SA SR

Donc : wr = w

Désignons par^ la distance SA du point lumineux au miroir, parj/ la distance S'A de l'image, et par r la longueur RA du rayon de courbure. En introduisant ces valeurs dans la dernière égalité, et en remarquant que :

SR = SA — AR = p — r et S'R = AR - SA = r — p' nous obtenons :

ou en chassant les dénominateurs et en simplifiant :

pr -f- p'r = 2pp' .... (1)

Telle est la relation algébrique qui existe, pour les miroirs concaves, entre les distnnees des foyers conjugués à la surface réfléchissante et le rayon de courbure. A l'aide de cette formule, on peut calculer l'une des trois quantités p , p', r, quand on connaît les deux autres. S'agit-il, par exemple, de trouver la distance de l'image p', connaissant la distance p de l'objet et le rayon r, nous aurons, en résolvant l'équation (1) par rapport à p' :

La discussion de cette formule nous conduirait, en ce qui concerne les positions relatives des foyers conjugués, aux mêmes résultats que ceux auxquels nous sommes arrivés par la construction géométrique de l'image (voy. § 135). Si, par exemple, dans la formule (2), on divise le numérateur et le dénominateur par p, et qu'on fasse ensuite

p = œ , on trouve : p' = — . La distance donne la position de ce que nous avons

appelé le foyer principal du miroir, puisque nous avons défini celui-ci le point de concours des rayons réfléchis provenant de rayons incidents parallèles entre eux. Appelant /la distance du foyer principal ou la longueur focale principale, nous voyons

que:/ - — .

On peut démontrer directement que le foyer principal est le point milieu du rayon de courbure principal. Soit, en effet, DI (Fig. 123) un rayon lumineux parallèle à l'axe principal, et IF le rayon réfléchi correspondant. Les angles DIF et AFI sont égaux comme alternes internes ; les deux angles DIR et FRI sont aussi égaux entre eux pour la même raison. Or DIR est l'angle d'incidence, qui est égal à l'angle de réflexion FIR ; donc les deux angles FIR et FRI sont égaux entre eux; par suite, le triangle FIR est isocèle

et FI = FR, mais FI est sensiblement égal h AF. Donc: AF = FR, d'où : / = En divisant tous les termes de l'équation (1) par le produit pp'r, nous obtenons:

ou, en remplaçant r par sa valeur en fonction de/:

A + i. = 1 (3 US)

OPTIQUE

C'est sous l'une ou l'autre cl'e ces formes que L'on considère habituellement la formule des miroirs concaves.

Le miroir convexe a une formule qui ne diffère de celle du miroir concave que par le signe des termes. On peut la trouver directement, en suivant la marche qui vient d'être développée; on peut aussi la déduire de la formule du miroir concave, en v affectant les quantités r ou f du signe — , attendu que dans le miroir convexe le centre de courbure et le foyer sont situés de l'autre côté de la surface réfléchissante, par rapport à l'objet. Les formules (3) et (3 bis) deviennent alors :

d'où l'on tire : p' = — - ^ --. (5)

Cette dernière équation montre immédiatement que, dans le miroir convexe, p et p' sont de signe contraire; que, par conséquent, l'image est située de l'autre côté de la surface réfléchissante, du même côté que le foyer.

[Si, au lieu de prendre le sommet du miroir pour origine des distances, on compte celles-ci h»partir du foyer principal, on arrive à une formule plus simple que les précédentes, et qui est identiquement la même pour le miroir concave et pour le convexe : cette formule est la suivante :

dd'=P (6)

d et d' désignent les distances respectives de l'objet et de son image au foyer principal.]

136a. Calcul de la grandeur des \ images dans les miroirs sphériques.

— Considérons le miroir concave MX (Fig. 124), dont le foyer principal est g en F et le centre de courbure en R. Soit Z PQ un objet, P'Q' son image construite

suivant le procédé indiqué au § 135; AQ est l'axe principal sur lequel se

. , ,, . ,. , trouvent les extrémités correspondantes

Fig. 124. — Rapport des dimensions linéaires de l'nbict „,«,„•,,•,., . -, .

et de son image de réflexion. Q et Q de 1 objet et de son image ; PP'

est l'axe secondaire qui passe par les extrémités correspondantes P et P'. Les deux triangles semblables PQR et P'Q'R donnent la relation :

?3L RQf

PQ ~ RQ

Désignons par i la grandeur P'Q' de l'image, par o la grandeur PQ de l'objet; remplaçons RQ' et RQ par leurs valeurs en fonction de AR = 2f, de AQ' — p', de AQ = p, et nous obtenons :

A p' substituons sa valeur , tirée de la formule (3 bis) des foyers conjugués et'

il vient, après réduction:

A l'aide de cette équation, nous pouvons calculer la grandeur i de l'image, si l'on nous donne la grandeur o de l'objet, sa distance au miroir et la longueur focale /.

Nous venons de voir que p' = — W \. ; nous en déduisons S- — = — •- — r.

Donc on a aussi :

-L 2lL.

RÉFLEXION DE LA LUMIERE. 269

lin procédant de lu même manière pour le miroir convexe, on trouverait que le rapport des grandeurs de l'image et de l'objet est donne par l'équation :

[136''. Détermination expérimentale du foyer principal des miroirs sphériques. —

Sons nous bornerons à indiquer les procédés réellement pratiques.

A. Mntom OOUCAVB. — Premier procédé. Faire tomber sur le miroir un faisceau de rayons parallèles (rayons solaires) et chercher, à l'aide d'un écran, leur point de con-

| cours ; ce point est le foyer principal.

Deuxième procédé. Placer devant le miroir une source lumineuse (flamme de bougie, par exemple) et chercher, à l'aide d'un écran, le point où l'image est le plus iiette ; mesurer la distance de l'objet et celle de l'image et appliquer la formule.

Troisième procédé. Opérer comme dans le cas précédent, mais amener par tâtonnements l'objet dans une position telle que son image se fasse à la même distance du miroir. Cette distance est évidemment égale au double du foyer.

B. Minora convexe. — De la formule — l\- f ^ci'~ § 13oiS formule [2]), qui

exprime le rapport des dimensions linéaires de l'objet et de son image dans le miroir

conveie, je tire la valeur de /, savoir '■ f — p — ~\ •

Il suffit donc de placer devant le miroir, sur son axe principal , un objet de grandeur connue o, de mesurer la distance p de cet objet au miroir et la grandeur i de son image virtuelle. Cette dernière détermination, pour être précise, doit être effectuée avec l'ophthalmomètre de Helmholtz (voy. § 197). Mais si l'on veut se contenter d'une approximation suffisante dans la plupart des cas, on mesure la grandeur i h l'aide d'une petite échelle tracée, par exemple sur une bande de papier que l'on colle à la surface du miroir, suivant un méridien qui comprenne la dimension à mesurer. On s'éloigne suffisamment pour que la distance de l'image au miroir soit négligeable par rapport à celle d'où Ton observe, et on regarde combien l'image embrasse de divisions de l'échelle, en s'ai-

dant, au besoin, d'une lunette pour mieux voir. — L'emploi de la formule/ = p — ' . n'est même pas nécessaire, car, si on y pose : i = ~ , elle devient : / = p. Donc, en

cherchant, par tâtonnements à placer l'objet dans une jiosition telle, que ses dimensions soient doubles de celles de l'image correspondante, on n'a qu'à mesurer la distance de l'objet pour avoir la longueur focale cherchée. |

137. Aberration de sphéricité des miroirs. Cercles de diffusion. — Les lois que nous avons établies relativement aux foyers et aux images qui résultent de la réflexion de la lumière sur les surfaces sphériques n'ont pas une rigueur absolue ; elles sont applicables seulement dans les cas où Y angle d'ouverture du miroir est petit, de façon que les rayons incidents soient tous très-voisins de l'axe principal et rencontrent la surface réfléchissante en des points peu éloignés du sommet du miroir. L'angle formé par les deux droites qui joignent le centre de courbure aux bords opposés du miroir en est ce qu'on appelle Y ouverture.

Dès l'instant que celle ouverture dépasse 8 à 10 degrés, tous les rayons lumineux qui partent, d'un centre, commun (rayons homocentriques) ne concourent plus, après la réflexion, exactement en un point unique : les rayons réfléchis près des bords se rencontrent plus près du sommet du miroir que ceux qui se réflécbissenj dans le voisinage immédiat de ce dernier point. C'est

OPTIQUE

cette absence d'honiocentrieité des rayons réfléchis qu'on désigne sous le nom cVaberration de sphéricité des miroirs et qui produit un défaut de netteté des images.

Soient PK et PK2 (Fig. 125) doux rayons lumineux émis par le point P; le premier rayon rencontre le miroir clans le voisinage du sommet en K, et se réfléchit suivant K P,; ''l'autre tombe près des bords, en K2, et est renvoyé dans la direction K2P2. Le

point P2 , où le rayon réfléchi sur le bord coupe l'axe principal est plus, rapproché du miroir que le point P,, par où passe le rayon réfléchi près du sommet A. En construisant de même les rayons réfléchis par la surface dans l'intervalle K K2, on trouverait qu'ils viennent tous rencontrer l'axe entre les points Pi etP2. Nous voyons ainsi que les rayons lumineux qui, partis du point P, rencontrent le miroir, ne restent pas homocentriques , et qu'au lieu de concourir en un point unique, ils vont couper l'axe en des points différents.

Si l'on considère des rayons tels que L| Ii et L2 I2, parallèles à l'axe principal, les rayons réfléchis correspondants ne se réuniront pas non plus en un point unique; ils couperont l'axe dans l'intervalle Ft F 2; cet intervalle mesure V aberration de sjjhéricité dite longitudinale.

Nous avons vu que les rayons émis par le point P perdent leur homocentricité par la réflexion et qu'ils se coupent deux à deux dans l'intervalle P, P2. Il n'est donc pas possible, dans ces conditions, d'obtenir de l'objet punctiforme P une image qui soit elle-même réduite à un point ; car le point de concours P2 des rayons voisins de l'axe est entouré de rayons qui n'ont pas encore opéré leur rencontre, et le point P, , le plus éloigné du sommet du miroir, est environné de rayons qui se sont déjà entre-croisés et qui poursuivent leur route en divergeant. En conséquence de cette marche des rayons réfléchis, l'image du point P, en quelque endroit de la ligne P4 Ps qu'on l'observe, se présentera sous la forme d'un cercle lumineux plus ou moins large et dont l'éclat ira en s'affaiblissant vers les bords; une semblable image porte le nom d'image ou de cercle de diffusion. Si l'objet placé devant le miroir, au lieu d'être représenté par un point unique, a une certaine étendue, ses différents points donneront naissance à des cercles de diffusion qui se recouvriront en partie les uns les autres, et il en résultera une image confuse dont les contours surtout seront peu nets.

En procédant, comme nous l'avons fait pour le miroir concave, nous arriverions à reconnaître que le miroir convexe possède une aberration de sphéricité tout à fait semblable.

A propos de l'aberration de sphéricité par réfraction, nous montrerons d'une manière plus détaillée le mode d'entre-croisement successif des rayons lumineux deux par deux et la forme de la courbe caustique qui en résulte (cf. § 147a, fig. 141).

RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE. 271

[En général, quollo quo soit la fo'rmo qu'ait une surfaco réfléchissante, il n'en est pas, le plan exoepté, qui donne un point unique comme imago d'un point lumineux occupant n'importe quelle position : les rayons partis d'un môme centre no restent plus homoccntriques après leur réflexion, mais ils se rencontrent suivant une surface appelée caustique, commo on vient de le voir pour les miroirs sphériques. A la vérité, dans certaines formes do surface réfléchissante, la caustique se réduit à un point, mais seulemont pour uno position détorminéo du point lumineux; tel est le cas do l'ellipsoïde et du paraboloïde de révolution et môme do la sphère.]

138. Applications diverses du miroir concave. — Lorsqu'on reçoit la lumière solaire sur un miroir concave, il se forme au foyer principal une image du soleil excessivement petite, mais d'un éclat extrême. Aussi emploie-t-on le miroir concave principalement comme réflecteur pour concentrer la lumière sur les objets qu'on désire éclairer vivement. Dans ce but, on place l'objet un peu en deçà ou au delà du foyer du miroir, de manière à l'éclairer sur une étendue suffisante.

La Fig. 126 montre clairement la différence d'action qui existe entre le miroir plan et le miroir concave, sous le rapport de la concentration de la lumière. Tandis que le miroir plan IK réfléchit les rayons parallèles AI , LM , BK , sans changer leur état de parallélisme , le miroir concave I'K' renvoie ces mêmes rayons à l'état de convergence.

Un faisceau incident de rayons parallèles, dont la largeur est AB, éclaire, après réflexion sur le miroir concave, une surface A'B' de même grandeur; le miroir concave, au contraire, concentre ce faisceau et lui donne à une distance déterminée une largeur ab. Donc, la surface ab recevra plus de lumière dans le second cas que dans le premier, et par suite sera plus vivement éclairée.

Quand on n'a pas à sa disposition la lumière du jour, dont les rayons sont parallèles, et qu'on est obligé de se servir des rayons divergents provenant d'une source lumineuse artificielle, c'est alors qu'on emploie de préférence le miroir concave comme réflecteur, car il permet de rendre parallèles ou légèrement convergents les rayons émis par la source lumineuse, tandis que, dans les mêmes circonstances, le miroir plan renverrait a l'état de divergence la lumière divergente reçue. La concentration des rayons lumineux est surtout avantageuse en médecine toutes les fois qu'il s'agit d'éclairer des organes situés profondément et auxquels la lumière arrive difficilement. C'est ainsi que, dans le laryngoscope de Czermak, le réflecteur est un miroir concave (cf. § 133). Nous verrons cette même espèce do miroir figurer dans divers ophthalmoscopes (cf. liv. IV, chap. 17). [On l'emploie aussi, sous le nom iïotoscope, pour éclairer au fond de l'oreille la membrane du tympan; on a même fait pour cet usage des miroirs paraboliques qui s'adaptent à une lampe [ptoscope parabolique de Garrigou-Desarènes, 1865).]

Le miroir concave entre également dans la construction du télescope.

Fig. 12G. — Effet de concentration de la lumière produit par les miroirs concaves.

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