RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE A TRAVERS UNE SURFACE COURBE
14i. léftâction à travers une sorflice sphériqne. Dioptre simple. — La réfraction de lumière par une surface courbe ou dioptre simple repose sur les mêmes ncipes que la réfraction par les surfaces planes; les différences observées 18 les effets tiennent uniquement à cette circonstance que, dans le cas où surface de séparation est courbe, la direction de la normale varie d'un Bt à l'autre, tandis qu'elle est constante pour les surfaces planes. Nous aurions quatre cas à examiner, suivant que le point lumineux est lA dans le milieu le plus réfringent ou dans le milieu le moins réfringent, luivant que la surface d'entrée est convexe ou concave ; mais ces quatre ptres sont deux à deux réciproques Tua de l'autre, et il suffit d'étudier nplètement l'un d'eux pour l(»s connaître tous.
Vous rechercherons, en premier lieu, ce qui arrive quand les milieux ringents sont séparés par une surface de révolution autour de Taxe ficipal, et nous choisirons la surface sphérique. Noua supposerons, en Ire, que les rayons incidents sont houiocentriques et composés d'une seule lèce de vibrations. Il est entendu d'ailleurs, ici comme pour la réflexion, 5 Yoii considère seulement des surfaces de petite ouverture, c'est-à-dire Iht une faible étendue par rapport au rayon deccmrbure.] [. Dioptre convergent ou positif. — Soit lAK (fig. 177) la coupe d'une olie sphérique décrite du point 0 comme centre avec OA pour rayon; nilieu situé à la gauche de la surface étant moins réfringent que le milieu
>lfo!ioTni. Phrt.-Médic., V édit. S3
Fio. 177. — Foyers ooojagués dans la réfraction à trtrcra an
dioptre tphérique.
de droite, et ]e point de départ des rayons incidents se trouvait milieu le moins réfringent, en sorte que la surface d'entrée est cont
centre de figure i pelle le sommet pâle de la surfao gente, et la droi qui passe par ce par le centre de c 0, est Vaœe pr Marche des
LUMhNEUX. FOTl
jUGUÉs. — Con le rayon lumii
parti du point P et cherchons le rayon réfracté correspondant effet, menons au point d'incidence I la normale, laquelle se avec le rayon 01 de la sphère dont fait partie la surface réfr puis traçons le rayon réfracté IP', faisant avec la normale u de réfraction qui satisfasse à la loi des sinus. En construisant de ! manière les rayons réfractés correspondants aux divers rayons i qui partent du point P et qui rencontrent le dioptre IAK, on Ir que tous ces rayons vont, après leur réfraction, concourir trè blement en un point P' situé sur l'axe principal. Ce point est Yh point P.
Réciproquement, si le point lumineux est placé dans le milieu réfringent, en P', par exemple, les rayons qui en émanent irou réfraction, se réunir en P; car, en vertu de la loi de réciprocité, la prendra, pour aller de P' en P, la même route que celle quelle a sui^ se rendre de P en P'; pour cette raison, les points tels que P el appelés foyers conjugués.
Foyers principaux. — La distance du foyer conjugué P' au so
du dioptre simpL de la distance c lumineux P : k que celui-ci s'â< sommet A , soi conjugué, marcb le même sens, s'a de la surface réfr Lorsque le poin neux a reculé à les rayons qui ei LI, FA, SK (fi
^k)nt parallèles entre eux, et leur point de concours, après la réfract situé en F'. (2e point F', où viennent se réunir les rayons réfract respondants à des rayons incidents parallèles à l'axe principal, s'a) foyer principal postérieur, ou second foyer principal et sa disli surface réfringente est la longueur focale postérieure. Entre 1 principal F' et la surface réfringente, il ne peut se former de foyer o
Fia. il*, — Fojrer* principaux dans U réfraction à travera un
dioi tra aphériqua.
réfuagtion a travers une surface courbe 355
; que les rayons incidents ont été rendus convergents par une \ ou une réflexion préalables.
K>n8,au contraire, que le point lumineux se rapproche du sommet A ; 'conjugué s'éloignera de plus en plus, jusqu'à Tinfini. Les rayons seront alors représentés par les droites pointillées IL', AF', KS', (à l'axe principal, et le point lumineux occupera une position « F, qui porte le nom de foyer principal antérieur ou premier ncipal; la distance FA s'appelle la longueur focale antérieure, )ini lumineux se rapproche encore davantage de la surface réfrin- ; raj'ons qui en partent resteront divergents après la réfraction ; t leur divergence sera moins grande que celle du faisceau incident, u de se réunir de l'autre coté de la surface L\K, pour former une ?//e, ils sembleront partir d'un point situé du même côté du dioptre înt lumineux ; l'image sera virtuelle,
*s résultats se déduisent rigoureusement de la discussion des forni il va être question.
: DXS FOYERS CONJUGUÉS OU DES ADScissE^s. — En appelant p etp' les distancer i de son image au sommet du dioptre, r le rayon de courbure de celle-ci, «latif des deux milieux, on dcmontrj aisément qu'il existe entre ces quatix; relation :
p jy ' r ^ '
la formule classique de 5 foyers conjuguée.
2>=oc, il vient: » -r = (n — i ) — d'où : / = -j^— -j- r == /. . . (1)
/ = 00, il faut que: — = (n — 1) -- d'où: p = ^--^-- r =/. . . (2)
\p= 00, les rayons incidents sont parallèles à Taxe principal et le point de s rayons réfractés est le fo*jer principal postérieur F' (fig. 178) ; la*valeur f donc la longueur focale posté ri jure. Pour que les rayons réfractés sortent Dt à Taxe, c'est-à-dire pour que p = 00, il faut que l'objet soit au foyer anla longueur focale antérieure est donc f,
{ue les deux foyers F et F' sont inégalement distants du sommet A du dioptre que le foyer postérieur F' est le plus éloigné. [La comparaison des formulej
f donne pour le rap;:ort des deux longueurs focales : —= », et pour leur
f^ — f =z /. Donc les deux foyers sont à égale distance du milieu M du rayon
laçant, dans la formule (I), r par sa valeur en fonction de f et de y*, tii*ée des ) et (2), nous obtenons :
oos appellerons la formule transformée :
-•-- ^- ^C - 1 (ÏII)
lu lieu de pr3ndi*e pour origine des dii^tances le sommet A du dioptre, on repré la distance de l'objet au foyer antérieui- et par q' la distance de son image itérieur, on a la formule simplifiée :
gq' = ff- (iV)
non do Tune quelconque des trois formules (I), (II) et (III) conduit aux résultats bjet se ra^iprocbe de la surface réfringente, ^n venant de l'infini jusqu'au foyer
principal antérieur, Tinuige est réelle et s^éloigiie; en allant du fojer poalériaar à ï l'autre côté de la surface. Pui», pendant que Tobjel marche depuis le foyer anténevjpiqa*au sommet A, l'image passe du même côté que lui, derient Tirtnelle etTade rUtaikli surface; en cet endroit, Tobjet et son image se rencontrent au même point
Si l'objet devient tirtuei, c'est-à-dire si les rayons incidents sont con^ergMli, è lll; sorte que, en poursuivant leur roate, ils iraient concourir en un point sitM dmiinli surface réfringente, dans ce cas, Timage est toujours réelle et parcourt rinterralle eafdl entre le sommet A et le foyer postérieur, pendant que l'objet s'éloigne de lamrfim j«|ffi l'infini postérieur.
En résumé, les foyers conjugués marchent toujours dans le mémis sens, ]
Les formules qui précèdent supposent que le point lumineux est situé dans la ■Enlî' moins réfringent, et que la surface d'entrée est convexe. Elles s'appliquent anssi n en4< l'objet est situé dans le milieu le plus réfringent et où la surface d'entrée est eoDcafe,ovë cas est réciproque du premier; il suffira donc de désigner alors par p' la dktance de t et par p celle de l'image. Mais si on yeiit continuer à appeler ji la distance de Tul^ é celle do l'image, la formule (I) deviendra :
Quant aux formules II, III et IV elles resteront les mêmes.
Plans focaux. — La relation qui existe entre les foyers conjugéssilH sur l'axe principal s'applique également au cas où le point lumineux eit4 dehors de cet axe : Tirnage se fait sur la droite qui passe par l'objet et jttk centre de courbure, c'est-à-dire sur Taxe secondaire correspondant, et distances respectives de ces deux foyers conjugués à la surface sont liées entre elles par la même loi que celle qui détermine les relatives des foyers conjugués sur Taxe principal.
 mesure que l'objet s'éloigne du dioptre, son image s'en nj et quand il est à une distance infinie, les rayons incidents sont Taxe secondaire et vont, après la réfraction, concourir en un point sur cet axe à la même distance de la surface réfringente que celle qui sur Yaxe principal le foyer postérieur F' du sommet A (flg. 179), Si K
secondaire coé ""' déré fait on H
petit angle m l'axe sitparcoi il rencontre surfkce gente en un très ToUin pôle A, le foyer principal de cet axe secondaire est sensiblement rftnê un plan mené par h» foyer F' perpendiculairement à l'axe principal. Ui serait de mmxo pour tous les autres axes secondaires voisins de laie ïf Donc, le plan F'X', porpondiculaire à Taxe principal et mené par lefojerfi renfernu» tous les foyers principaux relatifs aux divers axe» secondaiNi ce j)lan porte le nom de p/an focal postérieur, ou second planfœÊL Klevons aussi au foyer antérieur F un jdan FX perpendiculaire à M princiiml; nous aurons le plan focal antérieur ou premier pléÊH fim Tout point situé dans ce plan enverra sur la surface réfringente des rqtf ((ui, après la réfraction, se propageront dans le second milieu paraiMi ment à Taxe secondaire relatif au point considéré.
Fio.l7r. — PUnt focaux.
RBFRACTION A TRAVERS UNE SURFACE GOURBB 357
La notion des plans focaux est utile à connaître, car elle permet de irtraire le rayon réfracté correspondant à un rayon incident quelconque de déterminer géométriquement la position du foyer conjugué d'un point lineux situé sur l'axe principal. Soit, par exemple, le rayon incident QI ;. 179); il s*agit de trouver le rayon réfracté correspondant. Le rayon QI pelé plan focal antérieur en N : or, nous savons que tout rayon lumineux K d'un point du plan focal antérieur prend, en se réfractant, une direc-
parallèle à l'axe secondaire de ce point. Il suffit donc de tracer cet axe »iMiaire NO et de lui mener par le point d'incidence I une parallèle IQ' ; ) dernière droite est le rayon réfracté cherché. D peut encore s'y prendre autrement : menons l'axe secondaire ON' Dèle au rayon incident QI; le point N', où cet axe coupe le plan focal Weur, est le foyer où viennent se réunir^ après la réfraction, les rayons eots i>arallèles à 0N^ Donc, enjoignant IN\ nous obtenons le rayon été correspondant au rayon incident QI.
point lumineux Q, d'où part le rayon incident QI, aura évidemment
foyer conjugué le point Q', où le rayon réfracté IQ' coupe l'axe
ipal.]
wrRUGTiON DE l'imaoe d'un OBJET. — Pour Construire l'image d'un
il suffit de construire l'image de ses différents points. On vient de voir lent s'obtient l'image d'un poiot situé sur Taxe principal ; reste donc itrer la manière de construire le foyer conjugué d'un point placé en 9 de cet axe,
t P (flg. 180) le point lumineux dont il s'agit de trouver le foyer jué. Menons le rayon incident PI, parallèle à l'axe principal; le rayon ^ corres-
mt IF doit 5^---:^^ )^'
r par le T "^ -^^ —- - .__/
postérieur f- j— - — J^
oignons le * k\
Pau foyer \
*^^^ ^ ^^ Via. leo. — CoDitruction de l'inatge de réfraction d'un obj«l.
ongeons
Iroitejusqu'a sa rencontre avec la surface réfringente; nous avons ainsi yen incident PE, qui, après la réfraction, doit marcher parallèlement Le principal, suivant EF. Le point de rencontre P' des deux rayon» ïiés IF et EP' est le foyer conjugué du point P. — L'axe secondaire» p relatif a l'objet P doit aussi passer par l'image P'; de là, deux autres ^res de déterminer ce dernier point.
nr construire l'image de l'objet PQ, il faudrait encore trouver le fover gué du point Q; mais comme, dans la figure ci-dessus, la flèche PQ est ndiculaire à Taxe principal, son image aura la même direction, et on »ndra en menant FQ' perpendiculaire à Taxe QQ\ Tout objet placé au delà du foyer antérieur donne une image réelle et renver^sée, de l'autre côté de la surface réfringente. [Quand l'objet est à un(> lee double de la longueur focale antérieure, l'image lui est égale en ear; elle est plus petite que l'objet lorsque celui-ci est au delà de cette )n, et plus grande lorsqu'il se trouve en deçà. Quand l'objet est situé
postérieur J- i~~Z7Â[ i - — -f
entre le foyer et la surface réfringente!, l'image est virtuelle, droiie A toujours plus grande que l'objet. i
Formule du grossissement ou des ordonnées. — A Taide de simples oonsîdêntkw : géométriques, on démontrerait aisément sur la figure 180 que le itppdrt entre la g»' deury'de l'image et la gi^andeur y de Tobjet a pour valeur:
ou encore: y-^— = y'-^.
En adoptant la formule simplifiée des foyers conjugués : qq' = ff^ on obtiendrait povlr rapport des grandeurs:
147. Aberration de sphéricité des surfaces réfringentes. — Toutes les
établies dans le paragraphe précédent ne sont applicables que dans les où l'on considère des dioptres de petite ouverture et des raj'^ons in<â( très voisins de Taxe principal. Dès l'instant que ces conditions ne sont réalisées, riiomocentricité des rayons est détruite par la réfractioo : rayons parallèles ou émis par un point lumineux situé a distance finie nei réfractent pas de manière à concourir en un point unique; les raji périphériques se réunissent plus près de la surface réfringente que les rave centraux ; il se produit ici le phénomène que nous avons déjà indiqué à de la réflexion par les miroirs sphériques (cf. § 137, flg. 163). ' '
Soit IAK (fig. 181) la coupe d'une surface réfringente de grandi par rapport à son rayon de courbure. C nsidérons le faisceau à»
parallèles LISK dans le plandelafi( les rayons réfiractés respondants à la moi!
supérieure du faisceaa coupent deux h deui suivant une ligne coui qui porte le nom de eux tique par réfractic Pour obtenir les diT< points H, M, X, F, dèteriiiinent cotte courbe, il faut construire pour chaque rayon incident rayon réfracté qui satisfasse à la loi des sinus. La moitié inférieure du c<*au lumineux donnerait une caustique semblable à la précédente, et l'c aurait ainsi une surface caustique présentant la forme d'un pavillon de cor, j
[Nous ajouterons qu'il n*csistc pas do forme de sui*face réfringente qui conserve I ceutricité des rayons réfractéi, pour une position quelconque des rayons incidents; le lui-nicmc, qui faisait exception dans la réflexion de la lumièra, ne donne pas de unique comme image d'un point. On connaît, il est vrai, des surfiaces de réyolution (ellij*»'^ byperboloîde, sphère) pour lesquelles la caustique se réduit à un point, mab pour une position déterminée et fixe du point lumineux.]
148. [Réfraction astigmatiqae régolière. — Ou a vu dans le § 146 que tsfik surface n'^frinfrente symétrique autour fie Taxe principal et à courbure nêgfr;
Fia. 181. — Aberration de sphéricité d*uDe sarface réfringente.
BEntACTIOK A TRAVERS UNE SURFACE COURBE 9o9
), tel est le cas de la callote sphérique, réduit les rajoDs réfracta en ua t tmiqoe, à condition toutefois que l'ouTerture de la surface soit peu idérable et que les rayons incidents soient ;hon)ocentriques. Dans ces lïtions, si le faisceau incident a la forme d'un cylindre ou d'un c6ne rgent à base circulaire, le faisceau réfracté est un cône à base circn- , dont le sommet représente le foyer conjugué du point lumineux. En ant ce faisceau par une série de plans perpendiculaires à l'axe principal bUent des sections circulaires dont le diainèire est d'autant plus petit Q se rapproche davantage du sommet du cône; à ce niveau, la section se ■t k un point.
land la surface réfringente n'est pas symétrique autour de l'axe prin- , le faisceau réfracté peut avoir des formes très diverses , mais jamais [^r« celle d'un cône, et par suite les rayons ne concourent pas en un tunique, alors même qu'ils sont très voisins de l'axe principal. Parmi M les formes de surfaces réfringentes non symétriques autour de l'axe cipal, il en est une qui intéresse particulièrement le médecin, parce qu'on itrouve à un degré plus ou moins prononcé dans le système dioptrique obU chez tous les hommes, et qu'elle y donne lieu h une anomalie de la
fia. m. — Rirraelion É(ll|rm*l<qu* ngnllïrs,
KtioD connue sous le nom tV astigmatisme résilier (voy. § 181"). I Toulons parler du cas où la surface d'entrée des rayons lumineux est OBUnet d'un elliptotde à trois axes inégaux, de telle sorte, par Bple, qae la courbure du méridien vertical YV (flg. 182) soit plus forte cdie du méridien horizontal HH'. C'est au géomètre français Sturm que I (levons de connaître la marche de la lumière h travers une semblable MX réfringente.
[>Bsidérons la surface AVHV'H', qui représente en perspective une
360 OPTIQDE
portion de la surface d'un ellipsoïde à trois axes inégaux, ayant son soionel en A et son grand axe dirigé suivant la droite AF' ; la courbe elliptique YAV', située dans le plan de la figure, est le méridien vertical ; la courbe HÀff , qu'on doit se représenter située dans un plan perpendiculaire à celui de h figure, est le méridien liorizontal. Imaginons qu'un faisceau de ravou parallèles à Taxe principal et limité par une ouverture circulaire rencoDtn la surface réfringente en question; nous allons indiquer quelle sera 11 forme du faisceau réfracté correspondant, eu supposant que la courbure di méridien vertical soit plus petite que celle du méridien horizontal et quek second milieu ait une réfringence supérieure à celle du premier.
Les rayons lumineux situés dans le plan du méridien vertical VAV, qu est une section principale de Tellipsoïde, vont, après la réfraction, se réunir sur Taxe principal en un point F ; les rayons situés dans le méridien horizontal HAH' forment leur foyer plus loin en F', attendu que la longueir focale est proportionnelle au rayon de courbure (voy. la formule [ijdels page 355). Les points F et F' sont appelés, le premier, point focal antérieuf. le second, point focal postérieur; la distance FF' porte le nom H'iniet' valle focal. Si, par le point focal antérieur F, on mène dans le méridia horizontal une perpendiculaire fih' à l'axe principal, et par le point focil postérieur F' une perpendiculaire vv' au même axe, mais dans le méridin vertical, les portions de ces droites comprises entre les rayons extrêmes les lignes focales, antérieure et postérieure. Or, on démontiHî que toui rayons réfractés, quel que soit le méridien correspondant à leur poiuid'û dence, s*appuient à la fois sur Tune et Tautre des deux lignes focales 4 sont ainsi enveloppés par une surface gauche, c'est-à-dire par une sorte non développable sur un plan. 11 n'y a donc que les rayons situés dans la deux méridiens principaux qui aillent se réunir sur l'axe principal; to autres se croisent en dehors, car les normales à leur i)oint d'incidenc? * rencontrent pas cet axe.
Pour nous faire une idée plus nette de la forme du faisceau réfracté, dos» allons le couper en divers points de l'intervalle focal par des plans perpenfr culaires à l'axe principal; les sections ainsi obtenues sont représentées bas de la figure 182. On voit qu'au niveau du point focal antérieur F.k faisceau se réduit à une droite horizontale hh\ qui est la ligne fodk antérieure; plus loin, à la hauteur du point K, la section présente la for* d'une ellipse dont le grand axe est horizontal; en un certain point M,* se transforme en un cercle; au delii, elle redevient une ellipse, mais<loDllf grand axe est vertical. Enfin, au point focal postérieur, nous retrouTOU une simple droite verticale, la ligne focale postérieure vv. En dehors ^ l'intervalle focal, on obtient toujours des ellipses à grand axe horizoutalfli vtîrtical, selon que la section est faite en avant de la ligne focale anlérieW ou eu arrière de la ligne focale postérieure. C'est d'ailleurs dans Tintifvalle focal qu'a lieu la plus grande accumulation de lumière.
Les distances des points focaux F et F' sont régies par la loi delà rêfrst* tion à travers les surfaces sphériques. On démontre aisément, à l'aide df simples considérations géométriques, en rabattant le plan du nwndici horizontal sur le méridien vertical, que les longueurs des lignes fùctki sont proportionnelles à leurs distances au sommet de la sur face refrt^'
RÉFRACTION DANS LB8 LENTILLES Soi
ente; que, par suite, la ligne focale antérieure est plus courte que la oitérieure^ et que la section circulaire est plus rapprochée du point €al antérieur que du postérieur.]
[Les résultats précédents subsistent encore après un nombre quelconque I réfractions, quelles que soient, d'ailleurs, les surfaces réfringentes ; en iriiculier la forme que nous venons de décrire est celle que présente un tsceau de rayons réfractés par le système dioptrique d'un œil affecté Bstigmatisme.|
