MOUVEMENT DES COUPS SOÎJDRS

égales , quand ^ soumises à l'action de forces égales , eUes en %*eçoit'ent danfi k même temps des cœeélérations égales, La pesanteur qui nous a servi a déterminer le centre de gravité des corps est aussi utilisée pour la recherche de leur masse; elle offre, en effet, l'avantage d'être la force la plus répandue de la natore et de pouvoir être isolée des autres forces. Aussi le poids des corps sert-il de mesure à leur masse.

53. iccélération due à la pesanteur. — Nous avons choisi pour unité de force la force qui , agissant sur l'unité de masse , lui communique , pendant l'unité de temps, une accélération égale à 4 (voy. § 25). Aucune des forces de ïa nature, la pesanteur pas plus que les autres, ne représente cette unité mécanique. Quand un corps tombe librement vers la terre, l'accélération qui est imprimée à chaque unité de sa masse par la pesanteur est égale à 9»n,809, et non pas à 1 mètre. La pesanteiur est donc à l'unité de force, mécanique dans le rapport de 9,809 à 1 ; on représente ordinairement ce nombre 9'n,809 pai* la lettre g.

53*. Lois de la chute. — [La pesanteur, étant une force constante , produit un mouvement uniformément accéléré. Or les lois qui régissent ce mouvement (§ 24) nous apprennent que :] la vitesse acquise au bout de t secondes par un corps qui tombe librement est :

V = gt

l'espace parcouru dans le même temps est :

\a vitesse de chute des corps qui tombent librement est trop grande pour qu'on puisse la mesurer directement avec un peu de précision ; nous verrons plus loin (§ 56*) comment les oscillations du pendule ont été utilisées pour la détermination de l'accélération due à la pesanteur. Mais quand il s'agit simplement de vérifier les lois de la chute, on peut y arriver à l'aide de la maé\ne d*Afwood qui est disposée de manière à diminuer l'intensité de la forc^ accélératrice et par suite à ralentir le mouvement du mobile ' .

Cette machine permet de démontrer facilement que : 1» la ritesfie acquise par un corps qui tombe librement , en partant de Vétat de repos , est proportionnelle au temps écoulé; 2» les espaces parcourus sont lyroporiionneh aujT carrée des temps employés à les parcourir.

fOn peut aussi vérifier ces lois au moyen de Y appareil ejireffhtreur do Poncelel et Morin, dans lequel le corps, en tombant, trace lui-même sur un nrlindre tournant une courbe qui représente le mouvement dont il était animé à chaque instant. Cet appareil offre un grand intérêt, au moins sous le rapport hi«toric|ue, car il peut être regardé, au point de vue du principe de sa construction , comme le type des appareils enregistreurs imaginés par MM. Ludwig, Helmboltz, Vierordt, Marey etc., et employés avec tant de succès par ces ^nenU physiologistes pour l'étude des mouvements qui s'accomplissent dans l'onanisme vivant.

[Vrtywi U «lc«niption de U ranrhino d'Atwooil dnns toim Icn trnhé^ d»* pliycIqiM' ]>urt:.J

86 DE hk PESANTEUR.

SA, Plan incliné. — Quand un corps ne tombe pas librement, mais qu'il est assujetti à suivre un chemin déterminé, comme, par exemple, à rouler le long d'un plan incliné ou à tourner autour d'un axe de suspension , la vitesse de son mouvement n'est pas la même que dans le cas où la chute est libre.

Soit O (Fijr. 37) un corps placé sur le plan incliné ED ; ce corps, sollicité par la pesanteur , descendra d'autant plus vite le long du plan que l'angle d'inclinaison EDF de ce plan avec l'horizon sera plus grand. En effet, si le corps tombait librement, il parcourrait dans Li première seconde de sa chute

un espace vertical JK = ^ (Cf. § 24 et 53») ; mais,

à cause de la présence du plan incliné , il ne peut

Fig. 87. - Chute cvun corpa le long «^ "?«"v<>i^ ^"^ ^^''^ ^^ direction ED. Pour avoir d'un plan iucUné. la vitesse de sa descente , il faut décomposer la

force JK suivant la règle du parallélogramme; on obtient ainsi une composante JH qui représente la force avec laquelle le corps presse sur le plan ; cette composante perpendiculaire est détruite par la résistance même du plan; la composante JG = HK, parallèle à la surface du plan , agit seule pour faire descendre le corps. Or la comparaison des triangles

ED JK semblables EDF et JHK donne l'égalité des rapports gp =~rfi ^^J ^^o^s montre

que le chemin ED parcouru par le corps le long du plan incliné est au chemin EF qu'il parcourrait s'il tombait librement, dans le rapport inverse des forces accélératrices qui agissent dans les deux cas. On en conclut que le mobile, parvenu au bas de sa course, après avoir parcouru le chemin ED, possède la vitesse qu'il aurait acquise en tombant librement de E en F, car si, d'une part, l'intensité de la force qui le fait descendre parallèlement à la surface du plan incliné est diminuée, d'autre part, cette force agit sur un espace d'autant plus long. Nous pouvons exprimer ce résultat d'une manière générale , en disant : Quand un corps sollicité par la pesanteur totnhe d'une certaine hauteur^ arrivé au bas de sa course, il possède toujours la tnênie vitesse, quel que soit le chemin qu'il ait suivi.

En depigimnt par a l'angle EDF, les fonnulcR du mouvement sur un plan inclina Ront :

r=:Hin. Qt^r/, *'= ,, Bin. «^.

55. Du pendule simple. — I^ théorie des mouvements du pendule repose sur les mêmes principes que celle du plan incliné. On appelle pendule tout corps pesant suspendu par un fil ou par une tige inextensible à un point fixe autour duquel il peut osciller.

Dans le ^^endule mathématique ou pendide simple, on suppose le fil de suspension dépour\'u de pesanteur, le mobile réduit à un simple point matériel pesant, et pouvant se mouvoir sans éprouver aucune résistance due, soit au IVoltement de l'air, soit au frottement contre Taxe de suspension.

Re|)résenlons par 0.\ (Fig. 38) un semblable pendule à l'état de repos; iVartons-le de sa position d'équilibre, amenons-le en OB, puis abandonnons-

MOmT<MENTS PES CORPS SOUDES.

Fig. 38. — Tliéorie du peudulc.

le à lui-même : le point matériel, sollicité par la pesanteur, descendra avec une vitesse croissante vers sa première position A, puis, en vertu de la vitesse acquise, 11 la dépassera en sens contraire, remontera jusqu'en un point B', symétrique du point B par rapport à la verticale; arrivô-là, il rebroussera chemin , parcourra de uouveau sa première trajectoire en sens inverse, et ainsi de suite. Le pendule accomplira une série d'oscillations qui sont régies par les lois du mouvement vibratoire développées au § 27. La pesanteur tend , m effet , à retenir le point matériel dans la position A ; mais , l'équilibre ayant Hé rompu une première fois, il en résulte que le pendule oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre ; s'il était possible de supprimer toute cause de frottement et par suite de déperdition de la force initiade , le mouvement ne s'arrêterait pas et les oscillations continueraient indéfmiment.

Vamplittide d'une oscillation est représentée par la longueur de l'arc BB' ou par la grandeur de l'angle BOB' auquel cet arc sert de mesure ; la durée de VosciUation est le temps qu'emploie le pendule pour accomplir son double mouvement de va-et-vient.

L'unalogie entre le mouvement du pendule et celui d'un corps qui roule sur un plan mclint^ consiiite en ce que dans les deux cas le corps est sollicita par son poids h. tom- Wr, et qu'il est gêné dans ce mouvement par un olistaclc qui l'oblige à suivre une route différente de celle qu'il parcourrait s'il tombait librement. Considérons une portion très-petite de la trajectoire circulaire décrite par le pendule : chacun de ces arcs flementaires est assimilable h un petit plan incliné sur lequel doit se mouvoir le point outeriel; ou peut donc détennincr k chaque instant du mouvement l'intensité de la force accélératrice; mais cette intensité varie d'un point k l'autre de la trajectoire, ptii^ae celle-ci se compose d'une infinité de plans inclinés élémentaires dont l'angle ^toclinaison augmente k mesure qu'on s'éloigne de la position d'équilibre. Au point B menons la verticale HP égale au poids du mobile et décomposons-la en deux autres : hw B\, dirigée suivant le rayon OB, exercera sur le centre de suspension une traction Hai Kera détruite par la résistance de ce point; la composante tangentielle BT agira *nk pour déterminer le mouvement du mobile. Au point C le poids du corps est le ^me que précédemment , mais la composante tangentielle CT' est évidemment plus petite, n est facile de voir qu'en définitive la composante de la pesanteur qui fait tom- ^T le mobile décroît k mesure qu'on se rapproche de la position d'équilil»ro A, oi\ file est nulle, ('ependant il importe de remarquer que cette composante n'est pas exactement proportionnelle k la distance, car le point matériel se meut sur un arc de cercle ^t c'est la corde de cet arc qui représente la distance ; la force accélératrice augmente ^<>nc an peu plus rapidement que la distance ; mais, si on ne considère que des amplitude» très-petites, l'arc se confond sensiblement avec sa corde et on peut alors applil^er snx oscillations pendulaires les lois du mouvement vibratoire, lois qui supposent I« proportionnalité exacte de la fore»? k la simple distance.

Une première conséquence découle de la théorie du pendule , c'est la suivante :

Quand Tamplitude des oscillations ne dépasse pas une certaine limite , la tJUtrée de l'oscillation est indépendante de l'amplitude ; en d'autres termes , les os* dilations du pendule sont isochrones.

Nous avonH vu que la vitesse finale d*nn corps qui descend le longf d*an plan iiu olinë est dgale à la vitesse dont serait animé le mobile 8*il était tombé librement de la même hauteur. Il en est de même pour le pendule ; en conséquence, quand le pomt matériel est arrivé en A, après avoir parcouru Tospace BA, il possède une vitesse égale à celle qu'il aurait acquise en tombant librement suivant la verticale de K en A:

or KA =:= -Q- 9^y en représentant par t la durée de la chute. 8i on conaidëro plotiean

pendules ayant des longueurs différentes, mais accomplissant des oscillations de mine amplitude, les hauteurs do chute seront sensiblement proportionnelles aux longaewi de ces pendules, et,, comme la durée de roscillation est le double de celle de la chute, il en résulte que :

La longueur d'un pendule est en raison directe du carré de la durée de l'o»» cillation , ou, en d'autres termes, la durée d'oscillation d'un pendule est proportionnelle n la racine carrée de sa longueur.

On peut facilement vérifier expérimentalement les deux lois qui viennent d'être établies, celle de l'isochronisme des petites oscillations et celle de la propor* tionnalité des durées des oscillations aux racines carrées des longueurs des pendules. En faisant , par exemple, osciller trois pendules de longueurs respectivement égales à 1 , 4 , 9 , les durées des oscillations sont entre elles comme les nombres 1, 2, 3; on obsei*ve, en outre, si les amplitudes sont suffisamment petites, que, pour chaque pendule, la durée de Toscillation reste la même, malgré les variations de l'amplitude.

Os lois sont renfi»rmées dans la formule :

y if

T représente la durée d'une oscillation complète, / est la longueur du pendule , et g l'accélération due à la pesanteur

Cette formule se déduit de ré<{uation générale du mouvement vibratoire (§ 29) dont les oscillations pendulaires no sont qu'un cas particulier.

[La formule du pendule conduit encore à une troisième loi qu'on peut énoncer ainsi : les durées des oscillations sont en raison inverse de la racine carrée des intensités de la pesanteur.]

56. Pendule physique ou composé. — Le pendule simple est une pure fiction qu'on ne réalise jamais qu'avec une approximation plus ou moins grande. Le pendule physique ou composé est le seul que nous soyons à même de construire; tout corps pesant qui peut osciller autour d'un point ou d'un axe fixes repré* sente un pendule composé. Chaque point d'un semblable pendule tend , sous l'influence de la pesanteur, à osciller conformément aux lots du pendule simple, c'est-à-dire à décrire des oscillations d'autant plus lentes qu*il est plus éloigné du centre de suspension ; mais comme tous ces [K>ints sont solidaire» les uns des autres , ils doivent néct^ssai rement avoir une mt^me durée d'osril-