S 3. -- INTENSITÉ DE LA PESANTEUR. — PENDULE

L Pendvlt.

ios. La vitesse de la chute des corps étant indépendante de leur masse et de leur nature, l'intensité de la pesanteur sera représentée par la vitesse acquise par un corps quelconque tombant dans le vide pendant une seconde (57); ou bien par le double de Tespace parcouru pendant la première seconde de sa chute (44). La machine d'Atwood semble propre à donner ce résultat ; car, après avoir évalué la vitesse g' dans cette machine, on en déduirait celle d'un forps tombant librement, au moyen de la formule flf I 5^' = f* 4- 2m : pi (101). Mais la résistance de Tair, le frottement de Taxe de la poulie, l'inertie de sa masse, l'allongement du cordon d'un côté pendant qu'il se raccourcit de l'autre, constituent des causes d'erreur qui rendraient le résultat peu précis. La machine de M. Morin serait peut-être plus exacte ; mais le pendule va nous fournir un moyen de mesure d'une extrême précision.

iiO. DéfiBitioB dn peaduie. — Un pendule consiste en général en un corps solide, mobile autour d'un axe horizontal qui ne passe pas par son centre de gravité. Si la position du corps est telle que la verticale qui passe par ce dernier point rencontre l'axe de suspension, le corps est en équilibre. Mais si on le dérange de cette position, il exécute, sous l'influence de la pesanteur, et de part et d'autre de la position d'équilibre, des mouvements alternatifs nommés oscillations. Pour étudier les propriétés de cette espèce de mouvement, les mathématiciens considèrent d'abord un pendule idéal qu'ils dfféieni pendule simple , par opposition au nom de pendule composé qu'ils donnent au pendule matériel.

414. nninut simple. — Le pendule simple consiste en un point matériel pesant, suspendu à un point fixe au moyen d'un fil sans masse ni poids, inextensible et parfaitement flexible.

Soit OA (fig. 74) un pendule simple en équilibre. Amenons-le dans la position OB; la pesanteur Bp, agissant enB, pourra être décomposée en deux forces, Tune suivant le prolongement de OB, détruite par la résistance du fil; l'autre suivant B6 perpendiculaire à OB, qui tendrait à ramener le pendule à la position d'équilibre. Cette dernière composante est égale à (^ sin a , en appelant a Tangle BOX=bgB. On voit qu'elle diminue avec l'angle a, c'est-à-dire à mesure que le pendule se rapproche de la position d'équilibre OA, pour laquelle cette composante est nulle. Le mouvement accéléré qui se produit est donc dû à une force continue, mais non constante.

Arrivé dans la position verticale, le pendule la dépasse en vertu de la vitesse

FIg. 74.

acquise, et remonte de A en B' avec un mouvement retardé ; car la composante de la pesanteur tangente à Tare décrit, est alors dirigée en sens contraire du mouvement. Comme tout est symétrique de part et d'autre de la verticale, cette

composante diminue la vitesse en chaque point de Tare AB' d'une quantité égale à celle dont elle l'avait augmentée aux points de l'arc BA situés à égale distance du point A; de sorte que la vitesse ne sera complètement détruite que lorsque le pendule aura parcouru l'arc AB' égal à AB. Arrivé en B', il y aura un moment imperceptible de repos, après lequel le pendule retournera sur ses pas pour remonter en B, revenir de nouveau en B' . . . , et ainsi de suite indéfmiment, en supposant qu'il n'y ait aucune résistance.

Chacun des mouvements de B en B', ou de B' en B, se nomme une oscillation. L'angle BOB', ou l'arc BAB' qui le mesure, se nomme Yamplitude de l'oscillation.

US. laoehronisme da pendale. — 11 est évident que les OSciUations que nous venons de décrire s'accomplissent toutes dans le même temps; mais ce qu'il y a de remarquable, c'est que ce temps reste encore le même quand on change l'amplitude, pourvu quelle soit infiniment petite ; et qu'il reste sensiblement le même, quand l'amplitude est très petite, de 3 ou 4 degrés par exemple. Ce résultat s'énonce en disant que les oscillations sont isochrones. On peut se rendre compte du principe de l'isochronisme , de la manière suivante : prenons deux amplitudes appartenant à deux pendules égaux, et assez petites pour qu'on puisse prendre l'arc pour sonsint». Supposons ces amplitudes différentes; doubles l'une de l'autre, par exemple. La composante de la pesanteur perpendiculaire au pendule , sera ^ • a , puisque l'angle a se confond avec sin a. Divisons les deux amplitudes en un nombre égal de parties infiniment petites, telles qu'on puisse les considérer comme parcourues d'un mouvement uniforme. Ces parties seront, dans l'un des arcs, doubles de ce qu'elles sont dans l'autre ; mais les composantes, qui sont proportionnelles à a, c'est-à-dire aux distances au point le plus bas comptées sur l'arc, sont aussi doubles pour deux subdivisions de même rang; les temps employés i parcourir d'un mouvement uniforme ces subdivisions sont donc les mêmes ; et, par suite, les temps employés à parcourir l'amplitude entière.

118. Foramie du pendule. — La propriété de Tisochronisme et les autres propriétés du pendule simple, dans le cas de Vamplitude infiniment petite,

sont renfermées dans la formule t = tt |/ JL ; dans laquelle t représente la

durée d*une oscillation, l la longueur du pendule, n le rapport de la circonférence au diamètre, égal à 3,1416, et g Tintensité de la pesanteur. Cette formule exprime que: i® la durée de l'oscillation ne dépend pas de Vamplitude; 2® cette durée est proportionnelle à la racine carrée de la longueur-, 3® en raison inverse de Vintensité de la pesanteur.

Pour démontrer la formule du pendule, calculons d*abord la vitesse du point B [fig. 75 ) à une distance donnée km = x du point le plus bas. L*amplitude étant infiniment petite. Tare Bm se confond avec sa corde , et le mobile arrive en m avec la Titesse qu*il aurait acquise en tombant verticalement de B en D (107); cette vitesse est donc

V = l/«^"BÏ), et Ion a

BD=:W = 6A~(fA.

Or, la corde étant moyenne proportionnelle entre le diamètre et sa projection

sur le diamètre, on a dk = — f = — , et 6A = par a l'arc AB. La valeur de V deviendra donc

en désignant

{a'i—ai^)

et pour le point A, Vj = a |/ -^ ,

en posant x=0. Au point B, on a x=a , d'où V=0. — Cela posé, prenons sur une ligne droite une longueur B, B'j (fig, 76) égale à BAB' (fig. 75); décrivons une demi-circonférence sur cette longueur comme diamètre, et supposons qu'un mobile parcoure l'arc BjAB'j (fig. 76),

avec une vitesse uniforme V, = a j/ -?^.

La projection sur BjB'i de ce mobile possédera un mouvement varié, et je dis que la vitesse de cette projection, à une distance x du point A| , sera égale à la vitesse du pendule sur l'arc BAB' (fig. 75), à une même distance x du poiot A. En effet, soit M une position du mobile, et m, sa projection située à une distance f?i|A| =x du point milieu A|. Pendant que le mobile parcourt un espace infiniment petit MM', sa projection parcourt pendant le môme temps

l'espace infiniment petit mim'i, d*un mouvement qui doit être regardé comme uniforme, le temps étant infiniment petit. La vitesse Vj du mobile et celle, jf, de sa projection, sont donc entre elles comme les espaces MM' et m^m'i^^Up; on a donc

f/:Vi=m/):MM'; on a aussi M/):MM'=Mmj:MA, = v/a2— «aia,

dans les triangles semblables M'pM, Âm,M; a=MAi étant la demi-amplitude. En combinant ces deux proportions, et remplaçant V| par sa valeur

a [/ -^ , on trouve f/= |/-^ (a»- x^) , qui est précisément la vitesse du

pendule à une distance x du point le plus bas.

Le temps t que met le pendule à accomplir une oscillation, est donc égal i celui que met la projection à aller de B, en B', , c'est-à-dire au temps que met le mobile considéré, à parcourir l'arc B,AB', avec la vitesse constante Vj. Ce temps, t, sera donné par la formule du mouvement uniforme e = vt (41),

d'où i— — . Or, ici, on a e=7rc, t;=V,=c|/4-; ^^^^ i = ir[/— . tj i g

Quand l'amplitude n'est pas infiniment petite, mais seulement très petite, la durée de l'oscillation augmente avec l'amplitude, et on démontre en mécanique qu'elle est donnée approximativement par la formule

/ = „/I(i+|si„^|); ou r = ,l/I(i + f^).

en prenant l'arc à la place de son sinus,

114. PEHOULB coiposi. — Le pendule simple ne peut être réalisé ; on le remplace par le pendule composé. Ce dernier est ordinairement composé d'une tige ou d'un fil en métal, supportant une masse en forme de lentille, pour fendre plus facilement l'air. La suspension est formée, tantôt par une lame métallique très flexible, pincée suivant une ligne horizontale , dans une espèce d'étau fixe; tantôt par l'arête légèrement arrondie d'un prisme en acier, nommé coutjau, reposant sur un plan horizontal en agate ou en acier très dur.

Centre d*oseiiimUoii. — Les points du pendule composé les plus rapprochés de l'axe de suspension, tendant à osciller plus vite que ceux ({ui en sont plus éloignés, le mouvement commun de tous ces points sera intermédiaire entre celui qui convient aux plus rapprochés et celui qui convient aux plus éloignés de l'axe; de sorte que les premiers oscillent plus lentement, et les derniers plus rapidement que s'ils étaient libres. De plus, le ralentissement du mouvement des uns, et l'accélération de celui des autres, sont d'autant moins marqués que ces points sont plus éloignés des deux extrémités. Il y a donc entre les points qui oscillent trop vite et ceux qui oscillent trop lentement une ligne droite parallèle à l'axe, où se fera le passage des

uns aux autres, et dont tous les points oscillent comme s'ils étaient libres. Cette droite se nomme axe d*oscillation ; le point où elle coupe le plan vertical perpendiculaire à Taxe de suspension passant par le centre de gravité du pendule s'appelle centre d'oscillation, et la distance de Taxe d'oscillation à l'axe de suspension, longueur d'oscillation.

Il résulte de ce qui précède qu'un pendule composé est synchrone avec le pendule simple dont la longueur serait égale à la longueur d'oscillation ; c'est-à-dire que ces deux pendules accompliraient une oscillation dans le même temps. On pourra donc appliquer la formule du pendule simple au pendule composé, en y mettant à la place de /, la longueur d'oscillation.

ffl». Mesare de Im loBf^aear d*oseillaUoB. — D'après ce qui précède, on voit qu'il est très important de savoir trouver la position de l'axe d'oscillation d'un pendule composé donné. Ce problème, célèbre au xvii« siècle, doit son origine aux questions que le P. Mersenne proposait aux savants de son temps. Descartes, Roberval, Huyghens s'en occupèrent, ainsi que beaucoup d'autres géomètres du siècle suivant, parmi lesquels J. Bernouilli et Dalembert ; de sorte que, aujourd'hui, le calcul fournit le moyen de le résoudre quand la forme du pendule est connue.

On peut aussi trouver l'axe d'oscillation par l'expérience, en s' appuyant sur cette propriété curieuse démontrée par Huyghens : si l'on fait osciller un pendule composé autour de son axe d'oscillation, la durée d'une oscillation reste la même, c'est-à-dire que l'axe de suspension primitif est devenu l'axe d'oscillaMon du pendule ainsi renversé. Ce résultat s'exprime en disant que Y axe d'oscillation et Taxe de suspension sont réciproques l'un de l'autre. On cherchera donc par tâtonnement la position d'une ligne parallèle à l'axe de suspension, telle que le pendule oscillant autour de cette ligne fasse son oscillation dans le même temps que s'il était appuyé sur son axe de suspension ; cette ligne sera l'axe d'oscillation. Ce procédé a été employé avec succès en Angleterre, par le capitaine Kater, au moyen d'un pendule nommé pendule réversible, muni de deux couteaux dont l'un peut se fixer au moyen d'une vis de pression, à différentes distances de l'autre. On place le couteau mobile dans une position telle que la durée de l'oscillation soit la même, quel que soit celui des deux couteaux qu'on ait choisi pour axe de suspension.

Dans le cas d'un pendule composé formé d'une boule très pesante et d'un fil flexible assez fin pour qu'on puisse en négliger le poids, le centre d'oscillation se confond avec le centre de la boule. On peut, avec un semblable pendule, vérifier par l'expérience les propriétés du pendule simple, en faisant varier la longueur du fil de suspension.

116. Mesure de im darée de roseiiiatioii. — Dans ces expériences, et dans plusieurs autres que nous décrirons plus loin, il est nécessaire de mesurer avec beaucoup de précision la durée d'une oscillation. Pour cela on en compte un grand nombre, et l'on observe le temps employé à les accomplir. Divisant ce temps par le nombre des oscillations, on a la durée d'une seule avec une

grande exactitude ; car il n'y a d'erreur que dans l'appréciation de l'instant où commence la première oscillation, et de l'instant où finit la dernière. On suppose dans ce calcul que les oscillations sont isochrones pendant toute la durée de l'expérience.

fi 7. Effets de im présenee de l'air. — La résistance de l'air sur le pendule n'altère pas l'isochronisme des oscillations très petites. On démontre en mécanique que, si cette résistance augmente la durée de la demi-oscillation descendante en diminuant la vitesse, elle réduit d'autant la durée de la demioscillation ascendante en en diminuant l'étendue. Il faut remarquer seulement que l'amplitude ira en décroissant, et que le pendule finira par s'arrêter.

Mais si l'air ne modifie pas l'isochronisme, sa présence exerce une autre influence. Nous verrons plus loin, dans l'hydrostatique, qu'un corps plongé dans un fluide est poussé de bas en haut par ce fluide, de manière à paraître moins pesant, et que la perte apparente de poids est égale au poids du fluide déplacé. Il résulte de là que, si P est le poids d'un corps dans le vide, ce poids dans l'air ne sera que P — P^ = P(1 — 5), S étant le rapport entre les poids de volumes égaux d'air et du corps. La force qui sollicite toutes les molécules du corps, vers la terre, au lieu d'être la pesanteur^, comme dans le vide, sera donc g' = g(i — ^)» puisque les poids des corps sont proportionnels à l'action exercée sur chaque molécule. Il en résulte que, si ce corps forme la lentille d'un pendule, la formule qui donnera la durée t' d'une oscillation sera

^' = 7r|/ -r— — ^, et en appelant t la durée de l'oscillation dans le vide,

on aura t'=tl v/4— ô .

H résulte, de plus, des expériences de M. Bessel, confirmées par les calculs de Poisson, que la perte de poids dans l'air n'est pas la même dans l'état de mouvement du pendule et dans l'état de repos. Elle est plus grande dans le premier état, et pour tenir compte de cet effet, il faut multiplier ^ par un facteur f plus grand que l'unité et dépendant de la forme du pendule. Quand cet instrument est formé d'une sphère suspendue à un fil très fin. Poisson trouve que ce facteur f est égal à | ; la formule est donc dans ce cas l' = l : \/i — |ô. On peut trouver le facteur f par l'expérience, en faisant osciller le pendule successivement dans deux milieux différents, par exemple l'air et l'eau ; ce qui donne deux équations, dans lesquelles il n'y a que deux inconnues : la durée t de l'oscillation dans le vide, et le facteur cherché. D'après M. Bessel, la correction au moyen de laquelle on ramène le pendide au vide, doit être multipliée par le nombre i,956, quand on veut tenir compte de l'influence du mouvement sur la perte de poids dans l'air.

f i8. Lois da moaTemeiit oscillmtolre en g^énérml. — Les lois du pendule s'appliquent aux oscillations d'un corps, soumis à une force quelconque constante et parallèle à une même direction dans toutes les positions du corps. La formule du pendule s'applique donc aussi à ce cas ; il faudra seulement y remplacer ^ par la force en question.

On a besoin dans certaines questions de connaître la vitesse du mobile en fonction de la durée / de Toscillation, et du temps B écoulé depuis le commencement d'une oscillation. Reprenons la formule V= [/ -|-(a2— rc^) (M 3); la fig, 76 montre que Ton a

V/a?— «2 = Mmj = a sin MAitiii = a sin -^ ,

car l'angle MAiifii a pour mesure B^ : a. Or, l'arc 5^ étant parcouru dans le temps 0, par le mobile dont mj est la projection, on a B^: O = ira : I,

et, par conséquent, i/a^—œ"^ = Mm, = a sinir — . La valeur de la vitesse devient donc

- cr» = Mmj = a sin TT -- .

V=al/l8in,ri-

OU

V = C sin TT — ,

en représentant par C la quantité constante qui précède le sintts,

119. Appiieationa da pendule. — C'est à Galilée qu'est due la découverte des propriétés du pendule. Il n'avait que 18 ans lorsque, ayant remarqué dans une église de Pise, la régularité des oscillations d'une lampe suspendue à la voûte, il fut conduit à étudier ce genre de mouvement. Plus tard, il songea à employer le pendule à la mesure du temps, dans ses recherches de physique et d'astronomie ; mais il lui fallait compenser par des impulsions fréquentes l'effet de la résistance de l'air. Aujourd'hui, on évite cet inconvénient, en adaptant le pendule à une horloge, dont il régularise la marche, et qui est chargée de lui donner les impulsions nécessaires. Voici une des nombreuses dispositions adoptées pour cela.

AppliemtioB aax horloges. — Une

roue verticale à dents obliques R {fig. 77),

dite roue de rencontre ou rochely est

mise en mouvement par un poids, soit

directement, soit par l'intermédiaire de

rouages. Une pièce A*ér.happement ab,

nommée ancre, est placée au-dessus, et

peut osciller autour d'un axe horizontal oo'. Le mouvement d'oscillation est

communiqué à l'ancre ab par un pendule P, mis en rapport avec l'axe oo'

Fig. 77.

au moyen de la tige à fourchette of. Quand le pendule est dans la position verticale, une des dents de la roue s'appuie sur Textrémité supérieure du crochet h, et Tapparcil est arrêté. Mais si le pendule s*incline, de manière que le crochet b s'éloigne de la roue, la dent appuyée sur ce crochet devient libre, et la roue tourne jusqu'à ce que le crochet a, qui s'en est approché alors, soit frappé de bas en haut par la dent suivante. Le pendule revenant ensuite sur ses pas, le crochet a se retire, laisse partir la roue, qui se trouve arrêtée de nouveau un instant après , par le crochet 6, que vient rencontrer en dessus la dent suivante... ; et ainsi de suite. Le mouvement de la roue sera donc composé de petits déplacements égaux , se succédant régulièrement comme les oscillations du pendule.

Pour communiquer au pendule des impulsions qui compensent la résistance de l'air et celle de la suspension, les deux crochets a et 6 sont terminés par deux petits plans inclinés en sens contraire. L'extrémité de la dent qui s'échappe vient alors glisser, en le pressant, sur le plan incliné, de manière à le pousser jusqu'au moment où elle se dégage. Cette petite impulsion, qui provient du poids qui fait tourner la roue, est répétée à chaque demi-oscillation du pendule, et perpétue son mouvement.

Cette application heureuse du pendule fut faite par Huyghens vers la fin de 1656; et il présenta aux Etats de Hollande, en 1657, une horloge ainsi réglée. Cette invention se répandit rapidement, et fut si bien appréciée, que les horloges portatives reçurent le nom de pendules, de l'appareil régulateur qui venait de leur être appliqué.

Pendule eycioTdai. — Si l'impulsion que reçoit le pendule d'une horloge diminue, comme cela peut avoir lieu par l'accroissement des frottements des

rouages qui absorbent une partie de l'action

^ du moteur, ou si la résistance de l'air sur ce

A^^^^Hb" pendule vient à augmenter, l'amplitude des

^y I Y^ oscillations diminuera, et par suite leur durée,

/ I \ Tare parcouru n'étant pas infiniment petit.

/ i \ Il en résulte que l'horloge avancera. Derham

/ i \ observa, en effet, que l'amplitude des oscilla-

/^ >v tiens du pendule de son horloge augmentait

Q Q) quand les rouages avaient été nettoyés. Cette

'-'^^::r:v>^ ,>^v ^-<<^ cause d'irrégularité n'échappa point à Huyghens:

pour l'éviter, il imagina de faire décrire au pig 7g^ pendule un arc de cycloïde, en le suspendant par

une lame métallique très flexible, entre deux pièces A, B (fig, 78), taillées en forme de cycloïde, de manière que la lame en prît la courbure, en s'appliquant sur leur contour. Si le cercle générateur de ces cycloïdes a pour diamètre la moitié de la longueur d'oscillation du pendule, il résulte des propriétés de la cycloïde, que le centre d'oscillation du pendule décrira aussi une cycloïde. Les oscillations seront alors isochrones, môme pour