CR X AF = BP X AE

Lorque deux forces tendent à imprimer p,^ g ^^.^^, ^a premier genre '.oiil 'té fies déplacements en sens contraire, il par <ies forces non i.araiièies.

pst dans les habitudes courantes de la

mécanique de regarder l'un des moments comme j)Ositif ei l'autre comme négatif; en se conformant à cette convention, on peut énoncer la loi relative à l'équilibre d'un levier sous la forme suivante : la somme algébrique des moments des forces doit être nulle. Cette proposition est vraie, quel que soit d'ailleurs le nombre des forces.

[On peut représenter algébriquement la loi générale qui vient d*être formulée en dernier lieu par réquation :

fd-\^rd'=0 (2),

en désignant par d et d' les longueurs des perpendiculaires abaissées du point d*appui sur les directions des forces f et y*', et en donnant aux moments les signes qui leur conviennent.

Si le levier est droit et les forces parallèles, comme le représente la figure 5, il est facile At voir que les perpendiculaires d et d' sont respectivement proportionnelles aux bras de lefitr / et r ; en remplaçant, dans Téquation (2), les quantités d et d' par les quantités l et /' qui leur tont proportionnelles, on se replace dans les conditions de la figure 5, et on retombe •lors iur réquation (1), ce qui montre bien que celle-ci n*est qu'un cas particulier de l'équâtjon générale relative à la somme des moments des forces. Dans la figure 6, où les r^rces ne sont pas parallèles, il n'y a point proportionnalité entre les bras de levier AC, AH, et les distances AF, AE, du point d'appui A aux directions des forces.]

Noui» avons dit précédemment que la grandeur de la résultante qui tend à imprimer au levier un mouvement de translation est égale à la somme des composantes parallèles agLvaot aux extrémités des bras de levier ; il est facile de démontrer, sur la figure 5, qu'efieclivement IK = AP -f- BQ. Par le point F'^ menons F\K, parallèle à la droite AB; nous oUeDODs ainsi deux triangles IKF'^ et RKF|', qui sont respectivement égaux aux triangles H(^F' et AF^F, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. On en lire :

RK = AP et IK = m ;

d'où: IR = AP -f-BQ, c. q. f. d.

[On n'a considéré jusqu'ici que le cas où les deux composantes parallèles sont de même sens; on a trouvé que dans ces conditions la résultante passe entre les composantes et est égale à leur somme. Le problème est tout aussi facile à résoudre lorsque les deux composantes parallèles sont de sens contraire; le résultat seul diffère en ce que la résultante est alors égale à la <Iifférence des composantes, qu'elle passe en dehors d'elles du côté de la plus grande, et qu'elle est dirigée dans le même sens que cette dernière; quant a la position du point où la résultante coupe la droite qui joint le> points d'application des composantes, elle doit satisfaire à la loi de régalitê des moments.

Mais il se présente ici un ciis singulier qui mérite au moins d'être nieutionné : c*est celui où les deux forces, tout en étant parallèles et de sens contraire, sont égales en intensité : alors la résultante est nulle. Un pareil système senommi* couple et a pour effet de faire tourner le coq)s auquel il est appliqué, jusqu'à ce que les deux forces soient directement opiK)sées Tune à l'autre. Un couple, n'ayant pas de résultante, ne peut être tenu en équilibre par un point fixe; il faut deux points fixes pour empêcher la rotation du corps soumis à l'action d'un couple.

Je vais indiquer tiiainteDant un prucédé géométrique simple et rapide pour trouver à U fois le point d*apphcation et la p:raudeur de la résultante de deux forces parallèles. Soient

âP et RQ deux forces parallèles et de même sens appliquées aux extrémités de la droite AB (fig. 7). Ou change ces forces de place, de manière que 0* Tune vienne occuper la position de l'autre, et réciproquement, en ayant soin toutefois de re|K>rter Tune des forces en sens conti'aire de sa dircctioo ^.t primitive; on joint les extrémités U' et P' des forces dans ces nouvelle* j portions par une droite qui coupe la

^ /^ ligne âB au ])oint O ; ce point est celvi

)>ar où passe la résultante, comme il ' est facile de le démontrer par la con-

sidération des deux triangles semblable»

F.O. 7. - Con^tniHion géo.nétriqn. pour Uét.r.uiuer -^^t?' et BOP'. Par le point 0 mCMOn. I« point dappli. ation et la grandeur de la réiullanle Une parallèle à la direction des force*

de deux forces» parallèlea. jusqu'à sa rencontre avec la droite QR,

menée parallèlement à P'Q' : la droiti' OR représente, eu gi*andeur et eu directiou, la résultaute cherchée. Si les composantes parallèles étaient de sens contraire, tel est le cas des forces APi et BQ, on répéterait la construction précédente dans ces nouvelles conditions: on joindrait les extrémités Q' et P' «le!" forces changées de place, et Ton obtiendrait le point d*applieati<):i iV delà résultante OU'.)

19*. CoBditioni d'éqailibre d'an corpi loUde. — Nous avons éUihli la loi du parallêlo^rainnie des forces et celle de rèfçalit»'^ des moments en raisonnant sur des points et des li»rnt»s ^géométriques; néanmoins ces lois renferment tout ce qui est n^Vessaire pour qu'on puisse d»»cider. le cas échéant, si un corps matériel, soumis ii l'action de forci's de jjrrandetir el de direction connues, restera ené^juilibre ou se mettra en mouv«*menl. I^s seules foriue^ de mouvement possibles dans la nature sont, eu effet, le mouvement de translation i^t celui de rotation.

Pi

pi.

Pour qu'un corps solide sollicité par des forces reste en repos, il faut :

1<» Que la résultante définitive de toutes les forces qui agissent sur ce corps soit nijQle;

?* Que la somme des moments des forces soit également nulle.

Si la résultante n'est pas nulle, le corps éprouvera un mouvement de translation dans le sens de la résultante; si la somme des moments des forces n'est pas égale à zéro, il en résultera un mouvement de rotation dans le M^us du moment le plus grand.

iO. Ra^ort ratra la force et lavitesie derotatioa dani le levier. — Nous avons maintenant à rechercher la vitesse avec laquelle s'accomplit le mouvement qui a lieu, lorsque la résultante des forces ou la somme de leurs moments n'est \Ki< nulle. La question est sans grande importance en ce qui concerne le mouvement de translation : dans ce cas, la grandeur de la résultante sert de mesure au mouvement qui s'effectue, puisque nous ne mesurons l'intensité «l'une force que par l'effet qu'elle produit, c'est-k-dire par le mouvement auquel elle donne naissance.

Les choses se passent différemment dans le mouvement de rotation. Consilérons de nouveau les deux forces AP et BQ qui se font équilibre aux *»xlrêniités du levier AB (fig. 5); supposons qu'on vienne à rompre I équilibre en augmentant l'intensité de l'une des forces, par exemple de la force BQ : l'extrémité B du levier s'abaissera jusqu'en B', pendant que l'autre ♦*xtn**mité s'élèvera en A'. Or, les arcs AA' et BB' sont entre eux comme les bra?» de levier correspondants OA et OB, ce qui montre que, lors de la rupture de l'équilibre, les points d'application des forces se déplacent avec 'les vitesses qui sont entre elles comme les longueurs des bras de levier '•urrespondants. D'ailleurs, pour que l'équilibre subsiste, il faut que les forces soient inversement proportionnelles à leurs distances du point d'appui; il s'ensuit que la force qui suffit exactement à amener la rupture de l'équilibre, doit être aussi en raison inverse du bras de levier auquel elle M appliquée.

Delà, cette conséquence importante au point de vue théorique et pratique, a î<avoir qu'on peut suppléer à la force par la vitesse, et réciproquement, à la vitesse par la force; ainsi, la force AP, qui agit sur le bras de levier l»* plus long, est la plus petite; mais, en revanche, la vitesse avec laquelle a lieu le déplacement du point d'application de cette force est d'autant plus ;n*aade; de même, la force BQ qui agit sur le bras de levier le plus court '•ompense, par la grandeur de son intensité, le peu de vitesse qu'elle imprime au mouvement de son point d'application. Supposons, pour fixer les idées, qu'nn B'(fig. 5) se trouve un poids à soulever, et en A' la main d'un homme »|ni exerce une pi'ession sur le levier : Tintensité de la force nécessaire •laujt ces conditions jnmr faire équilibre au poids est plus petite que la ;'rcindeur de ce poids, et elle l'est d'autant plus que le bras de levier sur iHjuel elle agit est plus grand par rapport à celui auquel est appliqué ]o [■oids. Ija pression exercée par l'homme vient-elle à éprouver un léger accroissement, aussitôt le poids est soulevé; mais jiour ([ue ce poids s'élève *^ulement de B' en B, il faut que la main de l'homme parcoure le chemin VA qui est au déplacement BB' dans le rapport de la longueur du bras de l•'^i♦?r i)s\ à celle de OB. Supposons maintenant «(ue Thomme agisse en Bel

que le poids soit placé en A : alors, pour qu'il y ait équilibre, il doit exister, entre riiitensité de la force exercée enBet le poids, le même rapport qu'entre les bras de levier OA et OB. Si ensuite la force développée par Tbonime augmente d'intensité, le levier tournera autour de son point d'appui, de manière h ce que le poids s'élève de A eu A', pendant que le point d'application de la force motrice se déplacera de la quantité Bli', et les chemins ainsi parcourus par les points d'application des forces seront entre eux comme les longueurs des bras de levier correspondants.

Le levier est fréquemment employé, comme on le voit dans l'exemple précédent, pour soulever des fardeaux, [c'est-à-dire pour vaincre des résistances]; aussi désigne-t-on sous le nom de bras de levier de la résistance le bras qui est destiné à produire un effet tel que celui que nous venons d'indi quer, et on appelle bras de levier de la puissance le bras auquel est appliquée la force motrice. Cela posé, toutes les fois que, dans l'emploi du levier, on cherche à obtenir une vitesse considérable, de préférence k une grande force, il faut que le bras de levier de la puissance soit plus petit que celui de la résistance; quand, au contraire, la résistance à vaincre nécessite un grand développement de force et qu'on n'a pas besoin de beaucoup de vitesse, on doit donner au bras de levier de la puissance une longueur supérieure à celle du bras de levier de la résistance.

20*. Difori genrei de leyiers. — [On distingue trois sortes de leviers, d'après la jyosition du point d'appui par rapport aux points d'application des forces.) Le levier est dit du premier genre ou ititer mobile, lorsqu'il a son ix)int

ti'appui placé entre les points d'application des deux

forces; tel est le levier que nous avons considéré jus-

qu'ici (voir notamment la figure 6). Mais la puissance

^., ^\ 7*^ et la résistance peuvent être situées toutes deux d'un

^ ^,11 / même côté du point d'appui; ces conditions se trou-

"" c ^'^^^ réalisées dans la figure 8, où le point d'appui est

/ en A; la résistance représentée par la droite CR est

Fio. 8. - '^^J^*^'^^" eaxieme appliquée Cil C; le point d'application de la puissance

BP est en B : on a ainsi un levier du deuxième genre ou interrésislanL dans lequel le iK)int d'application de la résistance est placé entre le point d'appui et le point d'application de la puissance. [Dans ce cas, la puissance a toujours l'avantage.] Lorsque c'est, au contraire,

le }K)int d'application de la puissance qui est situé entre le point <rappui et le point d'application de la résistance, on a le levier du troisième genre ou levier interpuissant ^fig. D), [dans lequel la puissance a toujours le désavantage, mais où, en revanche, le déplacement que le p(»int d'application de la résistance éprouve sous Q l'influence d'une augmentation de la puissance, estcon- Fio. 9. - Levier du troi- stainmeiit suiKTieur à l'espace pari^ouru par le point fti nw9«Dre. d'applicalioii delà puissance.]

La seule forme de levier que nous ayons indiquée jusqu'ici est le levier droit, c'est-à-dire une l>arre rectiligne, dans laquelle, par rons«'»<iuent, le point <i'appui et les jKÛnts d'application des fones î>ont pla<*és sur la même droite. Il existe une autre forme de levier, où les bras sont deux dix>ites

qui forment entre elles un certain angle; tel serait, dans la figure 6, le cas du levier FAE ayant pour bras AF et AE, et pour point d'appui le point A. Un pareil levier est dit angulaire ou coudé,

81. Principe des fiteiseï yirtiiellei. — La relation réciproque que nous avons signalée (cf. § 20) entre la puissance et la vitesse de déplacement de son point d'application va nous permettre de donner aux conditions d'équi- ' libre du levier une autre expression que celle de l'égalité des moments. En effet, puisque les arcs AA' et BB' (fig. 5) sont entre eux comme les bras (le levier correspondants, proportionnels eux-mêmes aux longueurs des perpendiculaires abaissées du point d'appui sur les forces, il s'ensuit que les moments des forces sont aussi proportionnels aux produits des forces par les arcs qui représentent les chemins que parcourent dans le même temps les extrémités du levier. On peut donc dire que l'équilibre a lieu quand Je =i f'e\ f et/' désignant les forces, e et <?' représentant les espaces parcourus par leurs points d'application. Or il est évident qu'on peut remplacer Tare AA' par un autre aussi petit qu'on le voudra, à condition toutefois de diminuer la longueur de l'arc BB' dans le même rapport; supposons qu'on donne à ces arcs des valeurs infiniment petites, mais conservant toujours entre elles le rapport voulu : la loi représentée par réquation^e =fe' sera encore vraie dans ce cas. En réalité, lorsque les forces se font équilibre, il ne se' produit pas de déplacement mênie infiniment petit; il y a seulement tendance a la production de déplacements dont les vitesses MÛeut entre elles comme les arcs AA' et BB'; on dit alors que les vitesses sont virtuelles. Ainsi donc, Ja loi de l'égalité des moments qui exprime les conditions d'équilibre du levier peut être remplacée par ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles, dont voici l'énoncé : pour que ïéquilibre ait lieu, il faut que la somme algébrique des produits des forces par les vitesses virtuelles correspondantes soit nulle.

Ce principe est aussi applicable au mouvement de translation. Considérons, en effet, la force AF (fig. 10) et décomiK)sons-la en deux autres |»erpendiculaires entre elles, AP' et AL. Si le point A était libre d'obéir à chacune de ces forces séparément, il serait transporté en L, par l'action de la composante AL, ou en P', par l'action de la composante AP', dans le même temps que celui qu'il mettrait ii arriver en F sous l'influence de la force AF qui le sollicite en réalité ; à j)n)prement parler, nous n'avons donc pas décomposé la force donnée, mais plutôt la vite>se AF qu'elle serait capable dmiprimer au point A. Or ce point fait partie d'un système sollicité encore par d'autres forces qui concourent à maintenir l'équilibre ; il en résulte que la force considérée i.e détermine pas de mouvement réel, mais ç\\i'e\\ô

Wl-«i»t-IIo^otbr, rh>t. méâ,, redit, ^

\if

isiL

Fig. 10. — Démonstration du principe des vitesses

rirtneUes.

34 PHÉNO&lkNES ET LOIS PHYSIQUES EN OÊNÉRAL

tend seulement a en produire, et qu'en conséquence les composantes AL et AP' représentent des vitesses virtuelles. En répétant successivement sur toutes les forces qui sollicitent le système AH la décomposition qu'on a fait subir à la premier^, on arrive finalement k poser, comme condition d'équilibre, en ce qui concerne le mouvement de translation, que la somme algébrique des vitesses virtuelles parallèles à AH et la somme des vitesses virtuelles perpendiculaires à AB doivent être toutes deux nidles. Il va sans dire que les vitesses de sens contraire sont aussi h affecter de signes contraires.

[De ce qui précède, on peut tirer les conclusions suivantes : Ce qu'on gagne en force^ on le perd en espace parcouru, en vitesse ou en temps; et réciproquement, ce qu'on gagne en espace parcouru^ en vitesse ou en temps, on le perd en force.

Il est facile de voir que cet énoncé n'est autre chose que le principe des vitesses virtuelles présenté sous une autre forme.]

Le principe que nous venons de faire connaître a, sur ceux du parallélogramme des forces et de Pcgalité des moments des forces appliquées au levier, Tavantage d'être plu^ général, eu ce qu'il renferme les conditions d'équilibre relatives à la fois au mouvement de translation et à celui de rotation ; il est, en outre, plus fécond pour la science, parce qu'il inirodait la notion de la vitesse, qui a aussi une grande importance en statique, car, rigoureusement parlant, dire que des forces se font équilibre signifie que l'équilibre a lieu entre les vitesses que ces forces tendent à développer.

Le principe des vitesses virtuelles est celui qui conduit le plus aisément à une expression mathématique des conditions de l'équilibre. Appelons, en effet, f la force AF (tig. 10), ^ la force BF', y"', y"", etc., les autres forces qui agissent encore sur le corps considéré; désignons par aPangle P'AF, par ol' l'angle QBF' et par a", ol"\ etc., les angles analogues ootrespondants aux autres forces; les composantes parallèles à l'axe AB auront alors pour valeurs respectives les expressions ysiu a, y'sin a', y 'sin a", ctc.^ et les composantes {>erpendiculaires seront représentées par J* co?* a, y'cos a', y'cos a", etc. Kn regar dant, pour les deux systèmes de forcer, comme positives les forces qui sont dirigée*» dans un sens et comme négatives celles qui tirent en sens contraire, ou arrive à prouver que réquilibrc a évidemment lieu, en ce qui concerne le mouvement de translation, quand :

/ sin a 4- /'sin a' ; /'sin a" + ^ ^> (D

/ cos a -f- y'cos a' 4- /Vos a" + = 0 {2)

Pour trouver la condition d'équilibre relative au mouvement de rotation, du point U, par où passe la résultante de toutes les forces qui tendent à faire tourner le levier AB, Abaissons sur les directions des forces les perpendiculaires OD et OD'; transportons ensuit "^ les points d'application de ces forces sur leurs prolongements en D et D', ce qui ne change rien à l'état dû système, comme on l'a vu précédemment, à condition toatefo:.^ qu'on supi)Ose les points I> et D' liés invariablement aux {)oints A et B. Nous avons ainsi remplacé le levier droit A OC par le coudé 1)0 D', et on sait que ce dernier ne tournera pas si la force AF, qui agit sur le bras OD, tient eu étjuilibre la foi*ce BF', qui sollicite le bras OD'. Or, imaginons que le levier tourne virtuel fenient de l'angle ? : l'arc décrit par le jioint I) sera i'gal à cf'l^, et l'arc pai*couru par le point D' aura une longueur d >, eu ap{>e!ant d et d' les bras de levier OD et OD'. Le principe des vitesses virtuelle» exige, j)Our l'équilibre, que ./*<' i* = ./' d ? ou simplement J'd = /"cf.

Supposons maintenant qu'au lieu de tieux forées il y en ait un nonibre quelconque y, y, y*", etc., et désignons par rf, rf', </", etc., les bra^ de levier perpendiculaires a ro'» forcoi ; regardons comme positives les forces qui tendent à faire tourner le levier dans un senM, et comme négatives celles qui tendent h le faire tourner en 5ens iuversct I^our qu'il lie se pi*odui:ie pa^ de rotation autour du ]>oint O. il faut qu'on ait :

fd J'd' i J'ii" = 0 ^:<)

LOIS DU MOUVEMEST 35

El *'«"■. d'ailleuTE, que le i^boix liu poiat pris comme centre de rotation est eatièicmeiil ll^loTEqu'oti cherche seuk m eut a savoîi- ei un «y^tème inolênel peut ou non toumei': ■Ma ne se meut pas autnur d'un point librement choisi n'épi'ouve, eu gi>néral,BucUD HElde rotatioD; au lieu du point 0, nous pourrions prendre tout autre point comme 9i tvtatioo. Par coD«équent, l'énonco suivant renferme la condition générale d'équiiiïre en ce qui eonceme le mouvement de rotalioi) '■ Ji d'un point guelroni/vir on mène .-I droitrM fxrpentiiculaîres sur le» directions des forées, il faut, povr que lu corps cr louriif pat, que lit somme iilgébrijuc lies produits des forr.fi par les perpendiculaires eorrerpond'i"les soit épnlf & ;i-ro. I Bq réMuné, on voit que pour établir les conditions d'équilibre d'un corps nolîde, il faut

I Lan usage de Irtns équations, il savoir les équations (() et (2), qui concernent le mouvement r de iniMlalioD. et r<jquation (3), qui regarde le mouvement de rotation. [Nous devons ceru^idaut faire remarquer que en trois équations ne suM^ent pas à représenter, dans toute ■-i^r généralité, les conditions d'équilibre d'un corps solide ; on ue peut les emplover que -las le ca« particulier où les forces qui sollicitent le corps sont toutes situées dans un même i/ita. Pour traitei' le problème d'une manlêro tout ù fait générale, il faut décomposer diaqae force en tmis autres parallèles a trois axes perpendicublres entre eux, et l'on «Uieot «iitû. non pas tiois, mais six équations d'équilibre, dont trois pour chaque geure d.inouvctncut.1

IS. AppllMtiDii! da prlBcipe da parallélDgranme des forces et de celui di \ti\vt. —On nurail 'le l.i peine à li'oin »■!•, liaiis la nature ou ilaiis les arls, un exemple ilepnxliirtion de F'irce mi de vilesne ([iii ne nécessite pas l'application du principe (hi parallèlograiiinie des forces, ou d« celui du levier, ou des deux h la (ois. L<>s mouvements des différentes pièces du squelette humain s'oiièreut pn.tque exclusivement par l'intermédiaire de leviers (cf. § 65). Nos instrumnti U*J« plus indispensables sont aussi des leviers, car à tout uiomeut nous lïonsbesoinde transformer la force eu vitesse ou la vitesse en force; parmi Wletiers le.* plus usuels, nous citerons les tenailles, les ciseaux, les pinces; lia&s reni|doi rfe chacun de ces instruments, ou a îi se demander si on veut "falniir Hurbtut de la force ou de la vitesse, et quelle est la quantité de force im de Titflsse ilont on a liesoïn. Les tenailles représentent un système do deux leviers accouplés, destiné à produire de la force; plus on veut que l'effet nlitciiu soi! puissunl. plus il fant raccourcir le bras de levier de la résistance H augmenter celui de la puissance ; on peut, avec une seule et même paire ■le tenailles, inoililier, suivant les circon,siances, l'intensité d'action de linKlniHieiil : on n'a qu'il lui donner, lorsque la chose est praticable, la fomie d'uu levier iln deuxième {ïenre, qui permet de faire varier facilement

dULince entre le [Hiirjt d'appui et le point d'application de la résistance.

la pince, le levier est du troisième genre, non pas qu'on ait besoin

grande vitesse de déplacement, niiùs afin que la force, avec laquelle

mors de l'instrument saisissent les objets, soit modérée. Les ciseaux sont

»« quelque sorte ries tenailles tranchantes; ils représentent, comme ce

'lemier instnimenl, un système de deux leviers du premier genre, mais

■1 lir»s il jHjti près égaux. [Le principe d'un ^rand nombre d'instruments de

'hinirgie reiiosesur le levier plus ou moins modifié; noua citerons, entre

iulfts, les piiices à dissection et autres, le davier et 1,t clef des dentistes, le

rierdesaccouclieurs, etc.; certains appai'eils employés dans les recherches

'^lysiolugie niéilicale utilisent aussi les propriétés du levier : on en trouve exemple dans le spbygmograplie.]

'Oii fait encore un fréquent usage de machines sim]iles, qui ne sont autre qoe des furmes particulières du levier : telles sont la ImUiiice, la

36 PHÊ:€OMÊNES ET LOIS PHYSIQCES EN GÉNÉRAL

poal:p. etc.; mais, comme l'action de la pesanteur intervient dans le jeu de ces appareils, nous en parlerons dans le chapitre consacré â l'étude de la pesanteur (V. § 49 et suiv. i.

|lt>. nivto il MiA a^lifiM âu iiilf iHi iâMttfMi i< . — (Juel qu'il soit, scalpel, bistouri, couteau à amputation ou à cataracte, lancette, ciseau, gouje, aiguille, etc., qu'il ait une lame plane ou courbe, un tranchant rectiligne on curviligLe. ou luAme puîictiforme, quel que soit le mode opératoire suivi, un instrument tranchant ou piquant agit toujours eu s'insinuant. à la manière d'un coin, entre les molécules à diviser.

La théorie du coin sert donc de base à celle des instrument^ tranchants et piquants. La résistance qui s'r»ppose à la pénétration de la lame ou de la pointe est représentée par la force de cohésion île la substance s<)umise à l'action de l'instniment et s'exerce normalement aux faces du coin <^'. La pui^^anc^^ de>tiiièe à triomplier de la résistance pn>vient le plus généralement de la main qui opère «couteaux à amputation, à cataracte, bistouris, scalpels, *rtc.); [larftjis elle ♦->*. ilue à Tactioa d'un ressort ^scarificateur pour ventouse. plilébi»tome. etc.); dans le couteau de la guillotine, c'est le poids même deTiiiMnimeut, augmenté de la (vixe correspi>ndante à la vitesse acquise durant la chute, qui e!;tiv en lutte contre la résistance.

a) Instruments tranchants. — 0>nsiilén»ns d'alK>rd le cas le plus :(iniple, celui d'une lame plane k tranchant rectiiigne, et suppi>sons qu'elle ait la forme d'un pri>nie droit, k base triangulaire : dans ces conditions, l'arête qui «ert de tranchant e>t parallèle aux <leux autres, et, si le triangle de base est isocèle, le plan mené par le tranchant perpendiculairement au dos de rinstrument f>l bissecteur de l'angle des fci^vs de la lame. C'e>t dans ce plan, que nous ni»mmei*ons pian de iiièrèsf\ que se trouvent aussi la force motrice qui agit >ur le couteau et la solution île continuité ou diérèse qui est la conséquence île celte action.

Cela posé, «leux cas s^mt k lonsidérer, selon que la pui>sance, tout en agissant dans le pUm de diérèse, a une diivction |»eqien«liculaire ou <»blique au tranchant «lu ci»uteau. C>s ileux cas ne diffèrent d'ailleurs l'un de l'autre que par l'angle du coin qui opère la diérèse : quanti la puissance est per|>endiculaireau tranchant, elle ^'excrce sur un coin dont l'angle a jH.»ur mesure l'angle même des faces de la lame, cVst-à-dire celui de la section droite; si la force motrice est inclinée sur le tranchant, elle agit dans une section oblique^ et. par con>équent, sur un coin dont l'angle, toujours plus petit que celui île la section droite, diminue k mesure que l'obliquité augmente.

1* Section droite \tig. il). — Kn coupant la lame [^r un plan perpendiculaire au trancliant, nous obtiendrons, pour section drtn te. le triangle isocèle ABC; les cOté^ AC, IX*. ivpre:jehU nt les faivs de la lame et le commet C répond au tranchant. Sur la hauteur IC, bissectrice de l'angle du coin et médiane de la base .Vlj, prenons une longueur IF qui r%»présente, en grau-

l't*r.U<iaoTéM.C^^rt à' P.,s^,*^ .•/.•'r:r. Ljoa.iiTf No:« mia :» nr-* ; — Xo^s .•r«\.in« d^-volr ••.» p%.-«il •tfr.r «a .it«r*: x-i as.* -.'>• * «-"? i»i*rt«. *. *i ^uVc Ia : '•^ L^nu ^ ^«.a 4a0« Ir»

I I r««r s- pai -.-•?:.q-.*r - ..r« m^.rt .>\p-* i- «a 15*^ ri-, r»n>ut .&.«»• de c«f U r^»itUiM« •rr /«Art è r« -..«'«a a-cr " a*' --.'V^ i- li rr?i> ar x tolil*.^

deur et en direction» la puissance appliquée au point I. Décomposons alors la force IF en deux autres, IQ et IQ', égales entre elles et respectivement perpendiculaires aux faces BCetACdu coin. On obtient ainsi le losange HjFO'» dans lequel la diagonale IF représente la résultante des deux forces ly et 10'. Chacune lie ces composantes tigure la pression exercée par la face correspondante du coin et doit être égale à la résistance à vaincre, qui agit en sens contraire.

La diagonale IF divise le parallélogramme des forces eu deux triangles isocèles égaux entre eux et semblables à la section du coin, par suite de l'égalité des angles qui ont leurs côtés homologues respectivement perpen diculaires chacun à chacun; il en résulte que les angles IQF et IQ'F *oul tous deux égaux a l'angle du coin ACB. En menant la hauteur PQ ilu triangle isocèle IQF, on partage la droite II' et Tangle opposé IQF, chacun en deux moitiés égales, et on obtient deux triangles rectangles égaux. Or, l'un de ces triangles IQP, par exemple, donne la relation :

IP = IQ sin IQP

Si nous désignons par P la puissance IF, par Q la composante IQ ou son égale la résistance qui agit normalement k Tune des faces du coin, par 2 X l'angle du coin ou son égal IQF, nous pourrons mettre la relation précédente sous la forme :

= Q sin a.

Fio. 11. — Théorie du coin (section droite).

d'où on tire

et

P = 2 Q sin a

S^sin a

On sait que la valeur d'un sinus varie depuis 0 jusqu'à 1, pendant que laiigle croît de 0** à 90**. Ces formules montrent donc que :

1) Une même puissance P donne deux composantes Q, qui représentent chacune la pression que la face correspondante de la lame exerce normalement à son plan et qui sont d'autant plus grandes que l'angle des faces est plus petit; la lame ne peut commencer à couper qu'à partir du iiKiinent où la composante Q est égale a la résistance que lui oppose la substance à diviser.

Pour un angle de 30% sin a = -i-, et Q = P. L'angle a des inslru^ menu tranchants, que nous nommons angle de rfieVésd?, étant bien inferi^^iP i 30^, Q est toujours plus grand que P. i ip

2) U puissance qu'il faut appliquer 4 une lame Irandiuaie vo^vt^ ^

faire triompher de la résistance Q opposée iioriiialemeut à chaque face par la substance a diviser est proportionnelle au sinus de Tangle de diérèse ; elle est, par conséquent, d'autant plus petite que l'angle des faces de la lame est lui-même plus petit.

Si on considère, par exemple, deux lames d'angles différents % et x', les puissances P et P', dont elles auront besoin pour couper une même substance, seront dans le même rapport que les sinus des angles, car on aura :

P = 2 Q sin a F = 2 Q sin a' 1' ' ^^ sin g^

d ou : -fT" =^ — : . (o)

p sm a ^ '

Comme les angles sont très petits, on peut substituer leur rapport à celui de leurs sinus et écrire :

en sorte que les puissances requises par deux lames tranchantes, pour opérer la division d'une même substance, sont entre elles comme les angles des lames.

3) D'autre part, si on évalue les tl'avaux des forces P, P', en inultipliaut la force par le chemin parcouru suivant sa direction, c'est-à-dire par la course du coin, ces deux travaux seront égaux dans le cas où les travaux correspondants des résistances le seront, condition que nous supposons réalisée.

Nous aurons donc :

PA = IW, (4)

A, h' désignant les couinses du coin dues aux puissances P, P', De la relation précédente on tire :

JL-JL h ~ V '

ou, en vertu de l'égalité (3 bis),

On voit que, pour une même résistance vaincue, la lame la plus aiguë s'enfoncera davantage, conformément au principe des vitesses virtuelles, en vertu duquel on gagne en vitesse ou en espace parcouru ce qu'on penl en force.

Il y a donc double avant^ige [\ diminuer autant que possible l'angle des faces d'une lame; car plus cet angle est i>etit, moins est grande la puissance nécessaire pour que la lame cf)upe, et plus est considérable la profondeur de l'incisîon.

Ainsi se trouve justifié |)ar la théorie ce l'ait d'observation, qu'un c(mteau coupe avec d'autant moins d'effort et avec d'autant i)lus de rapidité que sa lame est plus aiguë <*'.

Q'i; i\ est bi^n évident qae, toutos chotet éiralet d'ailleurs, la résistance totale augmente proportionnel» Ivinent au nombre des molécules qui sont séparées â la fois, c'est-à-dire en raison direct* do la lon>

2^ Section oblique (fig. 12.). — Considérous maintenant le cas où la puissance P agit dans une section oblique A'B'C et supposons que la lame se meuve suivant la direction de la puissance, soit qu'on la guide avec la main, ou que quelque obstacle p. soppose à ce quVlle se déplace •lans un sens perpendiculaire au plan de la section oblique.

Dans ces conditions, nous pou- ^(ms décomposer la puissance dou- . liée F en deux forces, situées dans le plan de diérèse. Tune, GP = P. IHTpeiidiculaire au tranchant et a^'issant par conséquent dans la section droite, l'autre, CP', per- [•eiuliculaire à la direction de la puissance et neutralisée par la résistauce qui empêche la lame de st* déplacer dans une direction normale à la section oblique.

Fio. 12. — Théorie du coia (section obliqua).

La composante perpendiculaire au tranchant a pour valeur :

sin 0 '

^f «lésignant l'angle que fait le plan de la section oblique avec le tranchant '!t* la lame, et que j'appellerai l'angle de jorogrr^^^f on; cet angle est égal à laiide PCF qui lui est opposé par le sommet. Or, la force P agissant dans la section droite d'angle a est donnée par la relation :

P = 2 Q sin a.

Nous pouvons donc poser :

-^— = 2 Q sin a

sm 6

<!ou

F = 2 Q sin X sin 6. (6)

Tdle sera la valeur de la force F requise pour que la lame coupe, en se mouvant suivant une section inclinée de l'angle 6 sur le tranchant.

Ou voit que cette force, proportionnelle à sin 0, sera d'autant plus faible pour une même lame et une même susbtance k diviser, que l'angle 0 sera lui-même plus petit.

>>'ir de riacition. ou, ce qui revient au même, de la loug leur du tranchant qui est utiliaée; la pui»« ^w» doit, «rn rona^quence, croître dan» le mArae rapport.

^ OD appelle q la composante normale éf<ale à la résistance par s«>ction droite d*4paiaseur 1, p la puia* '^''''^correspondante, b la deroi-baiie IB de lasr^ction droite et a le rCtéBG,on aura donc, par sectfoo droite <''p«in«ur égale à Tunité :

p ^ 2 q uin a - 2 q — »

'u p>sr roDsrquent. pour une longueur l du tranchant :

ip ssx 2 Iq sin ai.» P<waot : Ip = P, /7 = 0,

b « «trouve la formule : P *= 2 Q sin a = 2 Q — ,

• • -iprime la relation entre la puissance totsle P et la n-sistaiice totale Q," relativement à la loDgacur '^*mt i au Inuichaat |

40 PIléNOIlENES ET LOIS PHYSIQUES EN OÉNEBAL

Si nous appelons p l'angle E)CB' de la section oblique qui corresp4)Oil à Tangle % de la section droite» et u> Tangle du aMé C B' de la section oblique avec le tranchant, angle situé sur la face de la lame et, |>ar conséquent, plus grand que l'angle 6, la crMn|)araison des triangles ICB, DCB' avec le triangle BCB' donne la relation :

sin JJ = sin % sin w. ^7)

Tirons en la valeur de sin a et introduisons-la dans l'expression (0) de F ; il viendra :

F == 2Q sm p— T- — . (8)

sm 0)

Or, si l'angle % des faces de la lame est petit, a> sera i>eu différent de 6 et

sin ^ d'autant moins que ô sera lui-même plus petit; le rapport — : i^eul alors

être considéi*é comme égal à 1 et la valeur de F devient ;

F = 2 Q sin ?. ^8 bis)

Ou jieut donc dire que la force, qu'une lame à section ilroite d'angle % exige pour couper obliquement à son tranchant, est égale à celle qui serait requise par une lame dont la section dnûte aurait l'angle ^ de la section oblique, lequel angle diminue en même temps que 6 ou w et devient nul quand la lame incise parallé!emc'nt à son tranchant.

Il est facile de voir, en outre, que, si la c(uirse de la lame dans la direction de la puissance estCF, que j'appelle e, le chemin parcouru dans le même temps, jn-riiendiculairement au tranchant, sera CX, que j'api)elle A, et on aura entre ces deux courses la relation :

h = e sin 6, (9)

a laquelle on arrive aussi en égalant les travaux des deux forces F et P, ce qui donne :

¥e =r. PA,

d'où : /t = -— = e sin 6. (10)

Si on considère la même lame poussée successivement dans des directions obliques 6, (^, par rapport à son tranchant, par une même puissance F, les chemins e^ e\ ])arcourus dans les deux directions, ser«)nt entre eux dans le rapport :

sm ^

e' smO .„

■ e - siu 6" ^*'*^

et, pour dos angles 1res {letits,

ff V «»» ^

C est-a-dire que le chemin le plus granil v' correspondra à l'angle le plu;} petit 0^ ou à Tobliquité la plus grande.

LOIS DU HOUVEUENT

On voit donc qu'il y a avantage à faire agir un couteau obliquement t «un traucbant, car cela revient à appliquer la puissauce sur un coin <t angle ?, plus petit que l'angle a de la section droite ; alors la puissance requise pour opérer la diérèse est d'autant plus faible qu'elle s'exerce dans une liirevtion plus voisine du parallélisme avec le tranchant, et la profondeur de ]i«nétration du couteau dans la même direction croît dans le même rapport.

Rkmarql'es. — 1. La ))lupai't iJes iuBU'umetiU traDcbanla, et, en paiticulier, le» cout«auz

Ji>Dloii Et Ki't ea chii'UL'gie pour inciser par poDction, tels que les bistouris, les coutaïus

* cUanctr, les laoceUei, réalisent précisément les conditions <Ie la section oblique. Imagina», eo effet, qu'on vienne à couper la lame pi'iamatique île la figure ii par un plan

ABC perpendiculaire au plan de diérèse, passant pai' le point C et faisant un angle B avec

le tranchant : il en lésullei'a une lame

ptrsmidate, ojant le même tranchant et

l« même ang'le ■ des faces, mais dont lo

Jm, étant précisément la section oblique

.VB'C.fera un angle t avec le tranchant et

le ri>jaindra pour le terminer en une pointe

Ccuiiespondant au sommet de la pyramide.

On obtiendra ain^i une lame k coupe longitudinale triangulaire, tulle que celle de

l*6gur«13,daiu laquelle l'angle au sommet

du liiangle mesure l'inclinaison de la

Mction oblique sui' le tr'snchant Si on emploie une semblable lame pour

pruélrer par ponction dans un tiuu, on

luil que la puissance ('exerceru dans la

Mctioo (Clique ef dans la direction même

Biivant laquelle on enfonce le couteau

Un pourra donc décomposer la puissance,

comme nous l'avons fait précédemment,

Ji-com position qui revient à traiter la coupe

loi^tudinale du couteau de la même ma-

iiiere qu'on en a agi à l'égard de sa section

droite, c'ett-à'dire a considérer aussi

ladite coupe comme étant celle d'un coin

Joot la section a la forme d'un tiiangle rectangle. L'angle de a

l'angle de progression 4.

Bd noua reportant aui résultats fournis par l'étude de la section oblique, nous voyons fu'une lame pyramidale, â base triangulaire, coupe d'autant mieux que son angle de diéttttt (moitié de l'angle des faces) et aon angle de progi-cssion S (ou an//le de poinu) wntpluB petits; en d'autres termes, un semblabU coulea<i incise iTaulattl plus aisémeni qu'il a un tranchant plut acéré et uns pointé ptui effilée. C'est là une concluaion dont chacun a pu vérifier la jusleaae.

ï. L'application de* principes et dea formules précédentes aux diveraes formes d'in- UnuncDta tranchants permettra d'en comparei' les pouvoirs diérétiques et fournira plua d'une conséquence intéressante. C'est ainsi, par exemple, qu'on pourra se convaincre de l'inipoaaibililé absolue d'obtenir un couteau ^ancéofiiire ou triangulaire coupant aussi tûen que le couteau linéaire à angle de progression presque nul ; on ti-ouvera encore que le nnleait laneèolaire exige, toutes chosea égales d'ailleurs, deux fois plus de force que la iruini/ul/iire, ayant même a et raijme fl, pour accomplir le même travail. Le chirurgien ne saurait opérer avec toute la sûreté et la légèreté de main désirables,

■{aand il rencontre des variations de résistance notables et brusques. Tel est précisément

le ra.1 qui se présente dans l'opération de la cataracte par Léi'atotomie, pratiquée au moyen

Ja UMiteau triangulaire à tranchant rectillgne: ver* la fin de l'incision, lorsque le tranchant

détient tangent à la circonférence intéiieure de la section cornécnne, la longueur du tiasu

a diviser et, par suite, la résistance augmentent brusquement d'une quantité Lotable, çouc

Fio. 13. — Tbiorie dn

n'est autre que

(Iccroitrc en^^uite de plus en plus vite et finir par cesser subitement. En semblables circonstances, il peut y avoir avantage à donner au tranchant du couteau une forme différente de la ligne di*oite. On obvie, en effet, aux inconvénients qui résultent de la configuration des parties dans Tincision de la cornée, ou, du moins, on les atténue autant que possible en donnant au tranchant une courbure en arc de cercle saillant (couteau connexe) ; la courbure doit être telle que Tangle de progression, diminuant à mesure que le couteau avance, soit déjà considérablement réduit, lorsque la longueur de l'incision atteint son maximum, et n*ait plus qu*une faible diminution à subir pour devenir nul, à Tinstant où Tincision eM terminée. On arrive ainsi à compenser d*une manière suffisante Taccroissement de rés^istance par la diminution de Tangle de progression, de telle sorte que Teffort requit pour inciser la cornée aille toujours en diminuant et par degi'és sensiblement réguliers, jusqu*ù la valeur zéro qui est atteinte à Tinstant précis où on achève la section.

b) Instruments piquants. — Imaginons qu'on fasse tourner la section droite de la figure 13 autour de la hauteur IC du triangle comme axe; ou engendre i)ar cette rotation un cône, c'est-à-dire un coin à base circulaire, ne différant du coin k base de tètragone rectangulaire, qui représente la lame prismatique, que par l'orientation des diverses sections droites dont ou peut le considérer comme formé.

(jeiie différence d'orientation ne modifie en aucune façon la relatiou précédemment établie entre les forces en jeu dans chaque section droite. Nous aun)ns donc pour la section droite d'épaisseur i :

p = 2q sin %=2q ^ ,

puisque >• -= a sin a,

en appelant a la moitié de l'angle du cône (angle de diérèse), a la longueur de Taréte ou génératrice, et 7' le rayon de la base du cône. La circonfér(»nce de la base ayant une longueur égale à 2 t. 7\ la somme des puissances, jK^ur toute la surface latérale du cône, sera :

et de même, la somme des résistances,

2r.rxq=Q.

On aura, par conséquent :

P == 2 ic r X 2 ç sin a =i 4 ic g r sin %

y ou simplement : V =: :i{} sin x == 2 (J — .

Ces fornuiles. étant entièrement semblables à celles du coin isocèle à base rectangulaire, conduisent aux mêmes conclusions.

Or, un grand nombre d'instruments piquants, tels que les aiguilles, les épingles, etc., se terminent en une iiointe de forme conique, à laquelle s'îipplique la tliéorie du coin à base circulaire. En conséquence, nous pouvons dire maintenant i)ourquoi ces instruments piquent d'autant plus aisément et pénètrent, pour un même effort, à une profondeur d'autant plus grande que leur pointe est plus acuminée.

Les aiguilles et les épingles employées on chirurgie, aiguilles et épingles à suture, aijuillet à catai'acle et à pai-aceutèse, ont une pointe qui présente babituellemeut la forme d*Du

laaeéolttra an nuiiiatiirey al dont» par oùtméqwDif la Ihéoria rantre, comma oalla k « fwtawi, daaa la caa da laaaetion obliqna. On a tu qn^alla conduit à dea conclnsiona tk nSBa gamte : pbu on diminué^ non setdement Vangie de diérèse^ mais encore celui h pv9§rmêskmp phu on augmonto le pouvoir diérétique de VinstrumenU

La pointe daa troaarli a k forma d'una pyramida à basa da triangla éqoilattfral : il ■A ëa la conaidârar aonima compoiéa à» trois lames triangolairas égalas, pour pooToir j ipplifaar la théoria da oa ganra da couteau et en tirer les mêmes conséquences relatiTement ifiainenoa fim>FaUa da k,petitaaaa des angles de diérèse et de progression.]]

uiteBa. — Quand une force, après avoir mis en mouvement un corps on un point matériel, vient tout à coup à cesser d'agir, le corps n*en continue pas moins à se mouvoir en ligne droite, et, en vertu du principe de Tinertie de la matière , le mouvement devient uniforme a partir du moment où le mobile est soustrait à Taction de la force motrice. Si, par exemple, c'est un choc qui détermine le mouvement et qu'aucune torce ultérieure n'intervienne, le corps jarcourra des espaces égaux dans des temps égaux; d'où résulte que, connaissinï le chemin parcouru par le mobile pendant un temps déterminé, on peut ctlculer d'avance l'espace qu'il franchira pendant un temps quelconque.

Afin de pouvoir comparer entre elles b vitesses de plusieurs mobiles qui se meuvent avec une vitesse constante pour chacun d'eux, mais différente d'un

A it i: il K 1' r. ji X

mobQe à l'autre, on est convenu de pren- p.^. 44. . Repré.eniâUoii graphique de u io«

'Ire, IK)Ur unité de mesure, Tespace de» espacet dan» !• mouvement uniforme, ou