CRISTAUX A UN AXE

pour demi-axes lA = 1 : no et lE = 1 : tte. Si nous faisons tourner cette ellipse autour de ÂA^ nous engendrerons un ellipsoïde de révolution. Menons par le point t, toujours obtenu de la même manière, et dans la face d'incidence MN, une droite td, perpendiculaire au plan d'incidence, et enfin par cette droite, un plan tangent à Tellipsoîde. Le point de contact e fera connaître le rayon extraordinaire le. Le rayon ordinaire serait donné par le plan tangent à une sphère de rayon lA, plan dont le point de contact o sera toujours dans le plan d*incidence.

Il est facile de passer de cette construction générale aux cas particuliers. Par exemple, si le plan dMncidence contient l'axe, Fintersection de l'ellipsoïde par ce plan n'est autre chose que l'ellipse génératrice, et le point de contact est nécessairement sur cette ellipse, puisque U est perpendiculaire à son plan. — Si l'axe est parallèle à la face du cristal, et perpendiculaire au plan d'incidence, ce dernier couperellipsoïde suivant son équateur, et Ton retrouve la circonférence de rayon 1 : ne , qui sert à déterminer le rayon extraordinaire dans le premier cas!

Telle est la construction remarquable d'Huygens. Quand on veut en faire l'application, on détermine l'angle du plan de réfraction du rayon extraordinaire avec le plan d'incidence, et l'angle de ce rayon avec la normale, soit par les méthodes de la géométrie descriptive, soit par celles de la géométrie analytique à trois dimensions.

SS90. Yérifleations expérimentoies. — Huygens a fait beaucoup d'expériences pour établir l'exactitude de la construction qui précède. Plus tard, WoUaston et Malus l'ont soumise aux vérifications les plus attentives. Pour cela, il leur a fallu déterminer par l'expérience la position des rayons réfractés dans le cristal. Voici le moyen ingénieux qu'employait Malus :

Méthode de Maloa pour troaver la poalCioA des rayons réttmeiéu, — On trace sur une lame d'ivoire bien horizontale, un triangle rectangle très allongé ABC {fig. 4697) , dont les côtés portent une division très fine, et Ton pose sur ce triangle un cristal épais à faces parallèles, à travers lequel on le regarde. On aperçoit alors deux images oie, a'b'c'. L'hypothénuse de l'image ordinaire abc parait couper en n le côté a'e' de l'image extraordinaire, et les distances an et a'n sont connues par la division tracée sur les côtés. Si nous prenons Ke = an et Ao= a'n, nous aurons sur le triangle réel, les deux points o et e dont les images se confondent en n ; l'une, celle de o, formée par le rayon ordinaire qui part de ce point ; l'autre, celle de e, par le rayon extraordinaire qui en part. Ces deux rayons se confondent en un même rayon émergent U. On conclut de là que, si un rayon incident tombait sur le cristal suivant /I, il donnerait les rayons réfractés lo et le. Pour connaître la position de chacun de

DOUBLE REFRACTION.

Fig. 1697.

ces rayons, il suffit de connaîlre celle da point p, projection du point d'incidence I, et Tépaisseur \p du cristal. Pour obtenir le point />, on tend en I sBf la surface supérieure du cristal, deux fils très fins croisés à angle droit, et Ton vise le point de croisement, avec une lunette à réticule I, mobile sur un limbe vertical ; le point n parait alors coïncider avec le point de croisement I des fils. On vise ensuite un point m d une division rectangulaire mm' tracée sur la

table sur laquelle sont posés la lame d'ivoire et le cristal. Si Ton joignait ce point m au point o, on aurait la trace du plan d'incidence, puisque le rayon ordinaire la se trouve toujours dans le plan d'incidence. On transporte ensuite le cercle répétiteur dans une antre position, et visant toujours au point I, on observe deux images du triangle , et un nouveau point de rencontre tel que n correspondant à deux nouveaux points analogues à 0 et e. On vise ensuite jao point m' de la table. On enlève le cristal, et l'on joint m' au nouveau point analogue à o, puis le point m au point o, et l'on a ainsi les deux traces des deux plans d'incidence , traces qui se coupent précisément au point/).

Si maintenant on joint pe, l'angle epo mesure l'angle du plan de réfraction extraordinaire avec le plan d'incidence ; et les angles olp, eïp des rajout <Io et le avec la normale, sont donnés par les relations tang elp = ^ : E, tang ôlp = op : E, en désignant par E l'épaisseur Ip du cristal.

Quant à la direction du rayon incident, elle est donnée par celle du plan d'incidence dont la trace est mp, et par l'angle d'incidence i, égal à celui que fait la lunette avec la verticale. Il reste à comparer cettedirectienà ceikde l'axe du cristal ; axe dont la position est connue, d'après la manière do&t la lame a été taillée, par l'angle qu'il fait avec les faces parallèles et avec un côté d'une de ces faces.

Au lieu de déplacer le cercle répétiteur, dont l'installation demande beau* coup de soin, on place le cristal sur une petite plate-forme pouvant tourner sur elle-même, et l'on fait ej» sorte que le croisement des fils tendus en I soit sur l'axe de rotation. Il en est ainsi, quand ce croisement ne se déplace pa& dans le champ de la lunette pendant que le cristal tourne.

232t. iBlerprèlaUoA théorique, dé la e^MKrv^ti^B d'HpiychaM. — Nous avons vu que, dans la construction d'Huj^i». applJMiuée à la réfraction simple, la circonférence décrite avec un rayon. égal A 1 : n, n'est antre chose qu'un grand cercle d'une sphère qiri représ^te la surface de Tonde

CRISTAUX A UN AIK. 479

réfractée (2230). II en est de même de la circonférence de rayon i : ne, qui sert i construire le rayon extraordinaire dans le cas du plan d'incidence per« pendiculaire à l'axe. L'analogie porte à admettre que la surface de l'ellipsoïde de révolution qui sert à trouver ce rayon dans les autres cas, représente aussi la surface de Vonde extraordinaire, surface qui n'est plus sphérique, à cause du défaut de symétrie dans la distribution de Féther autour du rayon réfracté, et est allongée ou aplatie dans le sens de Taxe de dévolution, suivant que le cristal est négatif ou positif. C'est, en effi^, ce que Huyghens a cherché à démontrer, et ce qui résulte de la belle théorie de la double réfraction développée par Fresnel (2405). Hais ce n'est qu'après avoir établi le sens des vibrations de l'éther par rapport à la direction du rayon, ce q«e nous ferons dans le chapitre suivant, que nous pourrons montrer comment cette théorie permet de déterminer la surface de l'onde. — La forme de cette surface conduit à l'énoncé très simple qui suit, des lois qui régissent le rayon extraordinaire :

inteMe da rayoA extraordlaalre. — Si nous supposons un ellipsoïde de révolution autour de l'axe du cristal, et ayant pour demi-axe polaire i l no, et pour rayon équatorial i : n« , la vitesse de la lumière dans le rayon extraordinaire sera proportionnelle au demi-diamètre de l'ellipsoïde parallèle à sa direction. La longueur de ce demi-diamètre se déterminera par les méthodes analytiques, ou par celle de la géométrie descriptive, après qu'on aura trouvé la direction du rayon extraordinaire. Remarquons que ce rayon, qui marche en ligne droite, comme le rayon ordinaire, n'est plus, en général, normal à la surface de l'onde.

Il résulte de ce qui précède, que, dans les cristaux négatifs^ la vitesse du rayon extraordinaire est maximum dans le plan perpendiculaire à l'axe; puisque, dans ce cas, on a 4 : no< 1 : n^; et qu'elle est minimum pour les cristaux positifs, l'ellipsoïde étant alors aplati. La différence de vitesse des deux rayons atteint donc alors son maximum. On voit aussi que, dans le cas où les deux rayons coïncident en marchant parallèlement à l'axe, leur vitesse est la même; tandis que, dans le cas du rayon incident normal à l'axe et à la face d'incidence, les deux rayons réfractés quoique parcourant la même route, sont encore distincts. En effet, la vitesse de la lumière, dans l'un, est représentée par In {fig, 4694), et dans l'autre, par lE, valeurs qui représentent aussi le maximum et le minimum de vitesse de ces rayons.

Ces derniers résultats se déduisent également de la formule de Fresnel, v^=zu^+^(u'^—u^)sin^a; qui donne la vitesse du rayon extraordinaire en fonction de l'angle, a, qu'il fait avec Taxe, et dans laquelle u et u représentent les quantités i : n© et i : We. Cette formule exprime que la différence des carrés des vitesses ordi-naires et extraordinaires est en raison inverse du carré du sinus de Vangle que fait le rayon extraordinaire avec Vaxe. Car u est la vitesse constante du rayon ordinaire,et u' la valeur, maximum ou minimum, de celle du rayon extraordinaire. Si tt'sstt, on a t;=u. C'est ce qui a lieu pour un corps homogène.

480 DOUBLE RBFBAGTION.

Si le rayon est dirigé suivant Taxe, on a a = 0, et v^=u^. La vitesse est donc égale à celle du rayon ordinaire. Si a=^Wy il vient t^=ii'^.

On voit aussi que, dans Us crulaux négatifs^ pour lesquels on a Oo > ne, et par conséquent u<u\ le coefficient de sin'a étant négatif, v est plus petit que u; c'est donc quand a=0, c*est-à-dire quand le rayon est parallèle à Taxe optique, que sa vitesse est minimum. C*est l'inverse pour les crisUux positifs, comme la construction d'Huyghens nous l'a déjà appris.

282S. fanngBMCB BM lATIJWI DBBlHAnB BT mHAWlIUf AIOT. — NoUS n'avODS

considéré jusqu'à présent que les rayons qui pénétrentdans le milieu cristaliisé. Voyons maintenant quelle niarche suivent ces rayons quand ils sortent de œ milieu pour passer dans un milieu homogène.

Kayom •rdiiuJre. — Le rayon ordinaire se comporte comme s'il sortait d'un milieu homogène ; on peut donc lui appliquer tout ce qui a été dit dans le cas de la réfraction simple (4942).

EmergeMee du rayon extraordlMOre. — Ce rayon SB CODSUtut an moyen de Tellipsoîde d'Huyghens, en faisant les constructions dans un autre ordre. Supposons que el {fig. i6%) soit un rayon extraordinaire qui se présente à la face d'émergence MN. Après avoir construit l'ellipsoide de révolution autour de la parallèle AA' à l'axe du cristal, on mènera par le pointe où le rayon perce sa surface, un plan tangent qui coupera la face d'émergence MN suivant la droite a(. Menant par le point I un plan perpendiculaire à at, on aura le pian d'émergence. Si maintenant on connaissait le point 6, il serait facile d'obtenir le rayon émergent h. Or, l'angle en b étant droit, et la looguenr tb égale à l'unité, on décrira sur il comme diamètre une demi-circonférence, on prendra la corde tb égale à l'unité, puis menant par I une parallèle à f4, oo aura le rayon émergent h. Le plan tangent mené par at à la sphère de rayoo AI, donnerait le rayon ordinaire ol, que nous appellerons le rayon correspoih dant au rayon extraordinaire el.

On voit que ces deux rayons correspondants sont caractérisés par la condition de ne donner qu'un seul rayon émergent. Il est cependant un cas oA ils en donnent deux ; c'est celui où ils sont réunis en un seul marchant suivaDt la perpendiculaire à l'axe du cristal, quand la face d'émergence est oblique à leur direction commune. Soit, en effet El (fig. i695) le rayon qui se présente au point I de la surface d'émergence at. Pour appliquer la construction précédente, il faudra, par les points E et n, mener des tangentes à l'ellipse et à la circonférence. Ces deux tangentes étant parallèles, donneront deux points, t, différents, et la construction du point h conduira à deux rayons émergents. Ce résultat n'a rien qui doive surprendre, les deux rayons qui marchent suivant £1 rencontrant la surface d'émergence sous le même angle, et possédant des vitesses différentes qui sont entre elles comme lE : In.

Aiiffie limite. — Si langle que fait le rayon si avec la normale est droit, la distance It (fig. 4696), sera égale à l'unité, et le plan tangent mené par ^ à l'ellipsoïde donnera la direction du dernier rayon qui, arrivant de l'intérieur