II

w, n étant les nombres de vibrations de deux plaques dont les épaisseurs sont c, c\ et deux côtés homologues /, /', satisfaisant à la condition e:e' = l:l\

La fg. 481 représente un appareil destiné à démontrer ces trois lois. Les plaques a et 6, fixées par leur centre de figure, sont de môme épaisseur,

mais leurs côtés sont entre eux comme 1:2. La plus petite donne la double octave de la plus grande. Les plaques c et 6 sont de môme grandeur, mais Tune a une épaisseur double de Tautre, et elle en donne Toctave aiguë. Enfin, la plaque o, dont toutes les dimensions sont doubles de celles de la plaque a, en donne l'octave grave. On arrive aux mêmes résultats avec les plaques circulaires «', 6', c'.

Fig. 481.

629. Sons d*Dne mAine plaqae. — La loi des sons successifs que peut engendrer une même pîaque, quand les figures acoustiques changent, n'est pas connue. Nous dirons seulement que le son le plus grave que rend une plaque carrée, fixée par son centre, correspond à deux lignes nodales passant par ce point et parallèles aux côtés. Quand les deux nodales sont dirigées suivant les diagonales, le son est à la quinte.

Savart a mesuré le nombre de vibrations correspondant aux principales figures données par une môme plaque, comme Chladni l'avait fait antérieurement; mais il reconnut bientôt que les nombres obtenus ne méritaient aucune confiance, à cause de l'influence de l'hétérogénéité des substances dont sont formées les plaques. Par exemple, des plaques circulaires en laiton exactement égales, étant mises à l'unisson pour un môme mode de division, ne se trouvent plus d'accord pour les autres modes de division. On ne peut donc espérer d'arriver à des résultats certains, tant qu'on n'opérera pas sur des corps plus homogènes que ceux qu'on a pu employer jusqu'à présent.

630. 0E8 nauBi» ACOUBTIQUEB. — Savart a publié en 1840, un grand travail sur la formation des figures acoustiques ' . Le premier point qu'il a signalé, c'est qu'une môme plaque peut fournir une infinité de figures acoustiques différentes, passant des unes aux autres d'une manière continue, et non par sauts brusques, comme l'avait trouvé Chladni, qui le premier s'est occupé des subdivisions des plaques. Ainsi, les figures a, 6, c, d, E, /*, </, h (fig. 482) passent des unes aux autres sans interruption. Pour faire cette expérience, on fixe la plaque carrée par son centre, on appuie deux doigts prés du bord, en plaçant

. 1 AnnaUt de chimie et de phyHque, 2<^ série, I. LXXIII, p. 225.

Farchet au milieu, puis les faisant glisser et maintenant entre eux un écart convenable, on voit la figure a, formée par le sable, se fondre gradoeUeiBeol dans la figure b et les suivantes. On peut même faire tourner plusieurs fois ces figures successives autour de la plaque.

Savart a encore trouvé qu*on peut passer d'une figure à une antre, pr plusieurs routes différentes ; d'où il a conclu qu'un même son peut correspondre à des systèmes dilférents de lignes nodales, ce que l'expérience confirme: Le passage d'un son à un autre se fait aussi d'une manière continue, de sorte qu'une même plaque peut produire une infinité de sons différents. Mais il est essentiel d'obsener que certaines figures seulement peuvent être conservées, et donnent des sons purs. Les autres ne sont que des figures de passage, et ne peuvent être maintenues, pas plus que le son qui les accompagne ; de manière qu'on est autorisé à dire qu'une même plaque ne peut réellement produire que certains sons déterminés , auxquels correspondent aussi des figures déterminées.

681. Plaques carrées. — Chladni rapportait les lignes nodales qu'il avait observées sur les plaques carrées, à des systèmes de droites parallèles ani r^tés, formant, en se coupant, des figures régulières. Quand cette régularité

Fig. 482.

n'avait pas lieu, il admettait que les irrégularités qu'il nommait distorsions, étaient des anomalies accidentelles, et il les supprimait par la pensée. Ainsi, les systèmes c eid (fig. 482) n'étaient pour lui, que le système E, dans lequel il s'était produit des distorsions. Toutes les fois qu'il rencontrait des lignes courbes, et même des diagonales, il les ramenait ainsi à des droites parallèles aux côtés.

Savart a démontré la fausseté de celte manière de voir. Les plaques sur lesquelles il a expérimente étaient en laiton, travaillées avec soin, et avaient de 30 à 50^" de côté, et de I à 3"™ d'épaisseur. Les plus minces sont préférables pour les figures les plus compliquées. Pour obtenir ces figures, on fi\e certains points, en appuyant la plaque sur quatre cônes en liège cillés au\ extrémités de deux règles croisées en forme d'X, et dont on peut faire varier l'angle à volonté. Si ces quatre points fixes ne suffisent pas, on en détermine d'autres, au moyen des deux extrémités d'un compas en bois que Ton appuie sur les points que l'on veut empêcher de vibrer. L'endroit attaqué par l'archet a aussi une grande influence sur le système de nodales que l'on obtient.

Afin de pouvoir comparer facilement les figures acoustiques obtenues sur

une même plaque, Savart a imaginé d*en consener le dessin. Pour cela, il remplace le sable par une poudre formée avec du tournesol en pain, pulvérisé, puis humecté avec de Tcau gommée, desséché, pulvérisé de nouveau, et enfin passé au tamis, pour en séparer la poussière trop fine et les grains trop gros. Une fois la figure acoustique formée avec cette espèce de sable, Savart appuyait sur la plaque une feuille de papier humectée avec de Teau gommée, la pressait avec un tampon, puis avec un corps dur, pour écraser les grains de tournesol et les faire adhérer au papier. Il a pu, par ce moyen ingénieux, relever plusieurs centaines de figures données par une seule plaque, et dont on voit une partie dans la fig. 483. On a indiqué par un petit trait parallèle au côté de la plaque, le point où est appuyé Tarchet; par des traits perpendiculaires aux côtés, les points appuyés ; et par des croix, les points pressés par le compas de bois.

Un premier fait établi par Savart, c'est que jamais on n'obtient de droites régulières parallèles aux côtés; il y a toujours dislorsion. On peut cependant obtenir, dans certains cas, un peu de régularité, en fixant un grand nombre de points ; mais alors le son sort mal, tandis que, si Ton abandonne les points fixes surnuméraires, le son éclate avec facilité, en même temps que les distorsions se reproduisent. Jamais les lignes ne se rencontrent, comme on le voit (/î^f. 483), chacune d'elles circule à travers les autres sans les couper. Ce que Cbladni appelait le cas normal est donc impossible à réaliser. C'est une limite dont les figures peuvent approcher plus ou moins sans jamais pouvoir l'atteindre. Par exemple, le système a [fig. 484) peut devenir 6, c, rf, /", g, h, mais jamais E. Du reste, les distorsions restent les mêmes avec des plaques égales de différentes substances, ce qui prouve qu'elles ne sont pas dues à dos défauts accidentels de structure.

En comparant un très grand nombre de figures relevées sur une même plaque carrée, Savart a pu les diviser en figures élémentaires et figures composées. Les figures élémentaires sont formées, les unes par des lignes parallèles aux côtés et en même nombre dans les deux sens: on en voit un certain nombre dans la première série horizontale du tableau (fig. 483) ; les autres par des lignes parallèles aux diagonales, en nombre égal ou inégal dans les deux sens. Ces dernières se trouvent dans la première colonne verticale à gauche du même tableau. On voit que les directions des lignes, dans les figures simples, sont celles de la plus petite et de la plus grande résistance à la flexion ^ cette dernière ayant lieu suivant la diagonale comme charnière.

Les figures composées sont des combinaisons de figures simples ; chacune d'elles se trouve, dans le tableau, à la rencontre des colonnes horizontale et verticale qui commencent par les figures élémentaires dont elle est la combinaison. Les parties ponctuées correspondent à la figure élémentaire formée de parallèles aux diagonales. Les chiffres placés au-dessus de chaque figure, indiquent, suivant la notation de Cbladni, celui de gauche le nombre de lignes horizontales de la figure simple supérieure, et celui de droite le nombre de ses lignes verticales joint au nombre des parallèles aux diagonales de la Cgure composante qui est à gauche. Enfin, le chiffre placé à gauche de chaque série

588 LOIS DU MOIVEMENT VIBRATOIIŒ.

horizontale indique la différence entre ceux qui se trouvent au-dessus de chaipe

Fig. 483.

figure, c'est-à-dire entre le nombre des lignes horizontales et celui des lignes verticales et diagonales, qui sont combinées.

Le tableau (fig. 483) ne représente qu'une partie des résultats obtenus par Savart. Ces figures se produisent facilement, sont stables, le son en est pur, et on peut en déterminer le nombre de vibrations ; ce sont des types. Les autres ne sont que des figures de passage ; on ne peut les maintenir, pas plus que le son qui leur correspond. On voit aussi à Tinspection du tableau, que : l^' quand il y a une ou deux diagonales dans l'une des figures simples, elles se retrouvent dans la figure composée; 2* lorsqu'une des figures composantes contient deux lignes perpendiculaires au milieu des côtés du carré, ces lignes se retrouvent dans la figure composée, toutes les fois que l'autre figure simple ne contient pas de diagonale, ou en contient deux ; 8"* quand le nombre des lignes. dans un sens est double du nombre de lignes dans l'autre sens, comme dans S|4, 3|6, etc., la figure est composée de carrés dont les côtés sont parallèles aux diagonales, et dans chacun desquels il y a un cercle, qui provient de la

Fig. 484.

figure composante formée par les parallèles aux côtés ; 4« quand il y a 3 fois plus de lignes dans un sens que dans l'autre, comme dans 2j6, 3{9, etc., il y a encore des cercles renfermés dans des carrés, mais les côtés de ces carrés sont parallèles à ceux de la plaque.

•3!S. Plaques polygonales. — Les figures acoustiques des plaques dont le contour est un polygone régulier sont aussi, simples ou composées. Les figures simples sont formées par des lignes parallèles, les unes aux directions de plus grande résistance à la flexion, les autres aux directions de plus faible résistance. Ces directions sont parallèles ou perpendiculaires aux côtés. Les figures composées sont toujours formées par la réunion de deux figures simples, sans addition de lignes étrangères, de manière qu'on peut les coordonner dans un tableau à double entrée, comme pour les plaques carrées. Comme exemple, nous donnons deux figures simples a, b (fig. 484) sur une plaque triangulaire, et la figure c résultant de leur combinaison. A et B sont deux figures simples sur un pentagone, et C la figure résultant de leur combinaison. Les droites

ponctuées indiquent les directions générales des lignes, quand ces directiitts sont difficiles à reconnaître.

•33. Plaque^ cirealaires et elliptiques. — Chladni a reconnu qu une

plaque circulaire donne deux systèmes de figures élémentaires : le premier est formé par des diamètres, toujours en nombre pair, et le second par des circoDférences concentriques. Ces figures peuvent ensuite se combiner de manière à former des figures composées. Pour obtenir le système concentrique, et, a général pour obtenir sur une plaque de forme quelconque, une figure qui ne passe pas par le centre, on ébranle la plaque par ce point. Pour cela, on y pratiqie un trou circulaire de 3 ou 4 millimètres de diamètre, dont on frotte le contour, poli et arrondi, au moyen d'une mèche de crins enduite de colophane, que Im tient parles deux bouts, pendant que la plaque est fixée par un point oà doit passer une ligne nodale. On peut encore engager dans le trou, à frottement dur,

Fig. 485.

un petit cylindre en bois, et frotter ce cylindre avec un morceau de drap enduit de colophane, pendant que la plaque est soutenue par trois petits cônes en liège, formant les sommets d'un triangle équilatéral.

Quand la plaque a de grandes dimensions, on peut obtenir des figures compliquées comme celles que l'on voit en A, B^ C (fig. ASb). Il arrive souvent alors (ju'il y a plus de rayons prés du contour que vers le centre, comme en C. On voit aussi que, dans la partie centrale, il y a des lignes circulaires, tandis qu'il n'y en a pas prés du contour. Cela provient de ce que la partie centrale et le contour correspondent à deux modes de division différents, dont les nombres de vibrations sont ordinairement à l'unisson. Ces nombres de vibrations peuvent aussi être différents, mais alors ils sont dans des rapports simples, comme |, y, j, *, etc., et ils produisent, par conséquent, des harmoniques du son engendré par les parties du contour. 11 peut aussi exister trois modes de division, correspondant à des nombres de vibrations dans des rapports simples : la plaque est alors partagée près du centre en un petit nombre de parties vibrantes, en un plus grand nombre dans la partie moyenne, et en un plus grand nombre encore près de son contour. Ces modes de division peuvent donner isolément des nombres de vibrations un peu différents de ceux en rapports simples qu'ils produisent ensemble, à cause de la réaction des uns sur les autres. Du reste, ils existent simultanément dans toute l'étendue de la

plaque, comme on peut le reconnaître dans certains cas ; par exemple, les cercles d'une des figures simples peuvent se marquer près du contour, et sur Tautre figure, qui n'a que des rayons, par de petits amas de sable arrangés en cercle, comme on le voit en C.

On peut entendre simultanément les sons qui correspondent aux divers modes de division, surtout si Ton a soin d'étouffer les plus intenses au moyen d'écrans convenablement placés. Cette résonnance multiple a lieu aussi avec les plaques carrées, et M. Duhamel a pu constater, par le procédé graphique, la coexistence de deux modes de vibrations, dans une semblable plaque donnant le son fondamental et sa quinte : une pointe fixée près d'un angle inscrivait le son fondamental , une autre, placée vers le milieu du côté, inscrivait la quinte, et une troisième, fixée prés du quart du côté, produisait une ligne sinueuse à dentelures secondaires indiquant la superposition des deux modes de vibrations.

C'est principalement dans le c^s des plaques circulaires ébranlées par leur centre, que les géomètres sont parvenus à résoudre le problème des plaques vibrantes. Sophie Germain a, la première, donné une solution de ce problème ; puis Poisson a publié une nouvelle théorie, dont Savart a vérifié les principaux résultats. M. Kirchofî, en 1848, a traité le môme sujet; et enfin M. Wertheim dans le but de soumettre à un nouveau contrôle les nouvelles formules de l'équilibre et du mouvement des corps élastiques, a fait un travail à la fois mathématique et expérimental d'où est ressortie une fois de ) lus la supériorité des nouvelles formules. Ainsi, il a pu calculer au moyen de l'expérience qui lie le nombre de vibrations du son fondamental au coefficient d'élasticité, la valeur de ce dernier ; et les résultats se sont toujours trouvés d'accord avec ceux qu'il a obtenus, en étirant des bandes de même substance que les disques. De plus, les harmoniques se sont trouvés dans les mômes rapports que ceux que donne la formule, et les rapports des rayons des différentes nodales circulaires n'ont été que de très peu inférieurs à ceux que donne la théorie. Les légères différences, ainsi qu'un peu trop d'acuité dans le son fondamental des plaques de laiton, peut provenir de ce qu'on néglige leur épaisseur dans y'\^, 486.

les calculs, et de ce qu'il existe au centre un trou par lequel on fait passer la mèche de crin destinée à les faire vibrer.

Plaques elliptiques. — Les plaques elliptiques donnent deux systèmes de figures simples, les unes formées par des ellipses, avec ou sans le grand axe, les autres par des hyperboles, avec ou sans le petit axe de l'ellipse. Ce qu'il y a de remarquable, c'est que ces ellipses et ces hyperboles ont le môme foyer que le contour de la plaque. Ces figures simples, en se combinant, forment des figures composées (^^f. 486).

Savart s'est encore occupé des plaques rectangulaires et losanges; elles luj

* Annales de chimie et de physique f 3*^ strie, l. XXXI, p. 6.

ont donné des figures plus compliquées que les plaques carrées et circulaires. •84. Dépiaeement des lignes nodales. — Quand on fait rendre à OBe plaque circulaire fixée par son centre, un son correspondant à des lignes nodales dirigées suivant des rayons, on peut, en déplaçant peu à peu Fardiet, qui est toujours sur un ventre, changer la position des lignes nodales et leor faire faire le tour de la plaque. Ce résultat pouvait se prévoir facilement. Mais Savart a découvert ce fait curieux, que le déplacement des nodales peut a^ lieu sur la plaque vibrante abandonnée a elle-même. En effet, si Ton enlévf vivement Tarchet, les lignes nodales oscillent de part et d'autre de leur positkn première, et si Ton donne des coups d'archet, pour entretenir le mouvemeit vibratoire, et toujours au même point, Tamplitude de ces oscillations augmeott et elle peut devenir assez grande pour que les lignes nodales soient entraînées au-delà du milieu de la distance qui les sépare dans leur position primitife. Alors, si Ton donne un nouveau coup d'archet, la ligne nodale franchira cett^ limite, et ira prendre la place de la ligne voisine ; et si l'on continue à faire afpr Farchet, les lignes nodales feront le tour de la plaque. Il est évident que les déplacements des lignes nodales ne peuvent aToir lieu que quand leur position n'a pas d'influence sur la hauteur du son ; aussi on ne les observe que sur des plaques symétriques autour d'un point, comme les plaques circulaires.

Pour constater ce phénomène, on ne peut employer le sable, dont la masse est trop grande. Li pondr? de lycopode, qui adhère un peu à la plaque, convient bien, au contraire ; elle se place sur les ventres en formant de petits amas (G27), et l'on voit une couronne (fig. 487), ressemblant à un petit nuage, qui '"'g- ^^'- tourne sur elle-même, soit dans un sens, soit Am

l'autre. Quand il y a plusieurs nodales circulaireN il peut y avoir plusieurs couronnes tournant toutes dans le même sens avec des vitesses d'autant plus grandes qu'elles ont un plus petit rayon.

Par ce moyen, on ne constate pas exactement la rapidité du mouvement di^ nodales, la poudre de lycopode restant en arriére de ce mouvement. Sa\*art a emplovc une autre méthode : il fait tomber les rayons solaires sur la plaque bien polie; la lumière réfléchie forme, sur un écran, une image elliptique du disque. Quand on le fait vibrer, l'image se transforme en une espèce d'étoile, donlb pointes conespondent à chaque rayon nodal. Si les lignes de repos oscillent ou tournent, les pointes oscillent ou tournent en même temps. Le mouvement peut être tellement rapide que les pointes ne se distinguent plus, et la forme «Ip l'image paraît de nouveau elliptique.

Quand les lignes nodales oscillent, on en est averti par des alternatives danl'intensité du son. Le maximum d'intensité correspond à l'instant ou les Yi^nes nodales atteignent la limite de leur amplitude d'un côté, et le minimum quand