MILIEUX TERMINES PAR DEUX PLANS PARALLELES

comme rexpérience montre que les rayons émergent et incident sont parallèles,

on a e=iy et, par conséquent, n sin r=n' sinr' ; d*où

Or, le

8ID r n

premier membre n*est autre chose que le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction d'un rayon passant de Tune des lames dans l'autre ; le rapport n l n' des indices absolus des deux substances représente donc leur indice relatif, en mettant en numérateur le plus grand indice n qui correspond à l'angle le plus petit r. Nous verrons que les théories des ondulations et de l'émission conduisent à ce résultat.

1961. RéflexioBS mnlllples dans les nlrolni de verre étainé. — Nous avons dit (1902) que les miroirs de glace donnent plusieurs images. Pour nous rendre compte de ce résultat, considérons un rayon incident am (fig. 1479) tombant sur la glace LL' étamée en dessous. Ce rayon se réfléchit d*abord en n sur la première surface , en donnant une image a' symétrique du point lumineux a; mais il ne se réfléchit qu'en faible proportion ; la plus grande partie pénètre dans la lame de verre et se réfléchit en dedans au point B, sur la surface étamée. Le rayon réfléchi , arrivé en N, émerge en partie , et prend la direction NR parallèle à nr^ car tout est symétrique par rapport à la normale Bp. Ce rayon est dans le même cas que s'il se réfléchissait au point de rencontre o des rayons on et NR , sur une surface oc parallèle à Ln; l'image formée par les

rayons réfléchis en B est donc en A , point symétrique de a par rapport à la surface c. Le rayon réfléchi BN n'émerge pas entièrement , une partie se réfléchit en dedans suivant W, et vient émerger en partie en n', en donnant un rayon n' r' qui est dans le même cas que s'il était réfléchi en o\ et provenait d'un rayon incident OjN partant du point Oj , symétrique du point A par rapport à la surface Ln. II y aura donc une troisième image a" symétrique de Oi par rapport k co; et ainsi de suite. — L'expérience se fait facilement avec une bougie dont on cache la flamme par un écran ne laissant passer la lumière que par une fente étroite ; les images de la fente paraissent les unes derrière les autres, et on peut en distinguer jusqu'à six. La plus brillante est la seconde, A ; les suivantes n'étant formées que par des rayons dont une partie seulement a été réfléchie en dedans à chaque émergence, sont de plus en plus faibles. La première est à peu près de même édat que la troisième. Si la lame de verre a une teinte bleuâtre, la première image seule ne présente pas cette IV 8

Fig. 4 479.

teinte, comme on devait s*y attendre. Les images sont d'autant plus séparées les unes des autres, qu'on les observe plus obliquement ; on n'en distingue qu'une seule, quand on regarde suivant la normale qui passe par la flamme.

Quand on fait l'expérience avec les glaces coulées les mieux polies , on remarque des anomalies singulières, suivant le point d'incidence des rayons qui vont à l'œil, surtout quand la flamme est très éloignée. Tantôt les images se montrent très distantes les unes des autres, tantôt superposées, ou même dans un ordre renversé. Il suffit quelquefois de déplacer l'œil suivant la verticale, de manière à changer le point d'incidence sans modifier les angles d'incidence, pour obtenir ces diverses anomalies. Elles s'expliquent en considérant que le verre coulé en glace ne peut être homogène ; ce qui fait que les rayons y éprouvent en certains points, des déviations irréguliéres donnant lieu aux efl'ets que nous venons de signaler.

1968. SES P1I8HI8. Quand un corps transparent est terminé par deux surfaces formant un angle, on lui donne le nom de prisme, parce que ce corps , devant être limité du côté opposé à l'arête d'intersection , on le termine ordinairement par une surface plane parallèle à cette arête, ce qui lui donne la forme d'un prisme triangulaire. En optique , quand on parle d'un prisme , on entend toujours un prisme triangulaire , à moins qu'on n'avertisse du contraire. On nomme arête ou sommet du prisme, l'intersection des deux faces que traverse Fig. 1480. le rayon lumineux ; la troisième face, qui ne sert pas et qui pourrait être dépolie ou noircie, se nomme la base du prisme. On voit que ce mot n'a pas ici la même signification qu'en géométrie. F^a fig. 4480 représente un prisme P monté sur un pied; il peut tourner sur lui-même et s'incliner plus ou moins , de manière à se prêter facilement aux expériences.

Effel du prisnne sar la dIreeUoB des rayoas laaUaeax. — Un prisme a pour effet de dévier du côté de sa base, les rayons qui le traversent. En effet, soit le rayon incident si {fig, 1481 ). Ce rayon pénètre dans le prisme, suivant ti', en se rapprochant de la normale, et vient frapper la secoude face en t' ; là, il éprouve en sortant une nouvelle réfraction , dans laquelle il s'écarte de la normale ; de sorte que ces deux déviations successives le rabattent vers la base BC.

Ce résultat ne parait pas aussi évident quand l'angle A du prisme étant petit, le rayon réfracté «' {fig, 1482) se trouve au-dessous de la normale ni' à la seconde face ÀC. Alors le rayon émergent se relève en s'écartant de la normale eni', et il faut prouver qu'il se relève moins que ne s^est abaissé le rayon réfracté ii'. En effet, si la face AC était parallèle à AB et dirigée suivant AB', le rayon émergent serait i'e, parallèle au rayon incident di (1965). Si maintenant nous ramenons la face A'B', en AC, la normale tournera d'une quantité égale h l'angle A, et l'angle que fait le rayon réfracté ii' avec la

Dormale, aura diminué de A. Si le rapport de Tangle d*émergence à Tangle que fait le rayon ti' avec la normale en %\ ne changeait pas, le rayon émergent resterait dirigé suivant i'e'. Mais comme Tangle diminue plus rapidement dans le milieu le plus réfringent que dans le milieu le moins réfringent (1948), on voit que Tangle d'émergence diminuant plus que l'angle n'i'n, le rayon émergent s*abaissera an-dessous de Ve\

La déviation par le prisme se vérifie par l'expérience en faisant passer un pinceau de rayons solaires à travers un prisme. On peut aussi regarder un point, à travers le prisme ; ce point paraît relevé vers le sommet, d'où Ton conclut que les rayons sont déviés vers la base. En effet , soit s le point (fig. 1483) ; le pinceau de rayons qui entre dans Toeil est saco, et le point s paraît relevé en s' sur le prolongement de la partie co.

Fig. 4481.

Fig. U88.

Nous supposons, dans ce qui précède, que le prisme est plongé dans un milieu, comme l'air, moins réfringent que sa substance. Mais si le milieu environnant était plus réfringent que le prisme, comme cela aurait lieu si l'on faisait un prisme creux avec d^s lames de verre, et qu'on le plongent dans l'eau après ravoir rempli d'air, les résultats seraient inverses ; c*est-à-dire que le rayon serait dévié wrs le sommet, comme on peut le reconnaître par les mômes raisonnements que ci-dessus.

«•M. Uailte dies rayons qui penTenl éaierser. — L'angle d'incidence restant constant, l'angle d'émergence augmente évidemment en même temps qae l'angle du prisme. Il est facile de voir aussi que, le prisme restant le même, l'angle intérieur à la sortie augmente à mesure que le rayon incident se relève vers le sommet A. Si donc nous supposons le prisme indéfini du côté de sa base, l'angle intérieur fmira toujours par devenir égal à Yangle limite. Nous allons calculer l'augle que fera alors le rayon incident avec la normale.

Soit ftt«=x {fig, 1 484 ) cet angle ; alors l'angle i$n est égal à l'angle limite 6, et l'on a sin xc=n sin r. Pour obtenir r en fonction de l'angle a et de l'indice de réfraction, remarquons que l'angle ioB des deux normales étant égal à a, le triangle ioe donne ôtô=r=d — a, et l'équation devient sinx=w sin (0 — a) = n (sin e cos a — cos 0 sin a); et comme on a sin 9 = 1 : n (1949), d'où

cos

3=1/1 — sin*iO= — V/fi2— 1, il vient n

ski «=cos a — sin a ^/JâZIT.

sin X est pris positivement dans l'angle ntA, et négativement dans nib.

DteenssioB Si a augmente, cos a diminue, et sin a augmente ; donc,

sin X diminue, et par conséquent x, puisqu'il est moindre que 90°. Si Ton suppose a = e, on trouve sin j; = 0, en remplaçant sin a par sin 0 = 1 : n,

et cos a par cos B= — V/jJ?^. Donc, le rayon limite est la normale ni,

et les rayons incidents compris dans l'angle nib peuvent seuls donner des rayons émergents. Ce résultat peut se voir directement, car le rayon « (fig. 1485) entre sans éprouver de déviation, et l'angle ii'b des deux normales est égal à 0.

Fig, U86.

Si l'on fait A>0, sin x devient négatif; le rayon limite est donc compris dans l'angle nib [fig, 1484). Si enfin l'on fait A = 29, la formule devient

sin x = cos 2e — sin 2ôv/*5"

cos 2e = cos* 0 — sin ô* es

— 1. Or, sin 2o=sin e cos 0= — [/n^— i

-jjj jl^ = ^ ; d'où sin xz= — 1. Lerayott

limite fait donc un angle droit avec la normale, du côté nib ; il est donc couché en ib sur la face du prisme, et il n'y a que ce rayon qui puisse émerger. C'est ce qu'on peut voir directement, car l'angle A étant égal kiB (fig. i486), on a oii'-Hi't=i'on=2e ; et les angles (ni\ oi'i ne pouvant être plus grands que l'angle limite, chacun d'eux est égal à 0. Les rayons incident et émergent ne peuvent donc être que W, et i'c.

Si l'on avait A>2e, aucun rayon ne pourrait émerger, et si la base du prisme était noircie et s'il était placé transversalement dans l'ouverture d'un volet de manière à la fermer, il ne laisserait pénétrer aucun rayon de lumière. — Tous ces résultats peuvent se vérifier an moyen des prismes à angle variable que nous décrirons plus loin (1972). Dans le cas d'un prisme en verre, il suffit que l'angle soit de 90'' pour qu'aucun rayon ne puisse émerger; un prisme d'eau devrait avoir un angle de 96°.

€•70. Cas oii le plmm d'Imeldenee est oblique mix arêtes. — Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le plan d'incidence était perpendiculaire aux arêtes du prisme, et que par conséquent, les rayons incident, réfracté et émergent, restaient dans le plan d'une section droite. Considérons maintenant le cas des rayons incidents de direction quelconque, et cherchons quels sont

ceux qui donneront des rayons émergents. Soit Abd (fig. 1487) la section droite qui passe par le point d'incidence, et nio la normale à la face d'entrée. Décrivons autour de cette droite comme axe, un cône elb dont la génératrice fasse avec cet axe un angle o\h égal à Tangle limite 9. Tous les rayons qui, entrant par la face Ac, pénétreront dans le prisme, seront contenus dans ce cène, l'angle de réfraction dans le milieu le plus réfringent ne pouvant jamais être plus grand que l'angle limite. Abaissons W normale à Ao, et construisons le cône fie, ayant aussi iB pour angle au sommet. Tout rayon réfracté entrant par le point I devra , pour émerger , être contenu dans ce dernier cône ; car, tout rayon pris en dehors ferait avec la normale, parallèle à lo\ un angle plus grand que l'angle limite. Il résulte de là que les rayons qui peuvent émerger , devant être contenus i la fois dans les deux cônes clb, fie, perceront la face Âb dans la partie ce commune à ces cônes.

Comme tout est symétrique par rapport à la section droite Ahd, ec partage par la moitié cette partie commune, qui est d'autant plus grande queec est plus grand. Pour évaluer ec, ou cle, remarquons pjg, 4437.

que l'angle des deux normales , o'Io , étant égal à l'angle a du prisme, on a o'Io=a=orc-f-cIo — cle=ziB — cle, d'où dc=2e — a.

Si l'on a a=9, l'angle o'Io est aussi égal à 0, et les arêtes le et le des cônes se confondent avec les normales, qui font aussi entre elles l'angle 9. Parmi les rayons renfermés dans la section droite, nIo est alors le dernier qui émerge, puisqu'il fait avec la normale à kb un angle égal à 0 ; ce que nous savions déjà. Si a:=20, on a aussi olo=iB ; les deux cônes sont tangents suivant une arête, qui représente l'unique rayon qui puisse émerger. Ce rayon fait l'angle B avec la normale à kd ; il provient donc d'un rayon incident couché sur kd dans la section droite. Si a est plus grand que 26, les cônes ne se rencontrent pas, et il n'y a plus de rayon émergent.

«•7f . AHBU DB ntvuTiON. — On nomme angle de déviation, l'angle VoR. (fig. 1488) que fait le rayon émergent avec le prolongement du rayon incident. Dans la figure 1482, c'est l'angle ide. On voit que la déviation représente la quantité angulaire dont a tourné le rayon incident pour prendre la direction du rayon émergent; il est facile d'en trouver la valeur, D, en fonction des angles d'incidence, i, et d'émergence, e. Le triangle loE [fig. 1488) donne roE=D =oIE+oEI = i— r 4-e— r', en appelant r et r' les angles faits par le rayon réfracté lE avec les normales aux deux faces. Or, le triangle laE donne r+r' = lan = a, en désignant par a l'angle du prisme ; on a donc, enfin

Dans le cas de la /Stf. 1482, on aurait D=i— e — a.

us

DIOPTHIQUE.

Fig. U88.

Quand Taogle du prisme est très petit, et que le ra;on incident passe à peu près perpendiculairement au plan bissecteur de cet angle, les angles faits avec les deux normales sont eux-mêmes très petits. On peut les remplacer par leur sinus, et Ton a alors t=sin i=^n . sin r=^nr, et e=nr'; d*où, i-^-e^n (r+^')=iia. La valeur de D devient donc

formule fréquemment employée, qui montre que la déviation est sensiblement proportionnelle à l'angle du prisme.

mit, Prisneà «M^e Tariable. — Il est facile de voir que la déviation, pour une même incidence, augmente avec Tangle du prisme ; car cet angle augmentant de a (fig, 1488) , et la face AB venant en ÂB', Tangle r' augmente de la même quantité , puisque l'on a r+r' = a, et que r ne varie pas ; donc, I angle d*émergence devra augmenter d*une quantité plus grandeque a, pour que le rapport des sinus reste constant (1948). Ainsi donc la normale à la face AB se déplace aussi de a, ce qui tend à relever le rayon émergent R' , ce dernier conservera toujours une partie de l'abaissement qu'il doit à l'accroissement a; la déviation sera donc augmentée.

Ce résultat se vérifie au moyen du prisme à angle variable (fig. 1489). Deux plaques parallèles aa\ W sont réunies par un fond horizontal oo' fixé an pied de l'instrument. Deux glaces ocy o'c' peuvent glisser i frottement entre les deux plaques, en tournant autour des charnières OjO\ Les surfaces intérieures des plaques aa\ bb\ et les bords des glaces sont dressées avec soin, de manière que l'intérieur de l'appareil peut contenir de l'eau , et former ainsi un prisme liquide dont on peut faire varier l'angle.

Cet angle se mesure sur des divisions tracées aux extrémités de la plaque bb\ arrondies en arc de cercle. — On peut encore employer le système ABC (fig. 1490), imaginé par Boscovich : une échancrure cylindrique est pratiquée dans le prisme ABC parallèlement à ses arêtes, et contient un demi-cylindre cod de même substance que le prisme. Ce demi-cylindre peut tourner autour de son axe, de manière que la face cd forme successivement différents angles avec la face AC. Un rayon ie, en passant en o, n'éprouve pas de déviation , puisque

/"iA

Fig. 4489.

Fig. 4490

les deux milieux qui se suivent sont également réfringents ; il est donc dans le même cas que s'il traversait un prisme formé d'une seule pièce, et ayant un angle égal à daC,

isvs. Hlnlaiam de déviation. — La déviation d'un rayon à travers un prisme prend une valeur minimum quand l'angle d'incidence est égal à l'angle d'émergence, ou, ce qui revient au môme, quand le rayon réfracté dans le prisme est également incliné sur ses deux faces. Pour prouver d'abord qu'il existe toujours un angle d'incidence auquel correspond un angle d'émergence égal, considérons le rayon incident normal ni (fig, 1491 ) et écartons-le peu à peu du sommet A ; l'angle r que fait le rayon réfracté, avec la normale au point d'immergence, ira en augmentant à partir de O^*, tandis que Tangle r' que fait ce rayon avec la normale à la pig. M9i.

face d'émergence , ira en diminuant , puisque

l'on a r+r' =^0. 11 arrivera donc un moment où ces deux angles seront égaux, et alors l'angle d'incidence sera égal à l'angle d'émergence.

Cela posé, soit II et ER les rayons incident et émergent qui font des angles égaux avec la normale. Il est facile de voir que l'angle de déviation qa'ils font entre eux est minimum. En effet, supposons que le rayon incident vienne en /' I, la valeur de r diminuera, et r' augmentera de la môme quantité ; e augmentera donc aussi et deviendra plus grand que i. Mais on a

sin t sin e . . » , , , . . . .i

-: =-: — ri sm c et sin r étant plus grands que sm t et sin r, il

doit y avoir plus de différence entre sin e et sin r' qu'entre sin i et sin r, et, à plus forte raison, entre e et r qu'entre i et r, puisque les arcs l'emportent d'autant plus sur leurs sinus qu'ils sont plus grands. Donc, e sera augmenté plus que % n'est diminué. La déviation, qui est égale h i + ^ — a (1971) sera donc aussi augmentée. — Si le rayon incident venait au-dessous de 1 1, on verrait de môme que l'accroissement de i l'emporterait sur la diminution de f , et il y aurait encore augmentation de la déviation. La valeur qui correspond à i^e est donc bien un minimum.

^•V4. TronTer la eondltlon pour qa*il y ait mlalmnin* — On peut aborder la question autrement et se proposer de trouver la condition pour que la déviation soit minimum. M. E. Barry a donné pour cela une méthode élémentaire, qui a été un peu modifiée de la manière suivante. Nous avons d'abord

D = t -f ^ — û, r-hr'=tt sin i=n sin r, sintf=nsinr'. Ajoutant les deux dernières égalités membre à membre, il vient sin i -f- sin 6 = n (sin r + sin r'), ou sin A(i+f) cos|{ i — (î) = n sin i (r-j-r') ces {(r—r'>

Remplaçant i + « et r + r' par leurs valeurs ci-dessus, on trouve

a + D . a cos i ir—r')

sin — 2 — = » sm rr. — r--

2 2 cos J (»— e)

D sera minimum quand sin|(a + D) sera lui-même minimum, puisque

i (fl+D) = |(i+«) est moindre que 90"*. Il suffit donc de chercher la

condition pour que f— — soit minimum. Or, ce rapport est plus grand

COS j ^^ '~~ ^)

que i ; en effet, en supposant i plus grand que f, on a i — r > e — r' (1948), d'où i — e > r — f '. Si i était moindre que f , on changerait les signes des arcs, ce qui ne modifierait pas celui des cosinus, et Ton arriverait au même résultat. Puisque Ton a i — « > r — r', cos | (i — e) est tnifindre que COS I (r — /) ; le rapport des deux cosinus est donc plus grand que Tunité. 11 atteindra donc sa valeur minimum quand il sera égal à i , c*est-àrdire quand on aura i = «, et r = r'. On aura alors

sin — - — =n sin --—

formule qui donne la déviation minimum ou fonction de l'indice de réfraction et de l'angle du prisme.

«•vs. v^riiieatioBB expérimentales. — Pour montrer l'existence du minimum de déviation, après avoir marqué le point où un pinceau de rayons solaires rencontre un écran vertical, on place un prisme dans le trajet de ce pinceau, et on le fait tourner peu à peu, toujours dans le même sens, autour d'un axe parallèle à ses arêtes. On voit le point de rencontre du faisceau dévié avec l'écran, se rapprocher peu à peu du point marqué, puis s'arrêter un instant, pour recommencer à s'en éloigner. La position du prisme pour laquelle la déviation est minimum se nomme pontion newtonimne, parce que c'est Newton qui a découvert le minimum de dévic^tion.

Pour vérifier que, au moment où a lieu le minimum, les pinceaux incident et émergent sont également inclinés sur les deux faces du prisme, on peut employer le goniomètre de M. Babinet (1915). On fixe un prisme ÎMeèle sur le support central, perpendiculairement au plan du cercle, de manière que la face opposée à l'arête formée par les faces égaies soit exactement perpendiculaire à l'alidade ; puis, mettant l'œil à la lunette mobile, on regarde à travers le prisme, le réticule du collimateur. Faisant ensuite tourner peu à pe<i le prisme au moyen de l'alidade, on déplace la lunette mobile, de manière à maintenir toujours la coïncidence entre les fils des deux réticules, et l'on cherche par tâtonnement la position pour laquelle la lunette mobile s'écarte le moins de la direction de la lunette fixe. Quand il en est ainsi, le prisme a la position qui correspond à la déviation minimum ; car de petits déplacements de l'alidade dans un sens ou dans le sens opposé, l'augmentent également. On trouve que l'alidade est alors également distante des deux lunettes ; d'où l'on