I. Disposition des rayons rôfléohis par les miroirs oovrbes

illS3. Cataeaostiqaes. — Quand des rayons partant d'un point lumineux 8 (fig. 1439) se réfléchissent sur une surface courbe, mm, on peut toujours tracer sur cette surface un premier système de courbes, ^ dites lignes de réflexion, telles que les rayons infiniment voisins réfléchis sur une de ces courbes, Aa, Cr, E«. Nn , se rencontrent deux à deux, eux ou leurs prolongements. Ces rayons forment ainsi une surface développahle, c'est-à-dire qui peut s'étendre dans un plan sans se déchirer et sans faire de plis, composée de petits ^n^YX^n^i P\ ^^^™®"^^ triangulaires infiniment étroits ACa, CEc,

/jS^^^^i^A^fy^ ENc... ., et la courbe acen , formée par les inlersec-

^;^é:^r^Ç^ tiens des rayons réfléchis deux à deux, est Varéte de rep. broussement de cette surface. Toutes les courbes du sys-

tème donnant ainsi une surface développabte et une arête de rebroussement, l'ensemble de toutes les arêtes forme une surface en chaque point de laquelle il se croise au moins deux rayons réfléchis ; on la nomme surface catislique par réflexion, ou catacaustique. Quand ce sont les rayons mêmes qui se croisent, et non leurs prolongements, la caustique est dite réelle, et chacun de ses points reçoit plus de lumière que l'espace environnant. Ces résultats se démontrent par l'analyse mathématique. On démontre aussi

qu'il existe un second système de lignes de réflexion qui coupent normalement celles du premier système^ et qui jouissent des mêmes propriétés ; de sorte que les rayons réfléchis forment deux catacaustigues.

Ll^aes foeaies. Foyers. — Les intersections des deux caustiques se nomment lignes focales ou foyers^ suivant qu'elles forment des lignes ou des points. En chaque point d'une ligne focale il passe au moins 4 rayons réfléchis.

^92iS bis. Cas des mirolFs sphériqaes. Appliquons les principes qui précèdent au cas d'un miroir sphérique mAm' {fig. -1440), dont le centre est en 0. Le diamètre AB passant par le point lumineux S, se nomme Taxe du miroir relatif au point S. Dans ce cas, le premier système de courbes est formé par les circonférences perpendiculaires à l'axe SA. Les rayons réfléchis sur une de ces circonférences, pp\ vont tous évidemment se rencontrer en un même point n de l'axe, tout ét^t symétrique autour de cet axe.

La surface développable qu'ils forment est alors un cône, dont l'arête de rebroussement , réduite à un point, est le sommet n ; et la surface caustique formée par l'ensemble des arêtes de tous les cônes, *''^' ^ **^' se réduit ici à une droite, portion de l'axe AS.

Le second système de courbes est formé par les grands cercles passant par l'axe. Les rayons réfléchis sur un de ces cercles étant tous dans le plan même de ce cercle, la surface développable qu'ils forment est un plan, et leurs intersections deux à deux, forment une courbe plane acef, qui représente l'arête de rebroussement. Pour obtenir la surface caustique correspondante h ce second système de courbes, il suffira de faire tourner la courbe acef autour de Taxe AS. Cette surface présente près de l'axe, la forme d'un pavillon de cor, et le point /" où elle rencontre la caustique de l'autre système de courbes, c'est-à-dire l'axe, sera un foyer.

i9t4. Cas des mlrolFS de réTolvtlon. — Ce .,. . 1 1/. u-

qui précède s'applique à une surface de révolution

quelconque, donl l axe de révolulion passerait par le point luminettx; les deux systèmes de courbes sont alors formés par les parallèles et par les méridiennes. La surface caustique de révolution du second système afl'ecle une forme qui dépend de la figure de la méridienne.

Les surfaces caustiques ont été trouvées par Tschirnhausen, en i68â. Barrow avait été bien près de les découvrir, car il considère le concours des rayons réfléchis ; mais il n'eut pas l'idée d'examiner la courbe qu'ils pouvaient former en se coupant deux à deux. On peut montrer la surface caustique d'un f^d miroir sphérique exposé au soleil, en plaçant un écran suivant l'axe de

74 GATOPTRIQUB.

cette caustique, dont rintersection a?ec l'écran se distingue par un éclat plus vif. — On peut encore employer un miroir cylindrique (fig. IMO bis) posé sur une table et recevant, du côté concave, la lumière d'une bougie : l'intersection de la caustique avec la table se distingue par son éclat. On peut faire cette expérience avec une simple feuille de fer-blanc, ou se servir de rintérieur d'un vase cylindrique verni.

f use. CoBStraettoM de la fféaératrice de la CMwUqne d'iiH aUvoIr •phériqne. — Petit a donné une méthode pour construire cette génératrice par points, en cherchant les distances de ces points aux points d'incidence. Soit S (fig. i44i) le point lumineux, et o le centre du miroir sphérique mmy que nous supposons concave, pour fixer Içs idées. Considérons un rayon incident Si, dont la position est déterminée par la distance p = Si, et par la corde bi, que nous représenterons par 4a. Le rayon réfléchi ir se construit facilement en menant la normale in, et prenant l'arc nr égal à nb. Soit Si' on

second rayon incident infiniment

voisin du premier. Le point R, où

^^IIi;;;;;;;^*^..^^^^'-. le rayon réfléchi iV coupe le rayon

);\ """^^^^^^^^^^^^ réfléchi ir, est un point de la courbe

'\f ^\ ^^"'^'"^''^^.^ cherchée ; et il s'agit de trouver la

\.. distance Ri en fonction de p et de

y a. Pour cela, nous allons calculer

\ \y^' les changements qu'éprouvent l'an-

• Ar.' '^ gle d'incidence et l'angle de ré-

P* f 4^^ flexion quand le rayon vient de Si

en Si', et écrire que ces changements sont égaux. Or, les angles d'incidence Sm, Si'n' ont pour mesure ^nb et ^nb'. Leur différence a donc pour mesure ^nb^nb')=l(bb'+nn'). De même, la différence entre les angles de réflexion est égale à {(nr^-nr') =s ^(rr' — nn'). Egalant les deux différences, il vient : rr' — un' = 66' + nn\ ou rr* — 66' = %i' [1], en remarquant que i% est égal à nn\ Il reste i évaluer rr' et 66' en fonction de p et de a. L'angle iSi' étant infiniment petit, tes triangles S66', Sti' sont semblables, et l'on a W :u'=S5:Si=<p— 4a):p- Les triangles tRi', rRr' donnent de même, en désignant par p' la distance perchée Ri, f? : "ff = rR : Ri = (4fl— p') : p', en remarquant que Ton a ir =^tb = 4a. Portant dans l'égalité [1], les valeurs de 66' et rr', ii' disparaît

et il vient r^ — - =2; ou — j-— = — ,

en réduisant an môme dénominateur et divisant partout par 4pp'a. On tire de

là p', ou Rt, pour chaque rayon incident, ou pour chaque valeur de p et de a.

Si le miroir est convexe, le point R se trouve sur le prolongement

des rayons réfléchis y et p et 4a , étant comptés du côté opposé du

miroir par rapport à p, doivent être pris négativement ; la formule est alors

= qu'on peut trouver directement.

MIROIRS COURRES. 75

i9S6. Foraies de la méridienne de la eanstlqne. — Quand on construit cette méridienne par points, on lui trouve une forme différente, suivant la position du point lumineux.

4» Cas des rayons parallèles. — Si les rayons incidents sont parallèles, il faut poser, dans la formule, p = ^, et Ton en tire alors p = a, ou le quart de la corde interceptée sur le rayon incident. Tschirnhausen et Lahire ont trouvé que, dans ce cas, la génératrice de la caustique est une épicycloîde engendrée par un point d*une circonférence ami {flg. 1442), ayant un rayon égal au quart de celui. du miroir, et roulant sur une circonférence concentrique à ce dernier , et d'un rayon ao moitié moindre. Soit AB le diamètre parallèle à la direction des rayons incidents, et si un de ces rayons, donnant le rayon réfléchi im. Décrivons la circonférence ami, ayant son centre sur oi. Le rayon réfléchi la coupera au point m, et il faut prouver que ce point appartient à la caustique, et en même temps à répicycloîde engendrée par le point c de la circonférence Ac roulant sur la circonférence oc, i« Pour montrer que le point m appartient à la caustique, il faut faire voir que Ton a im=a==^is. Or, si l'on abaisse sur AB la perpendiculaire m'p, elle passe par le point a, Tangle droit im'a devant être inscrit dans la demi-circonférence , et nous avons t>n=tm. Déplus, les triangles m'a, apo pig, 4442.

sont égaux, puisque ao est moitié de oi ; on a donc

po = m'n = m'f , et, par conséquent, mi = tm = |t« = a. 2o Le point m appartient à répicycloîde décrite par le point c, car Tare ac est égal à l'arc ma. En effet, Tangle aoc a pour mesure l'arc ac, et l'angle mia qui lui est égal, la moitié de l'arc am. Cet arc am contient donc deux fois plus de degrés que l'arc ac; mais les degrés de l'arc ac sont deux fois plus grands que ceux de am, le rayon de ac étant double de celui de am; les longueurs absolues des arcs am et ac sont donc égalçs.

La partie de la courbe qui se trouve à droite du diamètre on est virtuelle ; elle provient des rayons réfléchis sur la partie antérieure B de la surface sphérique, considérée comme formant un miroir convexe.

2» Supposons que le point lumineux se rapproche du miroir, tout en restant en dehors delà surface sphérique, et soit s sa position (fig, 1439). Les deux parties mafm' et mvm' de la courbe ne sont plus égales comme dans le cas précédent ; elles sont séparées par les points m et m' où les rayons incidents sont tangents à la circonférence, et la partie virtuelle mvm' provient, comme dans les cas des rayons parallèles, des rayons réfléchis sur la surface convexe mBm'. De plus, les deux parties sont tangentes à la circonférence en m et m'. Si le point s se rapproche de B, les points de contact m, m' se rapprochent euxmêmes de l'axe sA; et quand le point lumineux arrive en B, les points m et m' se confondent avec lui , la courbe mvm' disparaît, et la courbe mfm* est tan*

GATOPTRIQUE.

gente en B à Tintérieur de la circonférence. Nous avons alors le cas d'une sphère polie intérieurement, renfermant un point lumineux situé sur sa surface. 3o Si le point lumineux quitte le point B en se rapprochant du centre, $ (fig. 4443 ), la génératrice présente un sommet e sur Taxe, correspondant aux rayons incidents les plus rapprochés de cet axe, un point de rebroussement r, puis forme une branche rC qui s'étend à mesure que les rayons incidents s'écartent de Taxe, et Ta jusqu'à l'infini. II y a un certain rayon incident sfi' qui donne un rayon réfléchi asymptote à la branche rt'. A partir de ce rayon sn', la génératrice devient virtuelle ; elle présente une branche av\ qui, venant de l'infini, rencontre l'axe en a, où se trouve un second sommet. Cette branche av' a aussi pour asymptote le prolongement du rayon réfléchi (V. — A mesure que le point lumineux s s'approche du point c, miUeu du rayon Bo de la

Fig. 4444.

Fig. 4445.

sphère, les branches t, V se rapprochent de l'axe, ainsi que le point r, et la partie virtuelle aw' s'éloigne de B.

4^ Quand le point s arrive au milieu c du rayon (fig. 1444), les branches t,V deviennent asymptotes à l'axe BÀ, de sorte qu'on peut dire que les rayons réfléchis très prés de l'extrémité B de l'axe la plus rapprochée du point lumineux, sont parallèles à cet axe. Le sommet e de la caustique correspond aux rayons réfléchis prés du point opposé A.

5® Si le point lumineux s se trouve entre le milieu c du rayon et le centre o (fig, i445), les branches t, t' se resserrent et se rencontrent sur l'axe, en formant un second sommet réel a correspondant aux rayons réfléchis prés du point B, et la courbe méridienne est alors entièrement fermée. Les points de rebroussement, r, ainsi que les sommets e et a, se rapprochent du centre o en même temps que «, et la courbe se rapetisse et finit par se confondre avec les points 0 et s, quand ce dernier arrive au centre. Ce résultat pouvait être prévu, car les rayons incidents étant alors tous normaux à la surface sphérique, les rayons réfléchis se croisent au centre.

Remarquons enfin, en général, que la caustique, réelle ou virtuelle, a toujours au moins un sommet, et que ce sommet est tourné vers le centre, quand il est formé par les rayons réfléchis près de l'extrémité de l'axe située du