VERGES ÉLASTIQUES

i» Ver^e libre aux deux bouts. — Pour obtenir facilement les harmoniques d'une verge libre aux deux bouts, Savart recommande de la tenir entre les doigts à Tendroit d'un nœud, et de passer l'archet à l'endroit d'un ventre. Dans ce cas, il y a au moins deux nœuds, d'après Euler, ce qui divise la verge en trois parties inégales, dont les deux extrêmes sont moindres que la moitié

de celle du milieu NN' [fig. -474). Il peut y avoir ensuite 3, 4, 5 nœuds

{fig. il4). Quant aux sons produits, nous y reviendrons en particulier ' .

La position des nœuds a été déterminée, en 1850, par M. Lissajous^. 11 a d*abord constaté que cette position est constante pour une même lame appuyée en deux points sur des prismes triangulaires en liège. Ces prismes se sont trouvés parfois à plus de i«" des nœuds qui devaient leur correspondre, sans cependant changer leur position. H a trouvé ensuite qu'il y a un rapport constant entre l'espace compris entre deux nœuds et celui qui sépare l'extrémité de la verge du nœud voisin, quels que j.',g. 474.

soient l'harmonique considéré, la nature

et les dimensions de la lame. Les expériences ont été faites avec des verges de laiton, cuivre et acier.

M. Lissajous, en résolvant les équations données par Euler, après les avoir simplifiées par la suppression des termes négligeables, a trouvé la confirmation des lois que l'expérience lui avait fournies : soit D la distance de deux nœuds consécutifs, n le nombre des nœuds, / la longueur de la lame libre aux deux bouts, S, les distances, an, btn (fig. 474) de chaque extrémité au nœud voism, et Sj.les distances an\bm', au second nœud, on aura

P il ^ __ ol ^^ 0,6608. i

Ces formules montrent que : i® les nœuds intermédiaires sont équidistants ; 2*» la distance entre les deux premiers nœuds est à peu près 0,92 de la distance

entre les deux nœuds intermédiaires qui suivent, car on a ' =r 0,9196 ;

3® le rapport entre les distances à l'extrémité, du premier et du second nœud, est S, : Sj — 0,26432; 4° la distance du premier nœud à l'extrémité est à peu près le tiers de D, car on a S, : D =0,3304. Tous ces résultats sont d'accord avec l'expérience. M. Slrehlke a traité, de son côté, le cas d'une verge

1 Savart a pu réaliser le cas d'un ^eul nœud au milieu , mm alor:^ le son o^tt indéterminé et dépend de la manière de conduire l'archet.

3 Annales de chimie el dephysiqw, 3*^ série, t. XXX, p. 385.

libre aux deux bouts, et les résultats auxquels il est parvenu confirment entièrement les lois trouvées par M. Lissajous.

2® Verges fixées aux deux bouts. ^- Ordinairement la verge est fixée dans deux étaux, sur un banc en fonte; mais la pression des étaux modifie Télasticité aux extrémités. Pour éviter cet inconvénient, M. Lissajous a soudé chaque extrémité de la verge plate entre deux masses rectangulaires de laiton, posées sur un banc dont elles étaient séparées par du drap. Ainsi disposée, la lame vibre facilement, et les nœuds occupent la même place que sur une lame libre de même longueur; seulement les deux nœuds extrêmes sont placés aux extrémités mêmes de la lame. Les deux premières formules ci-dessus peuvent donc s'appliquer ici.

3^ Vcrg;e fixée par une de ses extrémités. —

La verge peut présenter 0, 1, 2, 3... nœuds (/f^. 475),

\ \ ^ que Ton obtient en passant l'archet sur un ventre et

touchant l'un des nœuds du système que Ton veut

obtenir. La pression de Fétau , dans lequel on serre

ordinairement la verge, a pour effet de faire monter le

PI ri |N ^^"' ^^ ^"^ provient de ce que les vibrations s'étendent

un peu en dedans de l'étau, et d'autant plus loin que

Fig. 475. la pression est moindre et la lame plus épaisse.

M. Lissajous évite cet inconvénient, en assujettissant

l'extrémité de la lame par le même procédé que pour les verges fixées par les

deux bouts.

Le même observateur a reconnu que la position des nœuds reste encore la même que dans les deux premiers cas, seulement le premier nœud du côté de l'extrémité fixe se confond avec cette extrémité. La première formule est donc encore applicable dans ce cas ; les deux dernières s'appliquent seulement ï l'extrémité libre. On voit que les trois cas que nous venons d'examiner se ramènent au cas de la lame libre aux deux bouts.

-4* et 5® Quand la lame a une de ses extrémités appuyée, et l'autre libre ou lixe, on peut assimiler l'extrémité appuyée à un des nœuds intermédiaires, et considérer la lame comme la moitié d'une lame de longueur double, libre ou fixée par ses deux bouts, dans laquelle le nombre de nœuds serait 2n— 1. Cette manière de voir est confirmée par l'analyse. En remplaçant donc / par 2/, et n par 2n — 1, on aura, pour les formules (jui correspondent à ces deux cas.

dont les deux dernières ne s'appliquent qu'au ras où l'un des bouts est libre. Ces formules ont donné à M. Lissajous des résultats conformes à ceux de l'expérience. Dans le c^s où une extrémité est libre, les expérienres sont difficiles à cause de la nécessité de donner à l'extrémité appuyée toute liberté de mouvement autour d'une droite située au milieu de l'épaisseur,