COEFFICIENTS

143*. [FoEMVLES DES DILATATIONS. — Lcs lois dc la dilatation conduisent k des fornlei d*cm usage fréquent, et qui permettent de résoudre les problèmes suivants :

1® Étant donnée la longueur Lo d'un corps k O®, calculer sa longueur Lt à t<^.

Boit j; le coefficient de dilatation linéaire de ce corps; rallongement deTunité de Iongneor pour t^ sera t fois k ou kty et la dilatation de Lo unités de longueur sera Lo l't; ^c.U longueur du corps k /<> est Lo -h Lo kt ou, en mettant Lo en facteur commun, U{l + kt),

Ainsi on a : Lt = Lo (1 -+- kt) (1)

Le facteur (1 -h kt) se désigne sous le nom dc hinonie de dilatation. Q^und on connaît L©, Lt et /, on peut calculer le coefficient /• îi l'aide de la formule P^dente.

^ Étant donnée la longueur Lt d'un corps à ^o, trouver la longueur Lo qu'il aurait "^ U formule (1) nous tirons immédiatement

^*tte formule permet de ramener la longueur d'un corpn à zéro.

^ ^tant donnée la longueur Lt «ft/n corps h <", calculer la long^ieur Lt' tju'il aurait ït\

l^'oiuaTons la formule (1) :

Lt = Lo (1 •^¥•l^^

^ ^e même :

Lt' = Lo (1 -4- /•/').

8i nous (éliminons Lo entre ces deux ëquations , en divisant membre à membre U kcoude par la première, il vient :

U' 1 -4- U* Lt l'-f- ht

d'où: L,'=L. Y!;^ (8)

Au lieu de cette formule exacte, on emploie fréquemment la formule approchée:

Lt'= Lt [1 ^-^• (/' — <)] ' (4)

qu'on dëduit de la formule (3) en effectuant la division de (1 -h ht') par (1 -h itt), eta négligeant les termes qui renferment h k une puissance supérieure k Tunitë.

Pour la dilatation cubique ou dilatation en volume, on obtient des formules tout à tf semblables aux précédentes; il suffit d'y remplacer le coefficient de dilatation linéiiR par le coefficient de dilatation cubique.]

Lorsque la' dilatation est uuiforme dans tous les sens, on peut calculer la dilitaân cubique à Taide de la dilatation linéaire et réciproquement. Considérons, en effet, n cube dont le côté ait une longueur égale à 1 , et dont le coefficient de dilatation linéiin soit k. Élevons la température de ce corps do !<>; il se dilatera dans toutes lei dire^ tiens. La longueur du côté deviendra 1 -f- /;, et le volume du cube, qui était primitiT^ ment égal k 1 , sera actuellement ( 1 -4- it) 3= l -+- 3it -4- 3ita -h it». Or rallongement ï étant toujours une fraction très-petite, le cube l^ et le carré l^ seront beaucoup phi petits et pourront être négligés eu comparaison de 3 k. Le nouveau volume aura vaÀ pour valeur suffisan^ment approcliée 1 -4- 3 /;, par conséquent Taugmentation de Tuiiit* de volume pour !<>, c'est-k-dire le coefficient de dilatation cubique est 3 it, quantité égik au triple du coefficient de dilatation linéaire h.

243^. Dilatation des corps cristallisés. — Pour les cristaux, le coefficient de diUtation linéaire n'est le même dans toutes les directions que lorsqu'ils appartiennent •■ système régulier ou cubique. Los cristaux a un axe optique éprouvent dans le seai ^ l'axe principal un allongement tantôt supérieur, tantôt inférieur k la dilatation tiiiTin^ les axes secondaires, selon que le cristal est positif ou négatif. Dans les cristaux à de«X axes optiques, Icaquels possèdent trois axes d'élasticité inégaux, la dilatation est difif rente pour chacun des axes. Mitsclicrlieh a démontré l'inégalité do dilatation des ciif taux dans différents sens, en mesurant leurs angles k des températures différentes: e«f évidemment, si la dilatation linéaire n'est pas la même dans toutes les dircctionf, l* grandeur des amples doit aussi varier avec la température. Supposons, par exemple, qV dans un rhomboèdre, l'axe principal s'allonge plus que les axes secondaires qui loi W* per])endiculaires, il est évident que les angles qui aboutissent aux extrémités de Tu* principal diminueront, et que les angles situés aux extrémités des axes secondaires tf^ monteront Le contraire aura lieu, si la longueur des axes secondaires croit dans o^ proportion plus grande que celle de l'axe principal.

[243^'. Thermomètre métallique de Breguet. ~ L'inégale dilatabilité des métiux a été mise à profit par Breguet pour construire un thermomètre d'une prM^ sensibilité. Cet instrument se compose d*un ruban métallique HH (Fig. 27*' enroulé en hélice, suspendu verticalement par son extrémité supérieure à uD^f potence SS, et portant à son extrémité inférieure une aiguille qui se meut su»" un cadran horizontal divisé en degrés centigrades.

Le ruban métallique qui forme Thélice est composé de trois lames depUtin'' (For et d'argent superposées et soudées ensemble dans toute leur longueur. !>* platine constitue la paroi extérieure de l'hélice; Targen- est à Tintérieur. U^

DILATATION [lES CORT-S PAR L.\ ClIALKl'Il

i)UP la tcmpératiin? s'élfrve, l'h^Ike ip' le pbtiiie; l'eflet iiiv*r>ie w? produit ({uaud ta tein(>éniture bakse. L'aifii\.f suit les mouvements lie l'hSIice et indique sur le adran la température corw^ndante. Ce thermomètre se gradue par compinin)ii avec im thermomèlre Étalon à mercure. — l'or, (|UÎ possède une dila- Mion interméiliaii'e entre celles de l'argent et du platine, n'est lu que pour empiclier le!) deux autres métiux de se séparer, ce qui iwirrait arriver » cause de hir grande diirécence ilrdililabilit^.]

e déroule, |iuisque l'argent se dllole plus

(143^. Contraction de quelques corps solides par la cbaleor. — Nous avons vu lue la chaleur dilate les corps, Il en est pourtant quelques-uns qui font exception à celle loi ^uérale; le caoutchouc est de ce nombre. M, Joule a découvert ic celle substance diminue de volume en s'écliaurfant. L'iodure de plomli •t trouve dans le même caiii. Cette pi-opriél^ du caoutchouc de se contractei* urinduence de la chaleur est en rapport avec un autre lâil tout aussi ainlier: un mêUd soumis à une compression s'échaulTc; au contraire, un (il Knllique ([u'on étire se refroidit ; or. quand ou étire le caoutchouc , tl s'é- -eO

KM. OIUTATIOH DES LIQUIDES. — Dilatation apparente et dilatation abaolna. — Les JUides n'ont pas de' forme fixe, leur volume seul est constant pour une même ■péralure. Nous n'avons donc il considérer dans cette classe de corps que dcH Htitions cubiques, c'est-à-dire des augmentations de volume. I U dilatation du mei-cure a été choisie pour mesurer les variations de tempébre. Il n'était pas nécessaire, dans ce but, de déterminer l'augmentation telle de volume du mercure , c'est-à-dire la valeur numérique de son coefli- Inl de dilatitlion absolue ; [il sufQsait de connaître la ditaîation apparente. c^eit-à-dire la différence entre la dilatation absolue du meix^ure et la dilatation ^ l'envelojipe contenant ce liquide. |

bulong et Petit, ainsi que M. Regnault ont employé, pour mesurer la dilala-

lion absolue du mercure, une méihude fort ingénieuse basée sur le principe des

*aïe" communiquants, ^t qui offre l'avanhiKe de ne |ms faire intervenir la dila-

■uion (lu réservoir.

Nous avons démontré. S^S", que des licpûdes renfermés dans des vases eoiu-

muniquanU sont en équilibre, quand leurs hauteurs au-dessus de la surikefc séparation sont en raison inverse de leurs densités. Supposons qu'on verse ue certaine quantité de mercure dans un système de deux tubes communiquinii: si le liquide a partout la même température, et par suite la même densité, ilie mettra exactement de niveau dans les deux vases. Mais, si on porte à ^ late» pérature du mercure de l'un des tubes, en disposant autour de ce dernier « manchon contenant de Thuile chauffée, tandis qu'on refroidit àO» l'autre tnl»e, en l'entourant de glace fondante , le niveau du mercure dans le premier we s'élèvera au-dessus de la surface libre du liquide dans le second vase, dW quantité en rapport avec la dilatation qu'a subie ce liquide en passant de 0» à K M. Regnault, en opérant de cette manière et en prenant toutes les précautiou nécessaires pour obtenir des températures stationnaires dans les deux vases, é pour empêcher que leurs contenus ne se mélangent, a trouvé comme coefficini de dilatation absolue du mercure, entre 0« et 50" le nombre 0,00018027; entit Oo et 100, le nombre 0,00018153. [La première de ces valeurs est à très-p«

près égale à -p^-p^- , car cette fraction ordinaire réduite en fraction dêrio*

donne 0,000180180,

Quant au coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre, ï

est sensiblement égal à la différence entre le coefficient de dilatation abeolw

de ce liquide et celui du verre, c'est-à-dire, en moyenne, à |»40||.l

(Connaissant le coefficient de dilatation absolue du mercure, il est facile (If déterminer celui des autres liquides.

La manière la plus simple de procéder à cette recherche consiste a remplir de liquide à ()♦» un réservoir en verre, à le peser et à ré|>éter la môme opération à une autre température V\ Soient Po et V,, le poids et le volume du liquiJ' à 0«, Pt le poids d'un môme volume de ce li(juido à f" et \o\ ce volume nmené à la température de0«. Su[)posons, pourmi moment, que la cai^aciléd" réservoir n'ait pas varié dans l'intervalle dt» O» à V\ alors les poids P» el Pt J^ roiil proportionnels aux volumes VoCt Vo', c'est- A -dire (ju'on auni :

Et si K désigne le coefficient de dilatation absolue du liquide, le voluim»^* de ce liquide est égal au volume Vo divisé par le binôme de dilatation icf. p. 4/a formule | '2 1 :

^' — 1 -t-Kf

En mettant cettt» valeur de V,/ dans la formule pnVédente et en simplitîan'» nous obtiendrons :

il'où l'on tirerait io coofficlmt do diiaUition absoliu»

DILATATION DKS CORPS PAU LA CH.VLEUH. 477

Maïs la valeur ainsi trouvée serait inexacte , car nous avons négligé TaugmeuUiiion de volume subie par le réservoir. Or co- volume, qui était Vo à 0", est devenu Vo (i + at) k t", a désignant le coefficient de dilatation cubique du verre. Nous tiendrons compte de cette dilatation de renvelop[)e , si nous prenons pour volume du liquide pesé à t«^, non pas Vu, mais Vu (1 + a t); alors le volume ramené à 0« est

ce qui donne après réduction :

Pt 1 -f- a t

Cette équation permet de calculer le coefficient de dilatation absolue du liquide, quand on connaît celui du verre. On détermine ce dernier en répétanU avec du mercure la série des opérations que nous venons d'indiquer, ce qui conduit à une formule ne différant de la i)récédente que par la valeur de K , qui représente alors le coefficient de dilatation absolue du mercure , quantité connue en fonction de laquelle on calculera le coefficient a du verre. Il faut avoir soin , d'ailleurs , de faire cette recherche poui* le réservoir employé, attendu que le coefficient de dilatation varie d'un verre à l'autre.

2U*. Dilatation irrégnlière de la- plupart des liquides. Maximum de densité de l'eau. — On a trouvé qu'en général la dilatation des autres litjuides n'est pas proportionnelle à celle du mefcure, mais que le coefficient croît avec la température. Toutefois la plupart des liquides ont ceci de conmiun avec le mercure qu'ils se dilatent d'une manière continue à mesure qu'ils s'échauffent. L'eau îJeule et les liquides qui en contiennent font exception à cette loi : à une température déterminée, ils occupent le plus petit volume possible, et, à partir de ce point, ils se dilatent, soit qu'on les chauffe, soit qu'on les refroidisse. Le maximum de densité de l'eau distillée correspond à la température d'environ + 4«». Pour les mélanges ou les solutions contenant de l'eau , cette température est un peu moins élevée.

Quelle que soit la loi qiic suit la dilatation d^un liquide, on pont toujours la ropré' iKBter par une équation. Pour le mercure, la loi de sa dilatation est facile ù traduire ■Ig^briqnoment , puisque Taugmentation de volume de ce liquide est proportionnelle k r^ération de la température. Si nous supposons, en eftet, que le volume a 0** est 1, le vohunc X à une température de t^ sera :

^ désignant lo coefficient de dilatation du mercure.

Nom avons vu que pour les autres liquides le volume croit généralement avec la **">pér»ture , mais plus rapidement. Le volume d'un pareil liquide à t^ pourra se repré- ••'^r par Téquation ;

*»& et c étant des coefficients qu'il faut déterminer pour chaque liquide. Cette formule ^ *U88i applicable à Teau et aux liquides aqueux , à condition qu'on donne des va- •tti8 différentes aux coefficients a, b, c, suivant Tintervalle des températures que Ton ^**»t embrasser ; entre 0« et 60« les coefficients a et c sont négatifs.

CUALEUii.

A la suite de nombreuses recherches et en s' aidant des formules d^ntcrpolatioB < do la •représentation graphique, M. Despretz et, plus tard,M. Hermann Kopp ontdiei des tables donnant les volumes et les densitës de Teau de dcgrd en degrë. Comme • a souvent k faire usage de la densité de Teau pour la correction des poids spëetftqi des autres corps, nous reproduisons ici une partie de ces tables :

TEIPÉRftTURE.

DENSITÉ DE LEftU.

TEIPÉRATURE.