COURANTS DÉRIVÉS

le fil l égal à d, revient à diminuer de moitié la distance d, ou à remplacer L par L — £d. Si nous supposons d très petit par rapport à L, en divisant par L les deux termes des valeurs de 1, i et D, et négligeant d2 : L, il vient

I' = 1, i = 1 — — , D = l , , . . Le courant primitif n'est donc pas sensi-

blement altéré, et les valeurs de i et de D conservent le même rapport. Si, de plus, d est nul, il vient I' = L i=I, D = 0. Dans ce cas, les points de dérivation se confondent, et il était facile de prévoir les résultats.

Supposons maintenant que les points de dérivation soient aux pôles de la pile, et séparons la longueur réduite r, qui correspond à la pile, de la longueur totale L. Alors la résistance du circuit extérieur seul sera représentée par L — r, et nous aurons d=L — r ; les formules [f] et [2] deviennent donc

(l+L—QL Ll L(L-r)

I' est, dans ce cas , l'intensité dans la pile, i et D les intensités dans les deux fils qui joignent ses pôles. Si nous supposons r = 0, c'est-à-dire si la pile n'offre pas de résistance, comme cela a lieu pour un couple thermo-électrique,

nous aurons Y = l — - — , i = l, D = — . Ainsi, le courant n'est pas modifié

dans le circuit primitif d, mais il passe en outre de l'électricité dans le fil de dérivation , avec une intensité en raison inverse de sa longueur /, ce qui fait que l'intensité du courant dans la pile est modifiée.

Considérons enfin le cas où les points de dérivation étant aux pôles, on a / = d = L — r ; il vient, en remplaçant par L — r, / dans les formules [4], ou d dans les formules [3] ,

Si en même temps on a r=0, il vient I' = 21, i = D = 1, résultats faciles à interpréter, et qu'on pourrait trouver directement. M. Pouillet, qui s'est beaucoup occupé des courants dérivés , a vérifié par l'expérience la plupart des résultats donnés par les formules qu'il a obtenues.

«6*3. Vérifications expérimentales. — Les lois et les formules de M. Ohm étant basées sur des considérations théoriques en partie hypothétiques, il était important de les vérifier par l'expérience. C'est ce qu'ont fait plusieurs physiciens. Dés 1826, M. Ohm avait soumis la formule I = A : (L+r) au contrôle de l'expérience. Il employait une pile thermo-électrique, dont les soudures étaient alternativement à 0° et à 100°. L'intensité du courant était mesurée par la torsion qu'il fallait donner au fil de suspension d'une aiguille aimantée, pour la maintenir dans la direction du courant. Le fil conjonctif avait successivement des longueurs différentes. Pour chacune d'elles on commençait

par calculer les constantes A et r. Pour cela , on observait deux valeurs de I, I,=A:(L+r), I2=À:(L' + r), on tirait les valeurs de A et r, qu'on portait dans la formule générale. Voici quelques nombres trouvés par ce moyen :

Longueur des fl.lt en pouce*....

Valeurs de I par expérience. .

Id. déduites de la formule.

Les résultats consignés dans les deux dernières lignes présentent un accord suffisant, quand on considère les difficultés de ces sortes d'expériences.

M. Ohm n'avait guère expérimenté qu'avec des piles thermo-électriques, lorsque, en 1831, M. Fechner publia, sous le titre : Résultais numériques d'observations de la pile galvanique, un grand travail expérimental dans lequel il a vérifié les lois de Ohm, les formules des piles à un ou plusieurs couples, et les cas particuliers que nous avons discutés (1620). Les constantes étaient déterminées dans chaque cas, par des observations en nombre égal, faites en donnant différentes valeurs aux quantités susceptibles d'être évaluées directement, comme la longueur du circuit extérieur, le nombre des couples, et mesurant l'intensité du courant, par la méthode des oscillations (1607). II a aussi retrouvé par l'expérience les propriétés des courants dérivés, et son travail constitue un ensemble tellement remarquable, que les lois de Ohm, qu'il avait pour but de retrouver par l'expérience, sont quelquefois désignées sous le nom de lois de Fechner. Ces expériences présentaient, à l'époque où elles ont été faites, de grandes difficultés, parce qu'on ne connaissait pas alors les piles à courant constant. M. Fechner attendait que la pile, dont il maintenait le circuit fermé, se fût affaiblie, de manière que la diminution d'intensité fût peu prononcée (14-60), et il employait la méthode des alternatives (4301). M. Lenz et M.Jacobi ont aussi vérifié les lois de Ohm, par des méthodes analogues.

Vers 1838, M. Pouillet trouvait, de son cûté, comme nous l'avons déjà dit, toutes les lois des intensités des courants, par la méthode expérimentale, si bien qu'on les désigne aussi sous le nom de lois de Pouillet. Cet habile physicien a d'abord reconnu que l'intensité du courant d'un couple thermo électrique, dont la résistance est négligeable, est en raison inverse de la longueur du fil interpolaire. 11 a opéré ensuite avec un couple à courant constant de Daniell, et a trouvé que l'intensité est en raison inverse de la longueur du fil interpolaire, augmentée d'une quantité constante. Il observait d'abord l'intensité du courant, quand il passait directement dans une boussole des tangentes, puis il ajoutait successivement des paquets de fils de longueur connue, L, L', L*... Admettant ensuite que les longueurs réelles du circuit étaient successivement x, L+x, L'-r-x, L* +£..., il déterminait x au moyen de deux observations quelconques, en écrivant que les intensités sont entre elles comme ces dernières longueurs. Or, la valeur de x était toujours la même, quelles que fussent les deux longueurs de fil interposées successivement, x représente la résistance

propre du couple et de la boussole des tangentes, exprimée en longueur d'un fil de même espèce que le fil interpolaire. M. Pouillet a aussi trouvé par l'expérience les formules des piles. Il a constaté qu'un seul couple donne un courant de même intensité que plusieurs couples placés les uns à la suite des autres, quand ce courant ne traverse que la boussole des tangentes dont la résistance est négligeable (1620). Il a encore trouvé et vérifié par un grand nombre d'expériences, les formules des courants dérivés '.

La loi de la pile suppose que la résistance intérieure de la source d'électricité reste la même, quelle que soit l'intensité du courant. Or, cette résistance est compliquée par celle qui a lieu au passage de l'électricité, des lames métalliques dans les liquides, et réciproquement (1559). D'après M. Marié-Davy, cette dernière résistance changerait avec l'intensité du courant ; d'où il résulterait que la formule des piles, telle qu'elle a été établie par MM. Ohm, Fechner, Pouillet...., ne serait pas complètement exacte. Des observations directes ont aussi conduit le même expérimentateur à la même conclusion 2. Ces résultats ayant jeté des doutes dans quelques esprits, M. Despretz a soumis de nouveau la formule des piles au contrôle de l'expérience, en s'entourant de toutes les précautions possibles 3. Dans ces nouvelles expériences, cet habile physicien mesurait les intensités des courants d'une pile de Daniell, au moyen de sa boussole des tangentes perfectionnée (1612). Pour calculer la résistance, il comparait l'intensité I dans le circuit composé de la pile et de la boussole seulement, à l'intensité i, après l'introduction d'un fil additionnel de longueur /. Si R est la résistance de la pile et de la boussole réunies, on a

1 : i = R+ l : R ; d'où R = j^T- • Cette formule donnait la valeur de la résistance, au moyen de deux observations faites, l'une avec la boussole seule, l'autre en introduisant dans le circuit un fil de 10 ou de 80 mètres. La moyenne des valeurs de R obtenues avec le fil de 80m s'est trouvée constamment supérieure de ^=0,0072, à la moyenne des valeurs obtenues avec le fil de 40 mètres. Ainsi, la résistance est un peu plus grande avec le courant le plus fort. M. Despretz explique cette différence par ce qu'il nomme Y empâtement du zinc de la pile : le sulfate qui prend naissance à la surface de la lame de zinc ne se dissout pas immédiatement, et forme une couche peu conductrice qui affaiblit d'autant plus le courant, qu'elle se forme plus rapidement, c'est-àdire que le courant est plus intense. Un fait vient à l'appui de cette explication, c'est que les piles très énergiques présentent un accroissement d'intensité après la rupture du circuit, pendant laquelle le sulfate de zinc a le temps de se dissoudre. M. Despretz conclut de ses recherches, que l'intensité d'un courant est bien en raison inverse de la résistance totale du circuit, mais que la con-

i Comptes-rendus de P Académie des sciences de Paris, t. IV, p. 257. s Ann. de ch. eldephys.. 3« série, t. XIX , p. 410; et XXI ï, p. 404. 3 Comptes-rendus de l'Académie des sciences de Paris, t. XXX1Y, p. 784.

stance de la résistance de la pile n'est pas rigoureusement vraie, à cause de l'empâtement du zinc dans les piles très énergiques. Cet inconvénient est d'autant moins sensible que les piles sont plus faibles. Les lois de Ohm sont donc exactes en elles-mêmes; mais il faut, quand on veut les vérifier, écarter toutes les causes accidentelles qui peuvent les déguiser en altérant les résultats. Du reste, ces lois importantes ont trouvé une nouvelle confirmation dans les recherches publiées, en 4853, par M. Kohlrausch, qui a vérifié par l'expérience les lois de la distribution des tensions dans le fil conjonctif, et la proportionnalité de la chute électrique à la résistance spécifique et au rapport renversé des sections (1619); vérification importante, puisqu'elle touche à la base môme de la théorie de M. Ohm.

46*4. Vérification de la loi des tensions dans le fil conjonctif '. — Pour observer les tensionsaux différents points d'un fil conjonctif, M. Kohlrausch se servait d'un condensateur à lame d'air dont l'épaisseur très petite était déterminée par trois petits amas de gomme laque. Une fois le condensateur chargé, il enlevait l'un des plateaux et mettait l'autre en communication avec un éfectromètre analogue à celui de Peltier (1323) ; l'aiguille mobile était suspendue par un fil de verre, dont la torsion servait à mesurer les tensions électriques.

M. Kohlrausch. a d'abord cherché si la tension aux pôles de la pile est bien proportionnelle à la force électromotrice E de la formule de Ohm. Pour cela, il réunissait les pôles par un fil conjonctif, puis, au bout de quelque temps , 9 rompait le circuit et mettait les deux bouts du fil en communication avec les deux plateaux du condensateur ; celui-ci se chargeait aussitôt au maximum, et il mesurait la charge avec l' électromètre. La force électromotrice était évaluée par la méthode de M. Wheatstone, que nous décrivons plus loin. Voici quelquesuns des résultats :

Nature des couplet.-..

Zinc et platine.

Zinc et charbon.

Zinc et coirre.

Argent et cuivre»

Force électromotrice..

Tension aux pôles....

Le cuivre et le zinc étaient plongés dans une solution de sulfate du même métal ; le platine ou le charbon, dans l'acide nitrique ; et l'argent, dans une solution de sel marin. On peut conclure de ces résultats, que la force électromotrice est proportionnelle à la tension aux deux extrémités du fil d'un circuit, au moment où il vient d'être rompu.

Pour étudier les tensions aux différents points du circuit fermé, le même physicien fit communiquer avec le sol un point de ce circuit ; puis, avec le condensateur, deux points placés à égale distance du premier, et il mesura les tensions de ces deux points. Ces tensions étaient égales, mais produites par des électricités contraires, et de plus proportionnelles aux distances des

1 Bibl. de Genève (Arch. des se.) , t. XXII, p. 105 , et Ann. de ch. $t de ph., 3* série, t. ILI, p. 337.

points considérés. — Dans une seconde série d'expériences, deux fils d'argent de diamètre différent, ou deux fils de même diamètre et de substance différente, furent soudés l'un au bout de l'autre ; le point de jonction étant en communication avec le sol , les tensions à égale distance de ce point se trouvèrent en raison inverse des sections, ou en raison inverse des conductibilités, et par conséquent en raison directe des résistances spécifiques des fils, comparées par des moyens que nous indiquerons bientôt. Des expériences analogues, faites sur des liquides, ont donné de semblables résultats.

On peut calculer facilement l'état de tension de chaque point du circuit, au moyen de la construction de Ohm; car, soit AA' (fig. M 96) la longueur réduite du circuit, et C le point mis en communication avec le sol , point qui n'est pas nécessairement au milieu de AA'. La tension en un point n sera égale à np. Or, on a np=pC (AB : AC), ou np=.pC (E : AC). Pour avoir la tension en un point , il faudra donc multiplier la force électromotrice par la distance du point considéré au point qui communique avec le sol, et diviser le produit par une quantité AC proportionnelle à la longueur réduite du circuit. Les résultats obtenus par cette méthode de calcul ont été comparés avec ceux de l'expérience. Le circuit était composé d'un fil métallique très long communi- L — ~quant, au moyen d'une lame de cuivre, A avec une auge remplie d'une solution de sulfate de cuivre. Dans cette auge était Fig m6

un vase poreux plein d'une solution de

sulfate de zinc, dans laquelle plongeait une lame de zinc, de manière à compléter un couple de Daniel!. Le point mis en communication avec le sol était le pôle négatif, c'est-à-dire la lame de zinc ; de sorte que tout le circuit contenait du fluide positif. Les points successivement explorés au moyen du condensateur, furent d'abord 3 points, \ , 2, 3, pris sur le fil à des distances croissantes de la lame de zinc, puis le point de jonction, 4, du fil avec la lame de cuivre ; enfin, 3 points, 5, 6, 7, pris dans le sulfate de cuivre à des distances de 2,02, 4,02, 8 pouces de cette lame. Dans le tableau suivant, la seconde ligne représente les longueurs réduites, D, des parties du circuit comprises entre la lame de zinc et le point touché :

Points touchée. ... 1 S 3 4 5 6 7 8

Valeurs de D 118,5 237 355,5 474 610,3 745,3 879 1014

Tensions calculées.. . 0,93 1,86 2,89 3,73 4,80 5,86 6,91 7.98

Tentions observées . . 0,85 1,85 2,69 3,70 5,03 5,99 6,93 7,96

Si l'on considère les incertitudes de la méthode de mesure des tensions, on voit que l'accord entre les résultats inscrits dans les deux dernières Jignes ne pouvait être plus satisfaisant. Les formules de Ohm se trouvent donc démontrées

expérimentalement, et il en est de même des hypothèses qui ont servi de point de départ pour les établir.

Tensions aux différents points «"une plaque. — Les eipérïences qui précédent sont relatives à l'état des tensions dans un conducteur linéaire. M. Kirchoff a soumis les hypothèses de Ohm à l'épreuve, dans le cas où le conducteur est une large lame d'épaisseur négligeable !. Il a déterminé par le calcul analytique, l'état stationnaire des tensions aux différents points de la plaque, et cherché la forme des courbes d'égale tension (analogues aux lignes isothermes pour la chaleur), en s'appuyant sur cette condition, conséquence immédiate du principe de M. Ohm (1648), qu'il n'y a aucun mouvement d'électricité d'un point à l'autre de chacune de ces courbes, et que l'électricité se meut dans une direction qui leur est toujours normale. Dans lecas d'une plaque indéfinie ou limitée par une courbe d'égale tension, dans laquelle les électricités arrivent par deux points, le calcul indique que les courbes d'égale tension sont des circonférences ayant leur centre sur la ligne qui joint les électrodes, et telles que le rapport des distances de chacun de leur point aux électrodes soit constant. Les courbes normales aux précédentes sont tous les cercles qu'on peut faire passer par les électrodes. Ces résultats sont applicables à une lame circulaire, dans laquelle les électricités pénétrent par deux points du contour. M. Kirchoff les a vérifiés par l'expérience sur une plaque circulaire en cuivre de 33cœ de diamètre. Il appuyait en deux points , les extrémités du fil d'un réométre, et quand l'aiguille n'était pas déviée, il était sûr de toucher deux points d'une même courbe. Il a aussi calculé l'expression analytique des tensions aux divers points, et Ta vérifiée par l'expérience. Pour cela, il faisait passer entre deux points, un courant thermo-électrique en sens contraire du courant qui traversait la plaque ; le courant de la plaque entre les points touchés était égal au courant thermo- électrique, quand un réométre placé dans ce dernier restait au repos , et l'on trouvait ainsi une série de couples de points pour lesquels la différence de tension était constante. Quant à la résistance, elle a toujours été trop faible pour qu'on pût vérifier son expression analytique. — Enfin, M. Kirchoff a calculé, parla théorie, les déviations d'une aiguille aimantée placée très prés des différents points du disque réophore, et lésa trouvées d'accord avec celles que lui a données l'expérience. L'aiguille, suspendue par un faisceau de fils de soie sans torsion , était formée d'un fil d'acier de 2 centimètres de longueur, fixé à un petit miroir au moyen duquel on mesurait les déviations par la méthode de M. Gauss (1,435).

M. Kirchoff n'a considéra que des plaques circulaires. M. G. Quincke a examiné deux cas un peu plus compliqués : 1° celui d'une plaque carrée dans laquelle les électrodes communiquent avec un des angles , et avec un point de la diagonale passant par cet angle ; 2° celui d'un disque dont une moitié était en plomb et l'autre en cuivre, l'électricité arrivant par deux points pris sur le

* Annales de chimie et de physique, f série, t. XL , p. H 5, et i. XLI, p. 496.

même métal à égale distance du diamètre de soudure. Les résultats de l'expérience ont toujours été d'accord avec ceux du calcul. — Nous ajouterons enfin que M. Smaasen, en 1846, a traité par le calcul le cas général de la propagation dans un conducteur à trois dimensions '.

1625. Vérifications* avec l'électricité de frottement. — Les lois de Ohm n'avaient été vériûées que sur des circuits bons conducteurs, et avec l'électricité des piles. Il était important de les vérifier sur l'électricité des machines à frottement, quand cette électricité, qui tend, dans l'état de repos, à se porter à la surface des corps (4296), s'écoule lentement dans le sol par un conducteur médiocre, comme un fil de coton, un ruban de soie, une colonne d'huile, etc. C'est ce qu'a fait M. Gaugain par deux méthodes différentes3, et il a reconnu que les lois de Ohm s'appliquent à ce cas, ce qui prouve qu'il n'y a qu'un seul mode de propagation de l'électricité.

La première méthode employée consiste à mesurer le temps pendant lequel l'électricité doit s'écouler par un fil de coton, pour que la tension du corps électrisé diminue d'une quantité donnée. Le corps électrisé était le plateau collecteur d'un condensateur, dont l'autre plateau communiquait avec le sol. La tension sur le premier plateau était indiquée par l'écart des feuilles d'or d'un électroscope, écart observé sur un arc divisé, au moyen d'une disposition analogue à celle qu'on emploie dans l'électromètre de Peclet (1324). Après avoir attendu que l'écoulement eût pris sa marche définitive, on observait, dans chaque cas, le temps que mettaient les feuilles d'or à passer, d'un écart de 209 à un écart de 1 7° ; et la perte d'électricité par écoulement pendant une seconde, était en raison inverse de ce temps ; or, le temps était double, triple, quand le fil de coton communiquant avec le sol avait une longueur double, triple. — Cette méthode suppose qu'il n'y a pas de perte par l'air ; ce que l'on peut admettre si l'on opère sur de faibles tensions, et si l'écoulement est rapide, comme il l'est, en effet, quand le réservoir d'électricité est un condensateur.

Dans la seconde méthode, on faisait aboutir le fil de coton au bouton d'un second électrométre, dont les feuilles d'or se déchargeaient d'autant plus rapidement, en touchant les lames de décharge (1 482), que le flux électrique était plus rapide. Dans ce cas, on maintenait constante la charge du réservoir, ou l'écart des feuilles du premier électrométre, en lui fournissant de l'électricité par le contact d'une aiguille isolée que l'on chargeait avec un électrophore. Le flux électrique serait alors proportionnel au nombre de décharges, par minute, si la tension moyenne de l'électroscope de décharge était indépendante de la rapidité des décharges, ce qui n'est pas évident. C'est pourquoi M. Gaugain s'est arrangé de manière à avoir toujours des décharges de même rapidité. Ayant d'abord fait communiquer les électroscopes par un fil de coton de im,64 de longueur, il les a ensuite fait communiquer par

i ÂnnaUs de chimie et de physique, t. XLV, p. 203, et XL, p. 236. 2 Annales de chimie et de physique, 3e série, t. LIX, p. 9.

deux fils de même grosseur et de longueur double, et a vu que la rapidité des décharges n'était pas changée. Chaque fil de longueur double laissait donc passer la moitié du flux électrique que laissait passer le fil de lm,64; ce qui vérifie la loi des longueurs.

Quand la tension du réservoir est réduite de moitié, la rapidité des décharges avec deux fils de 4m,64 reste encore la môme ; ce qui prouve que l'écoulement est proportionnel à la tension, celle de l'électrométre de décharge étant supposée négligeable.

Pour vérifier la loi des tensions aux différents points du fil communiquant avec le sol, on place en son milieu un second électroscope identique avec le premier, et qui donne un écart moindre d. On reconnaît que cet écart correspond à une tension moitié moindre, en rétablissant la tension du premier instrument, déchargeant le second, et mettant leurs boutons en contact; ils se partagent l'électricité du premier, et chacun d'eux présente l'écart d.

M. Gaugain, ayant reconnu que plusieurs fils de coton égaux donnent le même nombre de décharges quand ils sont serrés en faisceau ou écartés les uns des autres, et qu'il en est de même d'un ruban de soie étendu ou roulé en tube, en a conclu que la résistance ne dépend pas de la surface libre, mais seulement de l'étendue de la section, à laquelle elle est inversement proportionnelle, comme pour les courants des piles. Des expériences faites avec des colonnes d'huile contenues dans des auges en gomme laque, ont conduit au même résultat.

4626. Charge dynamique. — La loi qui précède prouve que le mouvement électrique se fait également par tous les points de la section. Cependant une certaine quantité d'électricité se porte à la surface, en produisant une tension susceptible de se manifester par des attractions et répulsions. Voici comment M. Gaugain prouve l'existence de cette charge dynamique, ainsi qu'il l'appelle, et comment il la mesure. Il emploie l'électrométre de décharge et supprime brusquement la communication du fil avec l'instrument, au moment d'une décharge, puis il sépare ce fil du réservoir d'électricité, le fait de nouveau communiquer avec le réservoir de décharge, et évalue la charge qui lui restait, parles décharges qu'il donne en perdant l'électricité qu'il avait conservée. 11 a trouvé ainsi, que cette charge, à section égale, dépend de la surface, et qu'elle est la moitié de la charge statique, c'est-à-dire de celle que prendrait le fil, si, étant isolé, il restait en communication avec le réservoir d'électricité. Il résulte de là qu'on ne peut dire que le flux électrique est rigoureusement le même dans tous les points de la section ; mais pour les conducteurs imparfaits et pour les faibles tensions des piles, l'influence de la charge dynamique est assez faible pour que les résultats paraissent les mêmes que si elle n'existait pas.