LOIS DE LA GRAVITATION

obéirait à rattraction d*une semblable sphère, suivrait une direction passant par son centre.

Pour établir les lois de la gravitation, Newton a commencé par déduire du principe des aires, que les planètes sont sollicitées par une force qui passe par le centre du soleil. Soit S (fig. 51) ce centre, et 06 un élément infiniment petit décrit par la planète pendant un temps 0, aussi infiniment petit. Abandonnée à elle-même, la planète continuerait à marcher en ligne droite et parcourrait pendant le temps 0 l'espace he égal à ab; mais comme elle décrit une courbe, il faut qu'elle reçoive une impulsion qui, combinée avec la vitesse suivant 6c, lui fasse parcourir un élément bd incliné par rapport à ab. Soit 6^ la direction de cette impulsion, et be l*espace qu'elle ferait parcourir à la planète, si elle agissait seule pendant le temps 0 ; bd sera la diagonale du parallélogramme construit sur bc et be. Or, d'après le principe des aires, les triangles abS et bdS sont équivalents ; et abS étant aussi équivalent à bcS, puisque bc est égal à ab, on voit que bdS sera équivalent à bcS. Ces deux derniers triangles ont même base, bS; il faut donc que les hauteurs soient égales, c'est-à-dire que cd soit parallèle à bS, et, par conséquent, que hf se confonde avec 6S. La direction de la force qui sollicite la planète passe donc par le centre S du soleil.

Voici comment Newton est arrivé à la seconde loi de la gravitation. La force centripète devant être égale à chaque instant à la force centrifuge, si l'on appelle a et a' les attractions exercées par le soleil sur deux planètes placées à des distances d eid\ et si l'on suppose que les orbites elliptiques soient des drconférences, ce qui est peu éloigné de la vérité, on aura (82)

Fig. 5!.

d'où

TetT étant les durées des révolutions. D'après la dernière loi de Kepler, oû a VlT^ = d^ ld'^\ relation qui, combinée avec la précédente,- donne a : a' = rf'2 . rfî.

AttraetloB de !• terre sur !• lune. — Newton a vérifié cette dernière loi en comparant l'attraction de la terre à la surface du globe, à l'attraction ^'elle exerce sur la lune, qui se trouve à une distance moyenne du centre de b terre égale à environ 60 rayons terrestres, et qui tourne autour de ce point en 27ioon^322, ou en 2360580 secondes, dans une orbite qui diffère peu d*une «circonférence. L'attraction de la terre sur chaque point de la lune sera égale à

^ force centrifuge, c'est-à-dire à A = — , R étant le rayon de la

78 PEiNDULE.

terre, et T le temps de la révolution de la lune. Remplaçant T et R par leur valeur en secondes et en mètres, on trouve pour  une valeur 3600 fois plus petite que l'attraction de la terre, mesurée à sa surface par des moyens que nous ferons connaître plus loin. Or, 3600 est le carré de 60. Un corps qui pèserait 3600 kil. à la surface de la terre, ne pèserait donc que i kil. à la distance où est la lune ; il parcourrait pendant la première seconde de sa chute, 1°'",36; tandis que, à la surface de la terre, un corps tombe de 4",9044, comme nous le verrons plus loin.

On peut aujourd'hui, au moyen de l'analyse mathématique, retrouver les lois de Kepler en partant de la gravitation définie comme l'a fait Newton» combinée avec une impulsion primitive imprimée aux planètes. On peut aussi calculer les perturbations provenant de leurs actions mutuelles, et prédire ainsi longtemps à l'avance les positions de tous les corps de notre système solaire. La vérification constante des résultats calculés vient confirmer chaque jour l'exactitude des lois établies par Newton.

n. UreoUeB de la pesantear.

9S. Direction de la pesantear. — La pesanteur étant due à l'attraction de la terre, dont la forme est à peu près sphérique, la direction que suivent les corps en tombant librement doit passer sensiblement par le centre du globe. Cette direction est donnée par le fil à plomb en équilibre. En effet, soit OA (fig. 5^2) un fil à plomb en équilibre, et supposons que la pesanteur ait une direction autre que AC ; AR, par exemple. Cette force pourrait être décomposée en deux autres, l'une AC, détruite par la résistance du point 0 ; l'autre AD, perpendiculaire à AC. L'effet de cette dernière composante serait de déplacer le fil à plomb ; il ne serait donc pas en équilibre. — La direction du fil à plomb en équilibre se nomme la verticale, -S- On appelle plan hotizonial, tout plan perpendiculaire à la verticale; et droite horizontale, toute droite située dans un plan horizontal Vg La rotation de la terre ne change pas la direction de la chute

\ d'un corps, parce que ce corps possède, avant de tomber, la môme vitesse que la terre. Il en est comme de la pierre qu'on laisse Fig. 52. tomber du haut du mât d'un navire en marche, et qui tombe à son pied, en vertu de la composition des mouvements ; ainsi que Gassendi en a fait l'expérience, pour réfuter une objection des adversaires du système de Copernic.

Cependant, quand un corps tombe de très haut, il dévie vers l'Est, parce qu'il est, au point de départ, sur une circonférence sensiblement plus grande qu'au point d'arrivée, et ayant, par suite, une vitesse horizontale plus grande

que ce dernier point. Newton avait annoncé ce résultat, que des expériences faites par Guglielniini, Benzemberg et M. Reich ont ensuite confirmé. Pour 158™,5 de hauteur, le calcul indique que la déviation doit être de 27°"",6; et Reich a trouvé dans les mines de Freyberg 28"",3.

Trois fils à plomb suspendus dans le voisinage les uns des autres sont deux à deux dans un même plan. On peut s* en assurer en plaçant l'œil de manière à cacher chacun d'eux successivement au moyen des deux autres. Ces trois fils sont donc parallèles, ou ils se rencontrent en uo même point. On reconnaît que c'est la dernière condition qui est remplie, en mesurant les angles que font les directions de deux fils à plomb très éloignés l'un de Tautre, tw, ca (fig. 53), avec les rayons visuels 08, C8 dirigés, au même instant, sur une même étoile. Ces rayons doivent être regardés comme parallèles, à cause de rimmense distance des étoiles à la terre. Fig. 03.

Les angles ainsi mesurés ne sont pas égaux,

d'où Ton conclut que les fils à plomb ne sont pas parallèles. On sait qu'ils se rencontrent sensiblement au centre de la terrée Le rayon du globe étant de 1500 lieues, on peut regarder deux verticales peu éloignées l'une de l'autre, comme parfaitement parallèles.

m. Poids. — Centre de graTité.

•8. DéanltioBs. — Le poids d'un corps est la résultante ou la somme de toutes les forces égales de la pesanteur qui agissent sur chacune de ses molécules. On se fait une idée du poids d'iui corps par la pression qu'il exerce sur la main qui le soutient; et l'on dit quelquefois que le poids d'un corps est l'effort qu'il faut faire pour le soutenir. Le poids ne dépend pas de l'état du corps, il reste le même si on le pulvérise, si on le liquéfie, etc.

On appelle centre de gravité d'un corps, le centre des forces parallèles, dues à h pesanteur, appliquées à toutes ses molécules ; autrement dit, le point d'application du poids. D'après les propriétés du centre des forces parallèles (70),

^ La terre D*étant pas rigoureusement sphérique, toutes les verticales ne se reocontrent P» euctement au même point. 11 en résulte qu'il n'y a pas d'antipodes réciproques, si ce o'est aux pôles et à Téquateur; c'est-à-dire que la verticale d'un lieu, prolongée jusqu'à ce <IQ*eUe rencontre la terre de Fautre côté du centre, ne coïncide pas avec la verticale de ce poiot de rencontre.

on voit que le centre de gravité est un point tel que le corps reste en équilibre, dans quelque position qu'on le place, en le faisant tourner autour de ce point supposé fixe. On définit quelquefois le centre de gravité par cette propriété.

C'est Archiméde qui a le premier considéré le centre de gravité ; il a de pins cherché à déterminer sa position dans un grand nombre de solides, de surfaces et de lignes, en supposant tous les points de ces figures remplacés par des molécules pesantes. Voici quelques résultats.

Lorsqu'un corps homogène possède un centre de figure, son centre de gravité se confond avec ce point. Car, de part et d'autre d'une ligne droite quelconque, menée par le centre de figure, on trouve le même nombre de points, situés de la même manière et soumis à des forces égales. Par exemple, le centre de gravité d'une ligne droite est au milieu de sa longueur; celui d'une circonférence, d'un cercle, d'une sphère ou de sa surface, d'une ellipse, d'un ellipsoïde ou de sa surface, est à leur centre. Le centre de gravité du périmètre ou de la surface d'un parallélogramme est au point de rencontre de ses diagonales. Celui d'un cylindre droit, au milieu de son axe ; d'un prisme, au milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases, etc.

On démontre que : !<> le centre de gravité de la surface d'un triangle est sur la droite qui joint l'un des sommets au milieu du côté opposé, et au tiers de cette droite à partir du côté ; ou, ce qui revient au môme, au point de rencontre des trois droites qui joignent les sommets au milieu des côtés opposés, â» Le centre de gravité du périmètre d'un triangle se confond avec le centre du cercle inscrit au triangle formé en joignant les milieux des trois côtés. 3^ Le centre de gravité du volume d'une pyramide ou d'un cône se trouve sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, et au quart à partir de la base.

La considération du centre de gravité est très importante pour trouver les conditions d'équilibre des corps pesants gênés par quelques obstacles. Nous allons en donner quelques exemples.

94. Equilibre d*aii eorpa anspeadii pmr m point fixe. — Pour qu'un corps pesant suspendu librement par un point fixe 0 (fig. 54) soit en équilibre, il faut et il suffit que la droite OG qui passe par le point fixe et par le centre de gravité G soit verticale. En effet, au lieu de la pesanteur qui agit sur toutes les molécules du corps, nous pouvons considérer son poids P appliqué au centre de gravité, et cette force est détruite par la résistance du point fixe, lorsque la droite OG est verticale. Si, au contraire, cette droite était dirigée suivant OG', la force P pourrait être décomposée en deux autres, l'une suivant le prolongement de OG' qui serait détruite, et l'autre perpendiculaire i cette droite et qui aurait pour effet de faire tourner le corps autour du point 0.

Fig. 54.

Fig. 55.

•5. Eqalllbre «table o« inatable. — On distingue deux sortes d'équilibres : Yéquilibre stable, qui est tel que si Ton dérange très peu le système de la position d'équilibre, il tend à y revenir sous Tinfluence des forces qui le sollicitent; et Véquilibre instable ou imtantané, dans lequel le système, dérangé très peu de la position d'équilibre, tend à s'en écarter davantage. Par exemple, un prisme posé sur une table par nnedeses faces latérales, est en équilibre stable; car, si 00 le soulève un peu en le faisant tourner autour d'une arête, il retombe sur cette face. Mais il est en équilibre instable quand il s'appuie sur une arête. L'équilibre instable ne peut être réalisé par l'expérience, à moins de résistances, comme des frottements; car le plus petit ébranlement, et il y en a toojoors, sufiBt pour le détruire. Nous avons dit qu'il faut déplacer très peu le système; autrement, il pourrait prendre ooe nouvelle position d'équilibre, et ne pas revenir à la première, quoiqu'elle fût stable. C'est ainsi que, si l'on déplaçait trop le prisme, il retomberait sur une autre face.

Quand un corps suspendu par un point est en équilibre, cet équilibre est stable si le centre de gravité se trouve au-dessous du point de suspension, comme cela résulte de l'inspection de la fig. 54 ; et en équilibre instable dans le cas contraire (fig.bb). Car, si l'on déplace un peu le corps de manière que la droite OG vienne en OG', on voit que la composante du poids perpendiculaire àOG% tend à éloigner davantage le corps de la position d'équilibre.

Ce qui précède s'applique au cas où le corps est suspendu par un axe horizontal : il suffît, pour qu'il y ait équilibre, que la verticale du centre de gravité rencontre l'axe.

Si le centre de gravité' coïncide avec le point de suspension, l'équilibre a lieu dans toutes les positions du corps, qui est dit alors en équilibre indifférent,

••• Corps «ppwyé mmr wi plaa horlnatel, par •■ de ses points. — Pour qa'nn corps, appuyé par un point sur un plan horizontal , soit en équilibre, il faut, et il suffit que le point d'appui soit sur la même verticale que le centre de gravité. L'équilibre est ordinairement instable, parce que ce dmiier point est le plus souvent au-dessus da pian, et, par conséquent, du point d'appui. Cependant si l'on dispose des

Fig. 56.

masses m, m, comme dans la fig. 56, de manière à abaisser le centre de graTÎté au^essous du point d*appui 0, l'équilibre sera stable.

Quand le corps a une forme telle que le point de sa surface , par lequel il s*appuie sur un phn horizontal, change quand on le dérange de sa position , l'équilibre (qui a toujours lieu quand la verticale du centre de gravité passe par le point d*appui) est stable si le centre de gravité s'élève dans ces déplacements, et instable s'il s'abaisse. En effet, le centre de gravité tendant toujours à descendre, il ramènera, dans le premier cas, le corps à la position d'équilibre, et l'en écartera dans le second. Le premier cas se présente quand la sphère décrite du centre de gravité G (fig. 57) avec un rayon égal à sa distance an point d'appui lors de l'équilibre, est en dedans de la surface du corps dans k voisinage de ce dernier point. L'équilibre est instable au contraire, lorsque cette sphère enveloppe la surface du corps ; l'équilibre est indifiéreni si la surface du corps coïncide avec la sphère.

On reconnaît ainsi qu'un ellipsoïde à trois axes reposant sur un plan horizontal est en équilibre quand il s'appuie par l'un de ses six sommets : Ft^uilibre est stable aux extrémités du petit axe, et instable aux extrémités du

Fig. 57. Fig. 58.

grand. Quand le solide s'appuie par l'une des extrémités de l'axe moyen, l'équilibre est stable pour les déplacements du centre de gravité dans k plan de la section principale qui contient le grand axe , et instable pour les déplacements dans la section qui contient le plus petit.

Ce qui précède s'applique au cas d'un corps s'appuyant par plusieurs points en ligne droite ; seulement, les déplacements du centre de gravité ne peuvent avoir lieu dans ce cas, que dans un plan perpendiculaire à la droite qui passe par tous ces points.

•7 . B«8« 4e s«steBtati«B. — Quand un corps repose sur un plan horizontal par trois ou un plus grand nombre de points non en ligne droite, on appdfe base de sHstentation la surface la phis grande que l'on peut circonscrire sur k plan, en joignant les points d'appui les uns aux autres. Cela posé, pour que k corps soit en équilibre, t7 faut et il suffit que la retiicak fut jMsse jmh^ le ceutre ie grarité reawutrt le f/m, daus Vintériewr de la kau de mtenlaHam.

Il est évident d'abord que cette condition suffit; car, lorsqu'elle est remplie, la force appliquée au centre de gravité ne fait que presser le corps contre le plan. En second lieu, l'équilibre ne pourrait avoir lieu si la direction de cette force verticale ne rencontrait pas la base de sustentation. En effet, soit G (fig. 58), le centre de gravité : on pourra décomposer le poids Gp en deux forces, l'une dirigée suivant Ga passant par le point a de la base le plus rapproché du point m où la verticale du centre de gravité rencontre le plan, et l'autre suivant CA perpendiculaire à Ga. Cette dernière composante agit pour renverser le corps en le faisant tourner autour du point a. Quant à la première, elle peut, elle-même, se décomposer en deux forces, l'une an perpendiculaire au plan, et détruite par sa résistance, l'autre dans ce plan et suivant ac. Celle-ci tend à faire glisser le corps, ce qui aura lieu pendant qu'il chavirera, si le frottement ne s'oppose pas à l'action de cette composante. On voit, du reste, que l'équilibre, quand il a lieu, est toujours stable ; car on ne peut éloigner le corps de la position d'équilibre sans le soulever, et, par suite, sans élever son centre de gravité.

Il résuite de ce qui précède que, pour qu'un homme soit en équilibre sur ses pieds, il faut que la verticale du centre de gravité, qui se trouve vers le milieu du bassin, passe par la base de sustentation. Cette base est ici limitée par le contour extérieur des pieds, et par deux lignes droites qui joindraient, l'une les deux talons, et l'autre les extrémités antérieures. On est plus stable sur les deux pieds, surtout quand ils sont écartés, que sur un seul ; parce que, dans le premier cas, la ^^

base de sustentation étant plus grande, le ^^^^^

centre de gravité, et, par suite, le corps peut M^^^^^

être déplacé dans des limites plus étendues, iP^^PI^^v

sans sortir des conditions d'équilibre. Quand ^/j^ iM^^v^

on porte un fardeau, on doit se pencher du côté ^mJLj ^T tf

opposé à la charge, pour ramener au-dessus de ^ jf^^^^/ .J% la base de sustentation, le centre de gravité, qui ^^^^^^^SV7 se trouve transporté de ce même côté. ^^^^^^^^H

Ce que nous venons de dire s'applique au ^^^^^^^^ cas d'un corps posé sur un plan incliné, si l'on BH^^^^^I^ j r suppose que le frottement ou toute autre cause pig, 59,

l'empêche de glisser. Ainsi, pour qu'une voiture

qui penche sur un terrain incliné (fig, 59) ne verse pas, il faut que la verticale qui passe par le centre de gravité rencontre le sol entre les roues. On voit aussi qu'il y a avantage, pour la stabilité, à tenir la charge le plus bas possible; car si, dans le cas de la figure, le centre de gravité était au point g au lieu d'être au point G, l'équilibre ne pourrait pas exister avec la même inclinaison latérale.

•8. On peut énoncer d'une manière générale les conditions pour qu'un système pesant soit en équilibre stable ou en équilibre instantané. Il faut, pour l'équilibre stable, que la hauteur du centre de gravité soit un minimum par

rapport aux positions voisines qu*il prend quand on dérange un peu le système, de l'état d'équilibre ; et un maximum, pour l'équilibre instable. Cela tient à ce

que le centre de gravité tend toujours à descendre.

Cette tendance sert à expliquer certains résultats qui étonnent au premier abord; AB (fig. 60) est un cylindre de bois qui remonte le plan incliné mn, parce que son centre de gravité, situé tout près du bord, à cause d'une masse de plomb qu'on y a incrustée, tend à descendre suivant la ligne ab. — La fig. 61 représente un double cône posé sur deux barres qui s'écartent en s' élevant, et sur lesquelles on le voit s'avancer du côté le plus élevé. Ce phénomène tient à ce que les deux cônes s'appuient par des points de plus en plus éloignés de leur base commune, c'est-à-dire de plus en plus rapprochés de leur axe. Ce dernier.

Fig. 60.

Fig. 61.

Fig. 62.

qui contient le centre de gravité, s'abaisse réellement, en suivant la ligne gg' (fig. 62), si les barres font un angle suffisamment ouvert.

Dans tout ce que nous avons dit sur le centre de gravité, nous avons supposé tacitement que les corps ne se déforment pas en vertu de leur compressibilité, et, par conséquent, que le centre de gravité ne change pas de position dans leur intérieur.

g 2. — LOIS DE LA PESANTEUR.

99. Première loi. — La vitesse de la chute (Vun corps est indépendante de sa masse. En effet, supposons, avec Galilée, que les molécules d'un corps soient libres et indépendantes les unes des autres ; ces molécules tomberont toutes avec la même vitesse, puisqu'elles sont identiques et soumises à des forces égales (56), et ne se sépareront pas. Nous pouvons donc, sans rien changer i

LOIS DE LA CHUTE DES CORPS

l'état de mouvement, les supposer liées entre elles de manière à ne former qu*iiD seul corps. La vitesse de ce corps sera la même que celle d*une de ses molécules, et, par conséquent, indépendante de sa masse.

On se rend compte, autrement, de ce principe, en remarquant que, si h

ma^sse d*un corps devenait double, triple, quadruple son poids, ou la

force qui le fait tomber, deviendrait aussi double, triple, quadruple ; la

vitesse devrait donc rester la même (57).

400. Seconde loi. — La vitesse de la chute d'un corps ne dépend pas de la f^€Mriure de ce corps. Ce principe, que Texpérience seule pouvait nous faire connaître, montre que la pesanteur agit avec la même intensité sur toutes les espèces de molécules. Admis dans T antiquité, par Lucrèce, il s*énonce ordinairenent en disant que tous les corps sont également pesants. Cependant nous voyons tous les jours des corps tomber avec des vitesses très

* inégales ; mais il est facile de reconnaître que les différences sont

dues à la résistance de Tair.

Galilée laissa tomber du haut de la coupole d*une église de Pise, des boules d*or, de plomb, de cuivre, de porphyre et de cire, ayant le même volume, et il vit tous ces corps arriver à terre presque en même temps. Il n'y eut que la boule de cire qui fut notablement en retard ; mais la différence, de quelques pouces seulement, était bien loin d'être proportionnelle à la différence entre son poids à celui de la moins pesante des autres boules. Ces e)^périences contredisaient Aristote , qui dit que la vitesse de la chute des corps est proportionnelle à leur poids ; aussi, M I soulevèrent-elles les philosophes de Pise contre Galilée, qui fut

fLi obligé de s'enfuir à Padoue.

^Vl Des expériences semblables furent faites par

^ ^ Frenicle et Mariotte ; et plus tard, par Desaguillers,

qui opéra à Londres, en présence de Newton et de Halley, du haut du dôme de Saint-Paul.

La loi fut admise dès lors; et Newton imagina, pour le confirmer, de faire tomber les corps dans le vide. L'expérience se fait au moyen d'un long tube de verre (celui dont se servait Newton avait 3" de longueur), fermé à l'une de ses extrémités, et muni à l'autre d'un robinet, par lequel on peut extraire l'air au moyen de la machine pneumatique (fig, 63). Ce tube contient des corps de nature très différente : du plomb, du papier,

du liège, du duvet Si, le tube étant vertical, on le

retourne brusquement, après en avoir extrait l'air, on voit tous ces corps arriver au bas, au même instant. Si l'on fait rentrer un peu d'air, les corps les plus légers sont un peu en retard sur les autres, et d'autant plus que la quantité d'air introduite est plus considérable.

«b PESANTEUR.

On fait encore l'expérience suivante, due à Benedict Prévost. On place sur un disque de métal, un morceau de papier qui n'en dépasse pas les bords, ou bien différents corps légers. On laisse ensuite tomber le tout dans une position bien horizontale. Tous les corps arrivent à terre au même instant, parce que la résistance de Tair ne peut se faire sentir sur les substances légères placées au-dessus du disque.

lOi. Pour expliquer pourquoi la résistance de Tair n'agit pas également sur

différents corps, même lorsqu'ils ont la môme forme et des volumes ^aux,

remarquons que cette résistance ne se fait sentir que sur la surface.

0 Mais, dans le cas des corps les plus lourds, cette résistance se A répartit sur une plus grande masse, et, par conséquent, diminue

/^ moins la vitesse de chaque point matériel , que s'ils étaient moins Y# nombreux.

3 Si un même corps présentait à l'air une surface différente dans

deux expériences consécutives, le temps de la chute ne serait pas le même : c'est ainsi qu'une feuille de papier, une feuille d'or tombent lentement, tandis que, si on les roule en boule en les comprimant, la chute est beaucoup plus rapide. Une masse d'eau se divise en tombant, par la résistance de l'air, qui alors devient très grande ; sans cela elle tomberait comme un bloc de glace. C'est ce que montre l'expérience du marteau d'eau. On nomme Fig.64.-»/io- ainsi un tube [fig. 64), fermé à ses deux extrémités, renfermant de l'eau, et dont on a chassé tout l'air ' . Si l'on retourne brusquement ce tube, ou bien si on lui imprime des secousses dans le sens vertical, l'eau, en retombant sur l'extrémité inférieure, produit un choc, comme ferait un corps solide.

iOS. Trolslène loi. — La vitesse acquise par un corps qui tombe librement en partant de l état de repos est proportionnelle au temps.

Quatrième loi. — Les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir. Pour constater ces deux lois, il est nécessaire de ralentir la vitesse de la chute, sans toutefois modifier les lois du phénomène.

Galilée, auquel nous en devons également la découverte, employait, pour cela, un plan incliné, sur lequel il faisait rouler une boule o (fig. 65). Ce corps peut être considéré comme soumis à une seule

1 Pour chasser Tair du tube, avant de fermer l'extrémité effilée o, on y fait bouillir Peau; la vapeur qui se produit sort en entraînant Pair, par la pointe o, que Pon ferme en la fondant au chalumeau. La vapeur se condense ensuite par le refroidissement, et le tube ne contient que de Tenu, et une quantité insignifiante de vapeur.

L0I8 DE LA CHUTE DES CORPS. 87

force, qui est son poids oP appliqué à son centre, et cette force peut être remplacée par les deux composantes rectangulaires op^ 09, dont la première parallèle au plan incliné agit seule pour faire descendre le corps, et a pour valeur ^ = P sin a , P étant le poids de la boule. Le mobile descendra donc moins rapidement que s'il tombait librement, et les lois ne seront pas modifiées, puisque pendant toute la durée du mouvement, la composante op restera la même, et dans un rapport constant avec la force P. Les frottements rendent cette machine peu précise, quoiqu'on Tait beaucoup perfectionnée. Aujourd'hui on emploie de préférence un appareil beaucoup plus exact, dû au physicien anglais Atwood.

i08. MAehiBe d'Atw««d. — Cette machine consiste en une poulie très légère a (fig. 66), dont la gorge reçoit un fil de soie qui soutient deux masses égales m et m'. Une règle verticale divisée en millimètres, dressée le long du chemin que doit parcourir la masse m, porte deux curseurs A et B qui peuvent être fixés à différentes hauteurs, au moyen de vis de pression. Ces curseurs portent des plaques horizontales, dont Tune, A, est percée de manière h permettre à la masse m de passer. Une horloge à balancier H marque les secondes. Pour rendre la poulie a très mobile, on appuie Tarbre qui la traverse sur les jantes croisées deux à deux de quatre roues égales h, 6, fr, b (/E^. 66 et 67). L'arbre de la poulie roulant, au lieu de glisser, sur le contour des roues qui le soutiennent, en les faisant tourner d'un mouvement lent, le frottement est à peine sensible. Cette disposition a été imaginée par Sully.

Si l'on pose un poids additionnel p sur la masse m, cette masse descend en faisant monter la masse m' ; mais le mouvement est beaucoup plus lent que si le poids p tombait librement ; car il a à entraîner, avec sa propre masse, les masses m et m'. De plus, les lois de la chute ne seront pas altérées; car, si lu somme des masses mises en mouvement par le poids p est égale à 10 fois sa masse, le mouvement est le même que si , la masse entraînée étant seulement celle du poids p, la force delà pesanteur était 10 fois moindre. — Cela peut se voir autrement : soit g la vitesse acquise au bout d'une seconde par le poids p tombant librement, et g' celle qui l'anime au bout du même temps quand il est lié au système des masses m, m\ Dans les deux cas, les quantités de mouvement doivent être les mêmes, puisqu'elles servent de mesure à une seule et même force, qui est le poids p. On aura donc, en représentant par pi la masse du

poids p , g\/^ = g' (pt-l-2m), d'où l'on tire g = g' ^ . Si donc on

prouve que les vitesses et les espaces parcourus observés dans la machine d' Atwood satisfont aux formules V = ^'^ « = 1 ^'^^» les lois exprimées par ces formules seront tout aussi vraies quand le corps tombera librement, puisqu'il suffit, pour passer de g' à g, de multiplier g' par la quantité constante (,*4-2m).>.

l» Pour vérifier que les espaces parcourus sont proportionneh aux carrés des temps, on place la masse m, chargée du poids additionnel p, au zéro de l'échelle verticale, et on la laisse descendre au moment où le balancier de l'horloge fait

Fig. 67.

rntoiulrc un battement, qui indique le commencement eiact dune seconde. INMir rendre la coïncidence aussi précise que possible, le poids m est soutemi

par un petit plateau n pouvant trébucher autour d*un axe horizontal. Ce plateau est retenu par un crochet qui termine à sa partie supérieure le levier coudé /. Une excentrique adaptée à Taxe de Taiguille de Thorloge, et figurée à part en «, presse le levier et dégage le plateau n, au moment du battement du balancier. Ce plateau tombe aussitôt en vertu de son poids, et la masse m, abandonnée à elleHfnéme se met aussitôt en mouvement.

On cherche ensuite, par des essais successifs, à quel endroit il faut placer le curseur B pour que le choc de la masse m sur la plaque qu'il soutient coïncide avec le second battement.

La distance du curseur au zéro de l'échelle donne alors l'espace parcouru pendant une seconde. On recommence l'expérience en plaçant le curseur B i une distance quadruple, et l'on trouve que le choc de la masse m coïncide avec le troisième battement à partir de celui qui s'est produit au moment du départ du système ; ce qui montre que l'espace parcouru en 2* est quadruple de celui qui est parcouru en i*. Si le curseur est placé à une distance neuf fois plus grande, le nouvel espace est parcouru en 3", ijt ainsi de suite.

**• Pour vérifier que /e« vitesses sont proportionnelles au temps, on place M le curseur à plaque percée A, au point où arrive la masse m après

Fig. 66.

LOIS DE LA CHUTE DES CORPS

une seconde de chute, et le curseur B à une distance du curseur A égale au double de celle qui sépare ce dernier du zéro de Féchelle. Laissant ensuite partir le système au moment d*un battement, on entend le poids additionnel p, frapper, au moment du second battement, l'anneau qui Tarréte à cause de sa forme allongée. A partir de cet instant, le mouvement n*a plus lieu qu'en vertu de la vitesse acquise, il est uniforme, et l'espace parcouru en 1* mesure la vitesse du système au moment où le poids p a été arrêté (iâ). On trouve ainsi que le troisième battement coïncide avec le choc de la masse m sur le curseur B. La distance des deux curseurs donne donc la vitesse acquise au bout d'une seconde. Si Ton fait une nouvelle expérience en laissant tomber le système pendant 2* avant d'enlever le poids additionnel, on trouve que l'espace parcouru pendant une seconde, à partir de ce moment, est double de celui qu'on avait

obtenu dans l'expérience précédente; et

ainsi de suite.

On peut vériGer aussi que l'espace parcouru pendant le temps t , en vertu de la vitesse acquise, est double de l'espace parcouru pendant le même temps pour acquérir cette vitesse, c'esi-à-dire de l'espace parcouru avant la suppression du poids additionnel (44).

i#4. Maehlne à iadlcatlons eontinnes.

— Les lois de la chute des corps peuvent aussi se prouver au moyen d'une machine

ilont l'idée est due à M. Poncelet, et que

M. Morin a réalisée ^ La /î^. 68 représente

une des dispositions les plus simples qu'on

ait adoptées dans la construction de cette

machine : ce' est un cylindre vertical en bois,

sur lequel est appliquée une feuille de papier.

Vn poids P, imprime un mouvement rapide

autour de son axe, à ce cylindre, par l'intermédiaire d'une roue dentée qui agit sur la vis

^s fin V adaptée à l'axe du cylindre.

IJn volant à ailettes S, mis en mouvement

pv la même roue dentée et la vis sans fin u,

^ à rendre le mouvement uniforme au

^i d'un certain temps, m est une masse

^n fonte, munie d'un crayon horizontal Ko,

^^ guidée dans sa chute par deux fils métalliques f tendus verticalement, et qui

^ tiennent à une distance constante du cylindre cc\ Cette masse est d'abord

retenue par le levier àmentonnet l, représenté à part en /'. Ce levier est terminé

* ^otiont fondamentales de mécaniqw, par A. Morin, p.

dont l'axe est vertical. En effet, prenons pour axes la droite horizontale Ax ifiy- "70) et la verticale Ay, et désignant par &> l'angle que fait la direction de la vitesse initiale v avec Ax, décomposons l'impulsion donnée, en deux autres, l'une horizontale et égale à v cos &> , et l'autre verticale et égale à v sin •*. La première ne sera pas modiGée par la pesanteur ; la seconde, au contraire, sera continuellement diminuée et deviendra, au bout du temps I, égale à t;sin6> — gt. Les espaces parcourus sous l'influence de ces deux vitesses séparément seront donc

x = tv cos>ùi et y = tv sin » — { gf^ ,

qui représentent précisément les coordonnées du centre de gravité du mobile au bout du temps t. Eliminant t, il vient

[i] j, = xtang..-^^^x',

équation d'une parabole dont l'axe est vertical.

Si l'on veut connaître le point où le projectile rencontre l'horizontale Ar, il faut faire y = 0 dans cette équation, ce qui donne

X = 0, et x= — cos ft) sm ft) = — sin 2« .

Cette dernière valeur de x se nomme Y amplitude du jet. On voit qu'elle est proportionnelle au sinus du double de l'angle &> , et qu'elle atteint son maximum pour 6> = 45''. Si l'on veut connaître à quelle hauteur parviendra le mobile, il faut chercher la valeur de y pour laquelle la composante verticale de la vitesse est nulle. Egalant à zéro cette composante, on a r sin w — ^^ = 0;

d'où /= — sin». Portant cette valeur dans celles de x et de y, il vient x = — cos » sm w , 1/ = -- sin ^ w

pour les coordonnées du point le plus haut de la trajectoire.

On peut demander quelle doit être la direction du tir pour que le projectile passe par un point donné. Il faut alors que l'équation [i] soit satisfaite par les coordonnées x' et y' de ce point. On aura donc l'équation de condition

y'=a:tang«— — -^^ » d où tangM= —^ r-^ il.

On voit qu'il y a deux solutions, pourvu que la quantité sous le radical soit positive. Le signe (+) correspond à la trajectoire dont le sommet est le

LOIS DE LA CHUTE DES CORPS. 93

plus élevé, c'est la parabole pour écraser ; et le signe ( — ) à la parabole pour chattre. Si la quantité sous le radical est négative, il n*y a pas de solution.

Si Ton a v* — gx'^ — 2i;^^'=0, il n*y en a plus qu'une. Or, cette équation représente une parabole dont le sommet, situé sur l'axe des y, a pour ordonnée v^ : ig. On la nomme parabole de sûreté. Tout point pris en dehors de cette courbe ne peut être atteint par le projectile, dans quelque direction qu'il soit lancé avec la vitesse v, car pour ces points, la quantité sous le radical serait négative.

Dans l'air, la trajectoire du mobile ne serait pas une parabole, et elle ne serait plus symétrique par rapport à la verticale qui passe par le point le plus haut.

Avant Galilée, on n'avait que des idées fausses sur la forme de la trajectoire des projectiles. Tartaléa, auteur du xv* siècle, admettait qu'un corps lancé obliquement parcourait une ligne droite, puis un arc de cercle tangent à cette droite, et enfin une verticale. Avant lui, on admettait une droite oblique suivie brusquement d'une verticale ; il avait deviné que le maximum d'amplitude correspond à l'angle de Ab° avec l'horizon. Galilée et Toricelli ont démontré que la trajectoire est une parabole dont l'axe est vertical. Toricelli a prouvé de plus que les paraboles décrites par plusieurs projectiles lancés avec la même vitesse dans le môme plan vertical, suivant différentes directions, sont toutes tangentes à une même parabole enveloppante.

iOir. On doit encore à Galilée le résultat suivant, dont nous aurons à faire usage plus tard : Quand un mobile A (fig. 71), partant d'un point h, descend le Umg dun plan incliné hd, sa vitessCy en arrivant au point le plus baSy d, est la même que s*il était descendu verticalement de la même hauteur ho. En effet, la vitesse en arrivant en d (i 03) est v = [/tAb x hd , A6 étant la composante du poids qui fait descendre ce corps. Or, les triangles semblables hod, Abp donnent, pour la valeur de cette composante, Xb=kp X^olhd. Substituant, il vient v = v/2Ap x ho , qui représente la vitesse acquise par le corps en tombant verticalement de la hauteur ho.

Ce résultat n'est qu'un cas particulier du principe suivant : tous les mobiles partis des différents points d'un plan horizontal, avec des vitesses initiales égales , arrivent au niveau d'un second plan horizontal avec des vitesses égales, pig. 74.

quelle que soit la courbe qu'ils ont parcourue.

408. Propriétés de la eycioTde. — La cycloîde est une courbe plane engendrée par un point m d'une circonférence (fig, 72) qui roule sur une droite ab sans glisser et en restant toujours dans le même plan. Chaque tour engendre une branche de courbe mmm. La droite mm se nomme la base de la cycloîde. Cette courbe jouit, relativement à la pesanteur, de propriétés remarquables.

Brachlstochrone. — On nomme hrachislochrone^ ou courbe de plus vite descente, la courbe que doit parcourir un mobile pour descendre d'un point h (fig.li)kun point c{, dans le temps le plus court. J. Bernouilli a démontré que cette courbe est une cycloîde à base horizontale. On pourrait penser, an premier abord, que la brachistochrone doit être la ligne droite hd; mais remarquons que, dans la cycloîde, la pente étant très grande près du point de départ, la vitesse prend immédiatement une grande valeur, qui s'ajoute,

Fig. Il,

pendant toute la durée du mouvement, aux accroissements moindres qui se

produisent ensuite.

Taatochrone. — La cycloîde est aussi une courbe iautochnme, comme l'a

prouvé Huyghens; c'est-à-dire qu'un mobile emploie pour arriver au point le plus

bas de la courbe, dont la base xk. . ^ 'est horizontale, un temps qui

reste le même, quel que soit le point de départ sur cette courbe.

On vérifie cette propriété de h cycloîde, au moyen de l'appareil (fig. 73). AB est une pièce de bois taillée en forme de cycloîde et creusée en gouttière à sa partie supérieure. On y laisse partir, au même instant, des balles placées à différentes hauteurs, et elles viennent frapper simultanément on

obstacle placé en B. a, 6, c, d sont des anneaux disposés de manière que

Fig. 73.

leurs centres soient sqr la parabole que décrit une balle quand elle s'échappe horizontalement de la cycloîde ; on voit la balle traverser successivement ces anneaux; ce qui vérifie grossièrement le mouvement parabolique des projectiles.