DU MOUVEMENT EN LUI-MÊME

occasion d*appliquer ces formules et de les discuter, dans le chapitre suivant. Remarquons seulement que Tespace parcouru est égal à celui qui serait parcouru d'un mouvement uniforme avec la vitesse moyenne i (u + v) , ou u±jtcL

4*9. DU ■ODVSMBHT coHPOsl — Considérons un point matériel a qui parcourt d'un mouvement uniforme une droite ab (fig. 26), pendant que cette droite se transporte parallèlement à elle-même, aussi d*un mouvement uniforme, et de manière que son extrémité a parcoure la ligne droite ac. Le point matériel sera animé de deux vitesses simultanées, l'une sur la droite ab, l'autre due au déplacement de cette droite, et le mouvement résultant de la combinaison de ces deux vitesses, se nomme mouvement composé.

Il résulte de l'observation, que le mouvement du point sur la droite n'est pas modifié par celui de cette dernière ; et, en général, que les vitesses qui animent simultanément un point matériel ne se modifient pas mutuel- F'K- sa-

lement. En effet, l'expérience prouve que les

mouvements relatifs des différentes parties d'un système de corps ne sont pas modifiés lorsqu'on leur communique à tous une même impulsion. Par exemple, les différentes pièces d'une montre continuent à se mouvoir de la même manière les unes par rapport aux autres, quand on la transporte ; les mouvements d'un voyageur dans un navire qui marche régulièrement sur une mer calme, conservent avec les différentes parties du navire, les mêmes rapports de direction et de vitesse que si ce navire était en repos; enfin, les mouvements qui s'accomplissent à la surface de la terre sont indépendants de son déplacement dans l'espace.

48. Paraiiéiofprmnme des vitciwes. — Supposons que le point matériel a parcoure l'espace ab=cd, pendant le temps t que met la droite ah à venir de ab en cd; ce qui veut dire que les espaces (i6, ac sont entre eux comme la vitesse du point sur la droite ab, et la vitesse de celle-ci parallèlement à ellemême. On voit que le point sera arrivé en d au bout de ce temps t; et comme on peut dire la même chose à tous les instants du mouvement, le mobile aura parcouru d'un mouvement uniforme la diagonale ad. Il résulte aussi de là que la vitesse suivant ad dans le mouvement composé, ou vitesse résultante, sera représentée par la longueur de cette diagonale, si les longueurs ab eiac représentent la vitesse du point sur la droite ab, et la vitesse de celle-ci parallèlement à elle-même.

Ce résultat, connu sous le nom de parallélogramme des vitesses, est dû à Galilée ; on l'énonce ainsi : La vitesse résultante de deux vitesses simultanées est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux droites qui représentent les directions et les grandeurs de ces vitesses.

Dans le cas da moatement anifomie, les espaces parcouras étant pnqiortionnels aox vitesses, on voit que l'espace parcouru dans le mouvement composé sera représenté par la diagonale du parallélogramme construit sur les espaces qui seraient parcourus pendant le même temps en vertu de chacun des mouvements composants en particulier. Cette construction donne le moyen de trouver la position du mobile au bout d'un temps donné.

Ce qui précède s'applique au cas du mouvement varié, en considérant des intervalles de temps infiniment petits, pendant lesquels le mouvement est uniforme.

40. DécomposItioB d*uue vitesse eu deux aatres. — On peut se proposer de remplacer la vitesse qui anime un point matériel , par deux autres dans deux directions données ab, ac (fig, 26), et qui, animant simultanément le mobile, produiraient la vitesse qu'il possède. Pour avoir les grandeurs des vitesses cherchées, on mènera par l'extrémité de la longueur ad qui représente la vitesse donnée, des parallèles aux directions des vitesses composantes ; les longueurs ad, ac représenteront alors les grandeurs de ces vitesses.

n. Dm foTMS.

se. DéflaUlons. — On nomme force toute cause de mouvement ou de modification de mouvement. Toutes les forces que nous connaissons se ramènent, quant à leur origine, aux trois causes que nous avons déjà signalées (8) : la gravitation, la cause unique des phénomènes de chaleur, d'électricité et de lumière, et la vie. Nous allons étudier ce qu'il y a de général dans les propriétés dos forces, examiner comment on les considère en physique, quel est leur mode d'action sur les corps, et de quelle manière on les emploie. L'étude des forces et do leurs effets constitue la mécanique.

Les forces sont des quantités ; car on conçoit des forces plus grandes ou plus petites les unes que les autres ; on peut donc les représenter par des nombres, on on choisissant une pour unité.

On nomme forces égales, deux forces qui, agissant dans des directions diamétralement opposées sur un même point ou sur deux points liés invariablement entre eux, laissent ces points en repos. La réunion de deux, trois

forces égales forme une force double, triple de chacune d'elles.

On distingue dans une force trois choses : !<> le point d'application ; c'est le point du corps sur lequel la force agit directement; si les autres parties du corps obéissent k Taction de la force, c'est qu'ils sont liés au point d'application ; i^ la direction, qui est la ligne droite suivant laquelle la force tend à entraîner son point d'application, et l'entraîne réellement, s'il n'est soumis à aucune autre action; > V intensité, ou l'énergie avec laquelle la force agit; on l'exprime par le nombre d'unités de force qu'elle contient.

Dans la mécanique, on a coutume de représenter les forces par des lignes droites, partant du point d'application, dans leur direction, et ayant pour Ionglieur autant de fois l'unité de longueur que la force contient de fois Funité de force. Il en résulte qu'une multitude de questions sur les forces peuvent se traiter par les méthodes de la géométrie.

S4. Proposition. — Le point d'application d'une force peut être transporté en un point quelconque de sa direction sans que son effet en soit modifié, pourvu que ce nouveau point soit invariablement lié au premier. En effet, nous pouvons, sans rien changer à l'état du système, appliquer à ce nouveau point deux forces contraires égales à la force donnée et dirigées suivant la même droite. L'une de ces forces détruira la force donnée, qui lui est opposée, et le système se réduira à la seconde des forces auxiliaires, qui produit le même effet et se trouve appliquée au second point considéré.

es. Vnité de forée. — Dynanomètres. — Dans la pratique, OU prend souvent pour unité de force l'effort avec lequel un poids de î kilogramme tend le cordon auquel on le suspend \ de sorte qu'une force qui, en agissant de bas en haut, soutient un poids de iO kilogrammes, est égale à 10 fois l'unité de force. Quand une force n'agit pas de bas en haut, on emploie, pour en estimer l'intensité en kilogrammes , des instruments nommés dynamomètres. Un des plus usités est le peson à ressort (fiy. 27). Les deux branches d'un ressort en acier aob se rapprochent plus ou moins, suivant l'effort exercé en c, sur l'arc métallique ac fixé en a à la branche oa , et qui traverse librement la branche oh. A celle-ci est soudé en h un autre arc hd qui traverse la branche oa. La quantité dont se rapprochent les deux branches se mesure sur une graduation que porte l'arc bd, et qui s'établit directement, en accrochant en c des poids gradués, pendant que l'instrument est suspendu libre- || ment en d.

F»6 27. La fig, 28 représente le dynamomètre de ^^^- ^^•

Leroy : un ressort en hélice an, logé dans un tube ab, est soutenu en n par une tige graduée, qui sort plus ou moins du tube, quand on applique une force au crochet h. Ce dynamomètre, de môme que celui qui précède, n'est propre à mesurer que des efforts assez faibles ; on s'en sert surtout pour peser les corps. Le dynamomètre de Régnier convient aux forces intenses. Cet instrument

1 Noas verrons plus loin que cet effort n'est i>as le mémo aux différentes latitudes géographiques. L^unité est donc variable ; mais elle Test trop peu pour quMl soit nécessaire dans les applications, de tenir compte de ses variations.

Fig. 29.

consiste en un ressort ovale manh (fig, 29), dont les parties a et b se rapprochent, quand on agit aux extrémités m et n en sens contraire et dans la direction mn. Le rapprochement est indiqué par une aiguille Or, dont Textrémité parcourt des divisions tracées sur un secteur fixé en a. Cette aiguille est pressée

par un levier coudé c, sur lequel agit le repoussoir bc articulé en c. La graduation s*établit directement au moyen de poids. Chaque division correspond à iO kil. Une seconde graduation sert pour mesurer les forces quand elles agissent dans la direction ab, comme lorsqu'on veut apprécier la force des mains. Avec cet instrument, on a trouvé que Teffort musculaire des deux mains d*un homme est d'environ 50 kil., et seulement de 33 kil. pour une femme. L'effort moyen d'un homme, pour soulever un fardeau, est de 130 kil. Un cheval développe, en tirant, une force de 300 kil. ; et un homme, le septième environ de cette quantité. Nous citerons encore le dynamomètre de M. Poncelet (fig. 30), formé de deux ressorts réunis à leurs extrémités par des bandes articulées a, a, et qui jouit de cette propriété précieuse dans certîiinos expériences, que les accroissements de distance des parties m, n sont proportionnels jusqu'à une certaine limite aux forces agissant dans la direction mn.

S8. Staliqoe. — Dynamique. — On dit que plusieurs forces se font équilibre quand elles se contrebalancent de manière à laisser en repos le corps ou le système de corps sur lequel elles agissent, ou de manière à ne pas altérer le mouvement de ce système s'il en possède un d'avance. La statique est la science de l'équilibre. Archimède est regardé comme le créateur de cette partie de la mécanique. On y cherche quelles relations doivent exister entre les trois choses qui caractérisent chaque force d'un système, pour qu'il y ait équilibre.

La dynamique s'occupe des lois du mouvement que produisent les forces. Galilée a jeté les fondements de cette science ; avant lui on ne s'était guère occupé que de l'équilibre, et la mécanique n'avait fait presque aucun progrès depuis Archimède. Comme parties de la statique et de la dynamique, nous avons encore à nommer V hydrostatique et V hydrodynamique ^ qui sont la statique et la dynamique des fluides,

S4. Prineipe expérimental. — Uaction d'une force stir un corps est indépendante de Vétat de repos ou de mouvement de ce corps. Ce n'est que par

Fig. 30.

rexpérience qu*on a pu découvrir ce principe. Ou a reconnu, en effet, que les résultats prédits en l'admettant comme vrai, sont toujours d*accord avec ceux que Ton observe. On remarque aussi journellement que les mouvements relatifs des différentes parties d*un système ne sont pas altérés par une impulsion commune qu'on leur imprime. Par exemple, les différentes pièces d'une montre continuent à se mouvoir de la même manière, les unes par rapport aux autres. quand on la déplace ' ; de là résulte le principe énoncé. En effet, soient deux corps identiques sous tous les rapports a et b (fig. 31) ; l'un, a, est en repos, et nous imprimons à Tautre, b, une vitesse v, au moyen d'une force agissant dans la direction ob, pendant un temps très court d; v est aussi la vitesse relative entre les deux corps. Faisons agir de nouveau la force f dans la ^%a /^6

direction ob, pendant le temps ô, sur ^# ^M ' as

1 un et 1 autre corps. Le corps a recevra

la vitesse V qu'avait reçue le corps b F»g- 3^-

quand il était en repos, et le corps b

prendra une vitesse v+v\ Or, si v\ qui est le résultat de l'impulsion donnée

en second lieu au corps b par la force f, n'était pas égal à v, la vitesse relative

{v-^v' — v) serait différente de v ; ce qui est contraire à l'expérience. Il faut

donc que la vitesse imprimée au corps b en mouvement, soit v, comme s'il était

en repos. Si l'on fait agir de nouveau la force sur les deux corps, le premier

prendra la vitesse 2t;, d'après ce qui vient d'être dit, et le second devra prendre

la vitesse 3v, pour que la vitesse relative reste égale à v; et ainsi de suite.

Il résulte du principe qui précède, que, si plusieurs forces agissent simti/tonémerU sur un même corps, chacune d*elles produit le même effet que si elle était seule; car, l'effet qu'elle produit ne dépend pas du mouvement que les autres forces peuvent ou ont pu communiquer au corps.

Il résulte encore du même principe que : une force constante en direction et en intensité y anime d'un mouvement varié le point matériel stir lequel elle agit. En effet, l'accélération w reste constante, puisque l'effet de la force ne dépend pas de la vitesse préalable du mobile ; au bout de t secondes, cette vitesse devient donc ft'(, c'estrà-dire qu'elle est proportionnelle au temps, ce qui est le caractère du mouvement dont il s'agit.

Réciproquement, quand un mobile soumis % une seule force marche en ligne droite avec un mouvement uniformément variée la force qui V anime agit dam la direction de ce mouvement avec une intensité constante. En effet, la vitesse variant de la même quantité pendant des intervalles de temps égaux , quelque petits qu'ils soient, il est évident que la force produit toujours le même effet pendant le même temps, c'est-à-dire qu'elle agit toujours avec la même intensité.

1 S'il n'en est pas toujours de même d'une pendule que l'on transporte, c'est que l'impulsion D'est pas imprimée également à toutes ses parties; car l'extrémité inférieure du balancier ne reçoit pas directement cette impulsion.

ss. nsoiE DBS F0BCB8 PAi LEUBs EFFETS. - MASSE. —En mécanique, au lieu de mesurer les forces en les comparant aux poids, on les mesure le plus souveot par leurs effets. Ces effets dépendent de la masse des corps sur lesquels les forces agissent.

On définit souvent la masse d un corps la quantité de matière qu'il carUietU. La masse est donc proportionnelle, pour une même substance, au nombre des molécules du corps. Cette définition serait comprise sans difficulté, si les molécules de tous les corps étaient identiques ; mais comme il n'en est pas ainsi, elle a le défaut d'être très vague. Toutefois, ellesuffit pour donner une idée générale du sens du mot. Ce qu'il importe surtout c'est de bien préciser ce ({u'on doit entendre par masses égales. Or, on y arrive facilement en partant de la définition des forces égales (50) et l'on appelle masses égales celles qui^ soumises à des forces constantes égales en reçoivent des accélérations égale$.

En réunissant 2, 3, 4 masses égales, on forme

une masse double, triple, quadruple

56. Propositions. — I. Deux forces con-stantes sont entre elles comme les masses auxquelles elles impriment des accélérations égales. Considérons n masses égales m, m, m.,, (fig, 32), soumises F»6- 32. an forces égales f, f, f.., parallèles entre dies.

Ces masses recevront des accélérations égales, et, par suite, conserveront les mêmes positions relatives. Nous pourrons donc les supposer, par la pensée, liées entre elles de manière à ne former qu'une seule masse égale à nX^; et à cette masse il faut les n forces f, ou la force nx.fy pour qu'elle reçoive la même accélération qu'une seule des masses m recevrait de la force f,

II. Deux forces constantes sont entre elles comme les accélérations qu'elles impriment à deux masses égales. Supposons que les deux forces F et ^ soient commensurables , et soit Q leur commune mesure, de manière que Ton ait F = NQ, f=nQ. Soit encore tu' l'accélération que la force Q imprime à la masse donnée; la force NQ imprimera à cette masse l'accélération V=Nu>, puisque chaque force égale à Q agit comme si elle était seule (54) ; de même, la force nQ imprimera l'accélération v = nw' à la même masse. Or, on a la proportion évidente NQ : «Q = Nmj : ntu, ou F : f = V : v.

Si les forces que l'on compare ne sont pas commensurables , il suffira de supposer Q infiniment petit.

III. Deux forces constantes sont entre elles comme les produits des masses par les accélérations quelles leur impriment. Soient F et F' les deux forces, agissant sur les masses m, m', et leur imprimant les accélérations u/, w\ et considérons une force auxiliaire f capable d'imprimer l'accélération w' à la masse m. En comparant les forces F et /*, qui agissent sur la masse m, puis les forces f et F' qui impriment la même accélération aux masses m et m\ on aura, d'après les propositions 1 et II,

¥:f=w:w\ et f: ¥' = m:m'; d'où F:V'=mw:m'w\

en multipliant les deux premières proportions terme à terme.

Le produit mw se nomme quanliié de mouvement ; deux forces constantes sont donc entre elles comme les quantités de mouvement qui leur correspondent.

Supposons, par exemple, deux boules de masses m et m' dépourvues d'élasticité, lancées Tune vers l'autre et se rencontrant avec des vitesses t; et v'. Ces deux boules s'arrêteront après le choc, si l'on a mv = m'v'; et les forces, supposées constantes, qui les ont lancées, seront égales si elles ont agi pendant le même temps.

Descartes parait être le premier qui ait énoncé le principe de la proportionnalité des forces aux quantités de mouvement ; mais il se trompa dans rinterprétation qu'il en fit en étudiant le choc des corps. Wallis comprit le premier toute la portée de ce principe, et l'appliqua avec succès à la même question, comme nous aurons occasion de le voir plus tard.

SV. IV. Une force constante a pour mesure la quantité de mouvement qui lui correspond^ quand on prend pour unité de force constante celle qui imprime à l'unité de masse une accélération égale à l'unité, c'est-à-dire égale à 1 mètre. En effet, la proposition III donne F iF' =mw i m'w\

Si nous supposons que F' soit l'unité de force, et m' l'unité de masse, il faudra aussi que w' soit égal à l'unité, et l'égalité deviendra F = mw\ ce qui veut dire que F contient autant de fois l'unité de force, définie comme il a été dit, qu'il y a d'unités abstraites dans le produit du nombre m par le nombre w.

Si la force qu'on veut mesurer n'était pas d'intensité constante, on pourrait encore évaluer son intensité à un moment donné, au moyen de la quantité de mouvement ; mais il faudrait prendre alors pour l'accélération celle qui serait produite pendant l'unité de temps, si l'intensité de la force conservait pendant cet intervalle, la valeur qu'elle possède réellement au moment où l'on veut la mesura.

S8. DéflaltioB nalhénatique de la masse. — La formule F= mw donne m = F : u>. On voit donc que la masse peut se définir le rapport entre une force constante quelconque, et Vaccélération quelle produit» Telle est la définition adoptée généralement en mécanique.

On prend aussi pour unité de masse, celle qui reçoit de l'unité de force constante une accélération égale à l'unité de longueur. Il est facile de calculer quel est le volume d'eau à la température de 4** qui présenterait une semblable masse, en prenant le kilogramme pour unité de force, et le mètre pour unité de longueur. En effet, nous verrons plus tard qu'un corps quelconque, en tombant librement sous l'influence de son propre poids , reçoit , pendant une seconde , une accélération de 9",8088. Un volume d'eau de i décimètre cube, pesant 1 kilogramme, se trouve sollicité par l'unité de force; et en appelant m sa masse, on aura 1^ = m X O^jSOSS. Soit m' l'unité de masse, c'est-à-dire la masse qui, sollicitée par une force de 1^ recevrait une accélération égale à 1"*,

on aura 1^ = m' X i" ; et par conséquent m' =mX 9«,8088. Or, m est la masse d'un décimètre cube d'eau ; on voit donc que l'unité de masse m' n'est autre chose que la masse d'un volume d'eau de 9,8088 décimètres cubes.

Nous verrons plus tard comment les masses peuvent se comparer au moyen des poids ; alors on prend pour unité de masse, la masse de l'unité de poids. 50. coKPOsrnoir dbs foicbs. — Dans la mécanique, on cherche, pour simplifier, à remplacer les forces d'un système par un moins grand nombre d'autres capables de produire le même effet; et l'on démontre qu'on peut toujours remplacer ces forces par deux seulement , et souvent par une seule , qui se nomme alors la résultante du système. La recherche de la résultante de plusieurs forces constitue le problème de la composition de ces forces, qm elles-mêmes sont dites les composantes de la résultante. Nous allons faire connaître, à cause de l'usage que nous aurons à en faire, la solution de ce problème dans quelques cas particuliers.

60. Bésnltante des forées eoneoarmnles. — On nomme forces coneottrantes, celles qui sont appliquées au môme point. Quand, en même temps, ces forces sont dirigées suivant la même ligne droite, la résultante est égale à la somme des forces qui agissent dans un sens, moins la somme de celles qui agissent en sens opposé, et elle est dirigée dans le sens de la plus grande somme. Cela résulte de ce que chacune des forces du système agit comme si elle était seule (54).

Parallélofpranme des forées. — Considérons deux forces concourantes appliquées en A (fiy, 33), et dirigées suivant A5 et Ac ; soient A6 et AC les vitesses que ces forces imprimeraient séparément au corps dans un temps très petit 0. La vitesse du mouvement composé résultant de l'action simultanée des forces sera représentée par la diagonale AR (48), et la résultante devant produire le même effet que les composantes réunies, sera capable de donner cette vitesse au coips, pendant le temps 0 ; elle devra donc être dirigée suivant AR. De plus, les forces, agissant sur une même masse, sont entre elles comme les vitesses imprimées après le même temps (56). Si donc AB et AC représentent les intensités des composantes, la longueur AR représentera l'intensité de la résultante. On voit donc que la résultante de deux forces concourantes est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme ayant pour côtés les longueurs qui représentent ces forces.

Pour trouver la résultante par le calcul, il suffira de résoudre, par les méthodes de la trigonométrie, le triangle BAR (fig, 33), dans lequel on connaît les c^tés AB et BR = AC, et l'angle compris 4BR, qui est le complément de l'angle BAC des composantes. On calculera ainsi l'angle BAR qui détermine la direction de la résultante, et le côté AR qui en représente l'intensité.

Fig. 33.

Dans le cas où l'angle des composantes est droit ( fig. 34), le triangle BAR est rectangle, et Ton a, pour déterminer Tintensité et la direction de la résultante, les deux équations ÂR^ = ÂB» + ÂC^, et cos BÂR = AB : ÂR.

•f • Corollaire. — Les distances, om, on (fig. 33), d*un point quelconque de la résultante aux composantes , sont en raison inverse des intensités de ces composantes. En effet , le triangle ABR donne AB : ÂC = sin |3 : sin a. On a aussi ôfT: ôm = sin |3 : sin a ; d'où Ton déduit , en combinant les deux proporUons, ÂB : ÎC==ôrr: ôm.

^iftm DéeomposltloB d*aiie forée en deux antres apiillqaées aa même W^nu — On peut se proposer le problème inverse : étant données une force AR et deux directions Ab, Âc (fig. 33) situées dans un même plan avec AR, trouver les intensités que devraient avoir deux forces agissant dans ces directions pour produire le même effet que la force AR. Pour résoudre cette question, il n'y aura qu'à mener par le point R des parallèles aux directions données Ab, Ac, et les longueurs AB, AC interceptées sur ces droites représenteront évidemment les intensités des composantes.

Le même problème peut se résoudre par le calcul ; car, dans le triangle BAR on connaît le côté AR, y^„ 34

l'angle BAR et l'angle ARB égal à RAC. On pourra

donc calculer le côté AB, et le côté BR qui est égal à AC. Dans le cas où l'angle BAC est droit (fig. 34), on a

ÂB = ARcosfiÂB, et ÂC = ÂR cos RÂC = ÂR sin BÂR.

Chacune des composantes cherchées est donc égale à la résultante multipliée par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec elle.

La décomposition d'une force en deux autres appliquées au même point est d'un usage continuel pour reconnaître l'action d'une force quand elle n'agit pas dans la direction du mouvement que prend son point d'application.

Par exemple, considérons un bateau halé obliquement au moyen d'un câble Af(fig. 35), sur lequel on agit du rivage, et ne pouvant s'avancer que dans la direction Aa, à cause de l'action du gouvernail, ou des efforts que l'on exerce de l'intérieur pour l'empêcher de s'approcher de la rive. Décomposons la force qui représente la traction exercée suivant kf, en deux forces, Tune Aa dans la direction du mouvement, l'autre A6 perpendiculaire à cette direction. Cette

dernière est détruite à chaque instant par les efforts dont nous venons de parier, tandis que la composante Aa = fcos.a produit le mouvement. On voit que cette composante est d*autant plus grande que Tangie a est plus petit; ou que Teffet produit est d'autant plus grand, que la direction du éiAe fait un angle plus petit avec Âa, et, par suite, ici, qu'il est plus long. C'est là sans doute l'origine de cette opinion erronée : qu'on a plus de force en tirant un fardeau avec une longue corde qu'avec une courte.

En général, quand on voudra connaître l'effet d'une force qui n'agit pas dans la direction du mouvement, il faudra la remplacer par deux autres, l'une dans cette direction, et l'autre perpendiculaire à la première et qui sera détruite. La première composante représentera une force qui seule produirait le même effet que la force donnée.

On voit aussi qu'une force ne peut produire d'effet perpendiculairement à sa direction ; en effet, on ne peut la remplacer par deux composantes perpendiculaires entre elles et dont une lui soit perpendiculaire.

•3. Conp«sitioii d*aii Bonbre quelconque de fforres eoseonnuiteft. — Pour trouver la résultante d'un nombre quelconque de forces concourantes situées ou non dans le même plan, on remplace d'abord deux de ces forces par

leur résultante ; puis on compose cette résultante partielle avec une troisième force, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'une qui sera la résultante finale du système.

•4. ParmUéUpipède des forces.

— Dans le cas de trois forces à composer AP, AO, AS (fig. 36), après avoir remplacé les deux forces AP, AQ par leur résultante Ar, on compose celle-ci avec AS, ce qui donne h résultante AR des trois forces données. On voit que cette résultante n'est autre chose que la diagonale du parallélipipède, ayant pour arêtes les longueurs qui représentent les trois forces données. Cette construction se nomme le paraUétipipède des forces. Quand l'angle trièdre A est droit, on a

Fig. 36.

Ar2=AP2+AQ^,

et

pour déterminer l'intensité de la résultante. Si l'on veut trouver sa direction par le calcul, on considère les triangles ARP, ARS, ARQ, qui sont rectangles en P, en S et en Q, et dont on tire

COSa =

AP