CHAPITRE IV

nu MOUVEMENT VUlRATOIRE ET ONDL'I-ATOIRE

17. Otdllatint d'u ptiit atUir it u fM^M féqiililre. — Quand un point matériel est retenu dans une position déterminée par l'action continue de forces constantes, il oppose à toute nouvelle foive qui tend à le déranger de sa position d*équilibre une rt»sistance en rapport avec l'intensité des forces qui le maintiennent en place. I^ force perturbatrice est -elle constante, le point matériel est obligé «h* prendre une nouvelle positi(»n d'équilibre; mais, si elle n'agit que {tendant un instant très court, a>nin:e le ferait un cln c unique, h* point matériel arcoinplira. i!e pari et d'autre de sa position primitive*, une série de vibrations ou iVosciffalions.

Soit M (fig. 16) un point matériel recevant un choc dirigé dans le sens MX : ce point va se mettre en mouvement, et, s'il était entièrement libre, c'est-k-dire soustrait à l'action de toute force autre que le choc primitif, il continuerait indéfiniment à se mouvoir avec une vitesse uniforme dans la direction MA en vertu du principe de l'inertie de la matière; mais, comme il est sollicité par des forces qui tendent à le retenir dans la position M, il éprouvera un ralentissement graduel de vitesse, jusqu'à ce qu'il ait atteint nue position, telle que A, où la vitesse soit entièrement nulle; l'instant d'après, la force qui tend à ramener le mobile en M, continuant à agir, \c point matériel reviendra sur ses pas avec une vitesse croissante, jusqu'à son point de départ; arrivé là, il dépassera cette position primitive, en vertu de la vitesse acquise, et ira jusqu'en un point B, situé à la même distance de M que le point A, puisque

raccélération qu'il a gagnée en X î 5 ?

allant de A en M est précisément

^ale au ralentissement au' il ^^^' ^^' " Mouvement osr ilUtoire d'un point matériel.

éprouve eu allant de M en A ou

en B. Panenu en B, le mobile rebroussera de nouveau chemin, gagnera la position M avec une vitesse croissante, la dépassera comme la première fois, et ainsi de suite ; il accomplira donc, de part et d'autre de sa I«osition d'équilibre, un nombre infini d'oscillations.

On appelle amplitude de la vibration l'espace compris entre les deux jositions extrêmes A et B de la molécule vibrante; le temps employé par le point matériel pour accomplir son double mouvement de va-et-vient, de A en B, puis de B en A, représente la durée de la vibration.

Si la force qui ramène le mobile à sa position d'équilibre était constante, le mouvement vibratoire effectué dans ces conditions ressemblerait au fond au mouvement uniformément varié, dont les lois ont été indiquées dans le chapitre précédent : le mouvement serait uniformément accéléré depuis le point A, où la vitesse est nulle, jusqu'au point M, où elle atteint son maximum ; dp M rn B, le mouvement serait uniformément retardé, et ainsi de suite. Mais, quand on suppose que les forces qui sollicitent la molécule vibrante à rvvHuir constamment au même point ont toujours la même intensité, on fait une hypothèse qui n'est pas réalisée dans la nature ; en général, plus le mobile a été écarté de sa position primitive, plus la force qui tend à l'y ramener est intense. Imaginons, par exemple, que la droite MB (fig. 16) r^^présente une tige élastique dont l'extrémité B soit fixe; tirons sur l'autre ^trêmité M, de manière à allonger la tige de la quantité MA', puis abandonnr»n.<-la à elle-même; la traction venant à cesser, la tige, en vertu de son élaiiticité, reprendra sa longueur primitive MB. Dans une deuxième expérience, lirons la tige de manière à produire un allongement égal à MA : quand ïious n'exercerons plus de traction, la tige reviendra encore sur elle-même, mais avec une force plus grande que la première fois; si le second allongement MA a été double du premier MA', la force avec laquelle l'extrémité tirée reprendra sa position primitive M sera aussi deux fois plus grande; car la force avec laquelle une tige élastique revient à sa longueur primitive est évidemment égale à la force élastique développée, et celle-ci croit dans le même rapport que rallongement. Or, quelles que soient les forces

WcxDr-MoxoTBii, Phy», méd., f éàit. \

50 phenomënes et lois physiques en général

qui sollicitent un point matériel à reprendre constamment la même position, les choses se passent toujours, comme elles viennent d'être indiquées dans l'exemple précédemment choisi: le point matériel, étant dérangé de sa position <rt*Hiuilibre, y est ramené par une force dont l'intensité varie en raison dii'ecte de la distance qui sépare la molécule vibrante de sa position d'équilibre. Par suite, l'accélération du mouvement croit aussi proportionnellement à cette même distance , et les vibrations s'exécutent avec d'autant plus de rapidité que leur amplitude est plus grande; il en résulte que la durée de la vibration reste constante, quelques variations que subisse d'ailleurs Vainplitude de la vibration. D'autre part, on conçoit que la durée de la vibration varie en sens inverse de la force qui tend primitivement a maintt»nir la molécule oscillante dans sa position d'équilibre et qui la ramène ensuite» dans cette position.

28. AppUeaiioii dn principe de la conservation de la force an mouvement vibratoire. -

lies résultats qui Tienncut d'être ônoDcés peuvent se déduire d'une manière très simple du princii>e de la conservation do la force dont il a été parlé au § 11. Désignons par 9 la force qui sollicite un pt^int matériel, dont la masse est prise pour unité, à revenir à sa position d*équilibro M, lorsqu'il en est écarté d'une distance égale à l'unité \ si on cousidère one

masse m, Taccélération imprimée à cette masse par la force ? sera: y =^ — ^en vertu de ce qui a été dit au §25, d'où on tire : ç = //(v* et, si Técartement est égal à a, l'accélération aura pour mesure :Ya= -^ a, conformément à l'hypothèse que nous avous admise,

h savoir que l*iutensité de la force qui attire la masse oscillante vers le point M ost pro- [)Ortiouuelle à la simple distance; comme d'aiileui-s la force accélératrice en qoealion agit de manière à diminuer la distance a, il faut évidemment la considérer comme une quantité négative : nous aurons donc, en appelant T l*accélci*ation pi*oduite par cette force :

On voit que, quand u = 0, c'ei^t-à-dire quand le mobile se trouve en M,raccélératioD T r= 0, et quand a e^i égal à la demi -amplitude, V atteint sa valeur maximum. [On peut donc remplacer l'accélération variable r (lar une accélération constante égale à la moyenoe

des deux valeur* extrêmes, — - ( -^ a \ r-= -î--«1

Gela posé, considérons la force vive du mobile : elle a pour cxpi^ession le produit -^ mr*

fcf. § 25 1 qui est égal à zéro, quand la masse oscillante est à Tune des exti*émités de »9 course, car la vitcst»e correspondante à cette [xti-'ition taX nulle. Pendant que le mobile revient sur SOS |»as^ la force vive aujrmcnto, et elle attoint son maximum au point M, où

Ion a : » ^*^ » - ''•

\\\\ elTet, dans le tra et de M en A, il y n eu transformation graduelle de la force vivf eu force de tension dirigée rn sens contraire ju>qu*à ce que, la masse oscillante étant [»arvenue en A, lu transformation fût <'um|)lête; et« quand le mobile i*etoui>ue vers If point M. la force de teuMuii a laipielle il obéit repasse tout entièi'<* à l'état de force vive; il tjut doi.c, en >ertu du principe de la cohaiervation du travail, que la force vive m>it égale n la lurce de t«M)>it>n dont ilb' dérive. | Or, la l'orce de tension a ]H)ur me^ni*c le travail c r«ctu«> par la force, et il .«erait facile de démontrer que ce tra\aili'>t égal a :

- n z— Zm '*ii\ '

NiiU4 voyoUit par ce qui prec*-de que la futve vive d'une ma>8e oscillante croit avee l'amplitude (je la \ibration.

Ua i* le* \ibiaMo:i« *«»in.»r.* «le l'aii et d»** coij»-* qui reuiicul des >o i^, aai^t que dau'»

▼ibratioas lumineuses, Tamplitude de la vibration règle Vintensité du son ou de

lumière ; la durée de la vibration en détermine la qualité (hauteur du son ou ton,

ilenrde la lumière). Le fait précédemment indiqué, que la durée de Toscillation est indé-

ndante de Tamplitudc, nous explique comment il se fait qu'un même t($n ou une même

alear puissent passer par différents degrés dUntensité.

n. Ul delà durée des vibrations d'anemoléGole. — Il doit nécessairement v roir une relation déterminée entre le temps qu'une molécule oscillante met accomplir une oscillation et la force qui tend à maintenir le mobile dans i position d'équilibre : quand cette force devient plus grande, il faut évidemlent que la rapidité des vibrations augmente aussi, et par conséquent, que 'ur durée diminue. Si l'on désigne la durée d'une vibration par^, la force ui tend à ramener la masse oscillante a sa position primitive par y, on

èiDontre que la relation entre < et y ou son égal - - est donnée par l'équation aivante :

î représente le rapport de la circonférence au diamètre, c'est-a-dire le ombre 3,1^159.. ••

Cette équation montre que la durée de la vibration est proporiomielle à la racine carrée de la masse du corps qui oscille, et en oison inverse de la racine carrée de la force accélératrice qui sollicite onstamment le corps à revenir à sa position primitive. On peut donner œ autre forme à l'énoncé de cette loi, en disant que le carré de la vitesse e vibration est proportionnel à la force accélératrice ^ et en raison averse de la masse oscillante ^^h

M. Tibratieis leiglttdlBiles. Oïdes condensantes et dilatantes. — La nature offre jamais à notre observation de points matériels isolés; les corps que 5US y rencontrons sont toujours formés d'un nombre très considérable atomes ou de molécules; si donc chaque atome, ou chaque molécule, rerésente un point matériel, nous pouvons regarder un corps comme étant un ?régat de points matériels. Or, les considérations que nous avons déve- »ppées, en exposant la théorie atomique (§ 14''), ont montré que les irticules qui constituent les corps exercent les unes sur les autres des :tions dont l'intensité dépend des distances mutuelles de ces particules; en résulte que, si un point quelconque d'un corps vient à entrer en viration, l'état d'équilibre des molécules voisines se trouve détruit. Le louvement vibratoire, d'une gramie simplicité aussi longtemps qu'on se ')me à considérer un point unique , devient compliqué du moment qu'il ^communique successivement à une série de points matériels, et c'est ce >Tiiier cas qui se présente le plus fréquemment dans la nature.

Soient, par exemple, trois points A, B, G (fig. 17), placés en ligne droite t maintenus en équilibre par des forces attractives et l'épulsives, de manière ae la distance AB soit égale à BC. Nous admettrons que les forces en iiwfioh suivent, dans leurs variations, les lois sur lesquelles repose* I théorie atomique de la constitution des corps, c'est-à-dire que h»s

(> jVoirdaa* rdriginal la dénnoiuiratioo mathématique de la formule du mouvemenl \\bTaVo\T(^.\

JC ET C

forces répulsives décroissent plus rapidement que les forces attractives, quand la distance augmente : dans ces conditions, si une force extérieure vient ^ diminuer la distance de deux points matériels, ces points se repoussent mutuellement; ils doivent, au contraire, s'attirer lorsqu'ils s'écartent l'un de Tautre. Supposons donc qu'un choc frappe intantanémeiit

le point A et le pousse dans la 1 ; J direction de B : le point A. sous

l'impulsion de ce choc, se rapprc- A M c' chera du point B avec une viles.se

décroissante ; arrivé en A', il reviendra à sa position primitive avec une vitesse de plus en plus grande. Le point B à son tour, sous rinfluence de l'action ré-

- , pulsive développée par le rap-

** ^ prochement du point A, se mettra

Fio. 17. — Mode de propagation de* vibrations . . i • ^

longiludinaiea. ^" mouvement et marchera vers

C ; mais le mouvement de B passera par les mêmes phases que celui de A : il se ralentira jusqu'à ce que, sa vitesse étant nulle, dans la position B", puis changeant de sign<». le mobile B revienne sur ses pas avec une vitesse croissante.

En vertu de la vitesse acquise durant la période de retour, les points A d B dépassent en sens conuaire leur position initiale, vont jusqu'en A'" rt B"", reviennent de nouveau, après avoir rebroussé chemin, et recommencent indéfiniment le mouvement de va-et-vient qui les fait osciller de part et d'autre de leur i)osition d'équilibre. Ce mouvement oscillatoire va se tran>mettre de la même manière au point C, et, de proche en proche, à un nombre quelconque de points de plus en plus éloignés.

On voit donc que, si dans un système de plusieurs points matériels liés entre eux par d(\s forces attractives et répulsives qui les tiennent en équilibra*, on vient ii faire oscilh r un quelconque (h» ces points, les vibrations ainsi dével(»pi,é;'s se communiquent successivement à tous les autres points du système, et celui-ci finit par vibrer en totalité; mais, comme il faut un certain temps au mouvement pour se propager ain.si à travers une série île |>oints, il s'ensuit que h's différents points oscillants ne sont jamais au même instant à la même distance de leur position d'équilibre : pendant que A revient à sa position initiale, 15 .^'éloigne de la sienne, et ainsi de suite.

Il résulte de cette inégalité de phase de vibration des différents points oscillants, que dans chaque endroit (hi système il se produit des alternative» de rapprochement et d'écarlement dvs molécules matérielles, c'est-à-dire une condmsntion et une dilatation : ainsi, ii réjK)que du nnuivement figuré en A" IJ" C", il existe une dilatation en A" B" et uiiecondensiilioueii IV C"; plus tard, à l'époque figun*<» en A"" B""(:"", il survient une ctmdensationeu .V"" B"" et une dilalalion en \\"" V!'", Si l'on imagine une série fl'autres iM)ints disposés ii la suite des premiers, les mêmes alternatives de condensation et de dilatation s'y re]>roduiront de place en place, et TendnMt qui, à un moment donné, était le siège d'une condensation, se trouvera, l'instant d'après, correspondiv à une dilatation, ou inversement. La file

des molécules oscillautes est donc parcourue d'une extrémité à l'autre par une condensation qui chemine d'une manière continue, en passant successivement d'un endroit au suivant, et cette condensation est suivie d'une dilatation qui se transmet de la même manière et avec la même vitesse.

11 est évident d'ailleurs que le phénomène ne subirait aucun cliangement essentiel si, au lieu de considérer seulement deux points matériels voisins se rapprochant et s'écartant alternativement Tun de l'autre, on admettait qu'un grand nombre de points prissent part à chaque condensation et à chaque dilatation. Imaginons,, par exemple, qu'entre A et B, ainsi qu'entre B et (I, il y ait une foule d'autres molécules, et supposons que le choc primitif qui produit les vibrations, pousse vers le point B toutes les molécules situées entre A et B : il en résultera un rapprochement de toutes ces molécules, c'est-à-dire une condensation qui se propagera suivant le mode décrit précédemment, avec cette seule différence que dans le cas actuellement considéré, un grand nombre de points participeront simultanément au mouvement de condensation ; il en sera de même pour le mouvement d'expansion qui suit la condensation. Telle est la forme sous laquelle se présentent presque tous les mouvements vibratoires de la nature, car ils s'accomplissent, en général, dans des agrégats de points matériels qui sont dans une dépendance mutuelle à l'égard les uns des autres. Cette K>lidarité des diverses particules élémentaires des corps produit un autre résultat , l'extinction rapide des vibrations , lorqu'elles ne sont pas entretenues par le renouvellement continuel de la cause qui leur donne naissance; dans un corps, en effet, le mouvement de chaque molécule oscillante éprouve des résistances qui n'existent pas dans le cas où on ne considère qu'un seul point oscillant librement et, par conséquent, iiKlêfiniment.

Comme il ne s'agit, en définitive, que de déterminer l'ordre suivant lequel sf succèdent les condensations et les dilatations dans un corps mis en vibration d'après le mode indiqué plus haut, nous n'avons pas à uous occuper davantage des a jî\r yx

mouvements de chaque point en particulier, dont l'ensemble! constitue la vibration, et nous pouvons représenter de la manière

suivante les vibrations qui ont „,^ ^g „eprésent.lion graphique de. vibration.

lieu dans le sens longitudinal. longitudinale..

Figurons, par une droite horizontale AE (fig. 18), une file de molécules oscillantes, dans leur position d'équilibre ; en chaque point de cette droite, qui sert de ligne des abscisses, élevons une ordonnée dont la longueur soit proportionnelle au degré de condensation ou de dilatation relatif au point considéré ; il faut avoir soin de placer l'ordonnée au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses, suivant qu'elle représente une condensation ou une dilatation ; puis on joint, par un trait continu, les extrémités de toutes les ordonnées, et Oû obtient ainsi les courbes ABCD et A'B'G'D'E'. La ligne ondulée ABCD représente, par exemple, la disposition de:> molé<;ulç§ Qççillanlçs \ l'iostaut

54 phënomënes et lois physiques en général

où le luouvenient vibratoire parti de A s*est propagé jusqu'en D; on voit que la condensation, à partir de A, où elle est nulle, augmente jusqu'à un certain niaxinmnr, puis diminue jusqu'en B, où elle redevient nulle; elle passe alors au-dessous de l'axe des abscisses, c'est-à-dire qu'elle se tran^fornie en dilatation qui traverse les mêmes phases que la condensation, et ainsi de suite. La disposition figurée en ABCD n'est que momentanée; elle éprouve une succession de transformations, dont nous pouvons nous faire une idée, en déplaçant par la pensée la courbe sinueuse ABCD le long de l'axe des abscisses. Considérons, par exemple, .le mouvement vibratoire ii Tinstant ou il atteint le point E, et il suffit, dans ce but, de faire avancer la courbe des ondulations de manière que l'extrémité D vienne en E; nous avons alors la courbe A'B'C'D'E', qui nous montre les molécules oscillantes disposées dans un ordre précisément inverse de celui qui existait en ABOI) : là où il y avait une condensation, nous trouvons maintenant une dilatation, et inversement.

On peut toujours représenter, comme nous venons de le faire, par une courbe h ondulations, le mouvement vibratoire d'un système de points matériels, et c'est pour cette raison que les mouvements decegeni'e portent aussi le nom de mouvements ondulatoires. Dans le cas qui vient d'être étudié en dernier lieu, le mouvement oscillatoii'e des molécules s'effectue dans le sens de la longueur suivant laquelle se propage le mouvement, et il y a une succession régulière de i)arties alternativement condensées et dilatées; on dit alors que les vibrations sont longitudinales, et on appelle demi-onde condensante on condonsèe^inx encore onde positive ,\^ portion du mouvement qui correspond ii une condensation des molécules ; demionde dilatante ou dilatée, ou encore onde négative, la portion du mouvement pendant laquelle a lieu la dilatation. Les parties convexes des courbi»s de la figure 18 représentent les ondes condensantes; les })arties concaves répondent aux omles dilatant<»s; l'intervalle AC, qui compi*end lensemble des deux demi-ondes condensantes et dilatantes, est connu sous le nom de longueur d^onde. 11 sera peut-éti'e utile de faire remarquer que ces courbt»s à ondulations ne donnent pas t(Uijours la forme réelle de la trajectoire décrite par les mohVules dans leur mouvement de va-etvient ; ici, elles ne s(»nt qu'une manièiv commode de représenter la loi du mouvement, c'est-à-tlire l'écartenient des molécules correspontlant à chaque époque du mouvement.

En ivsuiné, quand le mouvement vibratoire a progre>sé d'une longueur d'onde, la position ties molév.-ules oscillantes e^t la même qu'au début du raouvea.ent, c'est à-dire qu'à lemlroit i>ù il y axait une onde condensante, il y en a tin nouveau une, et on retrouve une onde dilatante là où il en exi>tait primitivement ; apivs une mairhe d'une demi-longueur d'onde (courbe A'D'CD'E'), l'omle comlensante a été remplacée au même endnût {lar une i»n<le dilatante, et inversement. Lorsque la rupture d'e({uilibre qui donne uais!>ance au n.ouvement vibratoire est reflet d'une contleiisation instantanée, ro:i«le condensante pivcèle toujours Tonde dilatante (courbe ABCD); une dilatation instantanée pi\xluit un mouvement ondulatoiiv qui ne diffère du précédent qu'en ce que Tonde dilatante y pi'écède Ton«Ie condensante.

31. iBf litiit et datée de la Yilratioi dant u miliea éUttiqoe. — Deux circonstances peuvent faire varier la forme et les dimensions de l'onde conden^ saute ou dilatante.

En premier lieu, le degré de la condensation et de la dilatation est plus ou moins considérable, suivant l'intensité du choc initial qui a provoqué les vibrations : si rêbranlement est intense , l'amplitude des vibrations de chaque molécule en particulier est grande; par suite, les molécules oscillautes sont d'autant plus rapprochées aux endroits qui correspondent à ronde comlensante et d'autant plus écartées lors du passage de l'onde •lilatante. On peut facilement représenter graphiquement le degré de l'amplitude de la vibration en donnant à la convexité et h la concavité de l'onde une hauteur plus ou moins grande.

En second lieu, la vitesse delavibration dépend, d'une part, comme dans le mouvement oscillatoire d'un point matériel isolé, de la force avec laquelle iliaque molécule tend à revenir à sa position d'équilibre, d'autre part, de la distance relative des molécules, c'est-à-dire de la densité du corps. La fiirce en vertu de laquelle les molécules d'un corps tendent à reprendre leur i»osition «réquilibre, quand elles en ont été dérangées, s'appelle force élastique; elle peut être attractive ou répulsive; elle est attractive, par exemple, <lans une corde ou une membrane tendues, car les molécules à'uu corps solide, soumis à des tractions en sens opposés, font efibrt pour •^ rappnKrher les unes des autres; la force élastique est, au contraire, répulsive dans les gaz, car elle y résulte des actions répulsives que les molécules gazeuses exercent les unes sur les autres, et elle a pour mesure la pression du gaz sur les parois du vase qui le contient. Que la force élastique mi attractive ou répulsive, elle peut toujours être augmentée ou diminuée par des forces extérieures : c'est ainsi qu'elle augmente dans une corde avec la tension, dans un gaz avec la température. Or, toutes les fois qu'un corps -prouve un accroissement de force élastique, ses molécules vibrent avec plus de rapidité que dans le cas où le coefficient d'élasticité est moindre : eu effet, plus une corde, par exemple, a de tension, plus l'effort qu'elle (ait [H)ur reprendre sa longueur primitive est grand, et cet effort est l'r»*cisément égal à la force qui maintient la corde tendue et qui l'empêche le se raccourcir ; on voit donc que la force avec laquelle les molécules •l'un corps reviennent à leur position d'équilibre croît avec la tension. Un ;;azou tout autre corps, dont on augmente la force élastique, se comporte «-lactemeai comme le fait une corde, dans les mêmes circonstances. On |«eut donc dire, d'une manière générale, que la grandeur de la force Ha»tique mesure la grandeur de la résistance opposée j)ar chaque molécule 'i'un corps à toute cause qui tend à l'écarter de sa position d'équilibre; or, lious avons vu (§ 29) que la vitesse de vibration d'un point matériel croît en raiîjon directe de la racine carrée de la force qui tend a ramener le point «•x-illaut à sa position initiale; appliquant cette loi au mouvement vibratoire les corps, nous dirons que les carrés des vitesses de vibration pour chaque uiolécule sont proportiomiels d la force élastique du corps considéré.

D'autre part, la vitesse de vibration des molécules dépend nécessairtment de leur distance mutuelle, distance qui leur est assignée par la cuDbtitutiou même du corps considéré et qui détermine la densité :

les carrés des vitesses de vibration sont en raison inverse des densités des corps.

ËQ désigniaat par e la force élastique d'uo corps, par d »<a densitc, on a, pour la durée ( de la TibratioQ de chaque molécule, Texpression :

Cette formule peut se déduire immédiatement de Téquation f s= 2 ic i / relative à

la durée de la vibration d*un point matériel isolé (cf. § 29). En effet, dans le cas d*un corpi, c*e8t- à-dire d*un système de pointa maténels liés les uns aux autres, la force 9 n*est autre chose que la force élastique, c*est-à dire Faction mutuelle des molécules les unes sur lei auti*e8, action en vertu de laquelle elles opposent une résistance plus ou moins énergique à totite force extérieure qui tend à les déplacer. Quant à la densité du corps, elle est proportionnelle à la masse m.

11 est facile de voir que la relation qui vient (Uètre établie entre la durée de la vibration, la densité et l'élasticité du milieu dans lequel s'accomplissent les oscillations, ne s'applique qu'au cas où, une rupture d'équilibre venant à se produire subitement entre les molécules d'un corps, celles-ci, abandonnées à elles-mêmes, continuent k osciller pendant un temps plus ou moins long, sans y être sollicitées par de nouveaux ébranlements. On peut donner aux vibrations de ce genre le nom àe vibrations propres Ae^ corps; leur vitesse d'oscillation est constante pour chaque corps.

Les vibrations propres d'un corps peuvent se transmettre à d'autres milieux, et alors elles conservent, en général, dans le nouveau milieu, la vitesse qu'elles avaient dans le premier. Quand, par exemple, une corde vibre, l'air environnant reçoit un choc à chaque vibration de la corde; il en résulte que les molécules aériennes oscillent à leur tour et accomplissent dans l'unité de temps le même nombre de vibrations que les molécules de la corde. La durée de ces vibrations transmises peut donc être très variable dans un seul et même milieu. Cette loi générale est sujette, dans certaines circonstances déterminées, à des exceptions dont il sera parlé plus loin (livres III et IV).

32. Titesse de froHC*tioii des vibrationt. Longuenr d'onde. — Plus les vibrations d'un système de points matériels liés entre eux sont ra- ^ I , t ^ . . • «^ . • . r pides, plus la distance qui sépare

une onde de la suivante doit être petite. Imaginons, en effet, qu uu choc agisse sur le point A dans ■ • hi direction AE (fig. 19) et considérons ce qui se passe jusqu'au

Fio. 19. — CoD8tan<:e do la vitesse de propaguliun d»« ^ , *. .» t

inoaT(*in«Dis Tibratoire* dan* un mémn milieu, quelle* lliomeilt OU IC pOlUt A 6St reque 80it la longueur de Ponde. y^I^U ^ ^^ positiou initiale \ ilaUS

cet intervalle de temps, le choc se transmet à un nombre de molécules plus grand si la vibration est lente que si elle est rapide; dans le premier cas, ou aura une onde telle que celle qui est figurée en ABC; dans le second cas, on aura Tonde A!hiJ\ il^" sjçra évidemment de même pour toutes les ondes suivantes. Ainsi, la Ion-

ji j:

gtieur d'onde est en raison inverse de la vitesse de vibration , ou, ce qui revient au même, ^n raison directe de la durée de la vibration.

Ou comprend dès lors que des vibrations de durée différente puissent se [lupager avec une égale vitesse dans le même milieu , qu'en d'autres termes, la vitesse de propagation du mouvement vibratoire soit constante pour chaque milieu.

Il est possible de déterminer la longueur d'onde correspondant à un milieu donné, lorsqu'on connaît la durée des vibrations et leur vitesse de propagation dans ce milieu. Soit V la TÏtesse de propagation de Tonde, c*est- à-dire Tcspace parcouru pendant une seconde par ie mouvement vibratoire ; [soit T la durée d'une oscillation, et \ la longueur d*onde, c*estadiré Tespace parcouru par le mouvement vibratoire pendant le temps T; nous aurons, en appliquant la formule du mouvement uniforme :

). = vr,

é<{uation qui permet de calculer Tune des trois quantités x, V, T, quand on connaît les deux aatres.

Oq trouve ordinairement plus commode de remplacer la durée d*une oscillation par le nombre des oscillations accomplies dans Tunité de temps.] Désignons par n le nombre des vibrations en une seconde [et nous aurons évidemment :

nT = 1.

Tiiant de là la valeur de T, et la mettant dans Téquation précédente], on obtient :

[Cette dernière équation est souvent employée pour calculer la longueur d*onde \ ou le nombre n des vibrations accomplies dans une seconde.]

(M voit donc que, lorqu*un mouvement vibratoire passe d'un milieu dans un autre qui a la propriété de propager plus rapidement les vibralions, la longueur d'onde croit dans le même rapport que la vitesse de propagation. Les ondes sonores, par exemple, se propagent environ quatre fois plus vite dans Teau que dans l'air; aussi leur longueur est-elle à peu près quatre fois plus grande dans le premier milieu que dans le second.

33. Oïdes iphériqnei, mpertcieUei oo linéaires. — Jusqu'ici nous n'avons guère Considéré que des cas théoriques qu'on ne rencontre pas dans la nature; en réalite, le mouvement vibratoire ne s'observe pas plus dans de simples tiles de molécules que dans un point matériel isolé ; il arrive le plus ordinairement, on pourrait même dire toujours, que la molécule qui se met à vibrer en premier lieu est entourée de toutes parts d'autres molécules dont ♦^le trouble l'équilibre, de sorte que le mouvement vibratoire de la première molécule se propage dans toutes les directions de l'espace. De plus, nous avons déjà fait remarquer qu'à l'origine même du mouvement, c'est, non pas un point unique, mais un groupe de molécules qui entre en vibration et qui communique son mouvement à d'autres molécules. Si donc le point 0 (fig. 20) représente le groupe de molécules qui est le premier à vibrer, a(»us devons regarder ce point comme un centre, à partir duquel vont rayonner dans tous les sens et en nombre infini une série de condensations ^i de dilatations. Par conséquent, l'onde ne se propage pas suivant une ligne unique; elle n'est pas linéaire; elle s'avance sous forme d'une surface courbe, entourant le centre d'ébranlement dont elle s'éloigne progresliivement en grandissant.

La surface de Tonde est une sphère^ si le milieu dans lec^uel elle ?ft

58 PHÉNOMKNES ET LOIS PHYSIQUES EN OÉNÉnAL

propago est physiquement hoiiiopène [un plutôt isotrope <% car alors ilu centre d'ébranlement partiront, suivant toutes les directions, des ondes linéaires dans lesquelles les condensations et les dilatations se succèder.;nt d'une manière identique. En faisant passer un plan par le centre d'une onde sphévique. on obtient une coupe dans laquelle les condensations et les dilatations successives sont représentées par des cercles concentri-

^ qnes. l'n exemple fera mieux saisir la

/| ^^ manière dont se passent les choses.

^1 j ~ . Soit 0 (fij<. 20) un point maUViel envi-

j,, . , ^v ronnè d'air de toutes parts; supposons que

c(» point vienne tout à coup à vibrer : ii * . l'instant même, le mouvement vibratoirt*

»r^ de ce point va se communiquer aux molé-

cules d'air <Ie la couche la plus voisine, et ^ • , ces nndécules, après s'être éloi^^nées du

v^-^ — £ — - :|- — ^ - ,: - centre d'ébranlement dans la directi<»n de^

\ ^ rayons ()G, OT/, etc., retourneront en sen«

Fuî. 3îi>. — l'ropapaiion du inouv<»ment vi- (•;;ntraire et cscillei'out (le | art et d'autiv

bratoire daiiM toutes let dire<'tions, suih ,i , i,».,„ ,v/n^,U;/-v.» :..u:o1^ . ;i .» ..' i« i

forme dune nn.ie Mphèrniu.. «'«^ ^< ^"; positiou initiale : il eii ivsultera des

(U figure r^pfv»«»n le le qu»rt dune coupe vibratioiis- loiifiitudinalcs , (fui cheuiiiieront

patsant par le rentre de Ponde.) , a * i i* *• a i a i» ii

dans toutes les directions et dont 1 ensemble formera uik» onde sjdiérique proj^ressive. [Quand le milieu est amsutroj)e, et c'est le cas des corps cristallisés, à rt»xce|)tion de ceux qui cristallisent <lans le premier système, la vit<»sse de projjagation du inouveiiK nt vibratoire n'est pas la mèmeclans toutes les directions; il s'ensuit que la surface de l'onde n'est pas sphérique. On v<»rra qucdle eu est la forme, quand nous étudierons la proi»agation de la lumière dans les milieux biréfrinj^ents (cf. JiS220et224.i) Dans une f(uile de circonstances, le mouvement vibratoire ne peut ivas» se propajrer en ttms sens, parce qii'il en est empêché jar la for:ne même du corps; une onde à trois dimensions, telle qu'une onde sphérique, ne prendra pas naissance dans un corps qui n'a, pour ainsi dire, qu'une ou deux dimensiiuis, comme une corde ou une membrane. A la vérité, si le corps dont les molécules vibrent est plongé dans un milieu imlétini. tel que l'air, les oscillations, après leur passajjce dans ce milieu, enpendi*er(Uit des ondes sphériques. Mais, pour ce qui est des oinh^s formées dans une corde ou une verjre, elles i)euvent êti'<» considérées comme représentant stMisiblement des ondes linéaires, et par conséquent, comme soumi-^^es aux hûs qui régissent le mouvement vibratoire dans une file de molécules. S'il s'ajril d'une membrane on, en irénéral, «l'un corps de forme quelconque, mais ne s'étendant qu'en surface, il se produira une infinité dcmdes linéaires, toutes situées dans la surface du corps vibrant, et qui, par leur juxt^iposition. donneront wuoouiW supcr/icie/tc; on a un exemjded'cmde superficielle dans la fijfuiv '^0, (|ui repn»sentela coupe d'une onde spliérique.

• *' |.\i)ii«di«ons qu'un milieu (Xt phy*i'f%t''tnt'.\l /«"mofii*»* lorM|ti'il po«K«*Mli> fu • ha«*uu di> M»t |ioiai4 a iiièine i-unntitut on ph^siqur. <"haquo puiut d'on iiiilifw hoiii<>(;<'iic pcut.rii uuti-i'.pri'*s^nlf*r drs |tio| tirlé* denUqiie« dan* toutes le« diri*otio-ia. nu ile« propru>t*'H di;r4r<*nt4-a dans le« divr-r»f»t diris^tionv; nous a^ pellcrun^ tn.lie>i& nt'ttr'ipfii 1<*4 lutlifus lioino^iiMie^ d-* la pn>inturii «>spere, ot inili«*u& tininotr^prê i*cus de la «"iMiide; no'is t'inprtiutou* <-«'^ di<klin<*tion«, qm nous p •r.iisHeiit iniport.in'ei. A t*/««(ra</«« ï roi <> /a h fute optique» de A. Bmf, iraduclioo fr«nvait« par ForUiomme, lî«58.J

Ouand on a affaire k des ondes spliériques, on peut souvent, pour en simplitier l'étude, se contenter de considérer une seule des ondes linéaires <loiit Tensemble constitue l'onde sphérique ; mais il est des circonstances où la considération de Tonde linéaire ne permet pas de donner une explication, as>*»z complète des phénomènes; on a alors recours à Tonde superficielle, qui Miffit à tous les cas, à condition toutefois de ne pas perdre de vue qu'elle ne représente qu'une coupe déterminée faite dans toute la masse vibrante.

34. PradictiOB dei vibrationi longitudinales. — Les vibrations longitudinales, c>>t-îi-dire celles qui donnent naissance à des ondes condensantes et dilatantes, se produisent dans les solides, les liquides et les gaz. C'est ainsi qu'en exerçant une pression ou une traction momentanées sur Textrémitè •l'une tige de verre ou de métal, dans le sens de sa longueur, on peut déterminer dans ces corps la formation de vibrations longitudinales. De même, un liquide ou un gaz, enfermés dans un vase hermétiquement clos, sont parcourus par des vibrations longitudinales, quand, à Taide d'un piston traversant la paroi du vase, on soumet la niasse fluide à une compression momentanée.

Qu'il s'agisse de solides ou de fluides, le degré de la con<lensation priKiuile, c'est-k-dire la hauteur de Tonde, dépend de l'intensité de la compression exercée sur le corps, tandis que la longueur et la vitesse de propau'aticm de Tonde sont déterminées exclusivement par la force élastique des molécules matérielles qui vibrent. Cette distinction entre la hauteur et la longueur des ondes est imjwrtante; nous aurons à l'examiner de plus près quand nous en serons à Tétude de Tacoustique, laquelle n'est en grande partie qu'une application des lois des vibrations longitudinales; quant à présent, lious nous bornons aux considérations générales qui précèdent.

SS. fibrttioni trauferialei. — Jusqu'ici nous n'avons raisonné que dans le cas où, étant donné un système de points matériels disposés par rangées reciilignes, chaque molécule oscille de manière k se rapprocher ou k s'éloigner 'Ih la suivante, sans que la droite qui passe par les deux molécules consi- 'lerves change de direction; en d'autres termes, la trajectoire décrite par thaque molécule pendant son oscillation est rectiligne, dirigée dans le sens le la longueur de la file des molécules et, par conséquent, dans le sens suivant lequel se propage le mouvement vibratoire. Telle est l'orientation des vibrations longitudinales. «

Or, le déplacement des molécules oscillantes s'effectue d'une manière 'iiffêrente, quand le mouvement vibratoire est produit 'par un choc instan- *aiié venant frapper une molécule dans une direction perpendiculaire k la •iroil<^ quiTunitk la molécule suivante. Soit, par exemple, A,B,C,I),E, une îile de molécules matérielles (fig. 21), et supposons que, sous l'influence d'un éifc dirigé peri>endiculairement k la droite AE,le point A soitpcmsséen bas 'le manière k venir occuper la position A'; ce déplacement de la molécule A, ayant |H>ur effet d'augmenter la distance qui la sépare de la molécule suivante liou B', détruira l'équilibre qui existait priiiiitivement entre les forces attractives et répulsives de ces deux molécules; la force attractive deviendra pivpondérante et tendra k entraîner le point 13' vers A'. Mais, au moment où le |*oint B' se mettra en mouvement, le point C, dont il tend k s'éloigner, l'attirera k son tour ; la molécule B' sera donc sollicitée k la fois par deux.

forces , dont les droites B'A' et B'C représentent la grandeur et la direction, et elle suivra la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces ; en conséquence, elle décrira, comme la première molécule, une trajectoire perpendiculaire à la file des molécules. Or, pendant que le point B' se dirige en bas et arrive en B\ la molécule A' revient à sa position initiale, et, à un moment donné, les molé- B C J> ï cules sont disposées, comme on le voit,

en A'' B'' C" D" E". Puis, en vertu de la vitesse acquise, la molécule A'^ dépasse, en sens contraire, sa position d'équilibre et monte au-dessus de la ligne A"E", jusqu'à une distance A'" précisément égale à la quantité dont •- elle s'était écartée de cette ligne sous

l'impulsion du choc primitif; en même

temps, le point B'' revient à son tour à

^j- I. sa position initiale B ou B'", et le mou-

vement se communique à une troisième

1r r ~ ?• molécule C". Les points matériels

„ ^ w ^ j .t^A A oscillants vont donc se trouver daD«

Fio. 81. - Mode de propagation det ondea r n ^ a ,nr>Nfnu,r,tn i

iranaveniales. la pOSltlOU figUreC CU A B C D i ^

moment d'après , ils occuperont les positions indiquées en A""B'"'C'"'D""E"^ et ainsi de suite.

Les vibrations qui s'efifectuent ainsi, perpendiculairement à la droite suivant laquelle se propage le mouvement, sont dites transversales; on voit que leur mode de propagation est semblable à celui des vibrations longitudinales, avec cette seule différence que les longitudinales donnent naissance à une succession de condensations et de dilatations, tandis que, dans les vibrations transversales, les molécules oscillantes éprouvent de simples déplacements latéraux alternatifs, qui se suivent d'ailleurs avec autant de régularité que les condensations et les dilatations.

Au lieu de points largement espaci-'s comme ceux de la figure 21, nous

pouvons en imaginer une foule d'autres placés dans l'intervalle des premiers ; la figure 22 nous montre Ji y cT ~\ ;'js la disposition de ces molécules

. oscillantes à une époque du mouve-

^ ment, qui est celle à laquelle se rap-

Fm. 28. — Forme d'une onde transversale. UOrte la nliase A^^B^^C^D'^E"*' de h

figure 21. En joignant tous ces points par un trait continu, on obtient une courbe ondulée ABCDE (fig. 22) entièrement semblable à celle qui nous a servi à représenter les vibrations longitudinales ; mais tandis que, dans cette dernière forme de mouvement, la courbe n'était qu'une image figurée rendant sensible aux yeux les alternances de condensation et de dilatation, ici, dans le cas des vibrations transversales, chaque point de la courbe nous donne la position réelle de la molécule oscillante k l'instant correspondant.

On vient de montrer que le mouvement oscillatoire, quaud il s'agit dç

^ratioas transversales, est aussi représenté par une ligne sinueuse offrant des parties alternativement convexes et concaves, c'est-à-dire des éminences nu protubérances (Welienberg, mont de l'oLide) et des dépressions {Wellenihal, ra/ de l'onde); ici, comme pour les vibrations longiLuiiinales, l'interine compris entre deux protubérances ou deux dépressions consécutives -présenle la longueur d'onde. 11 est, du resle, facile de voir que les ; .'itiuns des molécules oscillantes sont identiquement les mêmes à chaque Lis que le mouvement vibratoire a marché d'une longueur d'onde. En outre, si le uiouvemeut débute par le déplacement de la molécule matérielle audessous de sa position d'équilibre, l'onde qui en résulte est dite nêgalive, par analogie avec la désignation usitée pour les vibrations longitudinales; les figures 2i et 22 se rapportent h ce cas. L'onde est, au contraire, positive quand la molécule oscillante commence par s'élever au-dessus de sa position l'^iailibre; dans ce cas, le nionvemeut progresse, ayant en tèle une demiipiie à convexité supérieure. Kn résumé, les lois des vibrations longitudinales, exposées §§ 31 et 32, =<int applicables aux transversales; ncius conipremms dans ces lois, non •ailement celles qui concernent la durée de la vibration, mais encore li-î relations qui existent entre la durée de la vibration, la longueur d'onde rt la vitesse de transmission du mon venieiil.

H. Pn^ocUoii des ribratloDS traniTeriftUi > — La formation des ondes à la mrlace d<-s liquides nous offre un exemple très connu de vibrations Irans- Tfrsales, Les corps solides peuvent aussi devenir le siège devibralions de cette espèce; c'est ainsi qu'eu agitant rapidement l'extrémité d'une corde tendue lAcliement, on y détermine la formation d'oudes transversales progreasives. Enfin . ce sont les vibrations transversales de l'éther |ou des Homes pondérables,! qui dorment naissance aux phénomènes lumineux [et calorifiques]. Selon les circonstances dans lesquelles se produisent les TÎbralions transversales, elles éprouvent des modifications particulières, «pe oous ferons connaître, quand nous nous occuperons de la mécanique •les liquides, des phénomènes du son et de la lumière.

U-s conditions qui déterminent la forme des ondes tran.sversales son) évidemment les mêmes que celles qui président aux ondes longitudinales. Dddsuii milieu homogène [et isotrope[, les vibratious transversales se proragenl sous forme d'ondes sphériques; elles se réduisent à des ondes super - ■ lelifs quand elles prennent naissance a, la surface d'un corps, et à des -Aee Unêaires quand la forme du corps se rapproche de celle d'une !::ue. .■Vu reste, il est souvent possible, pour simplifier, de ramener • tude d'une onde sphérique à celle d'une onde linéaire ou supei'flcielle <irre«p»ridaiite.

.Nous venons de monli-er, en ce qu'elles ont d'essentiel et de général, les .Lfféreiicen qui existent entre les vibrations longitudinales et les Iransver- ^iles; le mouvement ondulatoire de ces deux formes de vibrations est <umis à deit lois cnumunes, dont il nous reste à faire connaître les plus iu|x>rL]nles. Dans les développements qui vont suivre, nous sup]ioserons M'Ufferemment que nous avons affaire à des ondes transversales ou longitu- . filiales; nos raisonnements seront également applicaldes ;t cts deux ftu'mes Lèe mouvement, puisqu'on h-s représente graplii<iuemenl de la même manière.

37. Interféreice dei ondei. — Dans Tétude que nous avons faite jusqu'ici de

la propapa tion des vibrations sous forme d'ondes, nous n'avons examiné que le cas où celte transmission de mouvement s'effectue au sein d'une agrégation homogène de points matériels, en l'absence de toute influence perturbatrice. Or, différentes circonstances peuvent troubler la régularité du mouvement vibratoire : c'est ce qui arrive toutes les fois que deux ou plusieurs ondes, marchant dans la même direction ou dans des direction^ opposées, viennent à se rencontrer; dans ce cas, il se produit ce qu'on appdie une interférence.

D'autre part, quand des ondes rencontrent la surface d'un corps dont les molécules ne sont pas en état de vibrer à l'unisson des premières, elles éprouvent un cliangement de direction, qui est connu sous le nom de réflexion.

Enfin, une onde peut passer d'un premier corps dans un second, dont les points matériels s )nt autrement groupés ; elle se propage alors dans le nouveau milieu avec une vitesse différente que celle qu'elle possédait dans le i)n»mier ; il résulte de ce changement de longueur d'onde le phénomène désigné sous le nom de réfraction. Nous allons examiner successivement l'interférence, la réflexion et la réfraction des ondes.

Imaginons que deux ondes se rencontrent: la molécule placée à leur point d'entre croisement sera sollicitée à la fois par deux mouvements, et ces

Fio. 23. — Interférence de d«Mis oudet.

mouvements se composeront de façon à imprimer \\ la molécule un mouvement résultiuit, dont l'intensité rt la dii'ection s'obtiendraient de la même manièi'e qu'on trouve la résultante de deux forces. Représentons, par exemple, par les deux ondes linéaires AHC et A'H'C/ de la figure 23, deux mouvements vibratoires partis de <lf*ux points opposés A et A', marchant à la rencontre l'un de l'autre et se superposant dans l'espace situé entre H ot V! : pour avoir le mouvement résultant des molécules comprises dans cet intervalle, il faut, en chaque point de la ligne des abscisses, mener une ordonnée égale à la somme ou à la différence des ordonnées correspondantes de chacune des deux ondes composantes, sui- \ant que ces dtTnières ordonnées sont siluét»s d'un même côté de Taxe des abscisses ou qu'elles sont dirigées en sens contraire. En joignant j>ar un Irait continu les extrémités «les nouvelles ordonnées, on obtient la courbe de Tomle résultante, co irbe représentée dans la figure '^3 par la ligne sinueuse nb'cdfhi .. [On voit (|ue rinlerférence des ondes ou des vibrations n'est jMis autre chose que le résultat de la composition des mouvements ou des vitesses.]

Otte figure nous montre que, dans l«»s endroits où deux demi-ondes iK>si

oc UOCVEUS-NT VIBRATOIRE ET ONDULATOIRE

UTfB. fi'eat-à-dire les protubérances tiadeux ondes, se rencontrent, il en n»alU! une prottibèranceplusélevée ; dans les endroits où deux deIni-olId(^s ii«eiitives, c'est-à-dire les dépressions de deux ondes, se superposent, Qse produit une dépression plus considérable; enfin, là où un mont interfère aien aa tbI, le mouvement est détruit en partie ou en totalité; dans les pouils où les ordonnées des ondes composantes sont ri[;oureusement égales H <l(; ieiut uuiitraire, les molécules matérielles restent au repos.

tt. BMnin datoidei. — Lorsqu'une onde rencontre une paroi résistante,

rlle «si réfléchie. [c'est-à-iUre renvoyée dans le milieu d'oii elle vient].

Voici ccimmeiit s'explique le pliéuomêne de la réflexion.

^^ >it abcde\^%. 'i\. I) une onde qui vient rencontrer en e une paroi solide ;

lis !iDppo3ons la direction de l'onde perpendiculaire au plan de la surface

r-flechissaule. Si la paroi solide n'existait pas, l'onde .

\ Djutinuerait sa marclie eu avaut et il arriverait, par ^ ^ — -^ ,

I «xemple. un moment (II) où le sommet de la protu- "^ZZ.^

I berancc corivspondrail à la plaœ actuellement *

H uocDpèe par la paroi, et où le point c se trouverait,

H [arooneéqaeat. avoir avancé d'uu quart de longueur

M J'oDde; mais la paroi solide, en vertu de la résistance

JB ipi'eUe opposv au mouvenieul des molécules oscillinles, les empêche de poursuivre leur route et les r«aToie en sens opposé, c'est-à-dire dans la direction !r; il eu résulte, immédiatement eu avant de la paroi, Duedemi-protubérance^V/'idout la hauteur est doublât fe celle de la protubérance de l'onde incidente. Les molécules matérielles repoussées dans la direction T donnenl naissance à une onde rétlécliie qui vn •e propager eu seus contraire de l'onde incidente nbcde, c'est -à-dire suivant ec. Dans la demi-protubçraiice crf", la moitié des molécules se rapproclie , de la paroi, Mudis que l'autre moitié s'en éloigne ^•■jà. Au fur et à mesure que les premières molécules reiivo\ées par la paroi rétrogadent, de nouiHles molécules viennent se heurter contre cet ttkMade et sont réfiécliies à leur tour ; aussi, quand fuade incideu(« $'est avancée une deuxième fois d'un ^uart (le sa longueur, en tout d'une demi -longueur,

nisle-t-il , en avant de la paroi , une protubérance entière réfléchie , ';'est-à-tiîre une demi -longueur d'onde réfléchie c'd'e' (111). Pendant qu'il se '"noail aÎBM contre la paroi une protubérance réfléchie, la dépression abc iel'oode incidente arrivait au contact de ce même obstacle; il ce monient-lii, "\a donc en cet eiidmit une demi-onilf positive et une denù-unde n^alïve, '\iii se n-couvreut mutuellement, et qui, pai- conséquent, interfèrent de ma-

.4 ii^iv il »e neutraliser, c'est-îi-dii-e à laisser les molécules au n^pos. Puis, .1 'iiTidr réfléchie cfintinuant sa marche rétrograde s'éloigne de plus eu plus ;

, I (frés a'êlre déplacée d'un quart de longueur d'onde, la protubéraiici' L 'dUchie occupe ta pusitiim mai'quée (IV), ayant â sa suite la moitié d'um'

mA ^pon^ioii c'a,- mais en inèue temps la dépivssiuii abc rie l'unde incidente

>. 2i. — Elplkkllon

s'est rapprocliée de la surface réfléehissante d'un quart de longueur d'on<le ; il y a donc alors, contre la paroi, coexistence de deux moitiés égales de dépression. Tune appartenant à Tonde incidente, l'autre à l'onde réfléchie ; il en résulte une demi -dépression de hauteur double c'V , Enfin, l'onde incidente s'étant encore avancée d'un quart de sa longueur, la place oà elle se trouvait primitivement est maintenant occupée par une onde réfléchie (ib'cd' (V), ayant les mêmes dimensions, mais disposée en sens inverse et marchant dans une direction opposée.

Quand la porlicm dilatante de l'onde incidente, c'est-à-dire une dépressiiHi, est la première h rencontrer la surface réfléchissante, la réflexion s'opère en passant par la même série de pliases que dans l'exemple précédent, mais en suivant un ordre précisément inverse : on voit d'abord apparaître une dêpressiiMi de profondeur double, ensuite les molécules rentrent au repos durant la superposition de la demi-onde négative réfléchie à la demi-onde positive directe; puis se montre une protubérance de hauteur double, el enfin une onde entière réfléchie.

La plupart du temps, on a afl*aire, non pas à une onde isolée, mais à une série d'cmdes qui viennent les unes après les autres frapper contre une paroi solide. Dans ce cas, chaque onde réfléchie interfère successivement avec le« ondes incidentes, au fur et à'mesure qu'elle les rencontre; ily a là, à la fi»i5, interférence et réflexion d'ondes. Le phénomène est facile à analyser à l'aide des considérations développées dans le présent paragraphe et dans le précédent.

99. Direction de Tonde rélétbie. — On vient de voir comment s'opère là réflexi<m d'une onde dont la direction est normale à la surface réfléchissante. Il faut entendre par direction d'une onde, celle de la droite qui passe par les molécules auxquelles le mouvement vibratnii«e est successivement communiqué^ c'est ainsi que la direction d'une onde longitudinale est normale à un plan donné, lorsque les mcdécules, en oscillant, se meuvent suivant des droites perpendiculaires à ce même plan; si, au contraire, l'onde est transversale, les molécules vibrent parallèlement au phni qui est jnM'|>endiculair.» à la direction de Tonde.

Nous avons vu qu'une onde dirigée normale. nent à la surface réfléchissante ne cliange pas <le direction par le fait de sa réflexion ; elle éprouve seulement un renversement du sens de sa propagation. 11 n'en est plus tout à fait de même, lorsque la direction de l'onde incidente fait avec la surface réfléchissante un angle différent de l'angle droit ; c'est ce que nous allons montrer.

Soicut CD (fi(r. 25; une surface ivâéchissante, et Al la direction d*une onde condcutante ; BUp[K>Aon4 que la molèt'ulc oscillante situét' a rcxtrcniitc de la file vienne clioquer la suiiKe au |>oiiit 1, avec uno vit^'ssc représentée en grandeur et en direction |>ar la droite IF. Décompoitons r^ Uf vitesse en deux autre?, Tune IN perpendiculaire à la surface^ l'autre IT parallèle à cette s'irface; la composante tangentielle IT ne suhiia aucune moiltfication pir le fait du choc, puisque, si elle agissait sH^ule, elle aurait |>our effet de faire glisser la noIê cule oscillante parallèlement au plan de la surface réfléchissante. La composante normale 1N« au eontriire, si^ra rempla«;ée, après le chi>c, par une com()Osante IN' de même grandeur, mai** «lirig<>e dan> le ^ens opposé : en etrot, au moment du choi*, la molécule oscillante cède aux molécules de la surface réfléchissante qui 5ont xoisincs du point I, la |»artie de sa forre vive corre^|>on 'antc à la composante normale de la vitesse ; puis, dans Tinatant sri*

0 ^ Fio. 27. — Réflexion d'une onde spbérique par une surface

plane.

renvoyée dans la même direction et reviendra sur elle-même ; 01 sera réfléchi dans Ii direction IR, Or dans la direction IR', etc., de manière que, pour chacune de ces ondei, Tanglede réflexion soit égal à Tangle dincideuce ; IK, TK', etc., représentent les normalei

aux points d'incidence I, T.... Eo prolongeant les directions des ondei réfléchies jusqu*à leur rencontre mutuelle, on trouve quelles vont toutes concourir en un point nnique 0', symétrique du point U, c*e8t-à-dii'e situé de l'autre otÀÎ de la surface réfléchissante, lur le prolongement de la normale qui passe par le centime de Tonde incidente, et à une distance de la surface égale à celle de ce même point d*origine.

Ainsi, une onde sphérique, venant à rencontrer une paroi résistante, donne naissance à une onde réfléchie, qui, par sa direction, semble être la continuation directe d'une autre onde sphérique dont le centre serait symétrique de celui do Tonde incidente, par rapport a la surface réfléchissante.

Il est entendu, d'ailleurs, qu'une paroi résistante ne réfléchit une onde sphérique de la manière qui vient d'être indiquée, qu'autant que la paroi en question est plane.

Si Tonde spliérique rencontre une surface courbe, les normales aux différents points d'incidence ne sont plus parallèles entre elles, et la réflexion qui s'opèn» dans ces conditions produit certains effets particuliers, sur lesquels nous reviendrons a l'occasion des ondes lumineuses; car c'est surtout dans cette branche de la phj'sique que Tétude de la réflexion par les surfaces courbes ofl*re un grand intérêt.

M. Tibratioiis stattonnatrei. — Au début de nos considérations sur le mouvement vibratoire, nous avons montré comment un point matériel, soumis a des forces qui tendent à le maintenir dans une position déterminée, peut être amené à exécuter «les oscillations en nombre infini, une fois qu'il a été écvirlô de sa position d'équilibre par un choc. Nous avons eu soin d'ajouter qu'en

réalité, la plupart du temps, les oscillations ainsi excitées ne tardent pas à s'arrêter à cause des résistances qu'elles ont à vaincre. 11 n'en est plus de mémo, quand des obstacles fixes sont disposés de manière à se renvovtT mutuellement et indéfiniment la même ondulation ; dan» ct»s conditions, le mouvement \ibral«»ir«* persiste longtemps. C'est ce (jui arrive, par exemple, lorsqu'on fait vibrer une corde tendue et fixée à 5es deux extrémité», A et X (fig. 23) ; suppt»s()ns qu'on exerce sur le milieu de cette corde une traction transversale : on détermine la formation d'une demi-oude AbX, qui tend à st^ propager ii la fois à droite et à gauche : mais, comme

FM. 28. •— Onde tUtionoaire produite par des réflexions successÏTes.

les points A et X sont fixes, cette onde se réfléchit successivement de Tun à Vautre, suivant le mode indiqué, § 38; il en résulte que la corde continue k vibrer pendant longtemps et paraît renflée.

L'influence de la réflexion sur la persistance des vibrations se montre avec plus d'évidence encore quand on considère une série d'ondes égales et se suivant sans interruption. Imaginons qu'une onde, ainsi composée d'une série de renflements et d'excavations, Coure de D en I (fig. 29) : arrivée en I, elle est renvoyée en sens contraire vers D, puis revient de nouveau vers I, et ainsi «le suite. Ces réflexions successives ont pour effet de renforcer leç vibrations de chacune des parties IG, CF, etc., de la corde, vibrations qui, sans cela, s'affaibliraient très

rapidement; par suite, la t^^ — X/^ "^/^ Nf/" '^^f conie continue à vibrer un ^ri37^^^Z3^7^^^r. lemps plus ou moins long, en ^^^ 2, ^^^^ «taiionnair^.,

offrant alternativement la

forme de la ligne ondulée pleine et celle de la ligne pointillée. On voit donc qu'en somme la corde entière se résout en un certain nombre de cordes plus petites, IC, CF, FE, etc., qui vibrent chacune pour son propre compte, pendant que les points de séparation C,F,E, etc., restent constamment immobiles.

On nomme vibrations stationnaires les vibrations qui s'accomplissent suivant le mode que nous venons d'indiquer ; on désigne sous le nom de nœuds fie vibration les points, tels que C,F,E, qui ne prennent pas part au mouvement et qui restent constamment en repos. [I^s renflements compris entre les nœuds sont ce qu'on appelle des ventres,]

Il est facile de produire dans une corde des vibrations stationnaires correspondantes à une longueur d'onde qui soit dans un rapport simple avec la longueur totale de la corde : veut-on, par exemple, que la longueur d'onde »it,commedans la figure 29,1e tiers de la longueur delà corde, il suffit de âier le point C, à l'aide du doigt ou de toute autre manière, afin de l'empêcher de vibrer, la distance IC représentant — ^ de la longueur totale de

lacr^rdeoula moitié de la longueur d'onde qu'on veut obtenir; pendant qu'on immobilise le point C, on fait vibrer la portion de corde IC, en lébranlant par son milieu : l'onde qui prend ainsi naissance se propage dans tonte rétendue de la corde et y produit des vibrations stationnaires qui correspondent à la longueur d'onde voulue.

En procédant d'une manière toute semblable, à l'égard des plaques et des 'oembranes élastiques, on y détermine aussi des vibrations stationnaires; la surface de ces corps se partage alors en un certain nombre de portions vibrantes séparées par des lignes nodales, c'est-k-dire par des lignes dont tous les points sont au repos. Les colonnes «l'air renfermées dans des tubes Pavent également être le siège de vibrations stationnaires. L'étude du son nous offrira des exemples de ces différentes formes de vibrations.

On peut facilement mettre en évidence l'existence des nœuds dans les conies vibrantes, en plarant de distance en distance, à cheval sur la corde, 'les corps très légers, tels que des morceaux de papier ou des copeaux de Ijois : dès que la corde commence à vibrer, les cavalieî*s de çaçier qjvv ^o\A

placés sur des nœuds ne bougent pas, tandis que les autres sont jetés à terre par les vibrations. En saupoudrant de sable ou de poussière la surface des plaques et des membranes vibrantes, on rend visibles leurs lignes nodales: les grains de sable se rassemblent le long des lignes nodales, aussitôt que la plaque ou la membrane sont mises en vibration ; il en résulte des figures régulières dont la forme peut varier de bien des façons pour une seule et même plaque, suivant la manière dont vibre le corps. Les figures ainsi fournies par les plaques et les membranes vibrantes sont connues sous le nom de figures acoustiques ou figures de Chladni et rfe Savart.

41. Passage des ondes d'an milieu d^ns un antre plus dense. — En exposant les lois de la réflexion, nous avons raisonné dans Thypothèse que la surface rencontrée par Tonde longitudinale ou transversale était parfaitement fixe et rigide. A vrai dire, cette condition ne se trouve jamais réalisée; mais 1? s vibrations communiquées à la masse du corps réflecteur ont souvent une intensité si faible qu*on peut en faire abstraction. Il n'en est plus de même quand une onde arrive à la surface de séparation de deux milieux, dont le second, tout en étant plus dense que le premier, ne Test pourtant pas assez pour que les vibrations qui lui sont transmises soient négligeables. Dans ce cas, Tonde incidente subit aussi la réflexion; mais, en outre, elle se propage dans le second milieu, où elle prend le nom d'onde transmise ou réfractée.

La réflexion se comprend aisément : si nous nous reportons, en efiet, à la figure 25, nous voyons que le point I,qui appartient déjh au second milieu, tout en participant au mouvement vibratoire des molécules attenantes <lu premier milieu, ne saurait vibrer avec une intensité aussi grande; il agira donc, pour déterminer la réflexion de Tonde, comme s'il représentait uu obstacle fixe; seulement, cette fixité n'étant que relative, l'action réfléchissante du second milieu sera moindre.

Quant à la réfraction de Tonde, ou peut en donner l'explication suivante : Soit MN (fig.30) une surface de séparation entre deux milieux de densités difiërentes; Tonde incidente se trouve à gauche, dans le milieu le moins dense. Je prend* Tonde au moment où elle occupe la ^ , position indiquée en II(fig. 24); c'eî^l

3 ^ " Tinstantoù le sommet I (fig. 30) <l«

la protubérance arrive au contact de la surface de sé|»aration. Si cet obstacle ne se trouvait pas sur 1<^

» •., ^^ . ,T .A . - trajet de Tonde, celle-ci cheminerait

Ftu. 30. — Chaii(r«mriit tX- la xiIm^o de jm op.iir.il ion à « ^■«-•*^,» 'w* ^«.^ •>•>>«

«l'use oode linéairv paMant d'un inilivu dau» un autr<> COIUme le UlOUtre la COUrbe pOnCtuée de .l.n..tô d.»T.^^.^le. j^.|^ . ^^^j^ ^^ ^^ j^^ j^ j^ présenCe

de la surface MN, la demi-oude primitive BIC se scinde en doux et donne uaissanas d'une|)art,à une onde rê* fléchie de hauteur lIi,dont la m.irche est rétrograde ; d'autre part, à uneoiule dont la marche s'ofiectue dans le même sens que celle de Tonde incidente, et

W Di; MÛDVEMENT VIBRATOIRE ET ONDUI-ATOIRE 69

fjfû a pour hauteur la distance du point I» îi la droite AD. La protubtrance ré- In^niiie s'ajoute h la protubérance primitive et produit la protubérance BIi. qui devient l'origine d'une omle réfléchie, comme daoa le cas de la réflexion Ltiale (cf. g 38), avec cette aeule diffêrein-i* qu'ici . la i-éflexion étant partielle, '.iliauteur de l'onde réflôcliie est diminuée de celle do l'onde transmise; la ■ mme des hauteurs des ondes réflècliie et réfractée doit être égale à la luleur de l'onde incidente. Plus la différenoe de densité des deux milieux

•: faible, plus la hauteur de l'onde réfléchie est petite par rapport k celle

V l'onde incidente, et plus aussi la hauteur de l'onde réfractée se rapproche

<e celle de l'onde primitive.

Mais, tandis que l'onde réfléclùe ne se distingue de l'onde incidente que [ar sa hauteur el par le sens de sa marche, l'onde réfractée en diffère encore MUS un autre rapport. Le second milieu, étant plus dense que le premier, offre plus de résistance au mouvement vibratoire ; cette circonstance, il est Trai. ne modifie pas, en général, la durée de l'oscillation, car les molécules lin milieu le plus dense, recevant leur mouvement de celles du milieu le moins dense, vibrent à l'unisson de ces dernières. Si la vibration conserve la ait'me durée en changeant de milieu, il en est autrement de la longueur

l'onde : celle-ci devient plus petite dans le milieu le plus dense, puisque les i.iùlécules, y étant plus rapprochées les unes des autres, occupent, à nombre ■.:a.\, une longueur moins grande que dans le premier milieu.

Ite ce que la longueur d'onde i diminue, tandis que la durée de la vibration 1 ne varie pas, il résulte, en vertu de l'équation i. = YT (cf. g li2), que la -lilease de propagation de l'onde réfractée doit être inférieure à celle de l'onde iiici-lente, et ce ralentissement de la marche de l'onde, par le fait •1« son passage daM:> un milieu plus dense, augmente avec la différence de densité des ileux miliiMix.

42. Pus*ge de l'onde d'an milieu dans nn &atr« mobis dense. — Si ou suit la

lêine marciie de raisonnement que précédemment, on n'aura pas de peine I prévoir les cliangenients que subit une onde en entrant dans un milieu

; lins dense. En ce cas. l'onde incidente, arrivée au contact de la surface

■ :-épa ration, donne aussi naissance

une onde réfléchie et à une onde

ransmise ou réfractée. > i i

En effet, soit AIB (fig. yi) une p,^ 3,, ^ pii. d. n.oié.«i« .ppario^am ù d=„. «i-

; l-^ de molécules; celles qui sont lieui de démit* dimranU, m Hrranl » expliquer

[liiéesà gauche del font partie du iÛ..lde".'MÎ^^nt^d»M'l^Bmeu^Bp^o^°deIlM"^^ iLiUieu le plus dense; à droite se trouvent celles du milieu le moins

lieuse; la molécule I appartient, en quelque sorte, à la fois aux deux milieux <-! les sépare l'un de l'autre. Supposons qu'une onde condensante parure cette file do molécules de A en B : arrivée en I, elle déterminera en '-"I endroit une condensation plus forte qu'en tout autre point de son trajet Ultérieur, car la molécule I, appartenant déjà au milieu le moins dense, y rencontre moins de résistance à vaincre pour comprimer les molécules sui- UDtes. La demi-onde condensante, ainsi modiflée de manière à surpasser ^—Ui amplitude toutes les ondes incidentes, devient, en se propageant dans le ^HMilieu de droite, l'origine de l'onde tran^'Unse. Or, si la demi-onde con-

70 PHÉNOMÈNES ET LOIS PHYSIQUES EN aENERAIi

densaiite est représentée par une protubérance plus élevée, la demi- onde dilatante qui marche à sa suite, arrivée en I, éprouvera à son tour les effets de la diminution de résistance et acquerra aussi une amplitude supérieure à celle qu'elle a eue jusque-là ; cet accroissement d'amplitude de la demi-onde dilatante équivaut à la formation d'une onde de dilatation, qui, en marchant de I vers A, va former l'onde réfl/nîhie. — Dans le cas où l'onde incidente commencerait par une dépression (onde de dilatation), l'onde réfléchie débuterait par une protubérance.

Que les vibrations incidentes soient transversales au lieu d'être longitudinales, cela ne change rien au résultat de la réflexion : si une onde transversale arrive à la surface de séparation des deux milieux, elle communique à la molécule I une vibration transversale dont l'amplitude surpasse celle des vibrations des molécules qui précèflent, car les forces attractives qui s'exercent entre la molécule I et les molécules environnantes du milieu le moins dense sont plus faibles que les attractions mutuelles des molécules du milieu le plus dense. La demi-onde positive produite à la droite de la surface de séparation, ayant une amplitude plus grande, il en est de même de la demi-onde négative qui se forme k la gauche du point I, et qui, en raison de cet accroissement d'amplitude, devient le point de départ d'une onde réfléchie.

Ainsi donc, que Tonde incidente soit transversale ou longitudinale, la réflexion k la surface d'un milieu moins dense a toujours lieu de telle sorte que la première demi-onde réfléchie et la première demi-onde incidente soient de noms contraires. La somme des hauteurs de l'onde réfléchie et de Tonde transmise est d'ailleurs égale k la hauteur de Tonde primitive.

Quant à la longueur d'onde du mouvement vibratoire, elle augmente par le passage de Tonde <Ians le milieu le moins dense, et comme la durée de l'oscillation ne varie pas, la vitesse de propagation du mouvement devient plus grande.

[42*. Caractère différaat de l'oada rélécbie, saiîant que la rélezlMi l'effactie dau le ■iliea le plii deaie oa daai le molni dénie. — Des considérations développées dans les deux paragraphes précéflents découle un résultat qu'il importe de mettre en relief; car, faute de se le rappeler, on se trouverait fort en peine pour mettre la théorie d'accord avec Texi)érience, dans Texplication de certains phénomènes d'int<»rfêrence, où les ondes ont subi des réflexions préalables. Le résultat dont je veux parler consiste dans le caractère différent que présente Tonde réfléchie, suivant qu'elle est renvoyée dans le milieu le plus dense ou dans le moins dense.

On vient de voir que, si la rvîflexion s'opère dans le milieu le plus dense, la première demi-on<le incidente et la première demi-onde réfléchie sont de nom contraire, Tune étant positive quand l'autre est négative, et inversement; dans ce cas, Tonde réfléchie est, en quelque sorte, la continuation non interrompue de Tonde incidente, de façon qu'après là réflexion d'une onde entière, Tonde refléchie occupe la même position que Tonde incidente immédiatement avant la réflexion, et qu'elle a sa protubérance et sa dépression disposées dans le même ordre. Quand, au contraire. Tonde incidente se trouve dans le milieu le moins dense (cf. § 41), elle produit, par la réflexion de sa première moitié, une demi-onde réfléchie de même nom : k une protubérance

incidente succède, sans intermédiaire, une protubérance réfléchie; la dépression qui devrait venir se placer entre ces deux protubérances, pour que l'onde réfléchie pût être regardée comme la continuation de Tonde incidente,

fait défaut; la réflexion a supprimé une demi-longueur d'onde, et on exprime,

en effet, ce résultat en disant qu'il y a, dans ce cas, perte de — X.]

43. RéfttcUon des ondes. — Nous avons supposé jusqu'ici que la direction Je Tonde incidente était perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieux, et nous avons vu que dans ces conditions Tonde, en passant dans le second milieu, subit un changement de vitesse de translation, mais conserve sa direction première. Il n'en est plus de même, quand Tonde incidente est inclinée sur la surface d'entrée du second milieu.

Pour comprendre ce qui se passe dans ce cas, il faut avoir recours à uue section plane d onde sphérique ; nous prendrons cette onde à une très grande distance de son centre d'ébranlement, afin que sa surface puisse, sur une petite éten- <lue, être confondue avec un plan, et que, par conséquent, deux ondes linéaires voisines aient des directions sensiblement parallèles entre elles et perpendiculaires à la surface de Tonde. Soit donc LIL'A ifig. 32) une portion de section plane d'une onde «emblable, limitée par les deux ondes linéaires ou rayons, Ll et L'A, très voisins Tun de Tautre et obliques par rapport k la surface KM; par le point I menons une perpendiculaire k la direction des ondes linéaires jusqu'à sa rencontre en P avec 'e rayon L'A : la droite IP ainsi tracée représente le lieu géométrique Je tous les points qui sont dans le même état de vibration, c'est-à-dire là îjurface de Tonde k un moment donné, celui où elle rencontre en 1 la surface réfringente. Ainsi, quand le mouvement vibratoire est arrivé au P^nntl pour le rayon Ll, il n'est encore qu'en P pour le rayon L'A. Con- Miiérons ensuite le moment où le point P de Tonde rencontre à son tour la surface en A : pendant que le mouvement vibratoire, marchant dans la direction PA, s'est transporté deP en A dans Ir premier milieu, le niouveûient vibratoire qui se propageait suivant Ll, a passé dans le second milieu et y a parcouru un certain espace; si, comme nous le supposons ici, le >econd milieu est plus dense que le premier, la vitesse de propagation de Tonde y est plus petite; dès lors, la distance PA, franchie daiis le I reraier milieu par le mouvement parti du point P, est jdus grande que le chemin IT parcouru dans le second milieu jar le rnouvcment emaué du

FiG. 33. •- Déviation subie par la direction d'une onde, à son passasse d'un milieu dans un autre de denaité différente.

point I; le rapport des deux chemins est égal à celui des vitesses correspondantes.