RÉFRACTION PAR UNE SURFACE PLANE

L'axe de révolution est alors représenté par la perpendiculaire abaissée du point lumineux sur la surface, et les lignes de réfraction perpendiculaires à I axe, par des circonférences ayant leur centre au pied de cette perpendiculaire. Le second système de lignes est formé par des droites passant par ce pied. 11 est évident que les rayons réfractés sur une de ces droites seront, en entrant dans un mWïeu plus réfringent, moins divergents que les rayons incidents ; mais ils seront toujours divergents, parce que Tangle de réfraction augmente en même temps que Tangle d'incidence (1948). Ces rayons ne se rencontreront pas en un même point, (ommedansle cas delà réflexion, et ils formeront nne courbe camtique , en se rencontrant deux h deux.

i96S. De la forme de la eanstiqne de réToiation. — Pour démontrer que les rayons réfractés dans un même plan ne coupent pas Taxe au môme point , considérons un rayon incident, sm (fig. 1474) , et soit mR le rayon réfracté ; appelons p la distance so; i et r, les angles d'incidence et de réfraction ; et n Tindicc de réfraction relatif des deux milieux , et supposons que les rayons entrent dans le plus réfringent des deux. Nous allons chercher la distance ro=p\ de la surface au point r où le rayon réfracté prolongé coupe Taxe. On a d'abord dans le triangle rectangle rmo, rô^ =p'^ =mr'^ — mô^, et il faut déterminer mr et mo. Or, le triangle rmo donne Tnr= = — — . Substituant

sin r sin t

dans la valeur de p'^, il vient p'^ = mo^( r^- — ). La valeur de mo

est donnée par le triangle mso, dans lequel on a

Fig. U74.

P* = 80 = sm — mo^ =

-mo^.

sin^i

d'où

p2 sin^i 1— sin^i'

Portant cette valeur dans celle iep\ il vient enfin

Comme les rayons sont toujours divergents, le point r est du môme côté que s, et le foyer a est virtuel. Si donc nous convenons de prendre p' positif du côté où se formerait un foyer réel, c'est-à-dire du côté opposé à p, nous devrons adopter la valeur négative du radical, l'autre valeur ne convenant pas à la solution physique de la question. Comme n est plus grand que l'unité, et sin i au plus égal ai,/ est toujours réel. Le numérateur étant plus grand que le dénominateur, quand sin ^t augmentera, la valeur du rapport sous radical

augmentera aussi, et par conséi^uent, la valeur absolue de p'. Nous voyons donc que les rayons réfractés coupent la normale so, à des distances d'autant plus grandes du point o, que les rayons incidents s'écartent davantage de cette normale. Les prolongements des rayons réfractés se coupent donc deux à deux, de manière à former une caustique, dont le sommet s'obtient en faisant t égal à zéro, ce qui donne p'=ao=/7Xn- L.a distance du sommet au point o est donc proportionnelle à l'indice n et à la distance p. Pour i=90°, on ap'= — ^o ; la courbe, s'étend donc à l'infini. On démontre par l'analyse mathématique que cette courbe est la développée d'une branche d'hyperbole Mi, dont le centre est en 0, et l'un des foyers en s. Les valeurs positives de p' correspondent à la développée de la seconde branche de cette hyperbole, mais elles ne répondent pas au problème physique.

Si le milieu dans lequel entrent les rayons est le moins réfringent {fig. 1475), il faut supposer que n est moindre que l'unité, et alors on voit que la valeur absolue de p diminue quand i augmente ; sa plus grande valeur, correspondant à t=0, est p=:—np. On voit donc que le sommet a de la diacaustique est tourné du côté opposé à la surface de séparation. 11 faut s^v V de plus, pour que la valeur de p' soit réelle, que l'on ait

sin <n. Or, l'angle dont le sinm est égal à n, n'est autre que l'angle limite , puisque l'angle d'incidence étant pris ici dans le milieu le plus réfringent, n est plus petit que l^^^ l'unité. Si l'on fait sin i = n, on a p' = 0. La courbe f rencontre donc la surface de séparation , quand le rayon incident fait avec la normale so , un angle dont le sinus est égal à n, et elle est tangente à cette surface , puisque, / pour sin i=ft, le rayon réfracté est couché dans son plan.

'^ On démontre par l'analyse que la génératrice de la dia-

Fig. U75. caustique est la développée d'une ellipse dont le centre

est en o, et l'un des foyers en s.

Si les rayons incidents sont parallèles, on ap=»», et il vient p'=±^^ quel que soit t; les rayons réfractés sont donc aussi parallèles.

Si l'on suppose n= — 1, on a le cas des rayons réfléchis, et l'on trouve p'= — p, quel que soit i. Tous les rayons réfléchis se rencontrent donc en un seul foyer virtuel, symétrique du point lumineux.

Si l'on considère les rayons qui ne s'écartent que très peu de l'axe, on voit qu'ils forment un foyer virtuel a (fig, 1474 et 1475) à une distance de la surface, égale à pxn.

1963. Consêqaeaees. — Quand on regarde une ligne droite horizontale placée sous l'eau, elle parait concave, plus rapprochée et plus grande qu'elle n'est réellement. Pour expliquer ce résultat, considérons la droite ab (fig. 1476) placée au fond de l'eau ; un point a envoie au dehors des rayons qui, prolongés, forment une caustique de révolution autour de la normale ap passant par ce point, et dont le sommet est situé entre les points a etp (1962). Pour obtenir