on le perd en espace parcouru , en vitesse ou en temps; et réciproquement, ce que Von gagne en espace parcouru , en vitesse ou en temps , on le perd en force.

Il est facile de voir que cet énoncé n'est autre chose que le principe des vitesses virtuelles présenté sous une autre forme.]

Le principe que nous venons de faire connaître a, sur ceux qui concernent le parallélogramme des forces et l'égalité des moments dfts forces appliquées au levier, l'avantage d être plus général, en ce qu'il renferme les conditions d'équilibre relatives h la fois au mouvement de translation et h celui de rotation ; il est, en outre, plus fécond pour la science, parce qu'il introduit la notion do la vitesse, qui .a aussi une grande importance en statique, car, rigoureusement parlant, dire que dos forces se, font équilibre signifie que l'équilibre a lieu entre les vitesses que ces forces tendent a développer.

WUNDT, Physique médicale. 3

Le principe tics vitesses virtuelles est celui qui conduit le plus aisément à une expression mathématique des conditions de l'équilibre. Appelons, en effet, / la force AF (Fig. 10), y la force BF', /",/"', etc., les autres forces qui agissent encore sur le corps considéré; désignons par « l'angle P'AF, par a' l'angle Q13F' et par a", a'", etc.', les angles analogues correspondants aux autres forces ; les composantes parallèles à l'axe AB auront alors pour valeurs respectives les expressions / sin a,f sin a',/" sin a", etc., et les composantes perpendiculaires seront représentées par/cosa, /' cos^', f" cos a", etc. En regardant, pour les deux systèmes clc forces, connue positives les forces qui sont dirigées dans un sens et comme négatives celles qui tirent en sens contraire, on arrive à prouver que l'équilibre a évidemment lieu, en ce qui concerne le mouvement de translation, quand:

/sin a +/' sin a' +/" sin a"+ = 0 (1)

/cosa+/'cosa'+/"cos a" -j- = 0 (2)

Pour trouver la condition d'équilibre relativement au mouvement de rotation, du point 0, par où passe la résultante de toutes les forces qui tendent à faire tourner le levier AB, abaissons sur les directions des forces les perpendiculaires OD et OD'; transportons ensuite les points d'application de ces forces sur leurs prolongements en D et en D', ce qui ne change rien à l'état du système, comme nous l'avons vu précédemment, à condition toutefois qu'on 'suppose les points D et D' liés invariablement aux points A et B. Nous avons ainsi remplacé le levier droit AOC par le levier coudé DOD' et nous savons que ce levier ne tournera pas si la force AF, qui agit sur le bras do levier OD, tient en équilibre la force BF', qui sollicite le liras de levier OD'. Or, imaginons que le levier tourne virtuellement de l'angle S: l'arc décrit par le point 1) sera égal à d?j, et l'arc parcouru par le point D' aura une longueur cZ'8, en appelant d et cC les hras de levier OD et OD'. Le principe des vitesses virtuelles exige pour l'équilibre que /cZS =/'cï'B ou simplement fd =/'d\

Supposons maintenant qu'au lieu de deux forces il y en ait un nombre quelconque f, f, /", /"', etc., et désignons par d, d\ d", c£"', etc., les bras de levier perpendiculaires à ces forces; regardons comme positives les forces qui tendent à faire tourner le levier dans un sens, et comme négatives celles qui tendent h le faire tourner en sens inverse. Pour qu'il ne se produise pas de rotation autour du point 0, il faut qu'on ait:

fd +/3' -+-/" cZ" -f- = 0 (3)

Il est clair, d'ailleurs, que le choix du point pris comme centre de rotation est entièrement arbitraire, lorsqu'on cherche à résoudre dans toute sa généralité la question de savoir si un système matériel peut ou non tourner: un corps qui ne se meut pas autour d'un point arbitrairement choisi n'éprouve, en général, aucun mouvement de rotation; au lieu du point O, nous pouvons prendre tout autre point comme centre de rotation. Par conséquent, l'énoncé suivant renferme la condition générale d'équilibre en ce qui concerne le mouvement de rotation : si d'un point quelconque on mène des droites perpendievlaires sur les directions des forces, il faut, pour que le corps ne tourne lias, que la somme algébrique des produits des forces par les perpendiculaires corresj)ondantes soit égale h zéro.

En résumé, on voit que pour établir les conditions d'équilibre d'un corps solide, il faut faire usage de trois équations, à savoir les équations (1) et (2), qui concernent le mouvement de translation, et l'équation (3), qui regarde le mouvement de rotation. [Nous devons cependant faire remarquer que ces trois équations ne suffisent pas à représenter, dans toute leur généralité, les conditions d'équilibre d'un corps solide; elles ne sont applicables que dans le cas particulier où les forces qui sollicitent le corps sont tentes situées dans un même plan. Si l'on veut traiter le problème d'une manière tant à fait générale, il faut décomposer chaque force en trois autres parallèles à trois axes perpendiculaires entre eux, et l'on obtient ainsi, non pas trois, mais six équations d'équilibre, dont trois pour chaque genre de mouvement.]

1 Par suite d'une erreur de gravure, on a mis clans la figure 10 les lettres d et (V à la place de a et a'.

LOIS DU MOUVEMENT

22. Applications du principe du parallélogramme des forces et de celui du levier.

— On aurait tic la peine à trouver dansla nature ou dans les arts un exemple de production de force ou de vitesse qui ne nécessite pas l'application du principe du parallélogramme des forces, ou de celui du levier, ou des deux à la Fois. Les mouvements des différentes pièces du squelette humain s'opèrent presque exclusivement par l'intermédiaire de leviers (cf. § 65). Nos instruments les plus indispensables sont aussi des leviers , car à tout moment nous avons besoin de transformer la force en vitesse ou la vitesse en force; parmi les leviers les plus usuels, nous citerons les tenailles, les ciseaux, les pinces; dans l'emploi de chacun de ces instruments , on a à se demander si on veut obtenir surtout de la force ou de la vitesse , et quelle est la quantité de force ou de vitesse dont on a besoin. Les tenailles représentent un système de deux leviers accouplés destiné à produire de la force; plus on veut que l'effet obtenu soit puissant, plus il faut raccourcir le bras de levier de la résistance et augmenter celui auquel on applique la puissance ; on peut avec une seule et même paire de tenailles modifier, suivant les circonstances, l'intensité d'action de l'instrumenton n'a qu'à lui donner , lorsque la chose est praticable , la forme d'un levier du deuxième genre, qui permet de faire varier facilement la distance entre le point d'application de la résistance et le point d'appui. Dans la pince , le levier est du troisième genre, non pas qu'on ait besoin d'obtenir une grande vitesse de déplacement, mais afin que la force avec laquelle les mors de l'instrument saisissent les objets soit modérée. Les ciseaux sont en quelque sorte des tenailles tranchantes; ils représentent, comme ce dernier instrument , un système de deux* leviers du premier genre, mais ayant des bras à peu près égaux. [Le principe d'un grand nombre d'instruments de chirurgie repose sur le levier plus ou moins modifié ; nous citerons entre autres les ciseaux , les pinces à dissection et autres , le levier et la clef des dentistes , le levier des accoucheurs etc. ; certains appareils employés dans les recherches de physiologie médicale utilisent aussi les propriétés du levier : on en trouve un exemple dans le sphygmographe.]

On fait encore un fréquent usage de machines simples , qui ne sont autre chose que des formes particulières du levier ; telles sont la balance , la poulie etc. ; mais comme l'action de la pesanteur intervient dans le jeu de ces appareils , nous en parlerons au chapitre consacré à l'étude de la pesanteur (voy. § 49 et suiv.) .

23. Du mouvement uniforme. — Quand une force, après avoir mis en mouvement un corps ou un point matériel , vient tout à coup à cesser .d'agir , le corps n'en continue pas moins à se mouvoir en ligne droite, et, en vertu du principe de l'inertie de la matière, le mouvement doit devenir uniforme à partir «lu moment où le mobile est soustrait à l'action de la force motrice. Si, par exemple, c'est un choc qui détermine le mouvement et qu'aucune force ultérieure n'intervienne, le corps parcourra des espaces ('-aux. dans des temps égaux ; d'où résulte que, connaissant le chemin parcouru par le mobile pendanl un temps déterminé, on peut calculer d'avance l'espace qu'il parcourra pendant un temps quelconque.

Afin de pouvoir comparer entre elles les vitesses de plusieurs mobiles qui

a. Ai i: u y, ï iv j[ ic

se meuvent tous avec une vitesse constante pour chacun d'eux, mais différente d'un mobile à l'autre, on est convenu de prendre pour unité de mesure l'espacé parcouru pendant l'unité de temps, c'est-à-dire pendant une seconde; c'est la grandeur de cet espace parcouru pendant une seconde qui représente ce qu'on appelle la vitesse dans le mouvement uniforme. Par conséquent, l'espace e parcouru pendant un temps quelconque t évalué en secondes, est égal au produit de la vitesse v, par le temps.

On a donc : e = vt [et ?> = /;, h étant une constante.

La fig. 11 représente la formule: e = vt, c'est-à-dire la relation qui existe entre le temps et l'espace parcouru dans le mouvement uniforme.

Si, avant l'instant initial à partir duquel Fig. 11. —Représentation graphique de la loi des 0n Compte le temps t, le corps a déjà parespaces dans le mouvement uniforme, ou de la . 1 loi des vitesses dans le mouvement uniformément couru un Certain espace e0, 1 espace parcouru accéléré. au bout du temps t sera: e = e0-i-vt].

24. Du mouvement uniformément accéléré. — Nous venons de voir que le mouvement d'un corps devient uniforme dès que la force motrice cesse d'agir. Considérons maintenant ce qui se passe quand la force continue à solliciter le mobile : dans ce cas, il est impossible que le mouvement soit uniforme : en vertu du principe de l'inertie de la matière, il faut que le mouvement s'accélère de plus en plus.

Le cas le plus simple est celui où la force reste constante pendant toute la durée de son action. Décomposons par la pensée l'intervalle de temps pendant lequel la force agit, en un grand nombre d'intervalles élémentaires égaux entre eux : pendant le premier instant, la force communique au point matériel une certaine vitesse, qui conserverait indéfiniment la même valeur si l'action de la force se bornait à cette première impulsion ; mais la force, continuant à solliciter le corps, détermine, pendant le deuxième instant, un accroissement de vitesse précisément égal à la vitesse communiquée durant le premier instant ; le même fait va se reproduire pendant les intervalles de temps suivants. On peut donc se représenter l'effet d'une force constante comme équivalent à une série de chocs ou 'd'impulsions d'égale intensité se succédant régulièrement, avec cette circonstance particulière que les chocs se répètent à des intervalles de temps infiniment rapprochés et que, par suite, la vitesse croit d'une manière continue, au lieu d'augmenter par saccades. U accélération de la vitesse est d'ailleurs uniforme, c'est-à-dire que la quantité dont s'accroît la vitesse pendant chaque intervalle élémentaire de temps est constante, puisque l'intensité avec laquelle agit la force reste la même.

Supposons maintenant qu'au bout de la première seconde la force cesse d'agir : le mobile continue alors à se mouvoir avec une vitesse uniforme , et, à partir de ce moment, l'espace qu'il parcourt dans une seconde peut évidemment servir de mesure à l'accélération que la force a développée en agissant pendant la durée d'une seconde; car la vitesse initiale du mobile était nulle,

LOIS DU MOUVF.MI N 1

lorsque l'action de la force ne s*était pas encore fait sentir, et si on retranche rime de l'autre la vitesse qui existe au commencement d'un certain intervalle de temps et celle qui a lieu à la Qn du même intervalle, la différence représente l'accélération produite durant le temps considéré. Puisque la vitesse augmente d'une manière uniforme, c'est-à-dire que l'accélération estla même pour chaque seconde, la comparaison des vitesses qui existent au commencer ment e1 à la Qh (l'une seconde quelconque conduirait toujours au même résultat, quelle que soit l'époque considérée; si on prend de préférence l'origine du mouvement comme point de départ, c'est uniquement pour faciliter les calculs, puisque dans ce cas la vitesse acquise au bout de la première seconde donne immédiatement l'accélération. Une fois que l'accélération a été mesurée, il est possible de déterminer d'avance la vitesse dont le mobile sera animé à une époque quelconque de son mouvement; il suffît de faire le produit de l'accélération trouvée, par la durée du temps écoulé depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant considéré.

Désignons l'accélération par y, le temps par t, et nous aurons pour la vitesse v au bout du temps t, l'expression :

Cette formule suppose que l'on compte les temps à partir de l'instant où commence le mouvement; si tel n'est pas le cas, il faut tenir compte de la vitesse dont était animé le mobile ;i l'origine des temps; en introduisant cette vitesse initiale va, on obtient l'expression :

v = v0-{- Y t (1 bis) .

Pour trouver l'espace parcouru par un mobile sous l'influence d'une force uniformément accélératrice, commençons par déterminer l'espace parcouru pendant la première seconde. La vitesse initiale est nulle; à la fin de la première seconde, la vitesse est égale à Y ; le chemin parcouru dans 'cet intervalle de temps est donc plus grand que zéro et plus petit que Y; il doit être évidemment égal a la moyenne des deux valeurs, c'est-à-dire à

, puisque la vitesse croît uniformément. Ainsi, un mobile qui serait animé d'une vi- Y

tesse uniforme égale à -— parcourrait, dans le même temps, le même chemin que

si, partant de l'état de repos, avec une vitesse initiale nulle, il se mouvait d'un mouvement uniformément, accéléré et s'il acquérait une vitesse finale égale à Y- Considé" rons un temps quelconque t; la vitesse acquise au bout de ce temps est yt,

yt

ainsi qu'on l'a vu ; la vitesse moyenne est donc ~, puisque v0 = 0 ; au point matériel se mouvant d'un mouvement uniformément accéléré nous pouvons en subtituer un autre possédant une vitesse uniforme égale à Cela posé, dans le mouvement uniforme, l'espace parcouru clans le temps t est e = vt; or ici, v=-^-. Donc l'espace parcouru par un mobile sous l'influence d'une force uniformément accélératrice est donné par l'équation : e — ï^.. (2)

[Traduite en langage ordinaire, cette formule signifie que, dans le mouvement unilormément accéléré, l'espace parcouru pur h )i mobile partant de l état de repos est égal à la moitié du produit de V accélération pur le carré du temps écoulé.

En résumé, les lois du mouvement uniformément accéléré sont les suivantes :

1° L'accélération est constante ;

2° La vitesse est proportionnelle au temps écoulé ;

3° L'espace parcouru est proportionnel au carré du temps.

Ces deux dernières lois supposent que l'origine des temps correspond à l'origine du mouvement et à celle des espaces. On a vu que, dans le cas où la vitesse initiale avait la valeur v0, la vitesse acquise au bout du temps t était :

v — v0 + yt.

Dans les mêmes conditions, l'espaça parcouru au bout du temps t, est:

Si, en outre, avant l'instant à partir duquel on compte les temps, le mobile a déjà parcouru l'espace e„, la formule des espaces prend la forme générale:

e = e0 4-»0<-^ï|- (2 bis)

Les formules (1 bis) et (2 bis) comprennent aussi le cas du mouvement uniformément retorde, dans lequel la vitesse décroît de quantités proportionnelles aux temps écoulés ; il suffit, pour les rendre applicables dans ces conditions, d'affecter l'accélération Y du signe — .

La loi des vitesses v==*(t, dans le mouvement uniformément accéléré, est représentée dans la fig. 11 par la droite OK', dont l'inclinaison sur l'axe des abscisses est proportionnelle à l'accélération.

La loi des espaces e = -!i— est figurée par la parabole AR de la fig. 12, où les ordonnées qui mesurent les espaces parcourus sont comptées au-dessous de l'axe des abscisses.]

25. Mesure des forces. Quantité de mouvement. Travail et force vive. —

Les forces ne peuvent être mesurées qu'à l'aide des vitesses qu'elles déterminent. Quand il s'agit de forces constantes, le moyen le plus commode de les mesurer est fourni par la connaissance de l'accélération que la force produit dans l'unité de temps; mais il importe de remarquer que la grandeur de l'accélération ne dépend pas seulement de l'intensité de la force motrice ; elle dépend aussi de la masse du corps sur lequel agit la force : il est évident, en eftet, qu'une force capable d'imprimer à un point matériel unique une accélération v 5 ne déterminera qu'une accélération 100 fois plus petite, si elle agit sur un système de 100 points matériels liés entre eux d'une manière invariable, car l'effet de la force se répartit uniformément sur tous les points. Or, un corps composé de 100 points matériels a une masse 100 fois plus grande que celle d'un point unique ; nous pouvons donc dire : l'effet d'une force est directement proportionnel à l'intensité de la force et en raison inverse de la masse du mobile.

En désignant l'intensité de la force par/, la masse du mobile par m, nous voyons que l'accélération sera toujours- proportionnelle h

Si nous supposons que l'unité de force communique à l'unité de masse une accélération ^, la force / imprimera à la masse m l'accélération -^-'l1. Or, le eboix de l'unité de force est indifférent, et, comme on ne peut arriver, en général, à la mesure des

LOIS DU MOUVEMENT. 39

forces que par la oonriaissanQe des effets qu'elles produisent, ce qu'il y a de plus simple, c'est de prendre comme unité la l'orée capable de produire un effet égal à l'unité, o'est-a-dire celle qui communique h l'unité de masse l'accélération 1; s'il en est

ainsi, la force / imprimera à, la masse m une accélération [On aura donc: Y = -£-, d'où/— my. (1) .

Ainsi, une force a pour mesure le produit de la masse du corps sur lequel elle agit par l'accélération qu'elle imprime à cette masse.

Dana lo cas d'une force constante, le mouvement est uniformément accéléré et on a

vu (§ 24) qu'alors v = ^t, d'où -( =—. En mettant cette valeur de y dans l'équation (1),

il vient, après avoir chassé le dénominateur :

ft—mo (2)

Le produit mv de la masse du mobile par sa vitesse à l'époque t, se nomme la quantité de mouvement ; on désigne quelquefois sous le nom à? impulsion de la force pendant le temps t, le produit ft. On voit par la formule (2) que, si nous considérons la vitesse acquise au bout de l'unité de temps, la force a aussi pour mesure la quantité de mouvement correspondante.']

Quant à, l'espace parcouru dans le temps t, sous l'influence de la force constante /, il est :

En éliminant le temps t entre les équations (2) et (3), on arrive h l'équation:

fe=~Y (4)

Telle est la relation qui existe, à tout instant, entre la vitesse du mobile au moment considéré et l'espace qu'il a parcouru dans cet intervalle de temps; on voit que cette relation est indépendante de la durée du mouvement.

L'équation (4) nous montre que : à un instant quelconque du mouvement, le produit de l'intensité d'une force constante par la longueur du chemin qu'elle a fait parcourir à un corps dans le sens de. sa direction depuis l'origine du mouvement, est égal à la moitié du produit de la masse de ce corps par le carré de la vitesse dont le mobile est animé à l'instant considéré.

On donne, en mécanique, le nom de travail d'une force au produit fe de la force / par le chemin e qu'a parcouru le mobile dans la direction de la force, et on appelle force vive le produit mu2 de la masse m par le carré de la vitesse y dont est animée cette masse. [Il serait plus rationnel de donner, contrairement à l'usage généralement établi , le nom de force vive à l'expression •

car c'est toujours la moitié de la quantité mu8 qui entre dans les calculs de mécanique.

On peut donc énoncer en deux mots la relation qui existe entre le travail et la force vive, en disant que :

Le travail d'une force est égal à la force vive. Nous supposons ici, comme dans tout ce paragraphe, que le mobile part de l'état de repos et que c'est à partir du moment correspondant que l'on compte les temps et les espaces.]

La connaissance de la relation qui existe entre le travail d'une force et la force vive dévoloppée est d'une grande importance, car elle permet de calculer l'une quelconque des quantités qui outrent clans cette équation, quand on connaît toutes les autres. Je suppose, par exemple, qu'on veuille savoir la grandeur de la force que doit développer une locomotive pour que, après avoir parcouru un espace e, elle possède une vitesse v: dans co cas, les données sont e, v et m, m étant la masso de la locomotive et de la charge qu'elle entraîne avec elle ; en introduisant les valeurs de ces quantités dans l'équation (4), nous en tirons la valeur de l'inconnue/.

Autre exemple : nous lançons avec la main une boule et nous voulons déterminer la vitesse v du mobile au moment où nous le lâchons; il nous suffit,. pour effectuer le calcul, de connaître la masse m de la houle, l'espace e parcouru par la main qui lance le projectile, et le poids maximum que notre bras peut élever en l'air; ce poids représente l'intensité / de la force que le bras est capable de développer dans le jet d'un corps.

26. Des mouvements effectués sous l'influence de plusieurs forces. — Le mouvement que prend un point matériel ou un corps soumis à l'action simultanée de plusieurs forces se déduit facilement des lois précédemment formulées.

Lorsqu'un corps est sollicité en même temps par deux forces instantanées , par deux chocs , dont les directions forment entre elles un certain angle, la diagonale du parallélogramme construit sur les deux droites qui représentent en grandeur et en direction les vitesses des forces , donne non-seulement la direction du chemin que suivra le mohile , mais encore la grandeur de la vitesse résultante ; ce résultat , nous l'avons démontré clans le § 18.

Supposons maintenant qu'une force instantanée sollicite le point matériel A dans la direction AB (Fig. 12) et qu'une force constante agisse en même temps dans la direction AC, il est facile de trouver le mouvement résultant : il est f . représenté, à chaque instant, par la diago-

f ~ j r>D nale du parallélogramme construit sur les

^^s. ; chemins élémentaires que le corps parcour-

"^k rait dans un temps infiniment petit sous

\ I l'influence de chacune des deux forces con-

\i sidérée isolément. Or , ces diagonales suc-

ïi 7 o

r:\ j cessives changent continuellement de direc-

\ j tion et tendent à devenir parallèles à la di-

\ i rection de la force accélératrice , puisque

— — — \ les espaces parcourus sous l'influence de

\ i cette dernière force augmentent continuel-

\ j lement par rapport aux espaces correspon-

\ ; dants parcourus sous l'influence de la force

\; instantanée ; il en résulte que la trajectoire

B décrite par le mohile est une ligne courbe,

Fig. 12. — Trajectoire parabolique représentant et l'analyse mathématique montre que cette

le mouvement effectué sous l'influence simnl- cour]je est ce qu'on appelle Une pa rabole. tanee d'une force constante et d une force îns- 1 rr '

tamanée. Nous verrons , à propos de 1 étude de la

pesanteur, que la courhe en question représente la trajectoire suivie par les projectiles , et nous aurons alors occasion de revenir sur les applications des lois du mouvement à l'effet simultané de plusieurs forces.

Quant à présent, nous n'avons plus à nous occuper que d'un seul cas,

1)1' MOUVEMENT VIBRATOIRE ET ONDULATOl l

dans lequel il s'agit aussi de l'action simultanée de plusieurs forces; ce cas esl celui d'un point matériel ou d'un système de points sollicité par deux groupes de forces, dont les unes tendent, par leur action incessante, à maintenir le point dans une position déterminée et invariable, tandis que les autres, à action plus ou moins passagère, dérangent le point matériel de sa position d'équilibre. Nous sommes ainsi amenés à traiter des mouvements vibratoires et ondulatoires; cette étude est d'une importance capitale , par suite des applications nombreuses qu'elle présente dans les différentes parties de la physique ; aussi croyons-nous devoir y consacrer un chapitre particulier.