Réflexion de la lumière sur une surface courbe

134. RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE SUR LES SURFACES COURBES. — Toute surface courbe peut être considérée comme formée par la réunion d'un nombre infini de surfaces planes élémentaires juxtaposées, trouver la direction que prend un rayon incident quelconque LF (Fig. 119) , après sa réflexion sur une surface courbe , on n'a qu'à mener par le point d'incidence F, un plan XX' tangent à la surface , puis à élever en ce même point une perpendiculaire au plan; cette droite FQ se confondra avec le prolongement du rayon de courbure et sera en même temps normale à la surface au point d'incidence. Si donc, dans le plan qui contient le rayon incident LF et la normale FQ , on mène la droite FU faisant avec la normale un angle QFU égal à l'angle d'incidence QFL, on obtient ainsi le rayon réfléchi cherché.

Suivant que la* surface réfléchissante présente sa convexité ou sa concavité aux rayons incidents, elle constitue un miroir convexe ou concave. [Les miroirs courbes se divisent aussi , d'après la forme de leur surface , en miroirs sphériques , paraboliques , cylindriques, coniques etc. Les plus importants sont les miroirs sphériques et nous ne nous occuperons que de ceux-ci.]

134a. Formation des images dans les miroirs convexes. — Considérons deux rayons lumineux, tels que DL etDd (Fig. 120), qui, émis par le point D, von': rencontrer la surface convexe du miroir sphérique LH. Chacun de ces rayons se réfléchira conformément à la règle établie dans le paragraphe précédent : le rayon DL donnera naissance au rayon réfléchi LG, et le rayon Bd, que nous supposons se confondre avec la direction du rayon de courbure de la surface, reviendra sur ses pas en suivant sa direction première. Les deux rayons réfléchis étant prolongés, se coupent derrière le miroir au point d. 11 est facile de voir que tout autre rayon émis par le point D suit, après sa réflexion sur le miroir, une direction dont le prolongement passe aussi au point d. Donc tous les rayons émanés du point À sont réfléchis par le miroir, de telle manière que leurs prolongements vont concourir en un point d, qui est l'image virtuelle du point D. Cette image est située derrière la surface réfléchissante à une distance inférieure à celle de l'objet. Ce crue nous venons de dire peur le .point D s'applique également au point E : les rayons émis par ce dernier point se réfléchi-

Fig. 120. — Formation des images dans les miroirs convexes.

OPTIQUE

rôtit de manière que leurs prolongements se rencontrent tous en un point e, qui sera l'image de E. De même, les points situés entre D et E auront leurs images placées entre d et e. L'œil verra donc en d e une image virtuelle, semblable à l'objet, DE, mais plus petite et droite, c'est-à-dire de même sens que l'objet.

[Quelle que soit, la position de l'objet, pourvu qu'il soit réel, l'image formée dans un miroir convexe présente toujours les caractères qui viennent d'être signalé?^ et ne sort jamais de l'intervalle compris entre le miroir et son foyer.] Cependant, si l'objet est trèsl près de la surface réfléchissante, son image est, déformée; cela provient ce que, dans ce cas, les angles d'incidence correspondant aux divers rayons sont très-différents les uns des autres (cf. § 137).

135. Formation des images dans les miroirs concaves. — Dans la réflexion de la lumière sur les miroirs concaves, il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que le point lumineux est situé soit an centre de courbure de la surface réfléchissante, soit en deçà ou au delà de ce point; dans le miroir convexe, l'objet était, nécessairement placé toujours en avant du centre de courbure.

Examinons d'abord le cas où le point lumineux coïncide avec le centre de cour- 'bureC (fig. 124 j Il est évident que tout rayon lurni-" neux, tel que CL,

émis par ce point, sera renvoyé par le miroir suivant, la même direction et donnera un rayon réfléchi qui passera aussi par le point C, puisque toutes les droites menées par le centre de courbure de la surface réfléchissante représentent des rayons de la sphère à laquelle appartient cette surface et, par conséquent , sont normales au miroir.

Éloignons maintenant le point lumineux du miroir et transportons-le en D , par exemple, à une distance plus grande que celle du centre de courbure. En vertu des lois de la réflexion, les rayons lumineux émis par le point D iront, après s'être réfléchis sur le miroir, concourir en un point d situé entre la surface réfléchissante et son centre de courbure. Pour obtenir la position de eé point d, il suffit de mener par le point D deux rayons incidents quelconques DG et DH , et de construire les rayons réfléchis correspondants, en faisant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. [Dans la figure, nous avons choisi deux rayons particuliers : l'un , DH , passe par le centre de courbure et se réfléchit, par conséquent, en revenant sur lui-même; tout rayon ainsi mené porte le nom â'axe secondaire ; l'autre rayon est parallèle à Vaxe principal', 1 c'est-à-dire à la droite CF qui joint le centre de courbure au centre de figure du miroir. Nous verrons plus loin que le rayon réfléchi correspondant à un rayon parallèle à l'axe principal passe par un point, fixe , .qui porte le nom de foyer principal et qui se trouve au milieu de la distance qui sépare le centre de courbure du centre de figure. Le choix do ces deux rayons en particulier

Fig. 121. — Formation des images réelles dans les miroirs concaves.

RÉFLEXION 1»K LÀ LUMIÈRE

n'a d'autre but cfiVe de simplifier la construction de l'imagé du point lumineux , la direction des rayons réfléchis étant tonte connue, sans qu'il soit, nécessaire do mener les normales aux points d'incidence et de faire un angle île réflexion égal à celui de Tîn'cidence.] Ainsi, quand le point lumineux es1 on J), au delà du contre de courbure, et au-dessus de l'axe principal, son image est située end, entre ce centre et le miroir, et au-dessous de l'axe principal.

Rapprochons, au contraire, le point lumineux du miroir et mettons-le en d, là où se formait tout à l'heure l'image du point D. En vertu do la loi de rêciprocité ,(cf. $ I3ib), les rayons partis de d iront, après leur réflexion sur le miroir, concourir en D. Ainsi, quand l'objet est placé en D, son image occupe la position (/; si ce dernier point est pris, à son tour, comme objet, son image se forme en D ; les deux points D et d sont donc réciproques l'un de l'autre et appelés, pour cette raison, foyers conjugués. Il en est de même des points E ete; ils sont conjugués l'un de l'autre. Par conséquent, si DE est un objet, son image se fait en de; elle est renversée et plus petite; prend-on, au contraire, de pour objet, l'image correspondante se forme on DE; elle est aussi renversée, mais plus grande que l'objet.

Approchons-nous encore davantage du sommet du miroir : il arrivera un moment où l'objet occupera une position telle que les rayons qui en partent prendront, après leur réflexion , une direction parallèle à l'axe principal; soit F ce point. Les rayons FG et F.l émis du point F se réfléchissent suivant les droites GD et JE parallèles à l'axe principal CF et, par suite, parallèles entre elles. L'image ou le foyer conjugué du point F est donc située à Vinfini; réciproquement, les rayons, tels que GD et JE, qui viennent d'un objet situé à une distance infinie, et qui ont une direction parallèle à l'axe principal, concoiu'ent tous au point F, après leur réflexion sur le miroir. Ce point particulier, dont la position invariable répond au milieu de la dislance qui sépare le centre de courbure du sommet du miroir, est celui que nous avons désigné plus haut sous le nom de foyer principal.

Transportons enfin l'objet entre le foyer principal et la surface du miroir, par exemple en d (Fig. 122). Il est facile de voir que les rayons qui partent de ce point deviennent divergents après leur réflexion sur la surface concave du miroir LH ; par conséquent , ce ne sont plus, comme dans le cas où le point lumineux était au delà du foyer principal, les rayons réfléchis eux-mêmes qui se rencontreront; ce sont leurs prolongements qui iront concourir en un point D situé derrière la surface réfléchissante. Dès lors, l'image d'un objet d e placé devant le miroir se fera de l'autre côté de la surface réfléchissante et sera virtuelle. En résumé, laVéflexion sur les miroirs concaves offre quatre cas à considérer : 1" La lumière vient d'un point situé en avant du miroir, au delà du centre de courbure, et converge, après la réflexion, en un point placé entre le centre de courbure et le foyer principal; si les rayons émanent d'un point situé à l'infini, ds vont se réunir au foyer principal lui-même;

Fig. 122. — Formation des images virtuelles ilnns les miroirs concaves.

OPTIQUE

2° La lumière part du centre de courbure et revient au même point;

3° Les rayons lumineux sont envoyés par un point situé entre le centre de courbure et le foyer principal ; les rayons réflécbis correspondants vont converger au delà du centre de courbure; ils sont parallèles quand le point lumineux coïncide avec le foyer principal ;

4° L'objet est placé entre le foyer principal et le miroir ; dans ce cas, les rayons lumineux sont rendus divergents par la réflexion et ne se rencontrent plus en avant delà surface réfléchissante ; mais leurs prolongements se coupent en un point situé derrière le miroir.

[On voit donc que les foyers conjugués se déplacent en sens inverse l'un de Vautre, Vun s' éloignant du foyer principal quand Vautre s'en rapproche, et réciproquement. Cette règle s'applique non-seulement aux miroirs concaves, mais encore aux miroirs convexes.]

Dans les trois premiers cas, l'image est réelle, renversée, et plus grande ou plus petite que l'objet, selon qu'elle est au delà du centre de courbure, on entre ce point et le foyer principal ; dans le deuxième cas, où l'objet est au centre de courbure , l'image coïncide avec l'objet et a la même grandeur. Dans le quatrième cas, l'image est située derrière le miroir, par conséquent virtuelle, droite et toujours plus grande que l'objet.

136. Représentation algébrique de la relation qui existe en':re les positions des foyers conjugués dans les miroirs sphériques. — Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, que, pour construire l'image d'un objet dans un miroir concave (la construction est la même dans le cas du miroir convexe), il suffit de connaître la position du centre de courbure ou celle du foyer principal; l'un de ces points étant donné, l'autre s'en déduit très-simplement, comme *n le montrera plus loin. Nous indiquerons aussi la manière dont on peut déterminer expérimentalement le foyer principal des miroirs concaves et convexes.

N Pour le moment, il

s'agit, de trouver par le calcul la position de l'image d'un objet dont la distance au miroir est donnée. Soient S (fig. 123) un point lumineux situé sur l'axe principal, S' son foyer conjugué, Rie centre de courbure du miroir M N. Menons du point lumineux un rayon incident quelconque SI et le rayon réfléchi

correspondant IS'. Nous supposerons toutefois que le point d'incidence I est très-voisin du sommet A du miroir, et que, par suite, les l'ayons incidents ou réfléchis font, avec l'axe principal AX, un angle très-petit. Avec cette restriction, nous pouvons admettre, sans erreur sensible, les égalités suivantes:

SA = SI et S'A = S'I

De la, nous concluons à l'égalité des rapports :