do la loi des ▼iteaiea dans le mouvement

parcouru pendant 1 umte de temps, la uniformément accéléré.

>«!con(Ie ; c*est la grandeur de cet espace

qui représente ce qu'on appelle la vitesse dans le mouvement uniforme. Par coijsêquent, Tespace e, parcouru pendant un temps quelconque t évalué ^iiiiecondes, est ^al au produit de la vitesse v par le temps.

C»a a donc : e = p/,

[^ v = A, k étant une constante.

U figure 14 représente la formule ^ = v^, c'est-à-dire la relation qui existe entre le temps ^'l'espace parcouru, dans le moufement uniforme.

^i, arant Tinstant initial à partir duquel on compte le temps <, le corps a déjà parcouru *>> certain espace ^0, Tespace parcouru an bout du temps t sera :

U. ItivoMit niformtai^t accéléré. — Nous venons de voir que le mou- ^^ment d'un corps devient uniforme dès que la force motrice cesse ''3gir. Considérons maintenant ce qui se passe quand la force continue à >f»lUcitcr le mobile : dans ce cas, le mouvement ne saurait être uniforme ; ••li vertu du principe de l'inertie de la matière, il doit s'accélérer de i^% en plus.

Le cas le plus simple est celui où la force reste constante pendant toute «iurée de son action. Décomposons par la pensée le temps pendant lequel ^t la force, en un grand nond)re d'intervalles élémentaires égaux entre

44 PHÉNOMKNES ET LOIS PHYSIQUES EN OKNERAL

eux : durant le premiei^ instant, la force communique au point matériel une certaine vitesse, qui conserverait indéfiniment la même valeur, si Taction motrice se bornait à cette première impulsion ; mais en continuant à solliciter le corps, la force détermine, pendant le deuxième instant, unaccn>issement de vitesse précisément égal à la vitesse communiquée en jiremier lieu ; le même fait va se reproduire pendant les intervalles de temps suivants. On peut donc se représenter l'effet d'une force constante comme équivalent à une série de chocs ou d'impulsions d'égale intensité se succédant régulièrement, avec cette circonstance particulière que les chocs se répètent k des intervalles de temps infiniment rapprochés et que, par suite, la vitesse croît d'une manière continue, au lieu d'augmenter par saccades. V accélération est d'ailleurs uniforme , c'est-à-<lire que la quantité dont s'accroît la vitesse pendant chaque intervalle élémentaire de temps est constante, puisque l'intensité d'action de la force reste la même.

Supposons maintenant qu'au bout de la première seconde la force cesse d'agir : le mobile continue alors à se mouvoir avec une vitesse uniforme, et, à partir de ce moment, l'espace parcouru dans l'unité de temps i)eut évidemment senirde mesure à l'accélération que la force a développée en agissant pendant la durée d'une seconde; car, la vitesse initiale du mobile étant nulle, si on retranche l'une de l'autre la vitesse qui anime le mobile au commencement d'un certain intervalle de temps et celle qui existe k la fin du même intenalle, la difl'érence représente l'accélération pixKluite durant le temps considéré. Puisque la vitesse augmente d'une manière uniforme, c'est-à-dire que l'accélération est la même pour chaque seconde, la comparaison des vitesses qui existent au commencement et k la fin d'une st^conde quelconque conduirait toujours au même résultat, quelle que soit l'époque considérée; si on prend de préférence l'origine du mouvement comme poini de départ, c'est uniquement pour faciliter les calculs, puisque dans ce cas la vitesse acquise au bout de la première seconde donne immédiatement l'accélération. Une fois que l'accélération a été mesurée, il est possible d€ déterminer d'avance la vitesse dont le mobile sera animé à une é|K>qu€ quelconque de son mouvement ; il suffit de faire le produit de raccélératioii trouvée, par la durée du temps écoulé depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant considéré.

Désignoiui raccélération |>ar t« 1® temps par ^ et nous aurons |K>ur la vitesse v au boni du temps r, Texpressiou :

Four trouver l'espace parcouru |>ar un mobile sous riuâucnce d'une force oniforméiiiefil accélératiice, commençons par déterminer Tespace parcouru pendant la première seconde. La vitesse initiale est nulle ; à la fin de la première seconde, la vitesse est égale à y ; W chemin parcouru dans cet intervalle de temps est donc plus grand que xéro et plus petil

que Y ; il doit être évidemment égal à la moyeime des deux valeurs, c'est-à-dire à -^^

puisque la vitesse croit uniformément. Ainsi, un mobile qui serait animé d'une vitesse uni-

forme égale à -- paivourrait, dans le même temps, le même chemin que si, partant àâ

Téiat de repos, avec une vitesse initiale nulle, il se mouvait d*un mouvement uniformêmiDl acccléré et s'il acquérait une vitesse finale égale à y. Gonsidérous un temps quelccnqne I

li vitesse acquise au bout de ce temps est y^ aii^i qu*on Fa vu ; la vitesse moyenne est

Vf

doDc -^, puisque r„ r= 0 ; au point matériel se mouvant d*un mouv méat uniformément

yt

ic^^lé^é nous pouvons en substituer un autre possédant une vitesse uniforme égale à -h-« Celi posé, dans le mouvement uniforme, Fespace paiTouru dans le temps t est : e = rf ; orid, r = -~, Donc Fespace parcouru par un mobile, sous Finfluence d*une force uniformément accélératrice, est donné par Féquation :

[Trailuite eu langage ordinaire, cette formule signifie que, dans le niouvem«»nt uniformément accéléré, V espace parcouru par un mobile partant dcrétat de repos est égal à la moitié du produit de f accélération par le carré du temps écoulé.

En résumé, les lois du mouvement uniformément accéléré sont les suivantes :

l*» L'accélération est constante ;

2^ I-a vitesse est proportionnelle au temps écoulé ;

iî* L'espace parcouru est proportionnel au carré du temps.

U loi des vitesses, r = y^, dans le mouvement uniformément accéléré, est représentée, dant la figure 14 (p. 43), par la droite OK', dont Finclinaison sur Faxc des abscisses est pn>|)f)i*tionnelle à Faccélération.

La loi des espaces, c = -î— , est figurée par la parabok AR de la figure 15 (p. 48),

fil les ordonnées qui mesurent les espaces parcourus sont comptées au-dcs*ous do l'axe des abscisses.

Us formules précédentes supposent que Fon compte les temps à partir de l'instant où commence le mouvement ; si tel n*est pas le cas, il faut tenir compte de la vitesse dont fiait animé le mobile à Forigine des temps ; en introduisant cette vitesse initiale Vq* on obtient Fexpre8.^ion :

r = ro+Y<. U ***)

Dans les mêmes conditions, Fespace parcouru au bout du temps t est :

<? = tôt -H—.

Si. en outre, avant Finstant à partir duquel on compte les temps, le mobile a déjà parcouru Fespace e^^ la formule des espaces prend la forme générale :

e = .,-HV-+--^. (2 M

I>vi foniiulcs (1 bis) et (2 bis) comprennent aussi le cas du mouvement uniformément rftardé^ dans lequel la vitesse décroit de quantités pi-oportionnellcs aux temps écoulés ; il wffil, pour les rendre applicables dans ces conditions, d'affecter l'accélération y du signe — . J

25. Metire det forces. Oaantité de moiifemeiit. Tra?ail et force ?ife. — I^ s

f"n;es ne peuvent être mesurées qu'a 1 aide des vitesses qu'elles dett^rniinent. Quand il s'agit de forces constant(»s, le moyen le plus commnW de les mesurer est fourni par la connaissance de l'accélération dans l'unité de temps; mais il importe de remarquer que la grandeur de

raccélération ne dépend pas seulement de Tintensité de la force motrice; elle dépend aussi de la masse du corps sur lequel agit la force : il est évident, en effet, qu'une force capable d'imprimer à un point matériel unique une accélération y, déterminera une accélération 100 fois plus petite, si elle agit sur un système de 100 points liés entre eux d'une manière invariable, car l'effet de la force se répartit uniformément sur tous les poinU. Or, un corps composé de 100 i)oints mat<'îriels a m\o masse 100 fois plus grande que celle d'un \mi\i unique; nous pouvons donc dire :

Ve/fet d'une force, mesuré par V accélération quelle produit, est directement proportionnel à Vintensité de la force et en raison inverse de la masse du mobile.

Si nous supposons (pic l'unité de force communique à Tuniti de masse une accélération ^,

f la force d'intensité f imprimera à la masse m Taccélcration ^^— \, Or, le choix de Tunitô

de force est indifférent, et, comme on ne peut arriver, en général, à la mesure des forces

que par la connaissance de leurs effets , ce qu*il y a de plus simple, c*cst de prendre

comme unité la force capable de produire un effet égal à Punité, c^est- à-dire celle qui

communique à Tunité de masse Taccélération i ; s*il en est ainsi, la force f imprimera à la

masse m une accélération -—.

f [On aura donc : y = -^^— ,

d'où f z=z m y, (1)

Ainsi, wie force a pour mesure le produit de la masse du cor^ps, sur lequel elle agit, par raccélération qu'elle imprime à cette masse.

Dans le cas d'une force constante, le mouvement est unifoi*mément accéléré, et on a vu ($^ i) qu'alors c = Y^ d'où v = — • En mettant cette valeur de y dans l'équation (1), il rient,

•près avoir chaiiisé le dénominateur :

fi = mt. <2ï

\/d produit mi) de la niasse du mobile par sa vitesse à l'époque t, se nomme la quantité de mouvement; on désigne quelquefois sous le nom A* impulsion de la fi)rce pendant le temps/, le produit ^î. On voit i)ar la formule ('Ji que, si nous considérons la vitesse acquise au bout de l'unité de temps, la force a aussi pour mesure la quantité de mouvement correspondante.]

Quant à l'espace parcouru dans le temps t, sous l'influence de la force constante y, il o^t :

z II»

En éliminant le temps t entre les équations (2j et (ii), ou arrive à Téquation :

Telle r»t la relation qui existe, à tout instant, entre la vitesse du mobile h lV]M)que consi> dérée et rei«i>ace qu*il a parcoiiini depuis lo d/»but du mouvement jusqu'à ce moment -là t on voit que cette l'clatiou est indépendante de la durée du mouvement i

L'équation (4) nous montre que : à un instant quelconque du mouvement, le produit de l'intensité d'une force constante par la longueur du

chemin qu'elle a fait parcourir à un corps dans le sens de sa direction fiepuis l'origine du mouvement, est égal à la moitié du produit de la masse de ce coyps par le carré de la vitesse dont le mobile est animé à Hnstant considéré.

(>n donne, en mécanique, le nom de travail d'une force au produit ^^ de liutensilé de la force y par le chemin e qu'a parcouru le mobile dans la «liivclion de cette force, et on appelle' force vive le produit mv'^ de la luasse ra par le carré de la vitesse v dont est animée cette masse. [Il serait plus rationnel de donner, contrairement à Tusage généralement établi, le

iio;a de force vive à l'expression -^ — ; car c'est toujours la moitié de la

f|uaiitifê tnr^qui entre dans les calculs de la mécanique.

Ou peut donc énoncer en deux mots la relation qui existe entre le travail et la force vive, en disant que :

Le travail d'une force est égal à la force vive.

Nous supposons ici, comme dans tout ce paragraphe, que le mobile part '!♦' rétat de ^'epos et que c'est a partir du moment correspondant que l'on C'Uiipte les temps et les espaces.]

I^ 'Connaissance de la relation qui existe entre le travail d'une force et la force vive développée e?t d'une grande importance, car elle permet de calculer Tune quelconque des TTUotites qui entrent dans cette équation, quand on connaît toutes les autres. Je suppose, jwîr exemple, qu'on veuille savoir la grandeur de la force que doit développer une locomotive pour que, après avoir parcouru un espace e, elle possède une vitesse t? ; dans co '-.ai, les donnée.'i sont ef, t; et m, m étant la masse de la locomotive et de la charge qu'elle "ntraîne avec elle; en introduisant les valeurs de ces quantités dans l'équation (4), nous en \\:m* la valeur de l'inconnue f.

Autre exemple : nous lançons de toutes nos forces avec la main une boule, et nous voulons '^nniucr la vitesse c du mobile au moment où nous le lâchons ; il nous suffit, pour ''dectuerlc calcul, de connaître la masse m delà boule, l'espace e parcouru par la main 7111 lanco le projectile, elle poids maximum que notie bras peut élever en l'air; ce poids r^présrnto l'intensité f de la force que le bras est capable de développer dans le jet d'un

;0ii ti-ouvcra plus d'utilité à calculer la force développée par le bras pour imprimer une *Ues.4e d'*terminéeà un projectile, attendu que la vitesse peut être déduite de la hauteur a laquelle parvient le mobile (cf. § 53* et 57), tandis que la force correspondante, variable *"^' la vitc.i.sc produite, ne saurait être connue sans l'emploi de la formule]].

26. lottfements efectaés soas rinflaence de plasiears forces. — Le mouvement ?»♦' pr*'nd un point matériel ou un corps soumis à l'action simultanée de il'ivjf'urs forces se déduit facilement des lois précédemment formulées.

L<»r>qu'un corps est sollicité en même temps par deux forces inslanl'^'iérw par deux chocs, <lont les directions forment entre elles un certain '■""^\^ , la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui r»'|»r'*M*nUMit, en grandeur et en direction, les vitesses des forces, donne non "♦''il<Miieiit la direction du chemin que suivra le mobile, mais encore la P*.i:iil(nir de la vitesse résulUmte; ce résultat, nous l'avons démontré dans

^'ip}K)son8 maintenant qu'une force instantanée sollicite le point matériel A itig. 15) dans la direction Ali et qu'une force constante agisse en même ■ •>ip^ dans la direction AC, le mouvement résultant est facile à trouver :

et

rt

il p<i représenté, à chaque ÎDstant, par la iliagoiiale du parallélogramme construit ^ur les chemin:: élémentaires que le corps parcourrait, dans un temps infiniment petit, sous l'influence de chacune ileji deux forces considérée isolément. Or. ces diagonales succes^jivfs changent continuellement de direction et tendent à devenir parallèles a la direction de la force accélératrice, puisque les espaces parcourus sous l'influence de cette dernière augmentent sans cesse

par rapi'orl aux espaces corresjK^ndants parcourus sous l'influence de la force instantanée; il en résulte que la trajectoire décrite par le mobile tst une* ligne courbe, et l'analyse mathématique montre que cette courbe est une parabole.

Dans l'étude de la pesanteur , nous verrons, que la courbe en question rel>résente la trajectoire suivie par les prryectiles, et nous aurons occasion de revenir sur les applications des lois du mouvement aux eflets résultant de l'action simultanée de plusieurs forces.

Quant à présent, nous n'avons plus a nous occuper que d'un seul cas, daiiî* lequel plusieurs forces agissent aussi simultanément ; ce cas est celui d'un point matériel, ou d'un système de points, sollicité i>ar deux gn>uj)es de foires, dont les unes tendent, i>ar leur action incessante, à maintenir le p4)int dans une iM)siti()n déterminée ft invariable, tandis que les autres, à action plus ou moins passagère, le dérangent de sa i>ositi«.n d'équilibre. Nous sommes ainsi amenés à trait* r des numvements vil)ratoires et ondulatoires ; cette étmle est d'une importance capitale, par suite des applications nombreusi\s qu'elle présente dans les différentes iiartifS «le la physique; aussi croyons-nous devoir y consacrer un chapitn» particulier.

Fm. Iïp. — Trajectoire paraboiiqae réprê- Mntaal le mooTeroeut effectué sons l'mflaenre •imnltan^ d'une forre ronstaotr et d'une force instantanée.