X « = LS

En éliminant S, s, L entre les trois équations |i] , (2) et [3], on trouve (3 = ^^» comme l'avait annoncé Poisson. Nous verrons cependant que cette loi n'est pas exacte (432).

Chanfl^ement de volume. — Il résulte de ce qui précède, que le volume du fil augmente avec sa longueur, et que par conséquent sa densité diminue. Fig. 355. 11 en résulterait aussi , que l'augmentation de l'unité de volume serait sensiblement égale à la moitié de l'allongement de l'unité de longueur. En effet, la longueur, après l'allongement, est L (1 -h >), et l'aire de la section est alors S (i — 13). Le volume du fil est donc L (i-|-X) (^ — P)S. En développant, négligeant les termes qui contiennent le produit p<, et remarquant que l'on a p = | >, il vient LS (1 + 7 >). Or, LS est le volumes du fil quand il n'est pas étiré; |LSX représente donc l'augmentation du volume LS, et yX celui de l'unité de volume. — Le volumr ayant augmenté dans le rapport de i + jX à i, la densité a diminué dans ce môme rapport.

430. Chaufi^ement de capaelté d*an tube étiré. — Si la verge était creuse, la capaâlé intérietire varierait, pendant la tension ou la compression exercées aux deux extrémités, d'une quantité égale à la variation de volume de la masse solide de même substance qui, la remplissant exactement, serait soumise au môme effort sur chaque millimèlre carré de section. Il est d'abord évident que la longueur du canal Vt\riera comme celle de son enveloppe solide ; il suffit donc de s'occuper de la variation de l'aire de la section droite. Soit acdh (fig. 356) une tranche infiniment mince du tube, perpendicul.'dre à son axe. Partageons-la en bandes très petites par des plans parallèles qui lui

soient perpendiculaires. Chacune des bandes ca, «p, 7^ éprouvera, pendant

la traction, un changement d'épaisseur proportionnel à son épaisseur primitive, et à la charge par millimètre carré. Il en sera de même en ab, La distance

406 CORPS SOUDES.

des plans oc, hd, tangents intérieurement à la cavité 0, variera donc d'une quantité proportionnelle à leur distance primitive, c'est-à-dire de la même quantité que s'ils étaient tangents extérieurement à la tranche solide qui remplirait la cavité 0. Comme la direction Ae ces plans a été choisie a^bit^ai^^

ment, il en sera de même pour deux plans tangents parallèles quelconques, ce qu'il suffit de démontrer.

43 f. Cas où Taetion s*exeree sur immÈt la surface. — Dans tout ce qui précède, nous avons supposé qu'il n*y avait d'action exercée qu'aux deux extrémités. Si l'effort se faisait sentir également, et normalement, sur tous les points de la surface, il y aurait diminution dans F>g- 336. l'effet produit suivant la longueur, parce que le

diamètre de la barre ne pourrait plus changer. Il résulte des calculs de Poisson que, si > est la diminution de longueur d'une barre de 1 mètre de longueur soumise à ses extrémités seulement à une pression de P atmosphères, cette diminution ne serait plus que jX, si la pression se faisait sentir sur tous les points de la surface.

La variation de volume, dans ce dernier cas, serait sensiblement égale i I > ; car, si nous considérons un cube ayant pour côté l'unité, soumis à la pression P, chacune de ses arêtes deviendra 1 — {l, et son volume sera (1—151)3 = 1 — i>+ix2|>3^ ou 1 — |5i, en négligeant les deux derniers termes, parc« que X est extrêmement petit. La diminution de volume est donc jX.

Variation de Toiuine d*un Tase. — Cette loi donne aussi le moyen de trouver la diminution de capacité d'un vase pressé également en dedans et ea dehors ; car cette variation est égale à celle qu'éprouverait une masse solide de même substance que !'( nveloppe, et qui en remplirait la cavité. Ce dernier point peut se prouver, en décomposant l'enveloppe en tranches très minces parallèles, qui se comprimeront toutes d'une quantité proportionnelle à leur épaisseur ; de sorte que deux plans parallèles à ces tranches, et tangents à la cavité, se rapprocheront d'une quantité proportionnelle à leur distance, c'està-dire de la même quantité que s'ils étaient tangents extérieurement à la masse solide qui remplirait cette cavité. La direction des tranches étant quelconque, on voit que cela s'applique à deux plans tangents parallèles quelconques.

Si donc le volume est V, la pression de P atmosphères, et si l'on représente par X l'allongement de l'unité de longueur de la substance de l'enveloppe pour un effort de une atmosphère sur les deux bases, la diminution de volume sera vXPV. C'est là, d'après Poisson, la correction qu'il faut faire subir aui résultats observés sur le piézomètre (292). Colladon et Sturm avaient adopté 3X PV, avant les recherches de Poisson ; leur correction était donc trop grande; nous allons voir que celle de Poisson est elle-même trop forte.