I. Set airtin plaM

F«yer vIrCvel étm rayons réfléehis Mir «ae ■«rfiftce phuie. —

Considérons une surface plane réfléchissante ap {fig. 1410), et un point lumineux s. Pour obtenir le rayon réfléchi produit par un rayon incident n, on construira le point $' symétrique du point s, et l'on mènera la droite $' i, dont le prolongement ir sera le rayon réfléchi cherché (1895). Comme, pour tout autre rayon incident émanant du point «,-il faudrait faire la même construction ;

Fig. 4 44 0.

on voit que les prolongements de tous les rayons réfléchis par la surface plane, se rencontrent derrière le miroir, au point $* symétrique du point s. Le point de rencontre se nomme un foyer. Comme ce ne sont pas, ici, les rayons réfléchis eux-mêmes, mais seulement leurs prolongements qui s*y rencontrent, on le nomme foyer virtuel ou imaginaxre.

On voit que le faisceau conserve, après la réflexion, le même degré de divergence qu^auparavant. On reconnattrait, de môme, qu'un faisceau convergent, allant de r en i, conserve le même degré de convergence après la réflexion , et que le point de convergence s des rayons réfléchis , qui est alors un foyer réel, est symétrique du point de rencontre s* des rayons incidents prolongés derrière le miroir.--^ Si les rayons incidents sont parallèles , il en sera de même des rayons réfléchis.

i0Oi. Imaffes Yoes Ammn les miroirs plans. — On nomme , en générai , miroir , une surface polie destinée à produire par réflexion les images des objets. Dans le miroir plan, les images sont vues derrière sa surface , et dans une position symétrique. En effet, soit ac (fig. 1411 ) un objet placé devant le miroir plan mm. D'après le principe précédent (1900), les rayons partant du point a, formeront après la réflexion, un cône dont le sommet est en a\ point symétrique de a. De sorte que Toeil placé en 0, rapportant la position du point d*oû émanent les rayons qui entrent dans la pupille , au sommet a' du cône qu'ils forment quand on les prolonge, ce point imaginaire a' sera vu comme s'il existait réellement (1870). On ferait la même construction pour tous les points de l'objet ac ; son image aa' est donc placée symétriquement derrière le miroir.

On peutconstrnire facilement le rayon incident qui, partant d'un point de l'objet , fournit les rayons réfléchis qui entrent dans l'œil. Considérons par exemple le point a, il suffira de joindre le point a' aux bords de l'ouverture de la pupille, et de joindre au point a, l'intersection oo' du cône ainsi formé avec la surface du miroir ; aoo' sera le pinceau incident cherché. Ce pinceau ne sera plus le même si l'œil change de place, mais le lieu de l'image aV est indépendant de la position de l'œil. On comprend aussi que Ton pourra voir l'image du point a, même quand il sera en dehors de la limite m du miroir, à la condition que l'œil sera suffisamment éloigné, du côté opposé.

Gh«ai|» ém Bilrsir. — Si, du point a', OU mène une ligne droite qui touche le bord du miroir, et qu'on la fasse tourner en suivant le contour mm, elle engendrera un cône dans l'intérieur duquel Tœil devra être placé pour apercevoir l'image a' du point a. L'espace limité par la surface de ce cône, se nomme le champ du miroir, pour le point a. On voit que le champ est d'autant moins

48 CATOPTRIQL'E.

étendu que le miroir est plus petit , et que le point a est plus éloigné de sa surface et de la perpendiculaire en son milieu.

i90S. ■iroirs d« gîmee éCaniée. — L*usage des miroirs remonte à Tanliquité la plus reculée. D'après TExode, les femmes dMsraël se servaient de miroirs d*airain. Les anciens en faisaient en bronze, en étain, en fer bruni, en or, en argent. Ces derniers, d'après Pline, étaient d'un usage vulgaire chez les Romains. On en faisait aussi avec diverses pierres précieuses, comme Témeraude ; avec les jaspes, Tobsidienne. Les anciens Péruviens fabriquaient des miroirs avec cette dernière substance et d'autres pierres dures, et Ton en trouve encore de temps à autre dont le poii s'est bien conservé. Aujourd'hui, oh emploie sous le nom de miroirs à glace, ou simplement de glaces^ des miroirs plans formés d'une lame de verre, derrière laquelle est appliquée une mince couche d'amalgame d'étain, dont le pouvoir réfléchissant est considérable. Cette invention est attribuée aux habitants de Sidon, avant le Vh siècle. D'abord, on ne put faire que de petits miroirs, à cause de la difficulté d'obtenir de grandes feuilles de vcito planes. Les Vénitiens arrivèrent bientôt à des dimensions remarquables, par le procédé du soufflage ; mais les glaces n'étant pas parfaitement planes, les images étaient déformées. Enfin, en 1688, A. Thévart imagina les glaces coulées, qu'on obtient en versant sur une table en fer, une couche de verre fondu que l'on polit ensuite sur les deux faces, fl y a quelques années, M. Drayton a imaginé de remplacer l'amalgame, par une couche d'argent déposée par procédé chimique.

Les miroirs de glace étamée ou argentée sont bien préférables aux miroirs métalliques sous le rapport de la quantité de lumière réfléchie et de la conservation du pouvoir réfléchissant. Mais ils présentent un grave inconvénient quand on les emploie aux expériences d'optique, parce que, la lumière se réfléchissant non seulement à la surface postérieure du verre, sur la couche d'amalgame, mais encore sur la surface antérieure, chaque rayon incident donne plusievirs rayons réfléchis, de manière que chaque point lumineux fournit plusieurs images. Comme la réfraction joue un rôle dans ce phénomène, nous y reviendrons dans le chapitre suivant.

i903. AFFUGATiaHs DifiiSBS 088 moiis FLiiTS. — On a fait une foule d'applications des miroirs plans, soit pour renvoyer la lumière dans une direction donnée, soit pour produire des images permettant de voir les objets dans une direction différente de celle où ils se trouvent. Depuis quelques années, on emploie >ous le nom de ré/lecteurs Troupeau de grands miroirs étamés, pour renvoyer horizontalement dans les galeries souterraines, dans les caves..., la lumière qui arrive verticalement par des soupiraux. Dans les pays du Nord, on dispose en dehors des fenêtres, des miroirs inclinés nommés efpions, dans lesquels on voit l'image des objets extérieurs placés au loin , à droite et à gauche de la fenêtre, sans avoir besoin de l'ouvrir,

■esare des hautears. — Un petit miroir plan e [fig, 1412) est placé horizontalement sur le sol. On s'éloigne peu à peu, de manière à voir

en c', rimage du point culminant de Tobjet ac dont on veut connaître la hauteur. Une régie verticale, no, donne la hauteur de Tœil au-dessus du soi ; on mesure les distances ne et ae, et les triangles semblables one, cae donnent ea : no=iae l ne ; d'où ca^^noxae l ne.

Miroir mafi^iqne. — Au moyen de plusieurs miroirs, on peut produire divers effets curieux. Le miroir magique consiste en deux miroirs plans inclinés n et m (fig. 1413) combinés de manière à faire voir par double réflexion, à l'observateur placé en o, un objet ab situé derrière un mur ce. Considérons en particulier le point a ; son image dans le miroir m, sera a\ point symélrique de a par rapport au plan pm de ce miroir. Les rayons réfléchis se trouvant dans le même cas que s'ils partaient de a', donneront, en se réfléchissant sur le miroir n, une nouvelle image a" symétrique de a par rapport au plan nq du miroir n. Un observateur placé en o verra donc en a^h" une image de ab, — Les astrologues employaient cet artifice pour montrer aux spectateurs placés en 0 différentes scènes disposées d'avance dans une chambre ignorée, placée derrière le mur ce'. Des dra- ^,^

peries rf, cachaient le miroir . : v

supérieur m . .,'■'■'''''''''''./

Pour construire le pinceau qui, parti du point a, entre dans l'œil placé en o, on joint l'image a' aux bords de la pupille, puis le point a' àl'in.

tersection du pinceau a''o avec le miroir n, puis enfin le poin t Qy à l'intersection du cônea'n avec le miroir m; ce qui donne le pinceau amno,

Poiémoscope. — Le Polémoscope d'Hévélius, destiné à observer en guerre, tout en resUnt caché derrière un parapet, est une combinaison de miroirs semblable, ab serait l'objet à observer et ce', l'abri. On peut placer en avant de chacun des miroirs, les verres lenticulaires qui terminent les lunettes grossissantes, de manière à mieux distinguer au loin.

SpeeCres impalpables. — Cette curieuse expérience, qui ^*8- ^4^4.

a dernièrement fortement excité la curiosité publique, se fait au moyen d'une

50 CATOPTRIQUE.

glace «ans tain m (fig. 4414), uïi peu inclinée, et montrant en a Timagc réfléchie et symétrique d'un objet a yWement éclairé et caché aux jeux du spectateur 0. Ce dernier voit à travers la glace sans lain des personnages pouvant passer à travers Timage a\ qui n*a rien de matériel, et qu'on peut faire disparaître instantanément en tirant un rideau noir devant Tobjet a.

Lunette ma^iqae. — Au mojen de quatre miroirs o, e, c, a {fig. 4445), inclinés à 45*» sur Taxe d'une lunette mm\ on peut voir au loin, malgré l'interposition d'un corps opaque n ; les rayons suivant la roule m'oecatn, en se réfléchissant sur ces quatre miroirs. La distance des verres de la lunelte , placés en m' et m, est représentée par la longueur absolue maceom'.

1904. MoBYements eoMparés eu miroir et do rayon réfléchi. — Quand un miroir ab (fig, I4i6) tourne de l'angle a autour d'un axe perpendiculaire au plan d'incidence, le rayon réfléchi tourne de 2 a. Soit , en effet , so le rayon incident, or le rayon réfléchi, et on la normale; quand le miroir tournant de a viendra en ab\ la normale tournant de la même quantité, l'angle d'incidence diminuera de a, et il devra en être de même de l'angle de réflexion. Le rayon réfléchi se rapprochera donc de la normale, de la quantité a, et par conséquent, se rapprochera du rayon incident, de 2a.

4906. DéTiatioB d'na rayoa réfléehi sur deux miroirs iaellaés. — Quand un rayon «i»' (fig. 4416 bis) se réfléchit sur deux miroirs m, w' faisant entre eux un angle m';?m = p, et quand le plan d'incidence est perpendiculaire à la ligne d'intersection des miroirs, l'angle scm = c du rayon incident et du second rayon réfléchi mr, , Fig. uic est égal au double de "^ l'angle des miroirs. En ''*«• ^*^® **»*■ eiïet, en appelant i les angles d'incidence et de réflexion sur le miroir m, et t' les mêmes angles sur le miroir m', on a dans le triangle mcm\ l'angle extérieur sm'm = 2i' =c -4- 2i; d'où c = 2(i' — i); ou e=2p, car on a î' = t+n = i-|-j5, d'où p = i' — i.

i906. Sextaat. — Cet instrument, destiné à mesurer la distance angulaire de deux points éloignés, est une application du principe précédent. Il consiste en un secteur AB (fg, 4447), dont l'arc, divisé en demi-degréSy

forme à peu près le sixième de la circonférence ; d'où le nom de sextant. Une alidade mobile au centre du secteur , porte un vernier v et peut être déplacée lentement au moyen d'une vis de rappel uu\ qui prend son écrou dans une pince p que Ton fixe à Tare avec une vis de pression ; / est une loupe que Ton amène au-dessus^ du Vernier. Un miroir m, dont le plan prolongé passe par le zéro du vernier, est fixé perpendiculairement à Talidade et tourne avec elle autour du centre du secteur. Un second miroir n, parallèle au rayon oB qui passe par le zéro de Tare gradué, est fixé perpendiculairement au plan de hnstrument et sur le côté opposé à ce rayon. Ce miroir, représenté à part en MN, n'est étamé que sur la moitié N la plus rapprochée du secteur. L est une petite lunette à micromètre, dirigée vers le miroir n, et fixée du côté opposé. Cette lunette est mobile dans un plan perpendiculaire au secteur.

On la remplace assez souvent par un simple tube qui détermine la direction suivant laquelle on doit regarder.

Enfin, une poignée P, fixée parallèlement derrière le secteur, sert à le tenir à la main pour le placer de manière que son plan passe par les deux points dont on veut mesurer la distance angulaire.

Supposons que ces deux points soient deux étoiles situées dans les directions «, s'; on verra d'abord, avec Fig. 4447.

la lunette L et à travers la partie non

étamée du miroir n, Tune des étoiles, s, puis on fera tourner l'alidade ov jusqu'à ce que le rayon s'oo'e, réfléchi successivement par les deux miroirs et venant de la seconde étoile s\ arrive dans la lunette L et.se confonde avec le rayon direct venant de l'étoile s ; ce qui a lieu quand les deux points lumineux paraissent coïncider. Alors l'angle cherché ses' n'étant autre chose que l'angle du rayon incident s'o avec le rayon réfléchi o'c, est le double de l'angle des deux miroirs. Or, cet angle est mesuré par l'arc Bv ; la distance angulaire cherchée est donc représentée par un nombre de degrés égal au nombre de demi-degrés compris dans cet arc.

Quand la lumière de l'un des points est trop vive, comme lorsqu'il s'agit du soleil, on en diminue l'éclat au moyen de disques de verre coloré d, d\ montés dans des anneaux à charnière, et que l'on peut amener dans le trajet du rayon réfléchi oo\ ou du rayon direct «n.

Le principe du sextant est dû à Hooke, en 1664, mais il n'employait qu'une seule réflexion. Newton proposa ensuite un instrument analogue perfectionné , et enfin, en 1731, Hadley, qui ignorait les essais faits antérieurement, publia sous le nom A' octant, parce que le secteur ne comprenait que 45"^, Tinstru-

52 CATOPTRIQUK.

ment que nous venons de décrire. Le principe de cet instrument paraît, au reste, avoir aussi été trouvé vers la même époque par plusieurs autres ; mais, comme Hadley est le premier qui en ait fait construire, et qui ait montré la grande utilité qu*il présente pour la navigation, il passe à bon droit pour Tinventeur. L* usage de cet instrument a constitué, en effet, un progrés immense dans l'art nautique, en permettant de mesurer en mer les distances angulaires, malgré les mouvements du navire, parce qu'il ne s'agit que d'établir une coïncidence entre deux points.

iSOV. Images niBltiples fermées par deax mlrelrsplaas parallèles. — Soient deux miroirs plans parallèles mn et pe (fig, 1418) et o un point lumineux placé entre ces deux miroirs. Le point o fera une première image o' dans le miroir mn, à une distance no' égale à no. Les rayons réfléchis sur mn rencontreront pc, et comme ils sont dans le môme cas que s'ils partaient du

foyer virtuel o', ils formeront en o", à une distance co'' = co' , une image de o'. De même, les rayons réfléchis sur pe rencontrant le miroir mn de la même manière que s'ils partaient du foyer virtuel o" , donneront une troisième image o'", à une distance no'" égale à no" , et ainsi de suite. Il y aura donc un nombre infini d'images; mais cx)mme à chaque réflexion il y aura une perte de lu- •~ • n mière , ces images seront de plus en plus faibles et finiront par n'être plus distinctes. Fig. 4448. Si l'on veut construire le pinceau qui, entrant

dans l'œil, fait voir l'image o'^ , on joindra ce point aux bords de la pupille ; puis , au point o"', l'intersection p avec le miroir pc, du pinceau conique ainsi obtenu; l'intersection q au point o'; l'intersection r au point o' ; et enfin. l'intersection t au point lumineux o. On obtiendra ainsi le pinceau brisé otrqp, qui, entrant dans l'œil, fait voir l'image o^\

Indépendamment de la série d'images o\ o", o'"..., il se produit une autre série a', a", a'"... d'images intercalées entre les premières, et qui sont formées par les rayons qui, partant de o. se réfléchissent d'abord sur le miroir pc, au lieu de commencer par le miroir mn. Il est facile de voir que, si le point 0 est* à égale distance des deux miroirs, les images consécutives appartenant indifféremment aux deux séries, seront équidistantes et à des distances égales à celles des miroirs. — On a souvent occasion d'observer la multiplicité d'images dont nous venons de parler; par exemple, quand, dans un salon, deux glaces sont parallèles et opposées. Si Ton veut distinguer les unes des autres les images appartenant aux deux séries, on n'a qu'à employer un corps présentant à chacun des miroirs une face de couleur différente.

Au lieu de deux miroirs plans, considérons un tube poli en dedans, et fermé par un disque opaque percé à son centre o (fig, 1418) ; deux arêtes opposées

dutobe, se comportant comme deui miroirs linéaires parallèles, donneront les deux séries damages, et comme il en est de même pour deux arêtes quelconques opposées, on verra dans le lube, des circonférences concentriques d'autant plus brillantes que leur diamètre sera plus petit. Si le trou n*est pas sur Taxe du tube, les circonférences seront remplacées par des courbes d'autant plus allongées que le trou sera plus éloigné du centre.

#•08. Imai^s naltlples produites par deux miroirs qai se esapent. — Quand les deux miroirs forment un angle, il se produit encore deux séries d*images, et il est facile de voir qu'elles sont toutes situées sur une circonférence passant par le point lumineux et ayant son centre à Tintersection des miroirs. En effet, soient AO et BO (fig. 1419) les deux miroirs, et s le point lumineux. L'image de ce point dans le miroir AO sera le point symétrique s' , et 8s' sera la corde d'une circonférence ayant son centre en 0. Le point s' pouvant être considéré comme le point de départ des rayons réfléchis par AO, donnera l'image r' sur le second miroir, et «V sera aussi une corde de la circonférence. De même, le point r\ considéré comme centre de rayonnement , donnera l'image s" dans le miroir AO; et s" donnera l'image r" dans OB, images situées sur la môme circonférence.

Il est facile de voir que les images successives «', «", »'"... se rapprochent de plus en plus de la ligne AOa. De mémo, les images r\ r' .., se rapprochent de plus en plus de la ligne BOh. On arrivera donc à une image tellement rapprochée de ces lignes, que le point symétrique que l'on construira pour avoir l'image suivante tombera dans l'angle aOb. C'est ce qui a lieu pour l'image r" qui donne le point symétrique s"\ Alors, les rayons réfléchis qui forment le point s'" par leur rencontre, ne pourront plus donner de nouveaux rayons réfléchis, parce que ce point s'" se trouve derrière chacun des miroirs. Il est évident, en effet, qu'un foyer virtuel ne peut donner de rayons réfléchis sur un miroir, qu'autant qu'il se trouve du côté de la face réfléchissante, puisque les rayons marchent comme s'ils émanaient de ce foyer. L'image s'" sera donc la dernière. Le nombre d'images ne peut donc pas être infini ; dans le cas de la figure, il n'y en a que cinq.

Pour construire le pinceau qui, entrant dans l'œil o, fait voir une des images, par exemple r", on joindra r" aux bords de la pupille , puis l'intersection a du pinceau r^o avec OB, au point s"; l'intersection p du cône ocs', au point r'; l'intersection 7, au points'; et enfin, l'intersection ^, au point s. On obtiendra ainsi le pinceau brisé sSy^ao qui fait voir l'image r'.

Fig. U49.

54 CATOPTRIQUE.

On pourrait faire une semblable construction pour le point «'", en supposant Tœil très près de AO. Mais elle est impossible pour r"\ point symétrique de s"^ car, en menant une ligne droite, de r'" à l'œil placé en un point quelconque dans Tangte AOB, on reconnaît qu'un rayon venant de r'" en o ne frapperait pas la face réfléchissante du miroir OB, sur lequel les rayons émanant de s'" devraient se réfléchir pour former une nouvelle image, s" sera donc bien la dernière de la série formée par les rayons qui tombent d'ahord sur le miroir AO, comme nous l'avons reconnu plus haut.

Il existe une autre série d'images, produites par les rayons qui tombent d'abord sur le miroir BO, et ces images sont toutes situées sur la demi-circonférence Bab, pour le miroir BO, et kba, pour le miroir AO.

4909. Nombre des imaffes. — Ce nombre augmente à mesure que l'angle des miroirs est plus petit, et il devient infini quand l'angle est nul, c'est-à-dire quand les miroirs sont parallèles, comme nous l'avons déjà vu plus

haut (1907). Voici à peu près comment M. A. Bertin trouve le nombre des images '. Considérons d'abord les images des miroirs euxmêmes; pour les obtenir, il suffira de trouver celles des extrémités A et B (fig. 4420). Les images A', B', A"', faites dans le miroir 60, seront situées sur lademi-circonférence Bob; et les images B', A" , B'" , faites dans le miroir AO, sur la demi-circonférence A6a. Les images des miroirs partagent le cercle en secteurs égaux , dont les deux derniers B"OA"', A"OB'" se superposent en partie Fig U20. ou laissent entre eux un certain espace, toutes

les fois que l'arc BA n'est pas une partie aliquote de la circonférence , et se suivent sans se superposer, dans le cas contraire. Un point «, placé entre les deux miroirs , formera deux séries d'images. Celles qui sont produites parla réflexion sur AO seront toutes situées sur la demi-circonférence Abu, et celles qui sont produites par la réflexion sur BO, dans la demi-circonférence Bab. Chaque secteur contiendra une de ces images. L'une des deux séries correspond au cas où la première réflexion se fait sur le miroir AO, et l'autre, au cas où elle se fait d'abord sur le miroir BO. Cela posé, considérons les divers cas qui peuvent se présenter. En général, l'arc BA, que nous appellerons 2a, est compris un certain nombre de fois, n, dans la circonférence, avec un reste 2p; de sorte que l'on a Tr = iia-|-^. A peut être pair ou impair, et le reste p peut être nul ou ne l'être pas.

!• n PAIR. — Pour fixer les idées, supposons n = 6 (fig, 4420). Les images des miroirs et les miroirs eux-mêmes AO, BO forment alors sept

1 Aiifialef de chimie et de physique, 3« série, t. XXIX, p. 257.

secteurs, dont les deux derniers A" B'", B"A'" se superposent en partie, puisque 2a, plus grand que 4ir, est moindre que ^tt ; et les arcs A" A'", B"B'" sont égaux à ip. Le milieu m de Tare AB donnant une image au milieu de chaque secteur, il y aura aussi sept images, ou, en général, n+i en comptant le point lui-même comme on le fait toujours. Le nombre d'images de tout autre point situé daiis le demi-arc mB ou mA, dépend de sa position sur cet arc. Prolongeons A'"0, suivant Oc; on aura Bc = A'"6 = p. Les images du point c seront toutes à des distances des images du miroir BO, égales à ^ ; la troisième image de la série commençant par la réflexion sur le miroir BO, viendra donc en a sur le prolongement de AO et ne pourra plus produire de nouvelle image. Il en sera de même à fortiori de tout point, tel que «, situé sur Tare cm. L'image s" sera donc la dernière, puisquelle tombe dans Tangle aOb des miroirs. Un point situé sur l'arc Bc donnant la troisième image sur Tare aWf, en dehors de l'angle a06, pourra fournir une quatrième image. — Quant aux images faites en commençant par le miroir AO, elles seront seulement au nombre de trois, le point s étant éloigné de ce miroir d'une quantité plus grande que |3. Il y aura donc en tout six images pour les points situés en cm, et 6-^ i pour ceux situés sur Tare hc, ou, en général , en comptant le point «, n images pour les premiers, et n + 1 pour les seconds.

Supposons maintenant que n étant toujours pair. Tare AB soit une partie aliquote de la circonférence ; on aura ir = na, et p étant nul, les deux secteurs B'OA'", A^'OB"/ se pig. U2<.

confondront, ainsi que les images du point m

qu'ils contiennent. Il y aura donc six images des miroirs, ainsi que du point m. Le point c se confondant avec le point B, il en sera de même des images s'' et p"" du point s. Car si Ton a B"*"' = B«, on a aussi A^p' = A«; la différence «'p* disparaît donc quand les secteurs se confondent. Il y a donc en général n images des miroirs en les comptant eux-mêmes, et n images d'un point quelconque m ou s.

2« n IMPAIR. — Supposons, pour fixer les idées , que l'on ait w = 7a +|3. Il y aura d'abord huit images des miroirs. A, A', A*, A"', et B, B', B', B"' {fig, i42i), et le cercle contiendra sept secteurs égaux, plus un petit secteur A'"OB"' dont l'arc A'"B"' est égal à2|3 ; car, si 2p devenait nul, les deux images OA'", OB'" devraient se confondre, pour que le cercle fût divisé en sept secteurs égaux. Il y a donc huit images des miroirs, en les comptant euxmêmes, ou, en général, n+1 • Le point milieu donnera une image dans chacun des n secteurs, ce qui fera ;i+ 1 en le comptant lui-même. Mais il y aura de plus deux autres images sur l'arc àb ; car les images qui tombent au milieu

66 CATOI'THIUUK.

des arcs D'À"' et A'B" sont nécessairement en dehors de ab; A'"a = B'"6 étant moindre qae ^ AB, autrement A"'B'" serait nul, puisque ab = AB. Il y aura donc en tout neu/' images du point m, ou, en général, n + 2. Si maintenant nous considérons un point situé sur l'arc cm, on verra facilement que ce point donne aussi n+2 images, les images qui tombent sur les arcs B'^A''', A'B'"' étant en dehors de Tare ob. et en fournissant chacune une nouvelle. Les points situés sur l'arc Bc ne donneront que n+ 1 images, celles qui tombent sur les arcs B^A'", A'B'" étant comprises dans l'arc ab.

Si l'on a |3 = 0, les images OB'", OA'" des miroirs se confondent, et il n*j

en a plus que n. Le point c se. confond avecB, et tout point situé sur l'arc AB

forme n 4- i images, car il y en a toujours deux dans l'arc ab, à moins qu'il

ne s'agisse du point milieu m, auquel cas ces deux images

^e confondent en une seule, et il n'y en a plus que n.

En résumé, quand l'arc AB est compris un nombre entier (le fois, n , dans la circonférence , un point situé sur cet arc lionne n+1 images en le comptant lui-même, excepté quand n est pair, et quand , n étant impair, le point est au milieu de AB ; alors depx images coïncidant, il n'y en a plus que n.

Quand AB est contenu n fois dans la circonférence avec un reste 2|3, pour tout point situé à une distance àe chaque miroir plus grande que p quand n est p«iir, et plus petite quand n est impair, il y a n + i images, en comptant le point lumineux; et il y en a n + 2 quand ce point est à une distance plus Fig. U2 â. petite ou plus grande que |3, suivant que n est pair ou impair. Vériileatioas par l'expérieace. — Tous ces résultais peuvent se vériGer au moyen de deux miroirs A et B(fig. 1422) réunis par une charnière horizontale, et dont ou peut faire varier l'angle, qui est mesuré sur l'arc ab. L'objet qui doit former les images est fixé entre deux lames de vervo soutenues: par l'anneau métallique an. Si l'on regarde par un petit trou, pratiqué dans la plaque ab prés de l'angle des miroirs , on voit un espace circulaire divisé en secteurs, dans lesquels se trouvent les images de l'objet, disposées sur une même circonférence ayant son centre en un point de l'intersection des miroirs. Si l'angle est de 90>, on a quatre images; il y en a six, s'il est de GO»; trois, s'il est de i20<», etc.

iOf o. AppiicatioBs. — On a imaginé divers instruments d'optique montrant les effets de la réflexion sur plusieurs miroirs.

KaiéidoMope. — Le kaléidoscope de M. Brewster consiste en un tube do carton dans lequel sont disposés deux miroirs a, b; a', b' (fiy. 1423) formant une espèce de gouttière. En cd est une botte fermée par deux lames de verre f, v'y dont l'extérieure, v\ est dépolie, et dans laquelle on place de petits corps de formes et de couleurs diverses; par exemple, des fragments de verre coloré. Quand on regarde par l'ouverture o, on voit les images de ces objets former des ligures symétriques, dont on peut varier la disposition en changeant les posi-

tioDs relatives des corps, par quelques secousses. Une vis n, n' st^rt à faire varier l*angle des miroirs. L'instrument de la figure i422 n*est autre chose qu'un kaléidoscope à anijlie variable. Les dessinateurs pour les tissus imprimés se servent souvent de ces instrumentspour y trouver des combinaisons et des effets.

Cmisses eatoptriqnea. — Si au lieu de deux miroirs, on en emploie trois ou un plus grand nombre formant un prisme, on a ce que Ton nomme une caisse catoptriqtie (fig. 1424). Ordinairement, le prisme se place verticalement, et la base supérieure est fermée par une lame de verre dépolie ou par une membrane. On regarde dans l'intérieur de la caisse, par de petites ouvertures, 0, pratiquées dans le haut de chaque miroir, et l'on voit les objets placés dans l'intérieur, reproduits un très grand nombre de fois dans un espace beaucoup plus gi^nd que celui qu'occupe l'instrument, et môme dans un espace infini quand il y a deux miroirs opposés et parallèles (1907). Au

Fig. Mts,

Fig. au.

moyen d'une caisse à six miroirs, dans laquelle on dispose de petits modèles d'arbres, de navires ou de soldats, l'on voit par les réflexions multiples, une immense forêt, une flotte innombrable ou toute une armée, occupant un espace qui dépasse énormément l'étendue de la caisse.

Le champ de vue présente une distribution symétrique, toutes les fois que la base du prisme formé par les miroirs est un polygone régulier. Mais cette condition n'est pas toujours nécessaire. Par exemple, dans le cas de trois miroirs seulement, le champ est partagé symétriquement toutes les fois que chacun des angles est une partie aliquote de quatre angles droits ; ce qui ne peut avoir lieu que lorsque le triangle de base est équilatéral, ou qu'il est droit et isocèle, ou, enfin, droit avec l'un des angles aigus égal à 30<*, et l'autre à 60».

En disposant convenablement des glaces dans une chambre, on peut en faire une véritable caisse catoptrique, dans laquelle les images des objets, et surtout des lumières, se multiplient de manière à produire des effets merveilleux.

i9ii. Marehe 4*aii rayoa lumliieax salTant aae li^ae coarbe. — A la réflexion sur plusieurs miroirs se rattache une expérience curieuse dans laquelle on peut faire suivre une ligne courbe, à un rayon de lumière. Voici commeni M. Plateau fait cette expérience. On prend une bande métallique bien polie , courbée partout dans le même sens, c'est-à-dire sans qu'il y ait

58 CATOPTRIQUE.

de points dMnflèxion. On fait tomber très obliquement du côté concave, un mince pinceau de rayons solaires, qui se réfléchit, va rencontrer de nouveau |^ surface concave, s*y réfléchit une seconde fois, puis une troisième..., et forme ainsi un polygone inscrit dans la courbe. Plus le rayon incident est rapproché de la surface, plus les côtés du polygone sont petits et nombreux. Si donc le rayon incident est dirigé tangenliellement à la surface courbe, les côtés du polygone seront infiniment petits, et le pinceau lumineux formera une courbe continue appliquée sur celle que forme le ruban métallique. Ce résultat se vérifie par Texpérience ; on peut suivre la marche de la courbe lumineuse, sur une feuille de papier sur laquelle est posée la bande métallique, ou bien en approchant normalement de cette bande un petit écran de papier au point où Ton veut vérifier le passage des rayons. Le pinceau courbe reidevient rectiligne à l'extrémité de la bande, et la quitte dans la direction de la tangente. Ce phénomène curieux peut être rapproché de celui que produit le son, qui suit les contours des gouttières formant une courbe concave (I, 528).

M. Babinet avait fait, antérieurement, des expériences qui l'avaient aussi conduit à diriger un rayon suivant une ligne courbe continue quelconque. Il faisait entrer le pinceau lumineux dans une veine liquide, en le faisant tomber de dedans en dehors, el normalement à la paroi du vase, à travers l'orifice de sortie. Le pinceau restait emprisonné dans la veine, en se réfléchissant sur les parois internes, d'après leur courbure. Ce n'était qu'au moment où la veine se brisait contre un obstacle, que l'on voyait la lumière rejaillir avec le liquide, impuissant dés lors à la retenir. — M. Babinet a vu aussi des baguettes de verre courbées^ d'une manière quelconque, conduire un pinceau de lumière d'une de leurs extrémités à l'autre. Cette lumière, aflaiblie par l'absorption du verre, sortait avec une teinte verdâtre, et ressemblait beaucoup à celle des corps phosphorescents.

Ce curieux phénomène fournit un moyen de conduire la lumière par une route sinueuse quelconque, en un point que l'on veut éclairer. Au lieu d'une baguette de verre massive, on peut employer avec avantage un tube de verre, dont on noircit la surface extérieure.

M. Colladon a employé un moyen analogue pour éclairer une veine liquide, de manière à en montrer la structure. La lumière est lancée dans la veine, de dedans en dehors, au moyen d'une lentille adaptée à la paroi du vase opposée à l'orifice, au centre duquel elle rassemble les rayons solaires en un foyer, où ces rayons se croisent de manière à entrer dans la veine en formant avec ses parois des angles très petits. Il en résulte qu'ils se réfléchissent totalement, comme nous le verrons ( chap. III), et ils suivent la courbure de la veine, en éprouvant de nombreuses réflexions. La veine, à peine visible, s'éclaire d'une vive lumière là où elle se divise en gouttes, ou quand elle se brise contre un obstacle. Si l'on imprime quelques secousses au vase, il se forme dans la pnrtie limpide, des fissures, qui laissent échapper une lumière très brillante. Si l'eau est trouble; la veine devient visible, à cause delà lumière réfléchie par les parcelles eh suspension.

GONIOMETRES.

a. BtBiofliètref de réflexIOD.

iOiS. Les goniomètres sont des instruments destinés à mesurer les angleç dièdres, particulièrement ceux des cristaux. Nous n'avons à nous occuper ici que de ceux dans lesquels on emploie la réflexion ; car, les faces des cristaux étant le plus souvent très brillantes, on a pu utiliser leur pouvoir réflecteur pour mesurer leurs angles avec une grande précision.

4043. Goaiomètre de i^oiiastoa. — Cet instrument permet de mesurer les angles de très petits cristaux, à une minute près. Il consiste en un cercle vertical CC (fig. U25), gradué sur la tranche et que Ton peut faire tourner sur lui-même , en agissant sur la tête t filée à un arbre horizontal porté par le pied de Tinstrument. Un vernier Gxe v permet de mesurer l'angle de rotation. L*arbre est traversé suivant son axe, par une tige munie d'un bouton 6, qui peut tourner sur elle-même indépendamment du cercle gradué. Cette tige supporte du côté opposé , par l'interinédiaire de pièces articulées c;io, une petite palette o sur laquelle on fixe, avec de la cire, le cristal a. Le mouvement de la pièce en autour de l aie e parallèle au cercle, et celui de la pièce no sur elle-même, permettent de diriger l'arête du cristal perpendiculairement au plan du cercle. On fait aussi en sorte que le prolongement de cette arête passe parle centre de l'instrument. Cela fait, et le zéro de la division du cercle CC coïncidant avec celui du ver-' nier, on fait tourner le cristal au moyen du bouton h, sans déranger le cercle, de manière à voir par réflexion sur une de ses faces, l'image d'une mire horizontale très éloignée M ; par exemple, le bord inférieur m l'un des barreaux d'une croisée ; et l'on amène l'image de cette mire à coïncider avec une seconde mire horizontale vue directement dans la direction sr, ce qui a lieu quand le rayon réfléchi as se confond avec le rayon ra venant directement de la seconde mire. Celle-ci peut être le bord d'une feuille de papier posée sur la table. On la remplace avec avantage par l'image de la première mire, réfléchie dans un miroir horizontal m fixé au pied de l'instrument. De cette façon, la position de la face du cristal est parfaitement déterminée. On fait ensuite tourner le cercle CC, en agissant sur la tête (, de manière à obtenir la même coïncidence au moyen de la seconde face du cristal , et l'on mesure, au moyen du vernier, l'angle dont il a fallu faire tourner le cercle. Le sapplément de cet angle est égal à l'angle du cristal. En effet, pour amener la surbce extérieure d'une des faces, à la place de l'autre, il faut que la normale ON'

Fig. U2Ô.

60 CATOPTRIQUE.

à la première vienne prendre la place de la normale ON à la seconde; le cristal doit donc tourner d*une quantité égale à Tangle NON' des normales, qui est le supplément de Taugle A des deux faces. Ordinairement, la graduation est établie de manière à donner immédiatement ce supplément. • Pour obtenir une bonne mesure, il faut plusieurs conditions. 1» Le plan du cercle gradué doit être bien perpendiculaire aux mires horizontales. 2" Il faut que l'arête du cristal soit exactement perpendiculaire au plan du cercle ; on reconnaît que cette condition est remplie quand les deux ' mires peuvent coïncider dans toute leur longueur. 3<» L'œil doit toujours occuper la même position ; condition remplie le plus souvent sans qu on ait besoin de s*en préoccuper, vu que les faces du cristal sont très petites. Il peut même arriver que ces faces ne soient pas visibles, quoiqu*on puisse apercevoir facilement l'image réfléchie de la mire. A^ L'axe de rotation du cercle doit être contenu dans le plan qui partage en deux parties égales Tangle dièdre à mesurer. Alors, deux normales aux faces, partant d'un point de cet axe, tourneront autour de leur point d'intersection, et le pied de l'une d'elles pourra être amené à prendre la place du pied de l'autre, de manière que les deux faces occupent successivement la même position. Si, au contraire, l'axe passait à une certaine distance du plan bissecteur, les normales abaissées d'un point de cet axe sur les faces, seraient de longueur inégale, et une face ne pourrait pas prendre la place de l'autre ; elle ne pourrait que devenir parallèle à la direction première de celle-ci, fît l'écart serait égal à la différence de longueur des deux normales. Si cet écart était sensible par rapport aux distances des mires à Taxe, les surfaces qui réfléchissent successivement l'une des mires, ne seraient pas exactement parallèles quand il y aurait coïncidence avec l'autre mire, et l'angle trouvé ne serait pas exactement celui âes deux faces. On évite cette cause d'erreur en choisissant des mires assez éloignées pour que l'angle sous- tendu par la difl*érencc des deux normales et ayant son sommet à l'une ou l'autre mire, soit plus petit que la fraction de degré que permet d'évaluer le vernier. — Comme il est impossible, avec un cristal très petit, de connaître la position du plan bissecteur, on cherche à faire passer par l'axe du cercle, l'arête même de l'angle.

GoBioMiètre de Mltoeherlleh. — Le goniomètre de M. Mitscherlich n'est autre que celui de Wollaston, auquel sont ajoutées différentes pièces accessoires, destinées à en rendre l'usage plus sûr et plus facile. Une pince, à vis de pression agissant sur le contour du cercle, sert à le rendre fixe pendant qu'on fait tourner le cristal. Une vis de rappel, portée par le pied de l'instrument, sert à mouvoir la pince, et par conséquent le cercle, de manière à placer celui-ci, avec précision, dans la position demandée. A Taxe intérieur qui porte le système cno (fig. H25), est adapté, entre les têtes fr et (, un bras traversé par une vis de rappel prenant son point d'appui dans une pince que Ton arrête sur la tête t. Au moyen de cette vis, on achève de donner au cristal exactement la position pour laquelle les deux mires coïncident. Le support du

GONIOMETHES.

Fig. U26.

cristal est muni de plusieurs vis destinées à Torienter avec précision. Les unes servent à le déplacer parallèlement et perpendiculairement au plan du cercle, d'autres lui impriment des mouvements obliques pour placer son arête perpendiculairement au limbe. Enfin, une petite lunette, articulée à l'extrémité d'une colonne fixée au pied de Tinstrument, sert à viser le cristal. Un fil borizontaU tendu au foyer de cette lunette , permet de n'employer qu'une seule mire, dont on fait coïncider l'image réfléchie par le cristal, avec ce fil.

Quand les faces du cristal sont ternes ou très petites, la lunetle affaiblissant les rayons réfléchis, on doit l'enlever et regarder directement en se servant du miroir. Il est même des cas DÛ il faut opérer dans une chambre obscure , en prenant pour mire une fente d'un écran, derrière laquelle on place une bougie.

M. Ch. Chevallier a aussi apporté au goniomètre de Wollaston difi'érentes modifications qui le rendent plus précis. M. Mosch a disposé horizontalement le cercle gradué, à cause de la facilité de trouver des mires verticales éloignées , par exemple , .les angles des édifices , les jambages des portes et des fenêtres. Alors l'arête du cristal doit évidemment être verticale.

4014. Goniomètre de Charles et Halas. — Ce goniomètre est horizontal et n'exige qu*une seule mire. Le cristal (fig, 1426) est fixé verticalement avec de la cire, au-dessus de l'axe d'une alidade 2 tournant autour de l'axe du cercle gradué aa, et portant un vernier avec pince

à vis de rappel p. Une lunette à réticule sert à viser , par réflexion sur une des faces du cristal, une mire éloignée. On fait de même avec l'autre face, en faisant tourner convenablement l'alidade, et le déplacement angulaire qu'elle a subi représente le supplément de l'angle cherché.

4015. GoBlomètre de M. Babinet.

— Avec cet instrument, on n'a plus besoin de mire éloignée. Un cercle gradué AA est tixé par son centre à une poignée P, ou à un pied à genou. Un collimateur L, ou tube à réticule dont un des fils est perpendiculaire au plan du cercle, est fixé parallèlemenl h un rayon de ce cercle. Quand il est tourné vers le jour, les fils enveloppés par un faisceau de rayons parallèles, forment des ombres qui remplacent une mire placée à l'infini. Une lunette à réticule /, dirigée comme le collimateur, est fixée sur un bras c tournant autour du centre, et muni d'un vernier et d'une pince avec vis de rappel. Le cristal a est collé avec delà cire molle, perpendiculaire-

Fig. 4 427.

&i GATOPTRIQUE.

ment au cercle, sur un support placé au centre de Tappareil, et que Ton peut faire tourner sur lui-même au moyen d*une alidade a à vernier et pince à vis de rappel p. On place d'abord la lunette / de manière qu'elle fasse un certain angle avec le collimateur L ; puis, ayant placé le vernier de Talidade a sur le zéro du cercle, on fait tourner le cristal avec son support, jusqu'à ce que, en regardant à travers la lunette 2, on voie le centre de son réticule coïncider avec celui du collimateur, vu par réflexion sur Tune des faces du cristal. On fait ensuite tourner le cristal au moyen de l'alidade a jusqu'à ce que la même coïncidence se reproduise par réflexion sur l'autre face; etTangle indiqué parle vernier de IV.idade est le supplément de l'angle cherché. — Comme la lumière extérieure, en se réfléchissant sur la face du cristal, peut empêcher de distinguer nettement Timage du collimateur, on entoure ce cristal d'écrans noirs, qui interceptent toute autre lumière que celle qui sort du collimateur. Du reste, l'emploi d'une lunette fait que ce goniomètre ne peut être employé pour les cristaux ternes ou trop petits.

Il faut toujours que l'arête du cristal soit hien perpendiculaire au plan du cercle, et passe par son centre. Pour réaliser la première condition, on commence par disposer les réticules de la lunette et du collimateur de manière qu'un de leurs fils soit perpendiculaire an plan du cercle, et cela en plaçant un second fil, qui est perpendiculaire au premier, parallèlement à ce plan. Cela se fait avant de placer le cristal : on amène la lunette / sur le prolongement du collimateur L, et l'on fait tourner sur elles-mêmes les viroles qui portent les fils, de manière à placer, le plus exactement possible, un de ces fils parallèlement au plan du cercle; alors deux fils des tubes L et / sont parallèles entre eux. On déplace ensuite la lunette / à droite et à gauche, et Ton observe si ces deux fils conservent la même distance pendant les mouvements. S'il en est ainsi, c'est qu'ils sont exactement parallèles au cercle. On fixe ensuite le cristal avec de la cire, on place la lunette l de manière à voir par réflexion dans l'une des faces l'image des fils du collimateur, et l'on cherche à placer le cristal de manière que l'image du fil perpendiculaire au limbe soit encore parallèle ao fil de la lunette. Quand cela a lieu avec les deux faces du cristal, l'arête est perpendiculaire au limbe. On tourne ensuite un des réticules, de 45<», pour distinguer plus facilement quand il y a coïncidence des points de croisement, et l'on procède à la mesure de l'angle.

i0i6. Hesare de ran^le d^on prisme. — Quand l'angle est formé par des surfaces polies d'assez grande étendue, comme dans le cas d'un prisme de verre, on emploie pour le mesurer, la lunette mobile sur un cercle gradué qui sert à démontrer les lois de la réflexion (1894). Soit  (fig, 4428) l'angle que l'on veut mesurer. On fixe d'abord le prisme, ABC, de manière que ses arêtes soient perpendiculaires au plan du cercle ; puis, ce cercle étant en o, on vise une mire éloignée, d'abord par réflexion sur la face AB, puis directement, et l'on mesure l'angle 8oi = d» La mire doit être assez éloignée pour que les rayons $o et s'i, qui en émanent, puissent être regardés comme parallèles. Transportant

HÉLIOSTATS.

en second lieu, le cercle gradué en o\ on vise la même mire par réflexion sur la face ÂG, puis directement, et Ton mesure l'angle SioT = d'. L'angle cherclié sera égal à | (d+rf')- En effet, menons la ligne AD, parallèle à la direction commune des rayons incidents ; Tangle A sera partagé en deux parties « et p, que nous allons évaluer. Or, on a « = «'tA= otB, et par conséquent 2a = 180** — s'io. Mais on a aussi s(n = d = \SO'' — s'io; donc l'angle d est égal à 2a. De même, d' est égal à 2p ; on a donc a+|3=^(rf-f-<i')- Arago et Petit ont employé une autre méthode tout aussi exacte. On vise au moyen d'un théodolite (I, 47) placé en o (fig. U29), une mire «', directement,

puis par réflexion

sur la face AB; et

l'on mesure l'angle s'oi=d. On

vise de môme une

seconde mire r,

directement , et

par réflexion sur

la seconde face

AC , et l'on

mesure l'angle

i'o'r'=d\ Enfin, on mesure l'angle s''ar'' = D, obtenu en visant successivement aux deux mires. Pour déduire l'angle A du prisme, des valeurs de D, d etd', menons a6 et ac parallèles à AB etAC; on aura ha8''=Bi8=--{d; caT''=CVr=\d\ et 6ac=A=D— 6(w'— cor''=D— î((f-hd').

Fig. t428.

m. léliostats.

4949. Porte-lamière. — Dans les expériences d'optique, on a souvent besoin de faire entrer dans la chambre obscure un faisceau de rayons solaires conservant une direction donnée, malgré le mouvement du soleil. Pour atteindre ce but, on emploie les héliostats. Mais comme ces instruments sont longs à installer, quand on n'a pas besoin d'une grande précision, on se sert du portelumière à réflexion, que nous allons d'abord décrire. Cet appareil {fig, 1430) consiste en un miroir MM' placé en dehors du volet de la chambre obscure, et pouvant recevoir deux mouvements, l'un autour d'un axe perpendiculaire au volet, l'autre autour d'un axe parallèle, t, f sont deux montants qui soutiennent l'axe parallèle, oo'; ils sont portés par un plateau circulaire denté, renfermé dans une double plaque PP' que l'on fixe, au moyen de vis, à l'ouverture du volet. On peut faire tourner ce plateau sur lui-même, en agissant sur un pignon denté dont la tête A est en dedans de la chambre. Le mouvement autour de oo' est imprimé au miroir par un système d'engrenage o'v que l'on fait mouvoir

HÉLIOSTATS

aussi de l^intérieur, au moyen du bouton Y. La tige Vv est portée par le plateau denté, et se meut avec lui en passant par une fente circulaire ee\ En agissant sur les deux boutons A et V, on donne au miroir une position telle que les rayons réfléchis entrent suivant une direction donnée, par Touverture ménagée au centre de la plaque ; et il sufBt de faire tourner de temps en temps les boutons  et V, pour ramener les rayons réfléchis dans cette direction, quand ils la quittent par Teffet du mouvement du soleil.

Pour rendre cette manœuvre plus commode, M. Dubosq a réuni les deux boutons, comme on le voit en ah, en faisant passer la tige Vt dans Taxe du pignon denté. Ce dernier se déplace alors avec le plateau circulaire qui porte

le miroir , et lui imprime le mouvement en engrenant dans une couronne fixe c^ dont les dents sont dirigées vers le centre.

4948. liuQSTATS. — Les hé' liostats sont des appareils destinés à donner par réflexion une direction constante, aux rayons du soleil, malgré son mouvement horaire.

Indépendamment de son déplacement apparent d*orient en occident, le soleil en possède un autre en vertu duquel il s*approche ou s'éloigne de l'équateur en coupant successivement les divers parallèles compris entre les tropiques; de sorte que, par la combinaison de ces deux mouvements, il parait décrire une courbe hélicoïdale. Le mouvement dans le sens du méridien étant négligeable pendant la durée du jour, nous n'aurons à tenir compte que du mouvement apparent d'orient en occident. Nous supposerons aussi que la terre est réduite à un point, c'est-à-dire que nous négligerons son rayon ; l'angle sous-tendu par ce rayon, ayant son sommet au centre du soleil, n'étant que de 46 secondes

Héiiostat de Fareinheit. — Cet instrument, le plus simple de tous, et que M. Littrow a récemment perfectionné, donne un rayon réfléchi constamment parallèle à l'axe de la terre. Il consiste en une horloge HH' (fig. 4i3l), dont l'aiguille parcourt le cadran en 24 heures. On place ce cadran parallèlement à l'équateur. Pour cela, on commence par diriger l'axe horizontal oo, autour duquel l'horloge peut basculer, perpendiculairement au méridien du lieu, puis on incline l'horloge de manière que le plan HH' fasse avec la verticale un angle égal à la latitude du lieu, angle qui se mesure sur l'arc divisé c fixé à l'axe oo et tournant avec lui. L'aiguille de l'horloge tourne alors autour d'un axe parallèle à la ligne des pôles de la sphère céleste, et un rayon solaire, stiy décrit autour de cette ligne un cône dont le demi-angle au sommet, stir, est le complément de l'angle $fid que fait un rayon solaire avec l'équateur, angle

lii:. 1430.